Du möchtest Dich nächste Woche mit Deinem besten Freund oder Deiner besten Freundin treffen. Also checkst Du auf der Website zweier Unternehmen, die auf derselben Bahnstrecke verkehren, welches das günstigere der beiden ist. In der zweiten Klasse auf dieser Strecke werden die Angebote angezeigt, wobei jede Bahn ab morgen eine Preiserhöhung fordert. Die Bahn des Unternehmens A hat vor eine Preiserhöhung um 50 Cent für die Strecke darauf zu legen, wobei Du dank Deines Status als Schüler/in nur 80 Prozent Zahlen kannst. Die Bahn B wiederum fordert ein niedrigeres Ticket von 34 Cent zusätzlich, allerdings kannst Du hiervon nur 15 Prozent einsparen. Der Verkaufswert der Tickets ist heute noch identisch.
Schon bist Du mitten in einer Matheaufgabe, bei Der Du nun gerne wissen möchtest wie Du Ungleichungen lösen kannst. Denn Du möchtest wissen, für welchen Anfangspreis es günstiger ist auf der Strecke mit Unternehmen A zu reisen.
Ungleichungen Grundlagenwissen
An dieser Stelle fragst Du Dich eventuell, worum es sich noch einmal bei Ungleichungen im Gegensatz zu Gleichungen handelt. Dabei ist die Unterscheidung dieser Aufgaben in Mathe sofort möglich. Mit einer zusätzlichen Bedingung wird dabei eine Ungleichung zu einer linearen Ungleichung.
Ungleichungen – Erklärung
Bei Ungleichungen handelt es sich um zwei Terme, die durch die Zeichen der Ungleichungen verbunden sind. Gleichungen sind ausschließlich durch gegeben, wobei die Ungleichungen für die Zeichen funktionieren. Hierbei gilt, dass für Zahlen oder Variablen steht, die echt kleiner oder echt größer als die andere ist. Im Unterschied schließen die Zeichen die Zahl zusätzlich ein. Dabei werden Ungleichungen der Form
bzw. solche, welche über Umformungen und zusammen rechnen auf diese gebracht werden können, als lineare Ungleichungen bezeichnet. Allein eine Ersetzung des Gleichheitszeichens durch eines der vier anderen ergibt eine Ungleichung. Rein theoretisch können Gleichungen mit dem Zeichen auch als Ungleichungen bezeichnet werden. Wie Du diese jedoch anwendest, wirst Du im Folgenden mit Theorie und Aufgaben lernen.
Lineare Ungleichungen – Definition
Somit handelt es sich bei linearen Ungleichungen um das Folgende:
Eine Ungleichung beschreibt eine Zusammensetzung von zwei oder mehr Termen mit einem Ungleichheitszeichen. Ist eine Ungleichung in der nachfolgenden Form gegeben, handelt es sich um eine lineare Ungleichung. Dabei ist der höchste Exponent eine Eins.
Dabei lassen sich lineare Ungleichungen sowohl äquivalent umformen, als auch insgesamt auf eine Form bringen, indem es möglich ist, eine Lösungsmenge für die Aufgaben zu definieren.
Möchtest Du Dein Wissen über Äquivalenzumformungen noch etwas aufbessern, soll auf die Erklärung Äquivalenzumformungen in Ungleichungen verwiesen werden. Wenn Dich auch als Erweiterung Deiner Kenntnisse aus dieser Erklärung Ungleichungen für zwei Variablen interessieren, sieh doch gerne bei Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen vorbei.
Ungleichungen – Regeln und Umformungen
Die Nutzung von Ungleichungen kann durch die Verwendung von Rechenregeln und dem Wissen um Äquivalenzumformungen in Aufgaben erleichtert werden.
Ungleichungen – Rechenregeln
Für die äquivalente Umformung von Ungleichungen ist grundsätzlich lediglich eine Regel zu beachten: die Inversion. Möchtest Du äquivalent umformen, nutzt Du eine Zahl oder einen Term, den Du auf beiden Seiten addierst, subtrahierst, multiplizierst oder dividierst. Dabei ändert sich für die Addition oder Subtraktion nichts. Möchtest Du allerdings eine negative Zahl Multiplizieren, bzw. in Ungleichungen durch eine Zahl oder Variable teilen, so ist die Umkehrung zu beachten. Dabei drehen sich die Ungleichheitszeichen jeweils um. Das kannst Du an diesem Beispiel erproben.
Gegeben sei Dir folgende Ungleichung, die bewusst einfacher gewählt ist.
Dabei ist die Ungleichung soweit erfüllt. Möchtest Du jetzt durch -2 teilen, so wirst Du gleich das Problem erkennen, würde die Umkehrung nicht angewendet werden.
Du siehst, dass die Bedingung nun falsch ist. Da sich die Größen für negative Zahlen umkehren und -1 nicht kleiner als -4 ist, soll das Zeichen für Ungleichungen umgekehrt werden.
Ungleichungen umformen
Um Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen durchzuführen, kannst Du vier verschiedene Fälle unterscheiden. Drei davon können Dir geläufig sein, falls Du nach der Berechnung von Gleichungen auf diesen Artikel zu Ungleichungen gestoßen bist.
Diese Fälle sollen in dieser Tabelle aufgelistet werden.
| Operation | Ausdruck | Ergebnis |
| Addition/Subtraktion | rationale Zahl | Addition/Subtraktion der Zahl auf beiden Seiten |
| Addition/Subtraktion | Term | Addition/Subtraktion des Terms auf beiden Seiten |
| Multiplikation/Division | positive rationale Zahl | Multiplikation/Division der Zahl auf beiden Seiten |
| Multiplikation/Division | negative rationale Zahl | Multiplikation/Division der Zahl auf beiden Seiten; Relationszeichen umdrehen |
Falls Du noch mehr über Rationale Zahlen erfahren möchtest, kannst Du bei dieser Erklärung gern vorbeisehen.
Um dieses Konzept gleich zu nutzen, soll Dir dieses Beispiel alle Ideen verdeutlichen.
Löse diese Ungleichung:
Dazu verwendest Du die Fälle aus dieser Tabelle, um die Äquivalenzumformung zu verwenden.
In der ersten Zeile handelt es sich um eine Subtraktion eines Terms auf beiden Seiten. Danach wurde eine Zahl auf beiden Seiten subtrahiert. In der dritten Zeile wurde durch eine negative Zahl dividiert, wobei hierbei die Inversion beachtet werden soll. Also dreht sich das Relationszeichen um.
Lösungsmenge Ungleichungen
Um nun wie in dem Beispiel zuvor die Lösungsmenge anzugeben, bräuchte es grundsätzlich eine Angabe darüber, in welcher Menge sich die Ergebnisse befinden sollen. Dabei kannst Du unterscheiden:
- Die natürlichen Zahlen (): positive ganze Zahlen, beginnend mit der Eins. Es kann auch die Null eingeschlossen sein, falls explizit angegeben.
- Die ganzen Zahlen (): die natürlichen Zahlen zusammen mit den negativen Zahlen.
- Die rationalen Zahlen(): die ganzen Zahlen zusammen mit Brüchen.
- Die reellen Zahlen(): Die rationalen und irrationalen Zahlen.
Du unterscheidest nun also verschiedene Schreibweisen. Es gibt diese Arten:
Es gibt zum einen die Möglichkeit, Ungleichungen in Mengenschreibweise anzugeben:
Du kannst die Mengenschreibweise allerdings auch in dieser Reihenfolge angeben:
Außerdem kannst Du Deine Lösungsmenge in Intervallschreibweise angeben. Allgemein kann von den Intervall von a nach b ausgegangen werden, wobei eine zur Zahl geöffnete Klammer anzeigt, dass diese im Intervall enthalten ist, anders herum nicht:
Dabei bedeutet eine Klammer zu der Zahl hin, dass diese Zahl noch in die Lösungsmenge gehört, wenn nicht, dann ist sie nicht enthalten, was für größer oder kleiner der Fall ist. Die Unendlichkeit ist immer nicht enthalten.
Außerdem kann eine Menge leer sein:
Für Ungleichungen hast Du also unterschiedliche Möglichkeiten, die Lösungsmenge anzuwenden. In dem kommenden Beispiel darfst Du gleich Aufgaben zu verschiedenen Angaben lösen.
Aufgabe 1
Als Ergebnis einer Ungleichung ist Dir gegeben:
Dabei sind als Grundmenge die ganzen Zahlen gefordert.
a) Erstelle hierzu die Mengenschreibweise.
b) Erstelle die Intervallschreibweise.
Nun ist die Grundmenge die natürlichen Zahlen.
c) Welche Lösungsmenge ist hier das Ergebnis?
Das Relationszeichen kehrt sich um.
d) Was gilt nun für die Lösungsmenge?
Lösung
a) Die Mengenschreibweise teilt sich in das Ergebnis und die enthaltene Menge auf.
b) Für die Intervallschreibweise solltest Du Dich fragen, welche Zahlen eingeschlossen sind. Die 5 gehört wegen des Ausdrucks "größer gleich" dazu.
c) Da als Grundmenge die natürlichen Zahlen gegeben sind, dürfen in der Lösungsmenge keine negativen Zahlen enthalten sein. Auch die Null darf nicht in die Lösungsmenge.
d) Die Lösungsmenge ist hierbei die leere Menge. Da die Zahlen x kleiner gleich -5 sein sollen, gibt es keine Zahl, die in den natürlichen Zahlen vorkommt.
Ungleichungen mit Beträgen
Für die Ungleichungen mit Beträgen gibt es grundsätzlich mehr Konzepte, so kannst Du Deine Ungleichung quadrieren, graphisch lösen oder auch mit einer Fallunterscheidung bearbeiten. In diesem Artikel soll dabei das letzte Verfahren näher betrachtet werden.
Gehe davon aus, Du hast folgende Ungleichung gegeben:
- dass Dein Term nun größer oder gleich 0 sein soll, so kannst Du den Term ohne Betragsstrichen angeben.
- dass Dein Term kleiner als 0 ist, wobei das Vorzeichen umgekehrt und die Betragsstriche aufgelöst werden.
Schritt 1:
Wie gesagt gibt es für dieses Beispiel nun zwei Fälle:
Nun löst Du nach x auf. Für den ersten Fall:
Für den zweiten Fall:
Nun gilt also:
Schritt 2:
Bilde die Lösungsmenge für den ersten Fall:
Für den ersten Fall hast Du im ersten Schritt bereits eine Bedingung festgehalten, weshalb die Lösungsmenge 1 wie folgt lautet:
Nun folgt die Lösungsmenge für den zweiten Fall:
Auch hier nutzt Du die weitere Bedingung für die Lösungsmenge aus Schritt eins:
Schritt 3:
Nun bist Du also im Besitz von zwei Lösungsmengen für die beiden Fälle. Wenn Du die gesamte Lösungsmenge erhalten möchtest, so fügst Du das Zeichen als Vereinigung beider Mengen ein.
Ungleichungen lösen – grafisch
Um Ungleichungen grafisch zu lösen, sind Dir in diesem Fall zwei Ungleichungen gegeben.
Es kann auch sein, dass Du erst auf eine Variable auflösen sollst und Dir nicht die Ungleichungen in dieser Form gegeben sind. In diesem Fall gehst Du davon aus es handle sich um Funktionen. Zeichne diese in ein Koordinatensystem. Dabei wird es einen oder mehrere Schnittpunkte geben, in diesem Fall A. Schraffiere den Bereich, der größer gleich, bzw. kleiner gleich der beiden Funktionen ist.
- für die erste Ungleichung: der blau schraffierte Bereich
- für die zweite Ungleichung: der grün schraffierte Bereich
- für das Gesamtergebnis: der rot gestreifte Bereich
In diesem Bereich, indem beide Funktionen übereinstimmen, wirst Du den finden, der beide Bedingungen erfüllt.
Abbildung 1: Ungleichungen grafisch lösen
Du siehst, dass es in in diesem Beispiel zwei Variablen gibt. Dies ist auch wichtig, um dabei zwei Funktionen einzeichnen zu können, die im zweidimensionalen Raum zwei Variablen benötigen. Möchtest Du auch näheres zu Ungleichungen mit zwei Variablen erfahren, dann schau doch gerne bei Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen vorbei.
Ungleichungen lösen – Aufgaben
Nun ist es an der Zeit, dass Du selbst aktiv an dem Lösen von Aufgaben beteiligt wirst. Löse doch gerne die folgenden Ungleichungen.
Aufgabe 2
Sieh Dir noch einmal das Beispiel aus der Einleitung an. Du möchtest also ein Ticket kaufen. Dabei gibt es zwei Bahnen von Unternehmen A und B, zwischen denen Du wählen kannst.
- A: Von einem Anfangswert werden 50 Cent zusätzlich erhoben, Du sollst 80 Prozent vom Verkaufspreis bezahlen.
- B: Es werden auf das Ticket zusätzlich 34 Cent darauf gegeben, wobei Du nur 15 Prozent sparen kannst.
Bis zu welchem aktuellen Ticketpreis ist es günstiger mit Unternehmen A zu fahren?
Lösung
Zu Beginn stellst Du zu den Informationen eine Ungleichung auf, wobei x den aktuellen Wert/Anfangswert beschreibt.
Für das Unternehmen A werden also 50 Cent und für B 34 Cent erhoben, wobei Du entweder 80 oder 85 Prozent der Kosten tragen sollst. Nun berechnest Du diese.
Das Ticket von A lohnt sich ab einem Anfangspreis von 21,911 Euro.
Aufgabe 3
Gegeben sind die folgenden Ungleichungen für a) und b). Viel Spaß.
a) Berechne diese Ungleichung.
b) Löse diese Ungleichung und gebe zusätzlich die Lösungsmenge an. Grundmenge sind dabei die rationalen Zahlen.
Lösung
a) Dazu nutzt Du entweder Dein Vorwissen für Gleichungen, bzw. siehst in der Tabelle nach, was zu erledigen ist.
b) Nun kommt die zweite der Ungleichungen, wobei Du auch hier diese Aufgabe linear lösen kannst. Als ersten Schritt fasst Du die beiden Seiten der Ungleichung zusammen und multiplizierst aus.
Aufgabe 4
Gegeben sind zwei Ungleichungen. Du kannst beide lösen und jeweils die Lösungsmengen angeben.
a) Die Grundmenge sind die ganzen Zahlen.
b) Berechne die Ungleichung. Dazu benötigst Du das Wissen um die Mitternachtsformel.
Lösung
a) Dazu kannst Du die Ungleichung zusammenfassen und berechnen. Achte auf die Grundmenge, um die Lösungsmenge zu bestimmen. Auch hier solltest Du zuerst ausmultiplizieren und danach die Terme zusammenfassen.
Da die Grundmenge die ganzen Zahlen sind, das Ergebnis aber in Q, ist aufzurunden.
b) Bei dieser Aufgabe handelt es sich um keine Lineare Ungleichung. Dafür ist nun das Wissen um die Lösungsformel bzw. Mitternachtsformel interessant.
Die Mitternachtsformel berechnet sich über folgende Formel:
Dazu bringst Du die Ungleichung erst einmal in die Form, um sie mit der Lösungsformel auszurechnen.
Nun ist die Formel in der Form, wie Du sie haben möchtest. Jetzt wendest Du die Lösungsformel an und denke an die Ungleichung.
Nun noch das Relationszeichen mitnehmen.
Ungleichungen – Das Wichtigste
- Ungleichungen sind durch die Zeichen gegeben.
- Eine Lineare Ungleichung ist von der Form
- Die wichtigste Regel für Ungleichungen ist die Inversion. Multiplizierst oder teilst Du eine Zahl mit einer negativen, so dreht sich das Relationszeichen um.
- Addition, Subtraktion, und auch Multiplikation/Division werden jeweils auf beiden Seiten der Ungleichungen durchgeführt.
- Die Angabe der Lösungsmenge ist abhängig von der Grundmenge. Könntest Du als Lösungsmenge nur Zahlen einsetzen, die sich nicht in der Grundmenge befinden, so ist Deine Lösungsmenge eine leere Menge.
- Es gibt die Mengen- und Intervallschreibweise zur Angabe der Lösungsmenge.
- Für Ungleichungen mit Beträgen unterscheidest Du zwei Fälle. Du könntest die Ungleichungen auch quadrieren.
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