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Ausklammern und Ausmultiplizieren

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Mathe

lea.breuer@studysmarter.de

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Keyword passt.

Title: Ausklammern und Ausmultiplizieren: Beispiel | StudySmarter 

Description: Ausklammern und Ausmultiplizieren: ✓ Terme ✓ Klammern ✓ Summen ✓ Minus ✓ StudySmarter Original! 

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Danke dir!   

14:29 13.01.2022

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Ausklammern und das Ausmultiplizieren sind wichtige Verfahren, um Terme zu vereinfachen. Diese Verfahren brauchst du zum Beispiel, wenn du Gleichungen lösen möchtest oder Nullstellen berechnen musst. Das Ausklammern und Ausmultiplizieren wird dich bis in deine Mathe-Abschlussprüfung begleiten. Deshalb solltest du dir diesen Artikel besonders gut durchlesen   



Das Distributivgesetz - die Grundlage für Ausklammern und Ausmultiplizieren


Bevor wir zum tatsächlichen Ausmultiplizieren und Ausklammern kommen, müssen wir uns kurz die Grundlagen dafür anschauen.

Erinnerst du dich noch an das Distributivgesetz? Du hast es spätestens in der fünften Klasse zum ersten Mal gesehen, als du gelernt hast, wie man ganze Zahlen miteinander multipliziert.


Distributivgesetz der Multiplikation:


Für alle Zahlen a, b und c gilt:

Ausklammern und Ausmultiplizieren Distributivgesetz Formel StudySmarter 


Das Distributivgesetz ist DIE Grundlage für das Ausklammern und Ausmultiplizieren. Deshalb solltest du dir, falls du dich damit noch unsicher fühlst, zuerst den Artikel zum Distributivgesetz anschauen.



Ausklammern und Ausmultiplizieren - was ist das überhaupt?


Ausklammern und Ausmultiplizieren sind zwei Äquivalenzumformungen, die in Termen durchgeführt werden.


Erinnerung: eine Äquivalenzumformung ist eine Umformung einer Gleichung oder eines Terms, die die Lösungsmenge oder das Ergebnis nicht verändert.


Das Ausmultiplizieren ist eine Umformung, durch die eine oder mehrere Klammern aufgelöst werden. Wenn du zum Beispiel das Distributivgesetz von links nach rechts liest, wird dort ausmultipliziert.


Das Ausklammern ist die Umkehrung des Ausmultiplizierens. Hier wird eine Klammer gesetzt, indem ein Faktor abgetrennt wird, der in mehreren Summanden vorkommt. Wenn du beispielsweise das Distributivgesetz von rechts nach links liest, wird dort ausgeklammert.


Ausklammern und Ausmultiplizieren Kreislauf StudySmarter

lea.breuer@studysmarter.de

@Design: Diese Abbildung hätte ich gerne designt.

14:9 13.01.2022

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Ganz genau definiert sind das Ausklammern und das Ausmultiplizieren zwei Anwendungen des Distributivgesetzes:


Mit Ausmultiplizieren wird eine Äquivalenzumformung bezeichnet, bei der durch Anwendung des Distributivgesetzes ein Produkt in eine Summe umgewandelt wird.


Mit Ausklammern oder Faktorisieren wird eine Äquivalenzumformung bezeichnet, bei der durch Anwendung des Distributivgesetzes eine Summe in ein Produkt umgewandelt wird. 


Erinnerung: Ein Produkt ist das Ergebnis einer Multiplikation oder ein Term, der eine Multiplikation darstellt. Eine Summe ist das Ergebnis einer Addition oder auch ein Term, der eine Summe darstellt. In dieser Definition werden Summe und Produkt als Bezeichnungen von Termen verwendet.



Wozu braucht man Ausklammern und Ausmultiplizieren eigentlich?


In der Einleitung hast du bereits kurz erfahren, wozu man Ausklammern und Ausmultiplizieren zum Beispiel brauchen kann: Ausklammern und das Ausmultiplizieren brauchst du zum Beispiel, wenn du Gleichungen lösen möchtest oder Nullstellen berechnen musst. Es gibt aber noch viel mehr Anwendungen, und zwar eigentlich immer, wenn du irgendwelche Terme berechnen musst.


Das Ausmultiplizieren brauchst du besonders dann, wenn du Terme berechnen möchtest, also hinter dem letzten = ein Ergebnis stehen sollte. Aber auch, wenn du Terme so weit wie möglich zusammenfassen sollst oder Rechnungen vereinfachen willst, wirst du oft um das Ausmultiplizieren nicht herumkommen.


Das Ausklammern musst du oft verwenden, wenn du Terme so weit wie möglich zusammenfassen sollst. Dadurch werden Terme, insbesondere Terme mit Variablen, übersichtlicher. Es kann dir aber auch Rechenvorteile verschaffen. Das ist dann besonders erfreulich. 


Auch wenn dich diese Vorteile jetzt nicht vom Hocker hauen - nach ein bisschen Übung wirst du diese Tricks bestimmt mögen, weil sie das Rechnen wirklich vereinfachen können. Allerdings - das muss man auch zugeben - brauchst du das Ausklammern und Ausmultiplizieren im Alltag eher nicht. Aber in deinem nächsten Mathe-Test wirst du es vielleicht brauchen   


Ausklammern und Ausmultiplizieren Erklärung StudySmarter



Ausmultiplizieren - so geht's!


Schauen wir uns jetzt den wichtigen Teil an, nämlich wie Ausklammern und Ausmultiplizieren eigentlich funktioniert. 

Da das Ausmultiplizieren ein wenig einfacher ist, starten wir hiermit. 


Es gibt mehrere Fälle, in denen du ausmultiplizieren kannst:


  1. Eine Zahl oder eine Variable - also ein Faktor - wird mit einer Klammer multipliziert, in der eine Summe oder eine Differenz (also eine Strichrechnung) steht.
  2. Zwei oder mehrere Klammern, in denen jeweils Summen oder Differenzen stehen, werden miteinander multipliziert.


Ausmultiplizieren - Fall 1


Der erste Fall ist eigentlich genau das Distributivgesetz. Wenn du also das Distributivgesetz verstanden hast, dann solltest du dir den Artikel dazu unbedingt nochmal anschauen.


Trotzdem schauen wir uns hier zwei kurze Rechenbeispiele an.


 




Ausmultiplizieren - Fall 2


Der interessantere oder kompliziertere Fall ist der zweite Fall, nämlich wenn zwei oder sogar mehrere Klammern miteinander multipliziert werden.


Fangen wir langsam an und schauen uns erst einmal an, was zu tun ist, wenn zwei Klammern miteinander multipliziert werden. Hierfür gibt es das folgende Vorgehen: 


Jedes Termglied der vorderen Klammer wird mit jedem Termglied der hinteren Klammer multipliziert.


Damit man keine dieser Verbindungen vergisst, empfiehlt es sich, Hilfsbögen oder Pfeile zu zeichnen. Hier kannst du gerne auch mit Farben in deinem Matheheft arbeiten. Eventuell hilft es dir auch, die Pärchen auf der linken Seite des = farbig zu unterstreichen, um die Übersicht zu behalten. Spätestens, wenn es nicht mehr nur zwei Klammern mit jeweils zwei Termgliedern sind, ist das sinnvoll! 


lea.breuer@studysmarter.de

@Design: Diese beiden Abbildungen hätte ich auch gerne designt.

15:42 20.01.2022

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Ausklammern und Ausmultiplizieren Hilfsbögen StudySmarterAbbildung 1: Hilfsbögen zum Ausmultiplizieren

Ausklammern und Ausmultiplizieren Hilfsbögen StudySmarterAbbildung 2: Hilfsbögen und Markierungen zum Ausmultiplizieren


Wenn du diese Regel nicht einfach so akzeptieren und auswendig lernen willst, oder es dich interessiert, warum das genauso funktioniert, dann kannst du dir den folgenden Vertiefungskasten anschauen.


Auch der zweite Fall ist im Grunde genommen nur die Anwendung des Distributivgesetzes, dafür aber direkt zweimal hintereinander. 


Sei also ein Term in der Form  gegeben. Wir fassen dabei die zweit Klammer einmal als ein Termglied auf, also so, als ob da einfach eine Zahl stehen würde. Das können wir uns auch so definieren. Sei also  


Der Term verändert sich also zu  und hier wendet man wie gewohnt das Distributivgesetz an:


 


Jetzt setzen wir für a wieder die ursprüngliche Klammer ein: 


 wird zu


Jetzt liegt wieder zweimal das Distributivgesetz vor, einmal mit dem Dreieck , und einmal mit dem Parallelogramm . Hier kannst du also wieder wie gewohnt ausmultiplizieren.



Und das ist genau das, was wir in Abbildung 1 mithilfe der Hilfsbögen herausbekommen haben.


Aufgabe


Multipliziere aus:


Lösung


Wir gehen ganz im Sinne der Regel "jedes Termglied der vorderen Klammer wird mit jedem Termglied der hinteren Klammer multipliziert" vor.



Im letzten Rechenschritt wurden noch die xy zusammengefasst.


Was aber nun, wenn nicht nur zwei Klammern miteinander multipliziert werden, sondern gleich drei oder noch mehr?


Im Prinzip wendest du das Vorgehen für zwei Klammern ein paar Mal hintereinander an. Du multiplizierst also zunächst die ersten beiden Klammern miteinander, und das Ergebnis, das dann wieder in einer Klammer stehen sollte, wird mit der nächsten Klammer multipliziert. So gehst du vor, bis du alle Klammern abgearbeitet hast. 


Klingt kompliziert, ist es aber eigentlich nicht. Das schwierigste ist, den Überblick zu behalten.


Aufgabe


Multipliziere aus:


Lösung


Zuerst werden die beiden vorderen Klammern ausmultipliziert, und die hintere vorerst stehen gelassen. Dazu solltest du am besten eine eckige Klammer um die beiden Klammern setzen, die du zuerst miteinander multiplizierst. 



Im letzten Schritt wurde die vordere Klammer vereinfacht. Dies solltest du unbedingt immer machen, wenn das möglich ist, da du dir dadurch einige Rechenarbeit sparst!


Nachdem die vorderen beiden Klammern miteinander multipliziert wurden, kann nun die neu entstandene erste Klammer mit der zweiten Klammer ausmultipliziert werden.



Geschafft!   


Beim Ausmultiplizieren gilt - wie bei den meisten Themen in Mathe: Übung macht den Meister. Deshalb findest du am Ende des Artikels einige Übungsaufgaben zum Ausklammern und Ausmultiplizieren.



Ausklammern - so geht's!


Das Ausklammern oder Faktorisieren kann ein bisschen schwieriger sein, als das Ausmultiplizieren. Man muss hier nämlich die Fertigkeit entwickeln, gemeinsame Faktoren in den Termgliedern erstmal zu finden. 


Beim Ausklammern gibt es auch mehrere Fälle:


  1. Du kannst eine Zahl oder Variable ausklammern.
  2. Du kannst eine ganze Klammer ausklammern (oder sogar mehrere Klammern).
  3. Du kannst mehrere Zahlen oder Variablen ausklammern.


Ob nun der erste, zweite oder dritte Fall zutrifft, kannst man nicht unbedingt immer sofort sehen. Deshalb zeigen wir dir im folgenden mehrere Beispiele, bei denen die unterschiedlichen Fälle zutreffen.


Aufgabe


Vereinfache den gegebenen Term durch Ausklammern:


Lösung


In diesem Beispiel trifft der erste Fall zu: es kann eine Variable ausgeklammert werden. Der Faktor, der bei allen Termgliedern vorkommt, ist das x. Daher kann das x ausgeklammert werden. 



Nicht nur Summen, sondern auch Differenzen lassen sich faktorisieren. 


Aufgabe


Vereinfache den folgenden Term durch Ausklammern:


Lösung


Auch hier tritt der erste Fall ein, dieses Mal kann eine Zahl ausgeklammert werden. Alle Termglieder des Terms sind nämlich durch 5 teilbar:


 


Es kann also der Faktor 5 ausgeklammert werden:



Aufgabe


Schreibe den folgenden Term als Produkt:  


Lösung


Hier tritt der zweite Fall ein, es kann eine ganze Klammer ausgeklammert werden. Die Klammer ist in diesem Fall .




Aufgabe


Klammere so viel wie möglich aus:  


Lösung


Dieses Beispiel gehört zum schwierigeren dritten Fall. Man sollte hier zunächst überlegen, was alles ausgeklammert werden kann. 


  • In allen Termgliedern kommt ein a mit einem Exponenten vor, der mindestens 2 ist. Daher kann ein  ausgeklammert werden.
  • Alle Termglieder sind zudem durch 2 teilbar. Daher kann zusätzlich der Faktor 2 ausgeklammert werden.


Du kannst nun insgesamt  ausklammern. Ob du das in einem Schritt machst, oder dafür zwei Schritte machst, indem du zuerst den einen Faktor, und dann den anderen Faktor ausklammerst, bleibt dir überlassen. Wenn du dich noch nicht ganz sicher fühlst, solltest du lieber Schritt für Schritt vorgehen. Wir führen hier einmal den schwierigeren Weg aus und klammern direkt  aus.



Um zu checken ob du auch richtig faktorisiert hast, hilft es am Ende eine Probe durchzuführen. Bei der Probe musst du dein Ergebnis wieder ausmultiplizieren. 


Um das Ausklammern ein bisschen zu üben, solltest du dir unbedingt die Übungsaufgaben am Ende des Kapitels und die Karteikarten zu diesem Artikel anschauen.



Ausklammern und Ausmultiplizieren mit Brüchen


Man kann nicht nur ganze Zahlen und Variablen ausklammern, sondern auch Brüche. Das funktioniert dann genauso wie oben erklärt. 


Manchmal ist es sehr hilfreich, Brüche auszuklammern, um einen Term mit lauter Brüchen in einen Term mit ganzen Zahlen umzuwandeln. Das geht aber nur, wenn alle Brüche denselben Nenner haben, wie im folgenden Beispiel.


Aufgabe 


Schreibe als Produkt:


Lösung


Alle Elemente des Terms haben hier einen Bruch mit Nenner 7 gemeinsam. Deshalb kann  ausgeklammert werden:




Auch wenn nicht alle Elemente denselben Nenner haben, lassen sich manchmal geschickt Brüche ausklammern.


Aufgabe


Vereinfache den folgenden Term geschickt:  


Lösung


Als erstes könnte dir auffallen, dass in jedem Element ein a vorkommt. Das kann im ersten Schritt ausgeklammert werden.


 


Nun stören die Brüche in der hinteren Klammer noch ein wenig. Man kann nun geschickt erweitern, sodass doch dieselben Nenner in der Klammer vorkommen. Hier bietet es sich an, auf Viertel zu erweitern.



Jetzt kann wie im letzten Beispiel  ausgeklammert werden.


 



Übungsaufgaben zum Ausklammern und Ausmultiplizieren


Hier kommen die oben versprochenen Übungsaufgaben, damit du ein Profi im Ausklammern und Ausmultiplizieren wirst!


Aufgabe


Schreibe als Produkt.




Lösung


zu 1. Hier sind beide Termglieder durch 2 teilbar. Das ist auch schon das einzige, was ausgeklammert werden kann. 


 


zu 2. In den beiden Termgliedern findet sich ein u. Außerdem sind sie beide durch 4 teilbar. Es können also insgesamt  ausgeklammert werden.


 


zu 3. Im dritten Term kann ein Bruch ausgeklammert werden, nämlich . Zudem tritt in beiden Termgliedern ein s und ein t auf. Es können also insgesamt  ausgeklammert werden.


 


zu 4. In diesem Term musst du gut den Überblick behalten! In allen drei Termgliedern kommen die Variablen i, c und h vor. Hier musst du besonders gut auf die Exponenten achten.

  • das i kommt im ersten Termglied nur einmal vor, deshalb kann es auch nur einmal ausgeklammert werden.
  • das c kommt in jedem Termglied mindestens mit dem Exponenten 2 vor. Daher kann  ausgeklammert werden.
  • das h kommt im zweiten Termglied nur einmal vor und kann daher wie das i auch nur einmal ausgeklammert werden.


Insgesamt ergibt sich also:


 


Aufgaben


Fasse die folgenden Terme so weit wie möglich zusammen.



Tipp: Die Angabe bedeutet, dass der Term am Ende so übersichtlich wie möglich sein sollte. Manchmal muss man dazu zuerst ausmultiplizieren und dann wieder etwas ausklammern.

Lösung


zu 1. Den ersten Term solltest du zunächst ausmultiplizieren und dann Termglieder mit denselben Variablen zusammenfassen.



Hier lässt sich nun nicht mehr ausklammern, da die Termglieder keine gemeinsamen Faktoren haben. 


zu 2. Hier macht es auch Sinn, zunächst auszumultiplizieren und zudem die Minusklammer aufzulösen.



Beide Termglieder sind jetzt noch durch 2 teilbar. Daher können wir noch den Faktor 2 ausklammern.


 


Mehr geht nicht.


zu 3. Auch hier kommst du um das Ausmultiplizieren nicht herum.



Jetzt kann wie in der vorherigen Aufgabe noch eine 2 ausgeklammert werden.


 


zu 4. Vorsicht! Hier kannst du dir das Ausmultiplizieren sparen, wenn du ganz genau hinschaust! Die Klammer ist nämlich in jedem Termglied gleich, kann daher also im ganzen ausgeklammert werden.



Hinweis: Falls es mit Aufgaben nicht auf Anhieb geklappt, mach dir keine Sorgen! Es braucht etwas Übung bis man ein Gefühl für das Ausklammern und ausmultiplizieren bekommen hat!


Sehr gut, du hast es zum Ende des Artikels geschafft! Du kannst dir jetzt zum Beispiel die Karteikarten zum Thema anschauen.


Ausklammern und Ausmultiplizieren - Das Wichtigste

  • Das Distributivgesetz ist die Grundlage für das Ausklammern und Ausmultiplizieren.
  • Beim Ausklammern wird eine Summe in ein Produkt umgewandelt.
  • Beim Ausmultiplizieren wird ein Produkt in eine Summe umgewandelt.
  • Ausklammern und Ausmultiplizieren sind Umkehroperationen.
  • Ausklammern und Ausmultiplizieren braucht man, um Terme zu vereinfachen und Rechenvorteile zu finden.
  • Man kann eine Zahl, eine Variable, eine ganze Klammer oder mehrere Zahlen und Variablen ausklammern.
  • Wenn man zwei Klammern ausmultiplizieren will, dann gilt die Regel "Jedes Termglied der vorderen Klammer wird mit jedem Termglied der hinteren Klammer multipliziert".
  • Wenn man mehr als zwei Klammern ausmultiplizieren will, dann multipliziert man Schritt für Schritt je zwei Klammern miteinander.


Häufig gestellte Fragen zum Thema Ausklammern und Ausmultiplizieren

Wenn du eine Zahl/Variable mit einer Klammer multiplizieren musst, dann multiplizierst du jedes Termglied der Klammer mit dieser Zahl/Variable.


Wenn du zwei Klammern miteinander multiplizieren musst, dann gehst du nach der Regel "jedes Termglied der vorderen Klammer wird mit jedem Termglied der hinteren Klammer multipliziert" vor.


Musst du mehrere Klammern ausmultiplizieren, so multiplizierst du Schritt für Schritt je zwei Klammern miteinander.

Klammern auflösen kannst du auf mehreren Wegen:

  1. ausmultiplizieren, wenn die Klammer mit einem Termglied oder einer anderen Klammer multipliziert wird
  2. die Vorzeichen der Termglieder in der Klammer umdrehen, wenn es sich um eine Minusklammer handelt
  3. die Klammer berechnen
  4. die Klammer weglassen, wenn sie nicht wichtig ist.

Wenn du zwei Klammern miteinander multiplizieren musst, dann gehst du nach der Regel "jedes Termglied der vorderen Klammer wird mit jedem Termglied der hinteren Klammer multipliziert" vor.

Terme ausmultiplizieren bedeutet, dass du einen Term, in dem Produkte (also Multiplikationen) vorkommen so umformst, dass nur Strichrechnungen (+ oder -) vorkommen.

Finales Ausklammern und Ausmultiplizieren Quiz

Frage

Was ist das Ausklammern?

Antwort anzeigen

Antwort

Das Ausklammern ist eine Äquivalenzumformung, bei der eine Summe in ein Produkt umgewandelt wird. 

Das Ausklammern ist eine Anwendung des Distributivgesetzes der Multiplikation.

Frage anzeigen

Frage

Was ist das Ausmultiplizieren?

Antwort anzeigen

Antwort

Das Ausmultiplizieren ist eine Äquivalenzumformung, bei der unter Anwendung des Distributivgesetzes der Multiplikation ein Produkt in eine Summe umgewandelt wird.

Frage anzeigen

Frage

Wie wird das Ausklammern noch genannt?

Antwort anzeigen

Antwort

Man kann statt Ausklammern auch Faktorisieren sagen.

Frage anzeigen

Frage

Welche Regel gilt, wenn du zwei Klammern miteinander multiplizieren musst?

Antwort anzeigen

Antwort

Es gilt die Regel "jedes Termglied der vorderen Klammer wird mit jedem Termglied der hinteren Klammer multipliziert"

Frage anzeigen

Frage

Wie gehst du vor, wenn du drei oder mehr Klammern miteinander multiplizieren musst?

Antwort anzeigen

Antwort

Du multiplizierst Schritt für Schritt jeweils zwei Klammern miteinander.

Frage anzeigen

Frage

Wie gehst du vor, wenn du einen Term als ein Produkt schreiben sollst?

Antwort anzeigen

Antwort

Du vergleichst zunächst jedes Termglied und überlegst, welche gemeinsamen Faktoren sie aufweisen. Dabei schaust du

  1. ob eine gemeinsame Variable vorkommt und wenn ja, mit welchem minimalen Exponenten
  2. ob alle Termglieder durch eine gemeinsame Zahl teilbar sind


Dann klammerst du (entweder Schritt für Schritt oder auf einmal) die gefundenen gemeinsamen Faktoren aus.

Frage anzeigen

Frage

Wozu brauchst du das Ausklammern und Ausmultiplizieren?

Antwort anzeigen

Antwort

Ausklammern und Ausmultiplizieren brauchst du, wenn du Terme so weit es geht vereinfachen sollst. Diese Fertigkeiten nutzen dir aber auch, um Gleichungen zu lösen oder Nullstellen von Funktionen zu berechnen. 

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