Linearkombination

Du gehst für einen gemütlichen Abend mit Deinen Freunden einkaufen. Im Einkaufswagen befinden sich die folgenden Produkte:

• 2 Cola- und 2 Limonade-Flaschen zu je 1,80 €

• 4 verschiedene Chips-Tüten zu je 1,50 €

• 3 unterschiedliche Süßigkeiten-Packungen zu je 2,00 € und schließlich

• eine große Snack-Packung für 6,50 €

Um zu bestimmen, was Du an der Kasse genau zahlen wirst, rechnest Du

$4·1,80€+4·1,50€+3·2,00€+1·6,50€=25,70€.$

Was genau ist hier geschehen? Du kannst Dir die Preise als mathematische Objekte vorstellen, die eigenständig sind. Es spielt keine Rolle, ob das nun 1,80 € für eine Cola-Flasche sind oder für ein anderes Produkt; 1,80 € sind 1,80 €. Diese Preise hast Du jeweils mit Zahlen multipliziert (z. B. die 1,80 € mit der Zahl 4). Anschließend hast Du die Ergebnisse der Produkte addiert.

Und hiermit hast Du bereits den Kern hinter dem Konzept der Linearkombination kennengelernt: eine Kombination aus Multiplikation und Addition, die aus Objekten eines Typs ein weiteres Objekt desselben Typs produziert.

Wenn Dir das noch zu abstrakt ist oder es Dir zu schnell ging, keine Sorge: Im Folgenden wirst Du schrittweise durch die Details geführt.

Linearkombination – Grundlagenwissen

Bevor es losgeht, ein kurzer Hinweis: Das Konzept der linearen Abhängigkeit wird in dieser Erklärung nicht behandelt. Es gibt dazu eine ausführliche Erklärung, die Du Dir ansehen kannst, sofern Du Dich dafür interessierst.

Stattdessen geht es hier nur um das Konzept der Linearkombination an sich: Was ist eine Linearkombination mathematisch? Wie lässt sich eine Linearkombination bildlich veranschaulichen? Was wird benötigt, um überhaupt erst über eine Linearkombination zu sprechen? Und wie wird eine Linearkombination bestimmt?

Das einleitende Beispiel hat Dir schon erste Hinweise darauf gegeben, was Du zur Bildung von Linearkombinationen benötigst: Du musst Objekte addieren und mit Zahlen multiplizieren können.

Objekte, mit denen Du das machen kannst, heißen Vektoren. Und Vektoren leben an Orten, die sich Vektorräume nennen.

Vektoren addieren und skalieren

Ein Vektorraum ist zunächst eine Menge (wie die Preise in der Einleitung oder die Pfeile in der Ebene). Was diese Menge so besonders macht, sind die Operationen, die Du mit den Elementen der Menge ausführen kannst.

Die Addition von Vektoren heißt auch Vektoraddition. Diese Vektoraddition muss bestimmte Eigenschaften erfüllen, wie das Kommutativ- und Assoziativgesetz.

Die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl wird als Skalarmultiplikation bezeichnet; die Bezeichnung Skalar selbst wird für reine Zahlen verwendet, um sie von den Vektoren zu unterscheiden. Wenn Du einen Vektor mit einer Zahl multiplizierst, so sagen wir dazu auch, dass Du den Vektor um diese Zahl skaliert hast.

Auch die Skalarmultiplikation muss gewisse Eigenschaften erfüllen. Dazu zählen unter anderem das Assoziativ- und zwei verschiedene Distributivgesetze.

Bei den Operationen ist es wichtig, dass sie den "Typ" beibehalten. Würdest Du zum Beispiel bei den Preisen nach der Addition ein Dollarzeichen ergänzen, so wäre das eine "inkorrekte" Operation: Aus Preisen in Euro (ein Typ) werden Preise in Dollar (ein anderer Typ).

Vektorräume und Vektoren – Zusammenfassung

Von allem, was bisher erwähnt wurde, solltest Du zwei Sachen mitnehmen:

• Vektoren sind mehr als Pfeile: Im Allgemeinen ist ein Objekt ein Vektor, wenn es Element eines Vektorraums ist. Wenn Du zum Beispiel gefragt wirst, ob ein bestimmter Pfeil ein Vektor ist, so wäre die korrekte Antwort: keine Ahnung. Würdest Du stattdessen gefragt werden, ob dieser Pfeil als Bewohner der Ebene (mit entsprechender Vektoraddition und Skalarmultiplikation) ein Vektor ist, so lautet die richtige Antwort: Ja. Das heißt, ohne Vektorräume keine Vektoren.

• Vektoren lassen sich addieren und skalieren: Wenn Dir bewusst ist, dass die gegebenen Objekte Vektoren sind, so weißt Du direkt, dass Du sie addieren und skalieren kannst (und auch dass die ganzen Eigenschaften erfüllt sind).

Der erste Punkt wird erwähnt, damit Du Dich dann später nicht wunderst, wieso es dann plötzlich die Linearkombination auch für Funktionen, Matrizen oder - wie bereits gesehen - für Preise gibt. Der Grund ist der, dass das alles Beispiele für Vektoren sind. Wenn wir einmal das Konzept der Linearkombination von Vektoren eingeführt haben, so gilt das für alle "Arten" an Vektoren.

Der zweite Punkt soll Dir ins Bewusstsein rufen, weshalb die Linearkombination von Vektoren diese ganz bestimmte Definition hat: Ohne weitere Ergänzungen kannst Du innerhalb eines Vektorraums Vektoren nur addieren und skalieren; mehr nicht.

Du benötigst also eine weitere Struktur, um mit Vektoren arbeiten zu können.

Linearkombination von Vektoren – Definition & Beispiele

Vielleicht ist bei Dir allmählich schon ein Bild darüber entstanden, wie die Linearkombination von Vektoren definiert sein wird. Insbesondere wenn Du daran denkst, dass die beiden Operationen immer nur zwei Objekte gleichzeitig betroffen haben: Bei der Vektoraddition waren es zwei Vektoren, bei der Skalarmultiplikation eine Zahl und ein Vektor.

Wieso sich aber nur auf zwei Objekte beschränken? Diese Einschränkung wird durch die Einführung von Linearkombinationen aufgehoben.

Sobald Dir also eine Vektoraddition und eine Skalarmultiplikation zur Verfügung stehen, hast Du automatisch auch das Konzept der Linearkombination.

Da die Vektoraddition stets kommutativ ist, spielt die Reihenfolge keine Rolle. Wenn Du Dir Abbildung 1 ansiehst, bedeutet das geometrisch folgendes: ob Du nun zunächst in Richtung $\stackrel{\rightharpoonup }{u}$ gehst und dann in Richtung $\stackrel{\rightharpoonup }{v}$ (linker Weg in Abbildung 1) oder zuerst in Richtung $\stackrel{\rightharpoonup }{v}$ und dann in Richtung $\stackrel{\rightharpoonup }{u}$ (rechter Weg in Abbildung 1), am Ende erreichst Du dieselbe Stelle.

Bei diesem Weg "rückwärts" beginnen wir zunächst bei Vektoren der Ebene und untersuchen verschiedene Fälle. Der konzeptionelle Sprung zu Vektoren im Raum sollte dann angenehmer stattfinden.

Vektoren der Ebene als Linearkombination darstellen – Zwei Vektoren

Theoretisch kannst Du bereits einen Vektor als Linearkombination von sich selbst darstellen. Wenn Du zum Beispiel den Vektor

$\stackrel{\rightharpoonup }{u}=\hspace{0.17em}\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)$

gegeben hast, so ist

$\stackrel{\rightharpoonup }{u}=\hspace{0.17em}1·\stackrel{\rightharpoonup }{u}$

eine Linearkombination von $\stackrel{\rightharpoonup }{u}$.

Interessant wird es also erst ab zwei Vektoren. Angenommen Du hast zwei Vektoren $\stackrel{\rightharpoonup }{u}$ und $\stackrel{\rightharpoonup }{v}$ gegeben und, Du kannst $\stackrel{\rightharpoonup }{u}$ als Linearkombination von $\stackrel{\rightharpoonup }{v}$ zum Skalar $\alpha$ schreiben. also:

$\stackrel{\rightharpoonup }{u}=\hspace{0.17em}\alpha ·\stackrel{\rightharpoonup }{v}$

Was bedeutet das geometrisch? Der Vektor $\stackrel{\rightharpoonup }{u}$ ist nur eine skalierte Version des Vektors $\stackrel{\rightharpoonup }{v}$. Je nach Vorzeichen des Skalars $\alpha$ zeigt $\stackrel{\rightharpoonup }{u}$ dabei in dieselbe oder entgegengesetzte Richtung (siehe Abbildung 3).

Abbildung 3: Der blaue Vektor ist ein skalares Vielfaches des roten Vektors. Im oberen Teil wird der Vektor verlängert, während seine Richtung beibehalten wird. Im unteren Teil wird der Vektor verkürzt und seine Richtung invertiert.

Das Bild teilt Dir geometrisch auch mit, wann Du bei zwei Vektoren in der Lage bist, einen Vektor als Linearkombination des anderen Vektors zu schreiben: genau dann, wenn sich die beiden Vektoren auf derselben Ursprungsgeraden befinden.

Abbildung 4: Links liegen die beiden Vektoren auf derselben Ursprungsgeraden. Du kannst daher einen der Vektoren als Linearkombination des anderen Vektors schreiben. Rechts hingegen ist das nicht der Fall.

Rechnerisch kannst Du das folgendermaßen feststellen: Du möchtest, dass die Gleichung

$\stackrel{\rightharpoonup }{u}=\hspace{0.17em}\alpha ·\stackrel{\rightharpoonup }{v}$

erfüllt ist. In Komponenten sieht die Gleichung so aus:

$\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\alpha ·v_1\\ \alpha ·v_2\end{array}\right)$

Die Komponenten von $\stackrel{\rightharpoonup }{u}$ unterscheiden sich also von denen von $\stackrel{\rightharpoonup }{v}$ nur um den gemeinsamen Faktor $\alpha$. Du brauchst daher nur durch die einzelnen Komponenten durchzugehen und zu untersuchen, ob Du einen solchen gemeinsamen Faktor finden kannst.

Damit ist der Fall für zwei Vektoren vollständig beschrieben. In der Tat gilt das nicht nur für Vektoren der Ebene, sondern für allgemeine Vektoren.

Vektoren der Ebene als Linearkombination darstellen – Drei Vektoren

Wenn Du drei Vektoren der Ebene gegeben hast, gibt es im Wesentlichen zwei Fälle:

• Einer oder mehrere der Vektoren ist der Nullvektor: Ist es nur einer, dann bist Du im Fall von zwei Vektoren (siehe vorherigen Abschnitt). Sind es hingegen mehrere, so bist Du effektiv bei einem oder keinem Vektor (siehe auch den vorherigen Hinweis). Dabei meint "effektiv", dass Du mit dem Nullvektor nichts zu einer Linearkombination beitragen kannst.

• Keiner der Vektoren ist der Nullvektor: In diesem Fall kannst Du mit Sicherheit mindestens einen der Vektoren als Linearkombination der anderen Vektoren schreiben. Liegen zusätzlich keine der drei Vektoren auf derselben Ursprungsgeraden, so kannst Du sogar jeden der Vektoren als Linearkombination der anderen beiden schreiben.

Bei drei Vektoren schaust Du Dir zwar wieder die einzelnen Komponenten an, aber Du musst etwas systematischer an die Sache rangehen, um möglichst schnell an eine Lösung zu kommen (oder festzustellen, dass es keine Lösung gibt).

Aber Lösung von was? Hier kommt ein konkretes Beispiel

Mit den beiden Vektoren $\stackrel{\rightharpoonup }{v}$ und $\stackrel{\rightharpoonup }{w}$ kannst Du nur Vektoren erreichen, die auf derselben Ursprungsgerade liegen (siehe Abbildung 6). Egal, mit welchen Skalaren Du diese beiden Vektoren multiplizierst, sie können ihre Ursprungsgerade nicht verlassen.

Der Fall für Vektoren in der Ebene ist damit erledigt. Und das unabhängig davon, ob das vielleicht sogar mehr als drei Vektoren sind. Jetzt kannst Du eine Stufe höher gehen.

Vektoren des Raums als Linearkombination darstellen – Drei Vektoren

Bei Vektoren im Raum beginnen wir direkt mit dem Fall, dass Du drei Vektoren gegeben hast. Bei zwei Vektoren gehst Du wie im vorherigen Abschnitt vor. Du musst nur eine Komponente mehr untersuchen.

Bei drei Vektoren im Raum erhältst Du wieder durch die Komponenten ein Gleichungssystem.

Wenn Du Dir Abbildung 7 sorgfältig ansiehst, erkennst Du, dass der Vektor $\stackrel{\rightharpoonup }{u}$ innerhalb der Ebene liegt, die von den beiden Vektoren $\stackrel{\rightharpoonup }{v}$ und $\stackrel{\rightharpoonup }{w}$ aufgespannt wird. Mit diesen beiden Vektoren kannst Du auch nur Vektoren erreichen, die innerhalb der von ihnen aufgespannten Ebene liegen. Würde der Vektor $\stackrel{\rightharpoonup }{u}$ etwa aus der Ebene hinauszeigen, hättest Du keine Linearkombination gefunden.

Vektoren des Raums als Linearkombination darstellen – Vier Vektoren

Sobald Du im Raum vier Vektoren (oder mehr) gegeben hast, lohnt es sich, das Gleichungssystem mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren zu lösen.

Bis zur Erstellung des Gleichungssystems gehst Du dabei genauso vor, wie bisher. Das Gleichungssystem selbst löst Du dann aber nicht mehr durch "bloßes Hinsehen".

Das war das letzte Beispiel zu Pfeilen als Vektoren (weitere findest Du dann weiter unten in Form von Aufgaben). Jetzt kommt der Sprung in etwas abstrakteres Territorium.

Konvexe Linearkombination

Die Skalare einer Linearkombinationen können an sich beliebig gewählt werden. Für bestimmte Wahlen gibt es konkrete Namen.

Wenn Du zwei Vektoren $\stackrel{\rightharpoonup }{u}$ und $\stackrel{\rightharpoonup }{v}$ gegeben hast und mit ihnen alle möglichen konvexen Linearkombinationen berechnest, wanderst Du bildlich gesprochen von der Spitze des einen Vektors auf direktem Wege zur Spitze des anderen Vektors (siehe Abbildung 8).

Abbildung 8: Entlang der Strecke in türkis liegen die Spitzen aller Vektoren, die Du durch konvexe Linearkombinationen der gegebenen Vektoren u und v erhältst. Die Vektoren u und v selbst kannst Du auch als konvexe Linearkombinationen auffassen.

Linearkombination von Funktionen

Damit auch bei Funktionen über Linearkombinationen gesprochen werden kann, müssen für Funktionen die Operationen der Vektoraddition und Skalarmultiplikation definiert werden.

Die Menge der Funktionen gemeinsam mit diesen beiden Operationen bildet einen Vektorraum. Du kannst also auch Funktionen als Vektoren bezeichnen. Und damit hast Du automatisch für Funktionen das Konzept der Linearkombination.

Wie bei den Pfeilen kannst Du auch bei den Funktionen für vorgegebene Funktionen eine Linearkombination aufstellen.

Linearkombination – Aufgaben

Bei der Linearkombination gibt es zwei Wege:

• Die "Vorwärtsrichtung": Hier hast Du die Vektoren und Skalare gegeben und musst die entsprechende Linearkombination berechnen.

• Die "Rückwärtsrichtung": Hier hast Du Vektoren gegeben und Dein Ziel ist es, einen der Vektoren als Linearkombination der anderen Vektoren zu schreiben. Dazu suchst Du die entsprechenden Skalare.

Die folgenden zwei Aufgaben spiegeln diese beiden Wege wider.