Lineare Funktionen

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Maria und Thomas arbeiten beide als Bedienung in einem Restaurant. Da zurzeit viel los ist, müssen sie viele Überstunden machen. Maria verdient mit $17$ Überstunden $1766 €$ brutto, während Thomas mit nur $13$ Überstunden $1750 €$ brutto verdient. Wie Du jetzt das Grundgehalt für die Überstundenpauschale anhand einer linearen Funktion berechnest, erfährst Du in dieser Erklärung.

Lineare Funktion – Grundlagenwissen

Eine lineare Funktion ist eine ganzrationale Funktion ersten Grades.

Eine lineare Funktion ist eine ganzrationale Funktion in der Form $f (x) = m x + t$ mit $D_{f} = ℝ$ .

Dabei stellt m die Steigung der Gerade und t den y-Achsenabschnitt dar.

An dieser Stelle wurde der Parameter t verwendet, es kann aber auch ein andere Parameter verwendet werden, zum Beispiel b oder d.

Der zugehörige Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.

Eine Gerade ist ein Funktionstyp, der keine Streckung oder Stauchung hat und somit, wie der Name schon sagt, gerade durch das Koordinatensystem verläuft.

Hier siehst Du den Graphen einer linearen Funktion $f (x) = x$ , der durch den Ursprung verläuft:

Lineare Funktion Ursprungsgerade StudySmarter Abbildung 1: Ursprungsgerade

Eine Gerade, die durch den Ursprung verläuft, wird auch Ursprungsgerade genannt

Lineare Funktionen – Eigenschaften

Zu den Eigenschaften einer linearen Funktion gehört die Steigung, die Nullstelle und der y-Achsenabschnitt.

Je nachdem, welche Ausprägungen dieser Eigenschaften eine lineare Funktion aufweist, hat sie unter Umständen einen eigenen Namen. Einige besondere lineare Funktionen sind:

Ursprungsgerade
Konstante Funktionen
Betragsfunktion
Tangente
Sekante
Passante
Normale

Zu allen genannten Funktionen findest Du eine eigene Erklärung.

Und wie werden diese drei Eigenschaften berechnet?

Steigung einer linearen Funktion

Die Steigung der Geraden kannst Du auf drei verschiedene Arten berechnen:

Formel	Beschreibung
$m = \tan (α)$	Winkel, den die Gerade mit der x-Achse einschließt.
$m = \frac{Δ_{y}}{Δ_{x}}$	$\frac{Δ_{y}}{Δ_{x}}$ ist das Verhältnis der senkrechten zur waagrechten Kathete des Steigungsdreiecks.
$m = \frac{y_{Q} - y_{P}}{x_{Q} - x_{P}}$	Formel zur Berechnung der Steigung mithilfe der beiden Punkte $P (x_{P} \| y_{P})$ und $Q (x_{Q} \| y_{Q})$ , die in die Formel eingesetzt werden.

Lineare Funktion Steigungsdreieck StudySmarter Abbildung 2: Steigungsdreieck

Aufgabe 1

Berechne die Steigung der Gerade von $f (x) = \frac{1}{2} x$ mithilfe einer beliebigen Formel.

Lösung

1. Möglichkeit: Berechnung mittels Punkten

Zuerst suchst Du Dir zwei Punkte auf der Gerade aus, in dem Du einen x-Wert nimmst und ihn in die Ausgangsfunktion $f (x)$ einsetzt.

Die ausgewählten x-Werte sind $x_{1} = - 2$ und $x_{2} = 6$ .

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot (- 2) = - 1 f (6) = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$

Die zugehörigen y-Werte sind $y_{1} = - 1$ und $y_{2} = 3$ , was Dich zu den Punkten $P (- 2 | - 1)$ und $Q (6 | 3)$ führt. An dieser Stelle kannst Du die Formel zur Steigung verwenden, in die die Punkte P und Q eingesetzt werden müssen.

$\begin{array}{rcl} m & = & \frac{y_{Q} - y_{P}}{x_{Q} - x_{P}} = \frac{3 - (- 1)}{6 - (- 2)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \end{array}$

Die Steigung der Funktion $f (x)$ liegt bei $m = \frac{1}{2}$ .

2. Möglichkeit: Berechnung mittels Steigungsdreieck

Die zweite Variante ist, dass Du die senkrechte und waagerechte Kathete des Steigübungsdreiecks nimmst uns sie in die Formel einsetzt.

Die Katheten sind $Δ_{y} = 2 LE$ und $Δ_{x} = 4 LE$ .

$\begin{array}{rcl} m & = & \frac{Δ_{y}}{Δ_{x}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \end{array}$

Auch bei dieser Richtung findest Du heraus, dass die Steigung bei $m = \frac{1}{2}$ liegt.

Lineare Funktion Berechnung der Steigung m StudySmarter Abbildung 3: Berechnung der Steigung m

Nullstelle einer linearen Funktion

Auch die Nullstelle einer Gerade kann berechnet werden.

Eine Nullstelle ist der Schnittpunkt einer Funktion mit der x-Achse.

Berechnung einer Nullstelle einer linearen Funktion $f (x)$ :

Zuerst setzt Du $f (x)$ gleich 0.
Danach stellst Du die Gleichung nach x um.
Somit hast Du die x-Werte der Nullstelle und musst diese noch in einen Punkt umformen.

Aufgabe 2

Berechne die Nullstelle der Gerade von $f (x) = 2 x - 4$ .

Lösung

Zuerst setzt Du $f (x)$ gleich 0

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 0 \\ 2 x - 4 & = & 0 \end{array}$

Als Nächstes löst Du die Funktion nach x auf.

$\begin{array}{rcl} 2 x - 4 & = & 0 \begin{matrix} | + 4 \end{matrix} \\ 2 x & = & 4 \begin{matrix} | : 2 \end{matrix} \\ x & = & 2 \end{array}$

Damit liegt die Nullstelle dieser linearen Funktion bei $x = 2$ .

Nun wandelst Du die Nullstelle bei $x = 2$ in einen Punkt P um.

$P (2 | 0)$

Die Nullstelle der Funktion $f (x)$ ist $P (2 | 0)$ .

Nullstelle Nullstelle einer Gerade StudySmarter Abbildung 4: Nullstelle einer Gerade

y-Achsenabschnitte einer linearen Funktion

Den Y-Achsenabschnitt einer Gerade $f (x)$ kann, genauso wie die Steigung, berechnet werden.

Der y-Achsenabschnitt ist der Schnittpunkt der linearen Funktion mit der y-Achse. Hat die lineare Funktion die Form $y = m x + t$ , so ist der y-Achsenabschnitt das t.

Das heißt, den y-Achsenabschnitt kannst Du ablesen.

Wenn Du die Nullstellen und den y-Achsenabschnitt besser verstehen willst, dann schau doch mal im Artikel "Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen" vorbei.

Aufgabe 3

Bestimme den y-Achsenabschnitt der Funktion $f (x)$ .

$f (x) = 2 x + 4$

Lösung

Du liest den y-Achsenabschnitt der Funktion $f (x)$ ab. Der y-Achsenabschnitt ist der Parameter t in der Funktion $f (x)$ .

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & m x + t \\ f (x) & = & 2 x + 4 \end{array}$

Der y-Achsenabschnitt der Funktion $f (x)$ ist an dem y-Wert $t = 4$ . Zuletzt muss der y-Wert in einen Punkt umgewandelt werden.

$P (0 | 4)$

Somit liegt der y-Achsenabschnitt liegt bei $P (0 | 4)$ .

Der y-Achsenabschnitt kann, wie bei jeder anderen ganzrationalen Funktion auch berechnet werden, in dem die Zahl 0 in die Funktion eingesetzt und die Funktionsgleichung bis zum Ende berechnet wird. Der y-Wert wird dann nur noch in einen Punkt P umgeformt.

Lineare Funktion y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion StudySmarter Abbildung 5: Y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion

Berechnen des Schnittpunkts zweier linearer Funktionen

Den Schnittpunkt zweier linearer Funktionen $f (x)$ und $g (x)$ berechnest Du folgendermaßen:

Gleichsetzen der beiden Funktionen $f (x)$ und $g (x)$ .
Die Gleichung nach x auflösen.
x in die Ausgangsfunktionen $f (x)$ und $g (x)$ einsetzen und y ausrechnen.
Der Punkt ist der x-Wert und der y-Wert.

Auch zum Schnittpunkt zweier Geraden gibt es eine eigene Erklärung.

Aufgabe 4

Berechne den Schnittpunkt der Funktionen $f (x)$ und $g (x)$ .

$f (x) = 3 x; g (x) = 2 x - 9$

Lösung

Zuerst werden die Funktionen $f (x)$ und $g (x)$ gleichgestellt. Danach musst Du die Gleichung nach x umstellen.

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} f (x) = g (x) & | - 2 x \\ 3 x = 2 x - 9 \\ 3 x - 2 x = - 9 \\ x = - 9 \end{matrix} \end{array}$

Durch das Gleichstellen beider Funktionen erhältst Du den x-Wert, bei dem sich beide Geraden $f (x)$ und $g (x)$ schneiden. Um den genauen Schnittpunkt zu ermitteln, musst Du aber noch den y-Wert ausrechnen.

Dafür setzt Du den x-Wert -9 in die Ausgangsfunktion $f (x)$ ein und multiplizierst sie aus.

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 3 x \\ f (- 9) & = & 3 \cdot (- 9) = - 27 \end{array}$

Der Schnittpunkt der Geraden $f (x)$ und $g (x)$ ist der Punkt $P (- 9 | - 27)$ .

Um das Ergebnis zu überprüfen, setzt Du den x-Wert auch noch in die andere Funktion ein. In diesem Fall $g (x)$ .Das wird auch Punktprobe genannt.

$\begin{array}{ccl} g (x) & = & 2 x - 9 \\ g (- 9) & = & 2 \cdot - 9 - 9 = - 27 \end{array}$

Auch hier ist der ermittelte Schnittpunkt der Geraden $P (- 9 | - 27)$ . Somit ist sicher, dass dieser Punkt P der Schnittpunkt der Geraden $g (x)$ und $f (x)$ ist.

lineare Funktion Schnittpunkte zweier linearer Funktionen StudySmarter Abbildung 6: Schnittpunkte zweier linearer Funktionen

Lineare Funktion berechnen und zeichnen

Eine Geradengleichung $f (x)$ kann mithilfe zweier Punkte aufgestellt werden.

Zuerst werden die x- und y-Werte der gegebenen Punkte P und Q in die Formel zur Berechnung der Steigung eingesetzt.
Sobald Du die Steigung berechnet hast, musst Du diese in die rohe Form der linearen Funktion ( $f (x) = m x + t$ ) einsetzen.
In diese Funktion $f (x)$ setzt Du nun einen der beiden Punkte P und Q ein.
Nach dem Einsetzen stellst Du die Funktionsgleichung nach t um.
Der errechnete Wert ist der y-Achsenabschnitt, welchen Du nur noch in die Funktion einsetzen musst.
Die zusammengesetzte Funktion ist jetzt Deine Gerade $f (x)$ .

Mehr zur Berechnung findest Du im Artikel "Geradengleichung aufstellen".

Aufgabe 4

Stelle die Gleichung der Geraden $f (x)$ auf, die durch die Punkte $P (- 2 | 3)$ und $Q (4 | - 7)$ verläuft.

Lösung

Zuerst setzt Du die beiden Punktkoordinaten in die Steigungsformel ein.

$\begin{array}{rcl} m & = & \frac{y_{Q} - y_{P}}{x_{Q} - x_{P}} = \frac{- 7 - 3}{4 - (- 2)} = - \frac{5}{3} \end{array}$

Dieser Wert wird jetzt in die Form der linearen Funktion eingesetzt, um den Y-Achsenabschnitt zu ermitteln.

$y = - \frac{3}{5} + t$

Um den Y-Achsenabschnitt zu ermitteln, wird jetzt der Punkt $P (3 | - 2)$ eingesetzt und nach t umgestellt.

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} 3 = - \frac{3}{5} \cdot (- 2) + t \\ 3 = \frac{10}{3} + t & | - \frac{10}{3} \\ - \frac{1}{3} = t \end{matrix} \end{array}$

Diese Werte werden jetzt in die Gerade $f (x)$ eingesetzt.

$f (x) = - \frac{5}{3} x - \frac{1}{3}$

Lineare Funktion Geradengleichung aufstellen StudySmarter Abbildung 7: Geradengleichung aufstellen

Textaufgabe

Bei dem Aufstellen einer linearen Funktion mithilfe einer Textaufgabe gehst Du so vor, wie beim Aufstellen einer Funktion, bei der die Punkte P gegeben sind. Du musst nur die Werte den Punkten zuordnen, um dann die Gerade mithilfe des Steigsdreiecks aufzustellen.

Eine Textaufgabe kann auch den x- und y-Wert in der Aufgabe enthalten. Dann kannst Du die Werte direkt in die Rohform der linearen Funktion $f (x)$ eintragen.

Wie sieht das denn in der Praxis aus?

Aufgabe 5

Maria und Thomas arbeiten beide als Bedienung in einem Restaurant. Da zurzeit viel los ist, müssen sie viele Überstunden machen. Maria verdient mit $17$ Überstunden $1766 €$ , während Thomas mit $13$ Überstunden $1750 €$ verdient. Beide werden nach demselben Stundenlohn bezahlt.

Berechne das Grundgehalt und die Überstundenpauschale.

Lösung

Zuerst wandelst Du die gegebenen Werte in zwei Punkte P und Q um.

$P (17 | 1700); Q (13 | 1750)$

Diese Punkte kannst Du nun in die Formel des Steigungsdreiecks einsetzen.

$\begin{array}{rcl} m & = & \frac{y_{Q} - y_{P}}{x_{Q} - x_{P}} = \frac{1750 - 1766}{13 - 17} = \frac{- 16}{- 4} = 4 \end{array}$

Die Steigung ist $m = 4$ . Somit erhältst Du folgende Gleichung:

$y = 4 x + t$

In diese Gleichung wird jetzt einer der beiden Punkte eingesetzt. An dieser Stelle ist es der Punkt P.

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} 1766 = 4 \cdot 17 + t \\ 1766 = 68 + t & | - 68 \\ 1698 = t \end{matrix} \end{array}$

Der y-Achsenabschnitt der Funktion liegt bei $t = 1698$ .

Die Werte werden zuletzt in die Rohform der linearen Funktion eingesetzt.

$f (x) = 4 x + 1698$

Das Grundgehalt liegt bei 1698 € und die Überstundenpauschale liegt bei 4 €.

Lineare Funktionen zeichnen

Eine lineare Funktion kannst Du ins Koordinatensystem zeichnen. Dazu kannst Du folgende Schritte befolgen:

Punkte berechnen mit Wertetabelle und y-Wert berechnen.
Wertetabelle anlegen und beliebige x-Werte in die Funktion einsetzen und die y-Werte ausrechnen.
Punkte einzeichnen.
Punkte verbinden.

Aufgabe 6

Zeichne die Funktion $f (x)$ ins Koordinatensystem ein.

$f (x) = - 4 x + 3$

Lösung

Zuerst erstellst Du eine Wertetabelle mit beliebigen x-Werten.

x_i	-1	0	2
f(x)

x_i sind die x-Werte und f(x) sind die zugehörigen y-Werte.

Diese x-Werte setzt Du jetzt in die Funktion ein und berechnest die zugehörigen y-Werte.

$f (x) = - 4 x + 3 f (- 1) = (- 4) \cdot (- 1) + 3 = 4 + 3 = 7$

Der zugehörige y-Wert zu $x_{1} = - 1$ ist $y_{1} = 7$ . Jetzt wird der Y-Achsenabschnitt berechnet.

$\begin{array}{rcl} f (0) & = & (- 4) \cdot 0 + 3 = 3 \end{array}$

Der Y-Achsenabschnitt ist bei $y_{2} = 3$ . Dann wird der y-Wert zu $x_{3} = 2$ berechnet.

$\begin{array}{rcl} f (2) & = & (- 4) \cdot 2 + 3 = (- 8) + 3 = - 5 \end{array}$

Der zugehörige y-Wert zu $x_{3} = 2$ ist $y_{3} = - 5$ . Diese y-Werte werden jetzt alle in die Wertetabelle eingesetzt.

x_i	-1	0	2
f(x)	7	3	-5

Diese Werte werden nun in Punkte umgewandelt, die dann ins Koordinatensystem eingezeichnet werden.

$P_{1} (- 1 | 7) P_{2} (0 | 3) P_{3} (2 | - 5)$

Lineare Funktion Lineare Funktion einzeichnen StudySmarter Abbildung 8: Lineare Funktion einzeichnen

Jetzt, wo Du die Punkte P₁, P₂ und P₃ eingezeichnet hast, musst Du diese nur noch verbinden.

Lineare Funktion Lineare Funktion einzeichnen StudySmarter Abbildung 9: Lineare Funktion einzeichnen

Was ist, wenn die berechneten Punkte nicht auf einer Linie liegen?

Nicht-lineare Funktionen

Dann kann es sein, dass Du Dich verrechnet hast. Aber eine weitere Möglichkeit ist, dass die Funktion keine lineare Funktion ist und aus dem Grund keine Gerade darstellt. Sie kann beispielsweise eine ganzrationale Funktion zweiten Grades oder höher sein.

Unter einer ganzrationalen Funktion $f (x)$ bzw. Polynomfunktion n-ten Grades versteht man eine reelle Funktion der Form:

$f (x) = a_{n} \cdot x^{n} + a_{n - 1} \cdot x^{n - 1} + . . . + a_{2} \cdot x^{2} + a_{1} \cdot x + a_{0}$

Eine nicht lineare Funktion ist niemals eine Gerade.

In dieser Abbildung siehst Du eine Funktion zweiten- ( $f (x)$ ), dritten- ( $g (x)$ ) und vierten Grades ( $h (x)$ ).

Lineare Funktionen nicht-lineare Funktionen StudySmarter Abbildung 10: nicht-lineare Funktionen

Es gibt auch noch gebrochenrationale Funktionen, Exponentialfunktionen, trigonometrische Funktionen, usw...

Jetzt hast Du gelernt, was eine lineare Funktion ist, wie sie gezeichnet, aufgestellt und berechnet wird. Dein Wissen kannst Du im nächsten Abschnitt noch mal prüfen.

Lineare Funktion – Übungsaufgaben

An dieser Stelle kannst Du diese Aufgaben rechnen, um Dein Wissen zu festigen.

Aufgabe 7

Berechne die Steigung der Funktion $f (x)$ mithilfe der Punkte $P (1 | 2, 5)$ und $Q (3 | - 4)$ .

Lösung

Setze die Punkte in die Formel zu Berechnung der Steigung ein.

$\begin{array}{rcl} m & = & \frac{y_{Q} - y_{P}}{x_{Q} - x_{P}} = \frac{(- 4) - 2, 5}{3 - 1} = - \frac{6, 5}{2} \end{array}$

Die Steigung der Funktion $f (x)$ liegt bei $m = - \frac{6, 5}{2}$ .

Aufgabe 8

Berechne die Nullstelle der Funktion $f (x)$ .

$f (x) = - \frac{1}{3} x + 6$

Lösung

Zuerst setzt Du die lineare Funktion gleich 0 und löst sie nach x auf.

$\begin{matrix} f (x) = 0 \\ - \frac{1}{3} x + 6 = 0 & | : (- \frac{1}{3}) \\ x - 18 = 0 & | + 18 \\ x = 18 \end{matrix}$

Der berechnete x-Wert ist $x = 18$ und dieser wird zuletzt noch in einen Punkt umgewandelt.

$P (18 | 0)$

Die Nullstelle liegt an dem Punkt $P (18 | 0)$ .

Aufgabe 9

Bestimmt den Y-Achsenabschnitt der Funktion $f (x)$ .

$f (x) = - 5 x - 6, 4$

Lösung

Der y-Achsenabschnitt kann abgelesen werden, wenn Du den Parameter t der Funktion $f (x)$ nimmst.

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & m x + t = - 5 x - 6, 4 \end{array}$

Der y-Achsenabschnitt liegt beim y-Wert $y = - 6, 4$ , welcher jetzt noch in den Punkt $P (0 | - 6, 4)$ umgewandelt wird.

Aufgabe 10

Stelle die Geradengleichung der Gerade $f (x)$ mithilfe der Punkte $P (- 3 | 5)$ und $Q (4 | 2)$ auf.

Lösung

Zuerst setzt Du die Werte der Punkte P und Q in die Formel zur Berechnung der Steigung m ein.

$\begin{array}{rcl} m & = & \frac{y_{Q} - y_{P}}{x_{Q} - x_{P}} = \frac{2 - 5}{4 - (- 3)} = - \frac{3}{7} \end{array}$

Die Steigung der Gerade $f (x)$ ist $m = - \frac{3}{7}$ . Dieser Wert wird jetzt in die Rohform der linearen Funktion eingesetzt.

$\begin{array}{rcl} y & = & m x + t = - \frac{3}{7} x + t \end{array}$

In diese Gerade wird jetzt einer der Punkte P oder Q eingesetzt und nach t umgestellt. In diesem Lösungsansatz wird der Punkt Q verwendet.

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} 2 = - \frac{3}{7} \cdot 4 + t \\ 2 = - \frac{12}{7} + t & | + \frac{12}{7} \\ t = \frac{26}{7} \end{matrix} \end{array}$

Der errechnete Y-Achsenabschnitt ist $t = \frac{26}{7}$ . Jetzt werden die Werte nur noch in die Funktion $f (x)$ eingetragen und Du hast die Funktionsgleichung berechnet.

$f (x) = - \frac{3}{7} x + \frac{26}{7}$

Aufgabe 11

Zeichne die Gerade $f (x) = - 3 x + 6$ .

Lösung

Zuerst berechnest Du zwei bis drei Punkte, die auf der Gerade liegen, in dem Du eine Wertetabelle erstellst, und die ausgewählten x-Werte in die Funktion einsetzt. Durch das Einsetzen der x-Werte in die Funktion erhältst Du die zugehörigen y-Werte.

$x_{i}$	-2	0	1
$f (x)$

Die x-Werte werden jetzt in die Ausgangsfunktion eingesetzt.

$f (x) = - 3 x + 6 f (- 2) = (- 3) \cdot (- 2) + 6 = 6 + 6 = 12$

Der zugehörige y-Wert zu $x_{1} = - 2$ ist $y_{1} = 12$ . Jetzt wird der Y-Achsenabschnitt berechnet.

$\begin{array}{rcl} f (0) & = & - 3 \cdot 0 + 6 = 6 \end{array}$

Der zugehörige y-Wert zu $x_{2} = 0$ ist $y_{2} = 6$ . Zuletzt wird der x-Wert 1 in die Funktion eingesetzt.

$\begin{array}{rcl} f (1) & = & (- 3) \cdot 1 + 6 = 3 \end{array}$

Der letzte y-Wert ist $y_{3} = 3$ , welcher zu dem x-Wert $x_{3} = 1$ gehört. Die Werte werden jetzt alle wieder in die Wertetabelle eingefügt.

$x_{i}$	-2	0	1
$f (x)$	12	6	3

Die Spalten werden jetzt in Punkte umgeformt.

$P_{1} (- 2 | 12) P_{2} (0 | 6) P_{3} (1 | 3)$

Diese Punkte P musst Du jetzt ins Koordinatensystem einzeichnen.

Lineare Funktion Gerade zeichnen StudySmarter Abbildung 11: Gerade zeichnen

Die Punkte müssen jetzt nur noch verbunden werden. Die Funktion $f (x)$ sieht gezeichnet folgendermaßen aus:

Lineare Funktion Gerade zeichnen StudySmarter Abbildung 12: Gerade zeichnen

Aufgabe 12

Infolge eines Virusausbruchs müssen viele Personen auf das Virus getestet werden. Anfangs stehen dazu 3000 Tests zur Verfügung und es werden täglich 800 hergestellt. Stelle eine Funktion für den Bestand an Tests auf.

Lösung

Zuerst musst Du definieren, was an dieser Stelle die Steigung m ist und welcher Wert der Y-Achsenabschnitt ist.

Dadurch, dass täglich 800 neue Tests hergestellt werden, muss die Zahl 800 die Steigung m sein.

Der Anfangsbestand liegt bei 3000 Test. Von diesem Punkt aus muss die Steigung starten, weshalb die 3000 der Y-Achsenabschnitt sein muss.

$m = 800 t = 3000$

Jetzt, wo Du beide Werte zuordnen konntest, musst Du die Werte nur noch in die Funktionsgleichung von $f (x) = m x + t$ einsetzen.

$f (x) = m x + t f (x) = 800 x + 3000$

Durch diese Zuordnung erhältst Du die Funktion $f (x) = 800 x + 3000$ .

Lineare Funktionen - Das Wichtigste

Eine lineare Funktion ist eine ganzrationale Funktion in der Form $f (x) = m x + t D_{f} = ℝ$ . Dabei ist m die Steigung der Gerade und t der y-Achsenabschnitt.

Der zugehörige Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.

Du kannst die Steigung der Geraden auf drei verschiedene Arten berechnen:
- $m = \tan (α)$
- $m = \frac{Δ_{y}}{Δ_{x}}$
- $m = \frac{y_{Q} - y_{P}}{x_{Q} - x_{P}}$

Geradengleichung der Funktion f(x)aufstellen:
1. Zuerst werden die x- und y-Werte der gegebenen Punkte P und Q in die Formel zur Berechnung der Steigung eingesetzt.
2. Sobald Du die Steigung berechnet hast, musst Du diese in die rohe Form der linearen Funktion ( $f (x) = m x + t$ ) einsetzen.
3. In diese Funktion $f (x)$ setzt Du nun einen der beiden Punkte P und Q ein.
4. Nach dem Einsetzen stellst Du die Funktionsgleichung nach t um.
5. Der errechnete Wert ist der y-Achsenabschnitt, welchen Du nur noch in die Funktion einsetzen musst.
6. Die zusammengesetzte Funktion ist jetzt Deine Gerade $f (x)$ .

Nachweise

Flotho (2021): Lineare Funktionen. Springer
Humenberger; Schupper (2019): Lineare Funktionen. Springer.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Lineare Funktionen

Zuerst werden die x- und y-Werte der gegebenen Punkte P und Q in die Formel zur Berechnung der Steigung eingesetzt.Sobald Du die Steigung berechnet hast, musst Du diese in die rohe Form der linearen Funktion (f(x)=mx+t) einsetzen. In diese Funktion setzt Du nun einen der beiden Punkte P und Q ein und formst die Gleichung nach t um. t wird zuletzt noch in die Funktion eingesetzt.

Eine lineare Funktion ist eine ganzrationale Funktion in der Form f(x)=mx+t. Dabei ist m die Steigung der Gerade und t der y-Achsenabschnitt

Eine lineare Funktion wird dadurch ausgezeichnet, dass sie gerade durchs Koordinatensystem verläuft. Deshalb wird eine lineare Funktion auch Gerade genannt. Eigenschaften einer linearen Funktion sind ihre Steigung, ihre Nullstelle und ihr y-Achsenabschnitt.

t ist der y-Achsenabschnitt und kann bei einer Funktion abgelesen werden, da die lineare Funktion in der Form f(x)=mx+t aufgebaut ist.

Finales Lineare Funktionen Quiz

Lineare Funktionen Quiz - Teste dein Wissen

Frage

Eine Fabrik hat am ersten Tag 150 Fahrräder auf Lager. Durch die Produktion können täglich 30 weitere hergestellt werden.

a. Bestimme die Funktion für den Lagerbestand abhängig von x=Tage

b. wie verändert sich diese Funkktion wenn die tägliche Produktion auf 60 Fahrräder verdoppelt werden kann

c. Zeichne die beiden Funktionen in ein Diagramm

Antwort anzeigen

Antwort

a. f(x) = 150 + 30*x

b. f(x) = 150 + 60*x

c. (siehe Lösungsweg)

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Frage

Fabrik 1 kann pro Tag 25 Sonnenschirme produzieren. Zu Beginn ist das Lager jedoch bereits mit 500 Schirmen befüllt. Fabrik 2 kann durch bessere Maschinen 75 Sonnenschirme pro Tag herstellen, hat jedoch zu Beginn ein leeres Lager.

a. Stelle eine Funktion für den Lagerbestand von Fabrik 1 abhängig von den Tagen auf.

b. Stelle eine Funktion für den Lagerbestand von Fabrik 2 abhängig von den Tagen auf.

c. Nach wie vielen Tagen sind die beiden Lager mit gleich vielen Sonnenschirmen gefüllt und wie viele sind das?

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Antwort

a. f(x) = 500 + 25*x

b. f(x) = 75*x

c. x=10 (10 Tage)

750 Sonnenschirme

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Frage

Die Firma 1 kann täglich 10 Fahrzeuge produzieren. Zu Beginn ist das Lager bereits mit 100 Fahrzeugen befüllt. Firma 2 kann durch neuere Maschinen 14 Fahrzeuge täglich produzieren hat zum beginn jedoch auch nur halb so viele Fahrzeuge auf Lager.

a. Stelle eine Funktion für den Lagerbestand von Firma 1 auf

b. Stelle eine Funktion für den Lagerbestand von Firma 1 auf

c. hat Firma 2 nach 10 Tagen Produktion bereits einen höheren Lagerbestand als Firma 1 erreicht?

d. nach wie vielen Tagen sind die Lagerbestände der beiden Firmen gleich groß?

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Antwort

a. f1(x) = 100 + 10*x

b. f2(x) = 50 + 14*x

c. NEIN - f1(10) > f2(10)

d. x = 12,5 (12,5 Tage)

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Frage

Die Bevölkerung in Stadt 1 beträgt zu Anfang 2 Millionen. Jährlich ziehen 75000 Personen aus der Stadt weg . Die Bevölkerung von Stadt 2 wächst jährlich um 75000 Personen. Zu Beginn ist die Bevölkerung jedoch nur 1/4 so groß wie in Stadt 1.

a. Stelle eine Funktion für die Bevölkerungszahl von Stadt 1 auf

b. Stelle eine Funktion für die Bevölkerungszahl von Stadt 2 auf

c. Nach wie vielen Jahren sind die Städte gleich groß?

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Antwort

a. f1(x) = 2.000.000 - 75.000*x

b. f2(x) = 500.000 + 75.000*x

c. x = 10 (nach 10 Jahren)

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Frage

Ein Fahrradhändler hat 150 Fahrräder in seinem Lager. Täglich verkauft er 7 davon. Nur einmal im Monat (nach 30 Tagen) werden neue 150 Fahrräder geliefert.

a. Stelle eine Funktion für den Lagerbestand an Fahrrädern auf

b. Reicht der Lagerbestand bis zur nächsten Lieferung nach 30 Tagen?

c. Nach wie vielen Tagen hat der Verkäufer keine Fahrräder mehr im Lager?

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Antwort

a. f(x) = 150 - 7*x

b. NEIN -> f(30) = -60 (zu geringer Lagerbestand)

c. x = 21,4 -> am 22. Tag wird das letzte Fahrrad verkauft

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Frage

Anna und Peter wollen Geld anlegen. Anna hat bereits am Anfang 500€ und kann jeden Monat weitere 50€ ansparen. Peter hingegen hat zu beginn nur 300€ kann jedoch monatlich ganze 70€ ansparen.

a. Stelle eine Funktion für den Betrag auf Annas Konto auf

b. Stelle eine Funktion für den Betrag auf Peters Konto auf

c. nach wie vielen Monaten haben Anna und Peter gleich viel Geld auf ihren Konten und wie viel ist das dann?

Antwort anzeigen

Antwort

a. f1(x) = 500 + 50*x

b. f2(x) = 300 + 70*x

c. x = 10 (nach 10 Monaten)

f(10) = 1000€

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Ein Elektrofachgeschäft hat zu Beginn des Monats 300 Fernsehgeräte auf Lager. Täglich werden 25 Geräte an Kunden verkauft.

a. Stelle eine Funktion für den Bestand an Fernsehgeräten auf

b. Nach wie vielen Tagen ist der komplette Bestand verkauft?

c. Nach wie vielen Tagen muss spätestens eine neue Lieferung ankommen, wenn der Lagerbestand nie unter 50 Fernsehgeräte fallen soll?

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Antwort

a. f(x) = 300 - 25*x

b. x = 12 (nach 12 Tagen)

c. x = 10 (spätestens nach 10 Tagen müssen neue Geräte geliefert werden)

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Durch die Neueröffnung einer großen Industriegebiets erleben zwei Städte ein starkes Bevölkerungswachstum. In die zu Beginn größere Stadt 1 mit anfänglich 100.000 Einwohnern ziehen jeden Monat weitere 1500 Personen.

In Stadt 2 ziehen monatlich sogar ganze 1750 Personen. Zu Beginn wohnen dort jedoch nur 75000 Personen.

a. Stelle eine Funktion für die Einwohnerzahl von Stadt 1 auf

b. Stelle eine Funktion für die Einwohnerzahl von Stadt 2 auf

c. Wird Stadt 2 innerhalb der ersten 5 Jahre bereits größer als Stadt 1?

d. Nach welcher Zeit sind die beiden Städte genau gleich groß?

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Antwort

a. f1(x) = 100000 + 1500*x

b. f2(x) = 75000 + 1750*x

c. NEIN -> f1(60) = 190.000

f2(60) = 180.000

d. x = 100 (8 Jahre und 4 Monate)

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Eine Firma überlegt zur Produktion von Fußbällen eine neue Maschine für 20.000€ zu kaufen. Dadurch könnten die Stückkosten von aktuell 0,75€ auf nur noch 50 cent gesenkt werden. Die aktuelle Maschine ist bereits abgeschrieben.

a. Stelle eine Kostenfunktion für die neue Maschine auf in der du Stückkosten und Anschaffungskosten berücksichtigst

b. Stelle eine Kostenfunktion für die "alte" Maschine auf

c. Wie groß muss die Produktionsmenge mindestens sein, damit sich die Anschaffung der neuen Maschine lohnt

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a. f1(x) = 20.000 + 0,5*x

b. f2(x) = 0,75*x

c. x= 80.000 (mindestens 80.000 Fußbälle)

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Ein Automobilhersteller verkauft pro Monat 12.000 Fahrzeuge. Da aktuell keine Produktion möglich ist, kommen alle Fahrzeuge aus dem Lager. Zu Beginn befinden sich im Lager 100.000 Fahrzeuge.

a. Stelle eine Funktion für den Lagerbestand auf

b. Wie viele Fahrzeuge befinden sich nach 6 Monaten noch im Lager?

c. Nach wie vielen Monaten muss die Produktion spätestens wieder starten, damit nie weniger als 15.000 Fahrzeuge im Lager sind.

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a. f(x) = 100.00 - 12.000*x

b. f(6) = 28.000

c. f(x) = 15.000

x = 7,08 (spätestens nach knapp über 7 Monaten)

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Eine Stadt verfügt über 15.000 Wohnungen. Im Zuge eines Projektes sollen jährlich weitere 1.000 Wohnungen gebaut werden. Es wird davon ausgegangen, dass in jeder Wohnung 4 Personen leben können.

a. Stelle eine Funktion für den Wohnungsbestand in der Stadt auf

b. Nach wie vielen Jahren verfügt die Stadt über ausreichend Wohnungen für 100.000 Menschen?

c. Wie viele Menschen können nach 22 Jahren in der Stadt wohnen?

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a. f(x) = 15.000 + 1.000*x

b. 100.000 / 4 = 25.000 Wohnungen

f(x) = 25.000

x = 10 (nach 10 Jahren)

c. f(22) = 37.000 Wohnungen

37.000 * 4 = 148.000 Menschen

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Welche Form hat eine Funktionsgleichung?

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Antwort

Eine lineare Funktion hat die Funktionsgleichung

y = mx + t.

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Welche Bedeutung haben m und t bei einer linearen Funktion?

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Die Steigung ist m
t heißt y-Achsenabschnitt

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Was gibt die Steigung bei einer linearen Funktion an?

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Antwort

Die Steigung m gibt an, ob die Gerade steigt oder fällt.

Für m > 0 steigt die Gerade von links nach rechts.
Für m = 0 ist die Gerade eine Parallele zur x-Achse
Für m < 0 fällt die Gerade von links nach rechts.

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Was gibt der y-Achsenabschnitt bei linearen Funktionen an?

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Antwort

Der y-Achsenabschnitt t besagt, dass die Gerade die y-Achse bei y = t schneidet.

Für t > 0 schneidet die Gerade die positive y-Achse
Für t = 0 verläuft die Gerade durch den Koordinatenursprung.
Für t < 0 schneidet die Gerade die negative y-Achse.

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Was hilft beim Zeichnen einer linearen Funktion?

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Eine Wertetabelle oder ein Steigungsdreieck

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Welche Fälle unterscheidet man für die Graphen von zwei linearen Funktionen?

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Die beiden Geraden schneiden sich in einem Schnittpunkt S.
Die beiden Geraden sind parallel, haben also keinen gemein- samen Punkt
Die beiden Geraden fallen zusammen, haben also unendlich viele gemeinsame Punkte.

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Wie kann eine proportionale Zuordnung zwischen zwei Größen dargestellt werden?

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mithilfe von Pfeildiagrammen
in einer Wertetabelle; die Wertepaare sind dabei jeweils quotientengleich
in einem Schaubild; der Graph ist dabei eine Halbgerade, die im Ursprung beginnt.

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Was ist eine Funktion?

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Eine Zuordnung, bei der jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet wird, heißt Funktion

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Was ist eine lineare Funktion?

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Lineare Funktionen sind besondere Funktionen, die sich als Gleichung der Form y = mx + t bzw. f(x) = mx + t darstellen lassen.

Für m und t können beliebige, aber feste Werte eingesetzt werden.

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Welcher Punkt liegt auf der Geraden y = 4x – 5?

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Antwort

A (-3,5 I -17)

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Wie kann man die Steigung einer linearen Funktion berechnen?

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m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

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Wie erhält man den Schnittpunkt einer linearen Funktion mit der x-Achse?

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Antwort

Den Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse erhält man, wenn man für y den Wert 0 einsetzt. Die x-Koordinate des Punktes heißt Nullstelle.

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Wie erhält man den Schnittpunkt einer linearen Funktion mit der y-Achse?

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Der y-Achsenabschnitt ist durch t vorgegeben. Der Schnittpunkt hat die Koordinaten (0 | t).

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Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden, die durch t = 0,5 und P(4 | 1) gegeben ist.

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1 = m * 4 + 0,5
0,5 = 4 m

m = 0,125

y = 0,125x + 0,5

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Gib die Schnittpunkte mit den Achsen an.

y = x – 1

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Schnittpunkt y-Achse (0 I -1)

Nullstelle: 0 = x - 1

x = 1
N ( I 0)

Die Schnittpunkte mit der y-Achse (x = 0) können direkt der Funktionsgleichung entnommen werden. Die Schnittpunkte mit der x-Achse (y = 0, Nullstellen) musst du berechnen.

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Gib die Schnittpunkte mit den Achsen an.

y = -4x + 0,5

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Schnittpunkt y-Achse S ( 0 I 0,5)

Nullstelle:

0 = -4x + 0,5
4x = 0,5
x = 0,125

N (0,125 I 0)

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Gib die Schnittpunkte mit den Achsen an.

y = 1/4x + 5

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Schnittpunkt y-Achse S(0I5)

Nullstelle
0 = 1/4x + 5
x = -20
N(-20 I 0)

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Gib die Funktionsgleichung einer Geraden an, die zu y = 3x – 4 parallel verläuft.

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Mögliche Lösungen:

y = 3x – 5 oder

y = 3x + 100

Die Steigung m muss 3 sein

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Wie können sich die Graphen zweier linearer Funktionen zueinander verhalten?

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Die Graphen zweier linearer Funktionen können parallel zueinander verlaufen oder sich schneiden.

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Bestimme den Schnittpunkt der Graphen zu den Funktionsgleichungen y = x + 1 und y = -1/2*x + 2,5 rechnerisch

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Die beiden y-Werte müssen gleich sein, setze also die beiden Funktionsgleichungen gleich und löse nach x auf.

x + 1 = -1/2*x + 2,5
1,5x = 1,5
x = 1

y = 1+1
y = 2

S(1I2)

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Gib die Funktionsgleichung der Geraden an, die auf y = 2x + 1 senkrecht steht und die y-Achse bei 5 schneidet

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Es muss gelten: m1 * m2 = -1

2 * m2 = -1
m2 = - 1/2
y2 = -1/2x + 5

Da die y-Achse bei 5 geschnitten wird, ist t = 5.

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Bestimme die Schnittpunkte folgender Geraden rechnerisch

y = 2x - 5
y = -x + 4

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2x - 5 = -x + 4

3x = 9
x = 3

y = 2*3 - 5
y = 1

S(3 I 1)

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Bestimme die Schnittpunkte folgender Geraden rechnerisch

y = 1,5x + 4
y = -x - 8

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Antwort

1,5x + 4 = -x - 8
2,5x = -12
x = -4,8

y = - (-4,8) - 8
y = -3,2

S(-4,8 I -3,2)

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Bestimme die Schnittpunkte folgender Geraden rechnerisch

2y - x = 3

x + 2y = 7

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Antwort

2y - x = 3
y = 1/2x + 1,5

x + 2y = 7
y = -1/2x + 3,5

1/2x + 1,5 = - 1/2x + 3,5

x = 2

1/2*2 + 1,5 = 2,5

S(2 I 2,5)

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Welche Funktionsgleichung hat eine Gerade, die parallel zu y = –2x – 4 verläuft und die y-Achse bei P(0 | 1) schneidet?

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y = –2x + 1

Die Steigung m = –2 bleibt erhalten. Der y-Achsenabschnitt t ist 1.

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Die Gerade g1 wird durch die Punkte P(–1 | 7) und Q(3 | –1) bestimmt.

Berechne den Schnittpunkt mit der x- und y-Achse

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Schnittpunkt mit der x-Achse

0 = -2x + 5
2x = 5
x = 2,5

N(2,5 I 0)

Schnittpunkt mit der y-Achse S(0 I 5)

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Die Gerade g1 wird durch die Punkte P(–1 | 7) und Q(3 | –1) bestimmt.

Eine zweite Gerade g2 steht senkrecht auf g1 und geht durch den Punkt R(1,5 | 4,5). Gib die Funktionsgleichung an.

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m1 * m2 = -1

-2 * m2 = -1

m2 = 0,5

m2 = 0,5 und R (1,5 I 4,5) in y = mx + t
4,5 = 0,5 * 1,5 + t

4,5 = 0,75 + t

t = 3,75

y = 0,5x + 3,75

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Infolge eines Virusausbruchs müssen 15000 Personen auf das Virus getestet werden. Anfangs stehen dazu 3000 Tests zur Verfügung und es werden täglich 800 hergestellt.

a. Stelle eine Funktion für den Bestand an Tests auf

b. Wie viele Tage dauert es bis Tests für alle zur Verfügung stehen?

c. Während den Tests verbreitet sich das Virus weiter. Täglich müssen weitere 300 Menschen auf das Virus getestet werden. Wie lange dauert es, bis es mehr Tests gibt als Menschen die getestet werden müssen?

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Antwort

a. f1(x) = 3000 + 800*x

b. Nach 15 Tagen sind genug Tests für alle Verdachtsfälle da

c. Nach 24 Tagen überholt die Produktion an Tests die Anzahl an Virusverdachtsfällen

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Eine Firma steht kurz vor dem Bankrott. Die Unterhaltungskosten der Firma belaufen sich auf 9000€ am Tag. Der Firma bleiben 700000€ Finanzreserven.

a. Stelle eine Funktion für die Finanzreserven der Firma auf

b. In 60 Tagen kann die Firma ein neues Produkt veröffentlichen. Kommt es auf den Markt bevor die Firma bankrott ist?

c. Das neue Produkt bringt täglich 15000€ ein. Wie lange dauert es ab Markteinführung, bis die Firma über Finanzreserven von über 1000000€ verfügt?

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Antwort

a. f1(x) = 700000 + (-9000*x)

b. Die Firma hat nach 60 Tagen noch 160000€ -> sie ist noch nicht bankrott

c. Nach 140 Tagen nach Markteinführung des Produkts verfügt die Firma über 1000000€ Finanzreserven

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Tom spart seit einiger Zeit auf ein neues Handy und hat bereits 88€ zusammen. Von seiner Mutter bekommt er dafür jede Woche 10€ Taschengeld, jedoch gibt er davon jeden Tag 0,5€ für Süßigkeiten aus.

a. Stelle eine Funktion für Toms Ersparnisse auf

b. Das Handy kostet 400€. Wie lange muss Tom noch sparen?

c. An wie vielen Tagen die Woche müsste Tom auf Süßigkeiten verzichten, damit er das Handy schon nach 39 Wochen kaufen kann?

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Antwort

a. f1(x) = 88 + 6,5*x

b. Tom muss 48 Wochen sparen bis er 400€ zusammen hat

c. Tom muss jede Woche 1,5€ mehr sparen, deshalb muss er 3 mal die Woche auf Süßigkeiten verzichten

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Auto 1 und Auto 2 liefern sich ein Rennen. Auto 1 fährt mit 50km/h, während Auto 2, aufgrund eines besseren Motors, 70km/h fährt. Das Rennen ist 350km lang.

a. Stelle eine Funktion für die Strecke Auto 1 und 2 zurückgelegt haben auf.

b. Wie lange brauchen Auto 1 und 2 bis zum Ziel?

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Antwort

a. Auto 1: f1(x) = 0 + 50*x

Auto 2: f2(x) = 0 + 70*x

b. Auto 1 braucht 7h für das Rennen, während Auto 2 nur 5h braucht.

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Ein Löschwasserteich fasst insgesamt 7500 Liter Wasser. Infolge eines Brandes wird mit drei Schläuchen insgesamt 60 Liter Wasser pro Minute (jeder Schlauch 20 Liter) aus dem Teich gesaugt.

a. Bestimme die Funktion für den Wasserstand des Teiches

b. Wie lange kann mit dem Löschwasserteich gelöscht werden, bis das Wasser aufgebraucht ist?

c. Wie verändert sich die Funktion, wenn ein Schlauch weggenommen wird? Und wie lange dauert es dann, bis der Teich leer ist?

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a. f(x) = 7500 + (-60)*x

b. Mit 7500 Liter Wasser kann 125 Minuten gelöscht werden.

c. f(x) = 7500 - 40*x

Mit nur 2 Schläuchen verlängert sich die Zeit, bis der Tank leer ist, auf 187,5 Minuten

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Thomas muss sein Auto tanken. Sein Tank fasst 30 Liter und der Preis bei der Tankstelle um die Ecke für einen Liter Benzin liegt bei 1,20€. Durch einen Umweg von 25 Kilometern könnte er zu einer Tankstelle fahren bei der der Sprit nur 1,15€ kostet.

a. Sein Auto hat einen Spritverbrauch von 5 Litern auf 100 Kilometer. Weit weit würde Thomas mit einem vollem Tank fahren können?

b. Thomas hat noch 3 Liter in seinem Tank. Lohnt sich der Umweg zu der billigeren Tankstelle?

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a. Thomas kann mit vollem Tank 600 Kilometer weit fahren.

b. Ja der Umweg würde sich finanziell lohnen

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TEST

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TEST

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Welche Eigenschaften hat die Ursprungsgerade?

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Antwort

Sie ist parabelförmig

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Welche von den folgenden stellen Ursprungsgeraden dar?

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Antwort

Winkelhalbierende des Koordinatensystems

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Sind alle Ursprungsgeraden lineare Funktionen?

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Antwort

Nein, da die Senkrechte auf der y-Achse keine Funktion darstellt.

(Merke: Eine Funktion hat für jeden x-Wert nur einen y-Wert!)

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Welche Ursprungsgerade wird bei der Bildung von Umkehrfunktionen als Spiegelachse verwendet?

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Antwort

Die Winkelhalbierende y = - x

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Wie sieht die Umkehrfunktion von der Winkelhalbierenden aus?

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Antwort

Beim Bilden von Umkehrfunktionen stellt die Winkelhalbierende die Spiegelachse dar. Außerdem sind die x-und y-Werte identisch. Aus diesen Gründen wird sich die Winkelhalbierende nicht verändern.

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Lineare Funktionen

Wie berechne ich eine Geradengleichung einer linearen Funktion?

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Wie berechnest Du t bei einer linearen Funktion?

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