Lineare Funktionen

Maria und Thomas arbeiten beide als Bedienung in einem Restaurant. Da zurzeit viel los ist, müssen sie viele Überstunden machen. Maria verdient mit 17 Überstunden 1766  brutto, während Thomas mit nur 13 Überstunden 1750  brutto verdient. Wie Du jetzt das Grundgehalt für die Überstundenpauschale anhand einer linearen Funktion berechnest, erfährst Du in dieser Erklärung.

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Lineare Funktion – Grundlagenwissen

    Eine lineare Funktion ist eine ganzrationale Funktion ersten Grades.

    Eine lineare Funktion ist eine ganzrationale Funktion in der Form f(x) = mx+t mit Df = .

    Dabei stellt m die Steigung der Gerade und t den y-Achsenabschnitt dar.


    An dieser Stelle wurde der Parameter t verwendet, es kann aber auch ein andere Parameter verwendet werden, zum Beispiel b oder d.

    Der zugehörige Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.

    Eine Gerade ist ein Funktionstyp, der keine Streckung oder Stauchung hat und somit, wie der Name schon sagt, gerade durch das Koordinatensystem verläuft.

    Hier siehst Du den Graphen einer linearen Funktion f(x)=x , der durch den Ursprung verläuft:

    Lineare Funktion Ursprungsgerade StudySmarter Abbildung 1: Ursprungsgerade

    Eine Gerade, die durch den Ursprung verläuft, wird auch Ursprungsgerade genannt

    Lineare Funktionen – Eigenschaften

    Zu den Eigenschaften einer linearen Funktion gehört die Steigung, die Nullstelle und der y-Achsenabschnitt.

    Je nachdem, welche Ausprägungen dieser Eigenschaften eine lineare Funktion aufweist, hat sie unter Umständen einen eigenen Namen. Einige besondere lineare Funktionen sind:

    • Ursprungsgerade
    • Konstante Funktionen
    • Betragsfunktion
    • Tangente
    • Sekante
    • Passante
    • Normale

    Zu allen genannten Funktionen findest Du eine eigene Erklärung.

    Und wie werden diese drei Eigenschaften berechnet?

    Steigung einer linearen Funktion

    Die Steigung der Geraden kannst Du auf drei verschiedene Arten berechnen:

    FormelBeschreibung
    m = tan(α)Winkel, den die Gerade mit der x-Achse einschließt.
    m = ΔyΔxΔyΔx ist das Verhältnis der senkrechten zur waagrechten Kathete des Steigungsdreiecks.
    m = yQ-yPxQ-xPFormel zur Berechnung der Steigung mithilfe der beiden Punkte PxP|yP und QxQ|yQ, die in die Formel eingesetzt werden.

    Lineare Funktion Steigungsdreieck StudySmarterAbbildung 2: Steigungsdreieck

    Aufgabe 1

    Berechne die Steigung der Gerade von f(x) = 12x mithilfe einer beliebigen Formel.

    Lösung

    1. Möglichkeit: Berechnung mittels Punkten

    Zuerst suchst Du Dir zwei Punkte auf der Gerade aus, in dem Du einen x-Wert nimmst und ihn in die Ausgangsfunktion f(x) einsetzt.

    Die ausgewählten x-Werte sind x1=-2 und x2=6.

    f(-2) = 12·-2 = -1f(6) = 12·6 = 3

    Die zugehörigen y-Werte sind y1=-1 und y2=3, was Dich zu den Punkten P(-2|-1) und Q(6|3) führt. An dieser Stelle kannst Du die Formel zur Steigung verwenden, in die die Punkte P und Q eingesetzt werden müssen.

    m = yQ-yPxQ-xP = 3-(-1)6-(-2) = 48 = 12

    Die Steigung der Funktion f(x) liegt bei m=12.

    2. Möglichkeit: Berechnung mittels Steigungsdreieck

    Die zweite Variante ist, dass Du die senkrechte und waagerechte Kathete des Steigübungsdreiecks nimmst uns sie in die Formel einsetzt.

    Die Katheten sind Δy=2 LE und Δx=4 LE .

    m = ΔyΔx = 24 = 12

    Auch bei dieser Richtung findest Du heraus, dass die Steigung bei m=12 liegt.

    Lineare Funktion Berechnung der Steigung m StudySmarterAbbildung 3: Berechnung der Steigung m

    Nullstelle einer linearen Funktion

    Auch die Nullstelle einer Gerade kann berechnet werden.

    Eine Nullstelle ist der Schnittpunkt einer Funktion mit der x-Achse.

    Berechnung einer Nullstelle einer linearen Funktion f(x):

    1. Zuerst setzt Du f(x) gleich 0.

    2. Danach stellst Du die Gleichung nach x um.

    3. Somit hast Du die x-Werte der Nullstelle und musst diese noch in einen Punkt umformen.

    Aufgabe 2

    Berechne die Nullstelle der Gerade von f(x) = 2x-4.

    Lösung

    Zuerst setzt Du f(x) gleich 0

    f(x) = 02x-4 = 0

    Als Nächstes löst Du die Funktion nach x auf.

    2x-4 = 0|+42x = 4|:2x = 2

    Damit liegt die Nullstelle dieser linearen Funktion bei x=2.

    Nun wandelst Du die Nullstelle bei x=2 in einen Punkt P um.

    P(2|0)

    Die Nullstelle der Funktion f(x) ist P(2|0).

    Nullstelle Nullstelle einer Gerade StudySmarterAbbildung 4: Nullstelle einer Gerade

    y-Achsenabschnitte einer linearen Funktion

    Den Y-Achsenabschnitt einer Gerade f(x) kann, genauso wie die Steigung, berechnet werden.

    Der y-Achsenabschnitt ist der Schnittpunkt der linearen Funktion mit der y-Achse. Hat die lineare Funktion die Form y = mx+t , so ist der y-Achsenabschnitt das t.

    Das heißt, den y-Achsenabschnitt kannst Du ablesen.


    Wenn Du die Nullstellen und den y-Achsenabschnitt besser verstehen willst, dann schau doch mal im Artikel "Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen" vorbei.

    Aufgabe 3

    Bestimme den y-Achsenabschnitt der Funktion f(x).

    f(x) = 2x+4

    Lösung

    Du liest den y-Achsenabschnitt der Funktion f(x) ab. Der y-Achsenabschnitt ist der Parameter t in der Funktionf(x).

    f(x) = mx+tf(x) = 2x+4

    Der y-Achsenabschnitt der Funktion f(x) ist an dem y-Wert t=4. Zuletzt muss der y-Wert in einen Punkt umgewandelt werden.

    P(0|4)

    Somit liegt der y-Achsenabschnitt liegt bei P(0|4).

    Der y-Achsenabschnitt kann, wie bei jeder anderen ganzrationalen Funktion auch berechnet werden, in dem die Zahl 0 in die Funktion eingesetzt und die Funktionsgleichung bis zum Ende berechnet wird. Der y-Wert wird dann nur noch in einen Punkt P umgeformt.

    Lineare Funktion y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion StudySmarterAbbildung 5: Y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion

    Berechnen des Schnittpunkts zweier linearer Funktionen

    Den Schnittpunkt zweier linearer Funktionen f(x) und g(x) berechnest Du folgendermaßen:

    1. Gleichsetzen der beiden Funktionenf(x) und g(x).
    2. Die Gleichung nach x auflösen.
    3. x in die Ausgangsfunktionen f(x) und g(x) einsetzen und y ausrechnen.
    4. Der Punkt ist der x-Wert und der y-Wert.

    Auch zum Schnittpunkt zweier Geraden gibt es eine eigene Erklärung.

    Aufgabe 4

    Berechne den Schnittpunkt der Funktionen f(x) und g(x).

    f(x)=3x ; g(x)=2x-9

    Lösung

    Zuerst werden die Funktionen f(x)und g(x)gleichgestellt. Danach musst Du die Gleichung nach x umstellen.

    f(x) = g(x)|-2x3x = 2x-93x-2x = -9x = -9

    Durch das Gleichstellen beider Funktionen erhältst Du den x-Wert, bei dem sich beide Geradenf(x) und g(x)schneiden. Um den genauen Schnittpunkt zu ermitteln, musst Du aber noch den y-Wert ausrechnen.

    Dafür setzt Du den x-Wert -9 in die Ausgangsfunktion f(x) ein und multiplizierst sie aus.

    f(x)=3xf(-9)=3·-9=-27

    Der Schnittpunkt der Geraden f(x) und g(x) ist der Punkt P(-9|-27).

    Um das Ergebnis zu überprüfen, setzt Du den x-Wert auch noch in die andere Funktion ein. In diesem Fall g(x).Das wird auch Punktprobe genannt.

    g(x)=2x-9g(-9)=2·-9-9=-27

    Auch hier ist der ermittelte Schnittpunkt der Geraden P(-9|-27). Somit ist sicher, dass dieser Punkt P der Schnittpunkt der Geraden g(x) und f(x) ist.

    lineare Funktion Schnittpunkte zweier linearer Funktionen StudySmarterAbbildung 6: Schnittpunkte zweier linearer Funktionen

    Lineare Funktion berechnen und zeichnen

    Eine Geradengleichung f(x) kann mithilfe zweier Punkte aufgestellt werden.

    1. Zuerst werden die x- und y-Werte der gegebenen Punkte P und Q in die Formel zur Berechnung der Steigung eingesetzt.
    2. Sobald Du die Steigung berechnet hast, musst Du diese in die rohe Form der linearen Funktion (f(x) = mx+t) einsetzen.
    3. In diese Funktionf(x) setzt Du nun einen der beiden Punkte P und Q ein.
    4. Nach dem Einsetzen stellst Du die Funktionsgleichung nach t um.
    5. Der errechnete Wert ist der y-Achsenabschnitt, welchen Du nur noch in die Funktion einsetzen musst.
    6. Die zusammengesetzte Funktion ist jetzt Deine Geradef(x).

    Mehr zur Berechnung findest Du im Artikel "Geradengleichung aufstellen".

    Aufgabe 4

    Stelle die Gleichung der Geraden f(x) auf, die durch die Punkte P(-2|3) und Q(4|-7) verläuft.

    Lösung

    Zuerst setzt Du die beiden Punktkoordinaten in die Steigungsformel ein.

    m = yQ-yPxQ-xP = -7-34-(-2) = -53

    Dieser Wert wird jetzt in die Form der linearen Funktion eingesetzt, um den Y-Achsenabschnitt zu ermitteln.

    y = -35+t

    Um den Y-Achsenabschnitt zu ermitteln, wird jetzt der Punkt P(3|-2) eingesetzt und nach t umgestellt.

    3 = -35·(-2)+t3 = 103+t|-103-13 = t

    Diese Werte werden jetzt in die Gerade f(x) eingesetzt.

    f(x) = -53x-13

    Lineare Funktion Geradengleichung aufstellen StudySmarterAbbildung 7: Geradengleichung aufstellen

    Textaufgabe

    Bei dem Aufstellen einer linearen Funktion mithilfe einer Textaufgabe gehst Du so vor, wie beim Aufstellen einer Funktion, bei der die Punkte P gegeben sind. Du musst nur die Werte den Punkten zuordnen, um dann die Gerade mithilfe des Steigsdreiecks aufzustellen.

    Eine Textaufgabe kann auch den x- und y-Wert in der Aufgabe enthalten. Dann kannst Du die Werte direkt in die Rohform der linearen Funktion f(x) eintragen.

    Wie sieht das denn in der Praxis aus?

    Aufgabe 5

    Maria und Thomas arbeiten beide als Bedienung in einem Restaurant. Da zurzeit viel los ist, müssen sie viele Überstunden machen. Maria verdient mit 17 Überstunden 1766 , während Thomas mit 13 Überstunden 1750 verdient. Beide werden nach demselben Stundenlohn bezahlt.

    Berechne das Grundgehalt und die Überstundenpauschale.

    Lösung

    Zuerst wandelst Du die gegebenen Werte in zwei Punkte P und Q um.

    P(17|1700) ; Q(13|1750)

    Diese Punkte kannst Du nun in die Formel des Steigungsdreiecks einsetzen.

    m = yQ-yPxQ-xP = 1750-176613-17 = -16-4=4

    Die Steigung ist m=4. Somit erhältst Du folgende Gleichung:

    y=4x+t

    In diese Gleichung wird jetzt einer der beiden Punkte eingesetzt. An dieser Stelle ist es der Punkt P.

    1766=4·17+t1766=68+t|-681698=t

    Der y-Achsenabschnitt der Funktion liegt bei t=1698.

    Die Werte werden zuletzt in die Rohform der linearen Funktion eingesetzt.

    f(x)=4x+1698

    Das Grundgehalt liegt bei 1698 € und die Überstundenpauschale liegt bei 4 €.

    Lineare Funktionen zeichnen

    Eine lineare Funktion kannst Du ins Koordinatensystem zeichnen. Dazu kannst Du folgende Schritte befolgen:

    1. Punkte berechnen mit Wertetabelle und y-Wert berechnen.
    2. Wertetabelle anlegen und beliebige x-Werte in die Funktion einsetzen und die y-Werte ausrechnen.
    3. Punkte einzeichnen.
    4. Punkte verbinden.

    Aufgabe 6

    Zeichne die Funktion f(x) ins Koordinatensystem ein.

    f(x) = -4x+3

    Lösung

    Zuerst erstellst Du eine Wertetabelle mit beliebigen x-Werten.

    xi-102
    f(x)

    xi sind die x-Werte und f(x) sind die zugehörigen y-Werte.

    Diese x-Werte setzt Du jetzt in die Funktion ein und berechnest die zugehörigen y-Werte.

    f(x) = -4x+3f(-1) = -4·-1+3 = 4+3 = 7

    Der zugehörige y-Wert zu x1=-1 ist y1=7. Jetzt wird der Y-Achsenabschnitt berechnet.

    f(0) = (-4)·0+3 = 3

    Der Y-Achsenabschnitt ist bei y2=3. Dann wird der y-Wert zu x3=2 berechnet.

    f(2) = (-4)·2+3 = -8+3 = -5

    Der zugehörige y-Wert zu x3=2 ist y3=-5. Diese y-Werte werden jetzt alle in die Wertetabelle eingesetzt.

    xi-102
    f(x)73-5

    Diese Werte werden nun in Punkte umgewandelt, die dann ins Koordinatensystem eingezeichnet werden.

    P1(-1|7) P2(0|3) P3(2|-5)

    Lineare Funktion Lineare Funktion einzeichnen StudySmarterAbbildung 8: Lineare Funktion einzeichnen

    Jetzt, wo Du die Punkte P1, P2 und P3 eingezeichnet hast, musst Du diese nur noch verbinden.

    Lineare Funktion Lineare Funktion einzeichnen StudySmarterAbbildung 9: Lineare Funktion einzeichnen

    Was ist, wenn die berechneten Punkte nicht auf einer Linie liegen?

    Nicht-lineare Funktionen

    Dann kann es sein, dass Du Dich verrechnet hast. Aber eine weitere Möglichkeit ist, dass die Funktion keine lineare Funktion ist und aus dem Grund keine Gerade darstellt. Sie kann beispielsweise eine ganzrationale Funktion zweiten Grades oder höher sein.

    Unter einer ganzrationalen Funktion f(x) bzw. Polynomfunktion n-ten Grades versteht man eine reelle Funktion der Form:

    f(x)=an·xn+an-1·xn-1+...+a2·x2+a1·x+a0


    Eine nicht lineare Funktion ist niemals eine Gerade.

    In dieser Abbildung siehst Du eine Funktion zweiten- (f(x)), dritten- (g(x)) und vierten Grades (h(x)).

    Lineare Funktionen nicht-lineare Funktionen StudySmarterAbbildung 10: nicht-lineare Funktionen

    Es gibt auch noch gebrochenrationale Funktionen, Exponentialfunktionen, trigonometrische Funktionen, usw...

    Jetzt hast Du gelernt, was eine lineare Funktion ist, wie sie gezeichnet, aufgestellt und berechnet wird. Dein Wissen kannst Du im nächsten Abschnitt noch mal prüfen.

    Lineare Funktion – Übungsaufgaben

    An dieser Stelle kannst Du diese Aufgaben rechnen, um Dein Wissen zu festigen.

    Aufgabe 7

    Berechne die Steigung der Funktion f(x) mithilfe der Punkte P(1|2,5) und Q(3|-4).

    Lösung

    Setze die Punkte in die Formel zu Berechnung der Steigung ein.

    m = yQ-yPxQ-xP = (-4)-2,53-1 = -6,52

    Die Steigung der Funktion f(x) liegt bei m=-6,52.

    Aufgabe 8

    Berechne die Nullstelle der Funktion f(x).

    f(x)=-13x+6

    Lösung

    Zuerst setzt Du die lineare Funktion gleich 0 und löst sie nach x auf.

    f(x)=0-13x+6=0|:-13x-18=0|+18x=18

    Der berechnete x-Wert ist x=18 und dieser wird zuletzt noch in einen Punkt umgewandelt.

    P(18|0)

    Die Nullstelle liegt an dem Punkt P(18|0).

    Aufgabe 9

    Bestimmt den Y-Achsenabschnitt der Funktion f(x).

    f(x)=-5x-6,4

    Lösung

    Der y-Achsenabschnitt kann abgelesen werden, wenn Du den Parameter t der Funktion f(x) nimmst.

    f(x) = mx+t = -5x-6,4

    Der y-Achsenabschnitt liegt beim y-Werty=-6,4, welcher jetzt noch in den Punkt P(0|-6,4) umgewandelt wird.

    Aufgabe 10

    Stelle die Geradengleichung der Geradef(x) mithilfe der Punkte P(-3|5) und Q(4|2) auf.

    Lösung

    Zuerst setzt Du die Werte der Punkte P und Q in die Formel zur Berechnung der Steigung m ein.

    m= yQ-yPxQ-xP = 2-54-(-3) = -37

    Die Steigung der Geradef(x) ist m=-37. Dieser Wert wird jetzt in die Rohform der linearen Funktion eingesetzt.

    y = mx+t = -37x+t

    In diese Gerade wird jetzt einer der Punkte P oder Q eingesetzt und nach t umgestellt. In diesem Lösungsansatz wird der Punkt Q verwendet.

    2 = -37·4+t2 = -127+t|+127t = 267

    Der errechnete Y-Achsenabschnitt ist t=267. Jetzt werden die Werte nur noch in die Funktion f(x) eingetragen und Du hast die Funktionsgleichung berechnet.

    f(x) = -37x+267

    Aufgabe 11

    Zeichne die Geradef(x) = -3x+6.

    Lösung

    Zuerst berechnest Du zwei bis drei Punkte, die auf der Gerade liegen, in dem Du eine Wertetabelle erstellst, und die ausgewählten x-Werte in die Funktion einsetzt. Durch das Einsetzen der x-Werte in die Funktion erhältst Du die zugehörigen y-Werte.

    xi-201
    f(x)

    Die x-Werte werden jetzt in die Ausgangsfunktion eingesetzt.

    f(x) = -3x+6f(-2) = -3·-2+6 = 6+6 = 12

    Der zugehörige y-Wert zu x1=-2 ist y1=12. Jetzt wird der Y-Achsenabschnitt berechnet.

    f(0) = -3·0+6 = 6

    Der zugehörige y-Wert zu x2=0 ist y2=6. Zuletzt wird der x-Wert 1 in die Funktion eingesetzt.

    f(1) = -3·1+6 = 3

    Der letzte y-Wert ist y3=3, welcher zu dem x-Wert x3=1 gehört. Die Werte werden jetzt alle wieder in die Wertetabelle eingefügt.

    xi-201
    f(x)1263

    Die Spalten werden jetzt in Punkte umgeformt.

    P1(-2|12) P2(0|6) P3(1|3)

    Diese Punkte P musst Du jetzt ins Koordinatensystem einzeichnen.

    Lineare Funktion Gerade zeichnen StudySmarterAbbildung 11: Gerade zeichnen

    Die Punkte müssen jetzt nur noch verbunden werden. Die Funktion f(x) sieht gezeichnet folgendermaßen aus:

    Lineare Funktion Gerade zeichnen StudySmarterAbbildung 12: Gerade zeichnen

    Aufgabe 12

    Infolge eines Virusausbruchs müssen viele Personen auf das Virus getestet werden. Anfangs stehen dazu 3000 Tests zur Verfügung und es werden täglich 800 hergestellt. Stelle eine Funktion für den Bestand an Tests auf.

    Lösung

    Zuerst musst Du definieren, was an dieser Stelle die Steigung m ist und welcher Wert der Y-Achsenabschnitt ist.

    Dadurch, dass täglich 800 neue Tests hergestellt werden, muss die Zahl 800 die Steigung m sein.

    Der Anfangsbestand liegt bei 3000 Test. Von diesem Punkt aus muss die Steigung starten, weshalb die 3000 der Y-Achsenabschnitt sein muss.

    m=800t=3000

    Jetzt, wo Du beide Werte zuordnen konntest, musst Du die Werte nur noch in die Funktionsgleichung von f(x)=mx+t einsetzen.

    f(x) = mx+tf(x) = 800x+3000

    Durch diese Zuordnung erhältst Du die Funktion f(x)=800x+3000.

    Lineare Funktionen - Das Wichtigste

    • Eine lineare Funktion ist eine ganzrationale Funktion in der Form f(x)=mx+t Df=. Dabei ist m die Steigung der Gerade und t der y-Achsenabschnitt.
    • Der zugehörige Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.
    • Du kannst die Steigung der Geraden auf drei verschiedene Arten berechnen:
      • m = tan(α)
      • m = ΔyΔx
      • m = yQ-yPxQ-xP
    • Geradengleichung der Funktion f(x)aufstellen:
      1. Zuerst werden die x- und y-Werte der gegebenen Punkte P und Q in die Formel zur Berechnung der Steigung eingesetzt.
      2. Sobald Du die Steigung berechnet hast, musst Du diese in die rohe Form der linearen Funktion (f(x)=mx+t) einsetzen.
      3. In diese Funktion f(x) setzt Du nun einen der beiden Punkte P und Q ein.
      4. Nach dem Einsetzen stellst Du die Funktionsgleichung nach t um.
      5. Der errechnete Wert ist der y-Achsenabschnitt, welchen Du nur noch in die Funktion einsetzen musst.
      6. Die zusammengesetzte Funktion ist jetzt Deine Gerade f(x).

    Nachweise

    1. Flotho (2021): Lineare Funktionen. Springer
    2. Humenberger; Schupper (2019): Lineare Funktionen. Springer.
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    Häufig gestellte Fragen zum Thema Lineare Funktionen

    Was zeichnet eine lineare Funktion aus? 

    Eine lineare Funktion wird dadurch ausgezeichnet, dass sie gerade durchs Koordinatensystem verläuft. Deshalb wird eine lineare Funktion auch Gerade genannt. Eigenschaften einer linearen Funktion sind ihre Steigung, ihre Nullstelle und ihr y-Achsenabschnitt.

    Wie berechne ich eine Geradengleichung einer linearen Funktion? 

    Zuerst werden die x- und y-Werte der gegebenen Punkte P und Q in die Formel zur Berechnung der Steigung eingesetzt.Sobald Du die Steigung berechnet hast, musst Du diese in die rohe Form der linearen Funktion (f(x)=mx+t) einsetzen. In diese Funktion setzt Du nun einen der beiden Punkte P und Q ein und formst die Gleichung nach t um. t wird zuletzt noch in die Funktion eingesetzt.

    Was ist eine lineare Funktion einfach erklärt? 

    Eine lineare Funktion ist eine ganzrationale Funktion in der Form f(x)=mx+t. Dabei ist m die Steigung der Gerade und t der y-Achsenabschnitt

    Wie berechnest Du t bei einer linearen Funktion? 

    t ist der y-Achsenabschnitt und kann bei einer Funktion abgelesen werden, da die lineare Funktion in der Form f(x)=mx+t aufgebaut ist.

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