„Wurzelfunktion“ ist für Dich die Funktion einer Baumwurzel? Die \(n\)-te Wurzel klingt für Dich nach einer Ente? Dann bist Du hier in dieser Erklärung genau richtig. Hier erfährst Du, was genau die Wurzelfunktion ist. Von der Funktionsgleichung, über den Graph zu den verschiedenen Eigenschaften, wie Definitionsbereich und Nullstellen, bis hin zur Ableitung.
Wurzelfunktion Funktionsgleichung
Die Wurzelfunktion ist eng mit der Potenzfunktion verknüpft.
Zur Erinnerung:
- Eine Potenzfunktion ist eine Funktion \(f(x)\) mit folgender Form: \(f(x)=x^n\)
Doch wie lautet die Funktionsgleichung einer Wurzelfunktion?
Die Funktion \(f(x)\) mit der Funktionsgleichung
\[f(x)=\sqrt[n]{x} \hspace{1cm} (x\geq0)\]
wird allgemeine Wurzelfunktion genannt. Wobei \(n \in \mathbb{N}\setminus\{1\}\) ist.
Der Ausdruck \(\sqrt[n]{x}\) wird auch als \(n\)-te Wurzel bezeichnet.
Setzt Du für den Wurzelexponenten \(n\) die Zahl \(2\) ein, erhältst Du die Quadratwurzelfunktion und diese wird ohne einen Wurzelexponenten \(n\) geschrieben.
Die Funktion \(f(x)\) mit der Funktionsgleichung
\[f(x)=\sqrt[2]{x}=\sqrt{x}\]
wird Quadratwurzelfunktion genannt.
Die Quadratwurzelfunktion \(f(x)=\sqrt{x}\) wird in manchen Lehrbüchern auch nur als Wurzelfunktion bezeichnet.
Wie sieht der dazugehörige Graph zur allgemeinen Wurzelfunktion aus?
Allgemeine Wurzelfunktion Graph
Beim Graphen der allgemeinen Wurzelfunktion \(f(x)=\sqrt[n]{x}\) muss beachtet werden, dass diese nur für \(x\geq0\) definiert ist und daher nur im \(\text{I.}\) Quadranten zu sehen ist.
Abb. 1 - Wurzelfunktion Graph.
Dabei ist zu sehen, dass sich die Graphen für alle Exponenten \(n\), egal ober gerade oder ungerade, in den gemeinsamen Punkte \(P(1|1)\) und \(N(0|0)\) treffen.
Dies kommt daher, weil folgendes gilt.
\begin{array}{rrclrclrclrcl}f_n(0)&=\sqrt[n]{0} &=\sqrt[2]{0}&= & \sqrt[3]{0}&= &\sqrt[4]{0}&=&\sqrt[5]{0}&=&0 \\ \\f_n(1)&=\sqrt[n]{1} &= \sqrt[2]{1}&= & \sqrt[3]{1}&= &\sqrt[4]{1}&= &\sqrt[5]{1}&=&1 \\\end{array}
Um Dir noch einmal einen kurzen Überblick über die Funktionsgleichung und den Graphen zu geben, kannst Du Dir die nachfolgende Zusammenfassung anschauen.
| Für jeden Wurzelexponenten \(n\) |
| Wurzelfunktion Funktionsgleichung | \(f(x)=\sqrt[n]{x}\) |
| Gemeinsame Punkte | \begin{align}P&(1|1) \\N&(0|0)\end{align} |
Doch woher kommt die Wurzelfunktion überhaupt?
Wurzelfunktion Umkehrfunktion
Schau Dir dazu die Definition zur Umkehrfunktion der allgemeinen Wurzelfunktion an.
Die Umkehrfunktion \(f^{-1}(x)\) der allgemeinen Wurzelfunktion \(f(x)=\sqrt[n]{x}\) lautet wie folgt:
\[f^{-1}(x)=x^n\]
Achtung:
Für gerade Exponenten ist die Umkehrfunktion nur auf dem Intervall \([0,\infty)\) definiert, da von einer negativen Zahl keine \(n\)-te Wurzel gezogen werden kann.
Die Umkehrfunktion der allgemeinen Wurzelfunktion \(f(x)=\sqrt[n]{x}\) ist damit also die Potenzfunktion für \(n>1\).
Wurzelfunktion umschreiben
Warum ist die allgemeine Wurzelfunktion eine spezielle Form der Potenzfunktion?
Die allgemeine Wurzelfunktion \(f(x)=\sqrt[n]{x}\) lässt sich auch wie folgt schreiben:
\[f(x)=x^{\frac{1}{n}}\]
Da sich die allgemeine Wurzelfunktion \(f(x)=\sqrt[n]{x}\) in eine Potenz mit einem rationalen Exponenten \(\frac{1}{n}\), der zwischen \(0\) und \(1\) liegt, umschreiben lässt, ist sie eine spezielle Form der Potenzfunktion.
Als kleine Merkhilfe für die Umkehrfunktion und das Umschreiben der allgemeinen Wurzelfunktion kannst Du Dir folgende Zusammenfassung anschauen.
| Für jeden Wurzelexponenten \(n\) |
| Wurzelfunktion Umkehrfunktion | \(f^{-1}(x)=x^n\) |
| Definitionsbereich der Umkehrfunktion | \(D_{f}=[0,\infty)\) |
| Wurzelfunktion umschreiben | \(f(x)=\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}\) |
Die allgemeine Wurzelfunktion \(f(x)=\sqrt[n]{x}\) besitzt verschiedene Eigenschaften.
Wurzelfunktion Eigenschaften
Alle Eigenschaften der allgemeinen Wurzelfunktion \(f(x)=\sqrt[n]{x}\) sind unabhängig vom Exponenten \(n\).
Wurzelfunktion Definitionsbereich
Die allgemeine Wurzelfunktion \(f(x)=\sqrt[n]{x}\) ist für \(x<0\) nicht definiert.
Die allgemeine Wurzelfunktion \(f(x)=\sqrt[n]{x}\) besitzt den folgenden Definitionsbereich:
\[D_{f_n}=[0,\infty)\]
Doch warum gibt es für gerade und ungerade Exponenten \(n\) keinen unterschiedlichen Definitionsbereich \(D_f\), obwohl \((-2)^3=-8\) ist? Betrachte dazu folgenden Abschnitt.
Aufgrund der Rechnungen \((-2)^3=-8\) und \((-3)^3=-27\) kann vermutet werden, dass folgendes gilt.
\begin{align}\sqrt[3]{-8}&=-2 \\ \\\sqrt[3]{-27}&=-3\end{align}
Damit würde das Schaubild der Wurzelfunktion \(f(x)=\sqrt[3]{x}\) wie folgt aussehen.
Abb. 2 - Graph für x kleiner 0.
Doch wende nun die Potenzgesetze einmal an.
Zur Erinnerung:
- Potenzieren von Potenzen: \((a^2)^3=a^{2\cdot 3}=a^6\)
Damit ergibt sich folgendes.
\begin{align}\sqrt[3]{-8}&=(-8)^{\frac{1}{3}}\\ \\&=(-8)^{\frac{2}{6}} \\ \\&=(-8)^{2\cdot \frac{1}{6}} \\ \\&=((-8)^2)^{\frac{1}{6}} \\ \\&=(8^2)^{\frac{1}{6}} \\ \\&=8^{\frac{1}{3}}\\ \\&=\sqrt[3]{8} \\ \\\sqrt[3]{-8} &=2\end{align}
Da aber \(2^3\) nicht \(-8\) ist, gelten die Potenzgesetze für \(x<0\) nicht und damit ist die allgemeine Wurzelfunktion \(f(x)=\sqrt[n]{x}\) nur für \(x\geq0\) definiert.
Aber Achtung!Manchmal wird trotzdem vorgegeben, dass die allgemeine Wurzelfunktion \(f(x)=\sqrt[n]{x}\) für ungerade Exponenten \(n\) für \(x<0\) definiert ist. In diesem Fall gelten die Potenzgesetze nicht.
Aufgrund dessen ergibt sich auch der gleiche Wertebereich \(W_f\) für gerade und ungerade Exponenten \(n\).
Wurzelfunktion Wertebereich
Der Wertebereich \(W_f\) gibt den minimalen und den maximalen Funktionswert einer Funktion \(f(x)\) an.
Die allgemeine Wurzelfunktion \(f(x)=\sqrt[n]{x}\) besitzt den folgenden Wertebereich:
\[W_{f_n}=[0,\infty)\]
Schau Dir zum besseren Verständnis noch einmal den Graphen der allgemeinen Wurzelfunktion \(f(x)=\sqrt[n]{x}\) an.
Abb. 3 - Wurzelfunktion Wertebereich.
Im Graphen ist zu erkennen, dass die Funktionen den minimalen Wert \(x_0=0\) haben und danach kontinuierlich steigen.
Wurzelfunktion Nullstellen
Die Nullstellen einer Funktion \(f(x)\) geben die Stelle an, an der diese die x-Achse schneidet.
Die allgemeine Wurzelfunktion \(f(x)=\sqrt[n]{x}\) besitzt an der Stelle
\[x_0=0\]
eine Nullstelle \(N\).
Die Nullstellen ergeben sich, wenn die Funktion \(f(x)\) gleich \(0\) gesetzt wird.
\begin{array}{r l l}f(x_0)=\sqrt[n]{x_0}&=0 &| \text{Umkehrung } \sqrt{x}\\ \\x_0&=0^n&\\ \\x_0&=0&\end{array}
Schau Dir dazu noch das folgende Schaubild an.
Abb. 4 - Wurzelfunktion Nullstellen.
Auch im Schaubild ist gut zu erkennen, dass die allgemeine Wurzelfunktion \(f(x)=\sqrt[n]{x}\) an der Stelle \(x_0=0\) eine Nullstelle besitzt.
Wurzelfunktion Monotonie
Um die Monotonie der allgemeinen Wurzelfunktion \(f(x)=\sqrt[n]{x}\) herauszufinden, schau Dir das folgende Schaubild an.
Abb. 5 - Wurzelfunktion Monotonie.
Es ist zu erkennen, dass für jeden Exponenten \(n\) immer eine positive Steigung vorliegt.
Die allgemeine Wurzelfunktion \(f(x)=\sqrt[n]{x}\) ist streng monoton wachsend.
Um die Eigenschaften der allgemeinen Wurzelfunktion \(f(x)=\sqrt[n]{x}\) zu verinnerlichen, kannst Du folgende Zusammenfassung betrachten.
| Für jeden Wurzelexponenten \(n\) |
| Wurzelfunktion Definitionsbereich | \(D_f=[0,\infty)\) |
| Wurzelfunktion Wertebereich | \(W_f=[0,\infty)\) |
| Wurzelfunktion Nullstellen | \(x_0=0\) |
| Wurzelfunktion Monotonie | Streng monoton wachsend |
Es gibt Fälle, bei denen die Ableitung \(f'(x)\) der allgemeinen Wurzelfunktion \(f(x)=\sqrt[n]{x}\) benötigt wird.
Wurzelfunktionen ableiten
Um eine beliebige Wurzelfunktion auf verschiedene Eigenschaften wie Extrem- oder Wendepunkte zu untersuchen, wird die Ableitung \(f'(x)\) dieser benötigt.
Die Ableitung \(f'(x)\) der allgemeinen Wurzelfunktion \(f(x)=\sqrt[n]{x}\) lautet:
\[f'(x)=\dfrac{\sqrt[n]{x}}{n\cdot x}\]
Tipp:
Die Ableitung \(f'(x)\) der allgemeinen Wurzelfunktion \(f(x)=\sqrt[n]{x}\) kann auch wie folgt umgeschrieben werden:
\[f'(x)=\dfrac{1}{n\cdot \sqrt[n]{x^{n-1}}}\]
Diese Variante kann nützlich sein, wenn Du die Ableitung \(f'(x)\) vereinfachen musst.
Damit ergibt sich für die Quadratwurzelfunktion \(f(x)=\sqrt{x}\) folgende Ableitung \(f'(x)\).
\[f'(x)=\dfrac{1}{2\cdot \sqrt{x}}\]
Wenn Du wissen möchtest, wie die Ableitung \(f'(x)\) der allgemeinen Wurzelfunktion \(f(x)=\sqrt[n]{x}\) und der Quadratwurzelfunktion \(f(x)=\sqrt{x}\) zustande kommt, kannst Du den nachfolgenden vertiefenden Abschnitt betrachten.
Um die allgemeine Wurzelfunktion \(f(x)=\sqrt[n]{x}\) abzuleiten, wird die Potenzregel benötigt.
Zur Erinnerung:
- Potenzregel: \(f(x)=x^n \xrightarrow {Ableitung} f'(x)=n \cdot x^{n-1}\)
Nun schreibst Du die allgemeine Wurzelfunktion um.
\[f(x)=\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}\]
Jetzt kannst Du die Potenzregel anwenden.
\begin{align}f'(x)&=\frac{1}{n} \cdot x^{\frac{1}{n}-1}\end{align}
Als Nächstes wird eine Rechenregel mit Potenzen angewandt.
Zur Erinnerung:
- Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem ihre Exponenten subtrahiert werden.\[\frac{a^b}{a^c}=a^{b-c}\]
Damit ergibt sich folgende Ableitung \(f'(x)\) für die allgemeine Wurzelfunktion \(f(x)=\sqrt[n]{x}\) .
\begin{align}f'(x)&=\frac{1}{n} \cdot \frac{x^{\frac{1}{n}}}{x^1}\\ \\&=\frac{1}{n} \cdot \frac{\sqrt[n]{x}}{x}\\ \\&=\frac{\sqrt[n]{x}}{n \cdot x}\\\end{align}
Wird jetzt nach der speziellen Ableitung \(f_2'(x)\) von der Wurzelfunktion mit dem Exponenten \(n=2\) gefragt, kann diese wie folgt geschrieben werden.
\begin{align}f_2'(x)&=\frac{\sqrt{x}}{2 \cdot x}\\ \\&=\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot x}\\ \\&=\frac{x^{\frac{1}{2}-1}}{2}\\ \\&=\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2}\\ \\&=\frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}\end{align}
Wenn Du lediglich die Ableitung \(f'(x)\) der allgemeinen Wurzelfunktion \(f(x)=\sqrt[n]{x}\) oder der Quadratwurzelfunktion \(f(x)=\sqrt{x}\) benötigst, kannst Du dies in der nachfolgenden Tabelle nachschauen.
| Allgemeine Wurzelfunktion | Exponent \(n=2\) |
| Wurzelfunktion ableiten | \(f'(x)=\dfrac{\sqrt[n]{x}}{n\cdot x}\) | \(f'(x)=\dfrac{1}{2\cdot \sqrt{x}}\) |
Nicht immer ist die allgemeine Wurzelfunktion in ihrer reinen Form gegeben.
Wurzelfunktion Parameter
Es gibt Situationen, in denen wird der allgemeinen Wurzelfunktion ein Parameter zugefügt.
Die allgemeine Wurzelfunktion \(f(x)=\sqrt[n]{x}\) mit den Parametern \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) sieht wie folgt aus:
\[f(x)=a\cdot\sqrt[n]{b\cdot(x-c)}+d\]
Dazu kannst Du folgendes Schaubild betrachten.
Abb. 6 - Wurzelfunktionen mit Parametern.
Durch die Parameter verändert sich sowohl die Funktionsgleichung und damit der Graph als auch die weiteren Eigenschaften und Ableitungen der Funktion.
Wenn Du zu den Parametern mehr wissen willst, schau Dir die Erklärung „Parameter“ an.
Wurzelfunktion – Das Wichtigste
- Allgemeine Wurzelfunktion Eigenschaften
| Für jeden Wurzelexponenten \(n\) |
| Funktionsgleichung | \(f(x)=\sqrt[n]{x}\) |
| Gemeinsame Punkte | \begin{align}P&(1|1) \\N&(0|0)\\\end{align} |
| Wurzelfunktion Definitionsbereich | \(D_f=[0,\infty)\) |
| Wurzelfunktion Wertebereich | \(W_f=[0,\infty)\) |
| Wurzelfunktion Nullstellen | \(x_0=0\) |
| Wurzelfunktion Monotonie | Streng monoton wachsend |
| Wurzelfunktion Umkehrfunktion | \(f^{-1}(x)=x^n\) |
| Definitionsbereich der Umkehrfunktion | \(D_{f}=[0,\infty)\) |
| Wurzelfunktion umschreiben | \(f(x)=x^{\frac{1}{n}}\) |
| Wurzelfunktion ableiten | \(f'(x)=\dfrac{\sqrt[n]{x}}{n\cdot x}\) |
| Wurzelfunktion Parameter | \(f(x)=a\cdot\sqrt[n]{b\cdot(x-c)}+d\) |
- Ableitung \(f'(x)\) der Wurzelfunktion \(f(x)=\sqrt{x}\) lautet: \[f'(x)=\dfrac{1}{2\cdot \sqrt{x}} \]
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