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Wurzelfunktion

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Wurzelfunktion

In diesem Kapitel geht es um die Wurzelfunktion. Dieses Thema ist in das Fach „Mathematik“ einzuordnen. Die Wurzelfunktion stellt eine spezielle Art von Funktionen dar. Sie ist eng mit der Potenzfunktion verwandt.

Wir erklären dir in den folgenden Abschnitten die wichtigsten Begriffe zum Thema „Wurzelfunktion“, die zugehörigen Gleichungen und verdeutlichen dir das Ganze noch an Beispielen. Wir erklären dir auch die Sonderfälle und was du zu beachten hast! Am Ende dieses Kapitels hast du hoffentlich einen klaren Überblick über die Wurzelfunktion.

Am Ende haben wir dir noch einmal das Wichtigste zu diesem Thema zusammengefasst!

Was ist eine Wurzelfunktionen? – die Basics zuerst!

Die Potenzfunktion und die Wurzelfunktion hängen sehr eng zusammen. Die Wurzelfunktion entsteht durch die Umkehrung der auf eingeschränkten Potenzfunktion mit natürlichen Exponenten. Die Grafik im nächsten Absatz verdeutlicht das auch nochmal.

Abbildung 1: Graph der Potenzfunktionaus: STARK- Analysis, Grundwissen über reelle Funktion, Kapitel: 1.6 Wurzelfunktionen

In dieser Graphik siehst du nochmal sehr gut den Zusammenhang zwischen der Wurzelfunktion und der Potenzfunktion.

Hierzu kannst du dir auch noch unseren Artikel zum Thema Potenzfunktionen anschauen.

Die Funktionsgleichung einer Wurzelfunktion

Unter der n-ten Wurzelfunktion (n∈ N) versteht man die reelle Funktion dabei gilt: .Du kannst auch umschreiben und erhältst dann

Hier siehst du auch noch einmal den engen Zusammenhang von Wurzel- und Potenzfunktion.

Eine Wurzelfunktion ist also eine Potenzfunktion, die einen Bruch als Exponenten hat.

Der Graph einer Wurzelfunktion

Der Graph einer Wurzelfunktion ist das Spiegelbild einer Parabel n-ter Ordnung bzgl. der Geraden y = x.

Betrachtet wird hier aber nur der Parabel-Teil, der auf eingeschränkt ist.

Der Graph der Wurzelfunktion verläuft:

  • nur im 1. Quadranten
  • immer durch den Punkt (1|1)
  • je größer n, desto flacher verläuft er für x>1 und desto steiler nähert er sich dem Koordinatenursprung (siehe Graphik)
  • er ist nicht symmetrisch
  • er hat eine Nullstelle bei (0|0)

Der Graph der Funktion sieht folgendermaßen aus:

Beispielaufgabe zur Berechnung der Lösungsmenge einer Wurzelfunktion

Aufgabe: Berechne die Lösungsmenge der Gleichung Hinweis: Die Mitternachtsformel lautet:

Lösung:

Zunächst addieren wir auf beiden Seiten 3, damit die Wurzel alleine steht. Danach quadrieren wir die beiden Gleichungsseiten und lösen damit die Wurzel auf. Fast geschafft! Jetzt wird der Term nur noch zusammengefasst. Wir erhalten eine quadratische Gleichung, welche wir mit der Mitternachtsformel lösen können.

Wir erhalten die beiden Lösungen

Jetzt musst du aufpassen!

Wir machen jetzt eine Probe, ob die Lösungen stimmen können. Dazu setzen wir unser Ergebnis in die Formel ein.

  • ist eine Lösung, da du beim Einsetzen von in beide Seiten der Gleichung -1 erhältst und damit die Gleichung wahr ist.
  • ist keine Lösung, da du beim Einsetzen von in die rechte Seite der Gleichung -2 und in die linke Seite -4 erhältst. Damit ist die Gleichung in diesem Fall nicht wahr. ist damit keine Lösung.

Was musst du beachten?

  • Unter der Quadratwurzel darf niemals eine negative Zahl stehen! (Aufgepasst: Das gilt nur für Quadratwurzeln, also Wurzeln mit dem Exponenten 2,4,…)
  • Die Wurzelfunktion ist nur für positive Werte, einschließlich der 0, definiert
  • Die einzige Nullstelle aller Wurzelfunktionen liegt im Punkt (0|0)

Wurzelfunktion - Das Wichtigste auf einen Blick

  • Eine Wurzelfunktion ist nah mit der Potenzfunktion verwandt. Eine Wurzelfunktion ist eine Potenzfunktion mit Bruch als Exponenten.
  • Sie hat zwei Schreibweisen:
  • Beachte, dass die Wurzelfunktion nur für positive Werte, einschließlich der 0, definiert ist.
  • Der Graph hat eine Nullstelle bei (0|0) und verläuft immer durch den Punkt (1|1).

Unser Tipp für Euch

Die Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion. Schau dir doch unsere Artikel zu diesen beiden Themen an, dann verstehst du die Zusammenhänge besser!

Es ist sinnvoll dir eine eigene Übersicht zu machen, in der du die wichtigsten Fakten zum Thema „Funktionen“ zusammenfasst. Diese kannst du für alle wichtigen Themen der Mathematik machen und immer behalten. Funktionen ist ein wichtiger Teil der Mathematik und wird dich in deiner ganzen Mathe-Karriere begleiten!

Finales Wurzelfunktion Quiz

Frage

Was versteht man unter einer Wurzelfunktion?

Antwort anzeigen

Antwort

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Frage

Beschreibe den Graph einer Wurzelfunktion.

Antwort anzeigen

Antwort

Der zugehörige Graph ist das Spiegelbild der auf R+ eingeschränkten Parabel n-ter Ordnung bzgl. der Geraden y = x.

Die Graphen der Wurzelfunktionen verlaufen nur im 1. Quadranten und immer durch den Punkt (1 | 1). Je größer n ist, desto flacher verlaufen sie für x > 1 und desto steiler nähern sie sich dem Koordinatenursprung.

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Frage

Wie können Quadratwurzelgleichungen gelöst werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Indem man einen Wurzelterm auf einer Seite der Gleichung isoliert und anschließend beide Seiten der Gleichung quadriert.

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Frage

Berechne die Lösungsmenge der Gleichung:




Antwort anzeigen

Antwort



Probe:

  • –1 ist eine Lösung, da Sie beim Einsetzen von x1 = –1 in beide Seiten der Gleichung –1 erhalten.
  •  – 4 ist keine Lösung, da Sie beim Einsetzen von x2 = – 4 in die rechte Seite der Gleichung –2, beim Einsetzen in die linke Seite – 4 erhalten.
Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Lösungsmenge!






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Antwort



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Frage

Bestimme die Lösungsmenge!




Antwort anzeigen

Antwort



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Frage

Bestimme die Lösungsmenge!




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Antwort



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Bestimme die Lösungsmenge!




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