Funktionen können auf unterschiedliche Art und Weise dargestellt werden. Dazu kann ein Funktionsgraph, eine Funktionsgleichung oder eine Wertetabelle genutzt werden. In diesem Artikel erfährst du, was eine Wertetabelle ist, wie eine Wertetabelle erstellt werden kann und wie ein Funktionsgraph mithilfe einer Wertetabelle gezeichnet werden kann.
Wertetabelle einer Funktion
Betrachten wir zunächst die Definition der Wertetabelle, bevor wir zum Beispiel kommen.
In einer Wertetabelle werden ausgewählte x-Werte des Definitionsbereichs und die durch eine Funktionsvorschrift zugeordneten y-Werte (Funktionswerte) aus dem Wertebereich gemeinsam aufgeschrieben.
Ein Nachteil von Wertetabellen ist, dass nur ausgewählte Wertepaare darstellbar sind. Es kann also meistens nur ein Teil der Funktion betrachtet werden. Aus der Definitionsmenge können beliebige x-Werte gewählt werden. Diese sollten sinnvoll gewählt werden.
Die x-Werte werden normalerweise in aufsteigender Reihenfolge aufgeschrieben. Außerdem wird oft der Abstand zwischen zwei benachbarten x-Werten gleich gewählt.
Es gibt senkrechte und waagrechte Wertetabellen.
Senkrechte Wertetabelle
Eine senkrechte beziehungsweise vertikale Wertetabelle hat zwei Spalten. In der linken Spalte stehen die ausgewählten x-Werte und in der rechten Spalte die zugehörigen y-Werte (Funktionswerte).
In folgendem Beispiel wird dir gezeigt, wie eine senkrechte Wertetabelle aussieht.
Aufgabe 1
Beim Einkaufen von Obst oder Gemüse ist der Preis oft von der gekauften Masse abhängig. So ist das auch bei Äpfeln.
- 100 g Äpfel kosten 20 ct = 0,20 €.
- 200 g Äpfel kosten 40 ct = 0,40 €.
- 400 g Äpfel kosten 80 ct = 0,80 €.
- 800 g Äpfel kosten 1,60 €.
Dem Gewicht der Äpfel wird ihr Preis zugeordnet.
Abbildung 1: Zuordnung Preis und Gewicht Äpfel
Erstelle die Wertetabelle.
Lösung
Die einzelnen Zuordnungen können folgendermaßen aufgeschrieben werden.
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Dies muss jetzt nur noch in eine Tabelle übertragen werden und die Wertetabelle ist erstellt.
| Gewicht Äpfel in g | Preis Äpfel in € |
| 100 g | 0,20 € |
| 200 g | 0,40 € |
| 300 g | 0,60 € |
| 400 g | 0,80 € |
Du kannst Wertetabellen auf zwei verschiedene Weisen analysieren. Entweder du betrachtest immer einen Wert und seinen zugeordneten Wert (Lesen von links nach rechts) oder du kannst aber auch die Entwicklung der Funktion anschauen, indem du die Tabelle von oben nach unten liest. Im Beispiel siehst du dann, dass der Preis der Äpfel steigt, wenn auch das Gewicht größer wird.
Waagrechte Wertetabelle
In den meisten Fällen wird eine waagrechte Wertetabelle angegeben.
Eine waagrechte beziehungsweise horizontale Wertetabelle hat zwei Reihen. In der oberen Reihe stehen die ausgewählten x-Werte und in der unteren Reihe die zugehörigen y-Werte (Funktionswerte).
Für Aufgabe 1 lässt sich auch die horizontale Wertetabelle angeben.
Zu Aufgabe 1
| Masse Äpfel in g | 100 g | 200 g | 300 g | 400 g |
| Preis Äpfel in € | 0,20 € | 0,40 € | 0,60 € | 0,80 € |
Wertetabelle erstellen
In diesem Kapitel wirst du lernen, wie du eine Wertetabelle mithilfe einer Funktionsgleichung und einem Funktionsgraphen erstellen kannst.
Wertetabelle Funktionsgleichung
Wenn du die Funktionsgleichung beziehungsweise den Funktionsterm gegeben hast, kannst du die Wertetabelle einfach bestimmen, indem du die ausgewählten x-Werte einsetzt.
Das Vorgehen ist immer gleich:
- Tabelle zeichnen und mit x und y beschriften
- x-Werte eintragen
- y-Werte durch Einsetzen der x-Werte in die Funktionsgleichung berechnen
- y-Werte eintragen
In Aufgabe 2 siehst du, wie das funktioniert:
Aufgabe 2 – Wertetabelle einer linearen Funktion erstellen
Gegeben ist die Funktion:
Erstelle die Wertetabelle der Funktion für die x-Werte:.
Lösung
Um eine waagrechte Wertetabelle zu erstellen, musst du zunächst die Tabelle zeichnen. In diesem Beispiel benötigst du zwei Zeilen und acht Spalten. In die Spalte ganz links kannst du schon x und y eintragen.
Jetzt trägst du die ausgewählten x-Werte ein:
Um die y-Werte (Funktionswerte) zu berechnen, musst du die x-Werte in die Funktionsgleichung einsetzen:
Für beispielsweise rechnest du
.
Der zugehörige y-Wert (Funktionswert) ist also .
Auf die gleiche Art und Weise kannst du auch die y-Werte der fehlenden x-Werte bestimmen.
Wertetabelle Funktionsgraphen
Wenn du den Funktionsgraphen gegeben hast, kannst du die Wertetabelle bestimmen, indem du Punkte aus dem Graphen abliest.
Das Vorgehen ist immer gleich:
- Tabelle zeichnen und mit x und y beschriften
- Punkte aus dem Graphen ablesen
- Wertepaare in die Tabelle eintragen
Vielleicht benötigst du ein Beispiel, um das besser zu verstehen. Dann schaue dir Aufgabe 3 an.
Aufgabe 3 – Wertetabelle einer quadratischen Funktion erstellen
Erstelle mithilfe des Funktionsgraphen eine Wertetabelle mit drei Punkten.
Abbildung 2: Funktionsgraph der Funktion f(x)
Lösung
Um Wertepaare für die Wertetabelle zu finden, muss man die Koordinaten von Punkten auf dem Graphen bestimmen. Am einfachsten ist das für ganzzahlige Koordinaten.
Abbildung 3: Koordinaten für die Wertetabelle
Die Koordinaten der Punkte kann man dann in die Wertetabelle eintragen.
Es ist nicht immer möglich, genaue Werte aus dem Funktionsgraphen abzulesen. Dann müssen die Werte gerundet angegeben werden oder auf die Funktionsgleichung zurückgegriffen werden.
Wertetabelle Funktionsgraph zeichnen
In vielen Aufgaben musst du Funktionsgraphen zeichnen.
Zeichnen eines Graphen
Eine Wertetabelle umfasst x-Werte und die zugehörigen y-Werte (Funktionswerte).
Ein Paar aus einem x-Wert der Definitionsmenge und dem zugeordneten y-Wert wird als Wertepaar bezeichnet. Ein Wertepaar ist eindeutig durch eine Funktion vorgegeben.
Das Wertepaarder Funktion kann mit einem Punktim Koordinatensystem dargestellt werden. Die x-Achse steht dabei für die Ausgangswerte – die unabhängige Variable x. Die y-Achse steht für die zugeordneten Werte – die abhängige Variable y.
Ein Punkt P eines Funktionsgraphen besteht aus einem solchen Wertepaar.
Der Funktionsgraphder Funktion f ist die Menge aller Punkte. Die Punktesind Wertepaare, die durch einen x-Wert der Definitionsmenge und den zugeordneten y-Wert der Wertemenge gebildet werden.
In einer Wertetabelle stehen also mehrere Punkte des Funktionsgraphen. Um einen Funktionsgraphen zu zeichnen, kannst du also eine Wertetabelle erstellen. Die Punktekannst du dann in ein Koordinatensystem einzeichnen. Meistens betrachten wir nur einen Ausschnitt des gesamten Graphen.
- Lege die Wertetabelle an
- Zeichne ein Koordinatensystem
- Trage die Punkte ins Koordinatensystem ein
- Verbinde die Punkte des Funktionsgraphen
In den nächsten beiden Kapiteln werden wir betrachten, wie das Zeichnen eines Graphen bei einer linearen und einer quadratischen Funktion gelingt.
Wertetabelle und Funktionsgraph einer linearen Funktion
Eine lineare Funktion hat die Funktionsgleichung .
Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.
Bei einer Gerade reichen bereits zwei Punkte aus, um den Funktionsgraphen zeichnen zu können.
Aufgabe 4 – Wertetabelle und Funktionsgraph einer linearen Funktion
Zeichne den Graphen der Funktion .
Lösung
Zunächst musst du eine Wertetabelle für den Bereich erstellen, in dem du den Funktionsgraph zeichnen möchtest:
Um den Graphen zu zeichnen, musst du ein passendes Koordinatensystem zeichnen und die Punkte eintragen. Die Koordinaten der Punkte findest du in der Wertetabelle.
Nun zeichnen wir den ersten Punkt des Funktionsgraphen A(1|6):
- Du startest damit, dass du auf der x-Achse die 1 suchst. Anschließend ziehst du in Gedanken eine senkrechte Linie.
- Dann suchst du die 6 auf der y-Achse und ziehst gedanklich eine horizontale Linie.
- An dem Punkt, an dem sich die beiden Linien treffen, wird der Punktgesetzt.
Abbildung 4: Punkt im Koordinatensystem einzeichnen
Wenn du das Gleiche für die anderen Punkte machst, sieht das so aus:
Durch Verbinden der Punkte beispielsweise mit einem Lineal erhältst du die gesuchte Gerade:
Abbildung 6: Gerade zeichnen mit Hilfe der Punkte der Wertetabelle
Das Verbinden mit dem Lineal gilt nur für Geraden; bei anderen Funktionen kann der Graph zwischen zwei gegebenen Punkten anders aussehen.
Wertetabelle quadratische Funktion
Eine quadratische Funktion hat die Funktionsgleichung.
Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.
Aufgabe 5 – Wertetabelle und Funktionsgraph einer quadratischen Funktion
Zeichne den Graphen der Funktion.
Lösung
Starte wieder mit der Wertetabelle:
Durch Eintragen der Punkte in ein Koordinatensystem und Verbinden der Punkte erhält man den Funktionsgraphen:
Abbildung 7: Parabel zeichnen mit Hilfe der Punkte der Wertetabelle
Wertetabelle - Das Wichtigste
- In einer Wertetabelle werden ausgewählte x-Werte des Definitionsbereichs und die durch eine Funktionsvorschrift zugeordneten y-Werte aus dem Wertebereich gemeinsam aufgeschrieben.
- Ein Wertepaar ist ein Paar aus einem x-Wert der Definitionsmenge und dem zugeordneten y-Wert.
- Wertetabelle erstellen:
- Mithilfe der Funktionsgleichung: y-Werte werden berechnet, indem die ausgewählten x-Werte in die Funktionsgleichung einsetzt werden.
- Mithilfe eines Funktionsgraphen: Punkte vom Graphen ablesen und in die Wertepaare in die Wertetabelle eintragen.
- Funktionsgraph mit einer Wertetabelle zeichnen:
- Wertetabelle erstellen
- Koordinatensystem zeichnen
- Wertepaare als Punkte in das Koordinatensystem eintragen
- Punkte zum Funktionsgraph verbinden.
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