Volumen Kegel

Aufgabe 1

Berechne das Volumen V eines Kegels mit $h=5cm$ und $r=2cm$.

Lösung

Zuerst notierst Du Dir die Formel zur Berechnung des Volumens V eines Kegels:

$\mathrm{V}=\frac{1}{3}·\mathrm{\pi }·{\mathrm{r}}^2·\mathrm{h}$

Als Nächstes kannst Du die gegebenen Werte von oben in die Formel einsetzen:

$\mathrm{V}=\frac{1}{3}·\mathrm{\pi }·{(2\mathrm{cm})}^2·5\mathrm{cm}$

Zum Schluss rechnest Du jetzt nur noch das Ergebnis mit Deinem Taschenrechner aus:

$$\begin{gathered} \mathrm{V}=\frac{1}{3}·\mathrm{\pi }·4{\mathrm{cm}}^2·5\mathrm{cm} \\ \mathrm{V}=\frac{1}{3}·\mathrm{\pi }·20{\mathrm{cm}}^3 \\ \mathrm{V}=\frac{20}{3}{\mathrm{cm}}^3·\mathrm{\pi } \\ V\approx 20,9c{m}^3 \end{gathered}$$

Das Volumen des Kegels beträgt ungefähr $21c{m}^3$.

Aufgabe 2

Berechne das Volumen V eines schiefen Kegels mit $r=3cm$. Zeichne dafür die Höhe in das Koordinatensystem ein und lies diese ab.

Lösung

Zuerst musst Du die Höhe h des schiefen Kegels ermitteln. Dafür zeichnest Du eine senkrechte Linie von der Spitze bis auf die Höhe der Grundfläche. In diesem Fall ist das die x-Achse.

Als Nächstes kannst Du die Länge dieser Höhe messen oder berechnen. Beim Berechnen subtrahierst Du den y-Wert des einen Endes der Linie vom y-Wert des anderen Endes der Linie.

In diesem Fall lauten die Koordinaten vom Schnittpunkt mit der x-Achse:

$S_1\left(8\right|0)$

Und die Koordinaten vom Schnittpunkt mit der Spitze des Kegels:

$S_2\left(8\right|6)$

Die y-Werte sind also:

$y_1=0und{y}_2=6$

Jetzt musst Du den kleineren vom größeren Wert subtrahieren:

$$\begin{gathered} h=y_2-y_1 \\ h=6-0 \\ h=6 \end{gathered}$$

Die Höhe des schiefen Kegels beträgt $6cm$.

Da sich die Formel für das Volumen eines schiefen Zylinders nicht von der Formel eines geraden Zylinders unterscheidet, kannst Du die Formel von oben aufschreiben;

$\mathrm{V}=\frac{1}{3}·\mathrm{\pi }·{\mathrm{r}}^2·\mathrm{h}$

Setze beide bekannten Werte ein:

$V=\frac{1}{3}·\pi ·{(3cm)}^2·6cm$

Zum Schluss kannst Du das Ergebnis mit dem Taschenrechner ausrechnen:

$$\begin{gathered} \mathrm{V}=\frac{1}{3}·\mathrm{\pi }·9{\mathrm{cm}}^2·6\mathrm{cm} \\ \mathrm{V}=\frac{1}{3}·\mathrm{\pi }·54{\mathrm{cm}}^3 \\ \mathrm{V}=\frac{54}{3}{\mathrm{cm}}^3·\mathrm{\pi } \\ \mathrm{V}=18{\mathrm{cm}}^3·\mathrm{\pi } \\ \mathrm{V}\approx 56,5{\mathrm{cm}}^3 \end{gathered}$$

Das Volumen des schiefen Kegels beträgt ungefähr $56,5c{m}^3$.

Aufgabe

Berechne das Volumen V eines Kegelstumpfes mit $h=10cm$, $r=4cm$ und $R=8cm$.

Lösung

Zuerst musst notierst Du Dir die passende Formel. Da es sich in der Aufgabenstellung um einen Kegelstumpf handelt, brauchst Du die Formel zur Berechnung des Volumens V eines Kegelstumpfs:

$\mathrm{V}=\frac{1}{3}·\mathrm{\pi }·\mathrm{h}·({\mathrm{R}}^2+\mathrm{R}·\mathrm{r}+{\mathrm{r}}^2)$

Als Nächstes setzt Du die gegebenen Werte ein. Achte dabei darauf, dass R dem größeren Radius entspricht:

$\mathrm{V}=\frac{1}{3}·\mathrm{\pi }·10\mathrm{cm}·({(8\mathrm{cm})}^2+8\mathrm{cm}·4\mathrm{cm}+{(4\mathrm{cm})}^2)$

Zum Schluss rechnest Du das Ergebnis mit dem Taschenrechner aus:

$$\begin{gathered} \mathrm{V}=\frac{1}{3}·\mathrm{\pi }·10\mathrm{cm}·(64{\mathrm{cm}}^2+32{\mathrm{cm}}^2+16{\mathrm{cm}}^2) \\ \mathrm{V}=\frac{1}{3}·\mathrm{\pi }·10\mathrm{cm}·118{\mathrm{cm}}^2 \\ \mathrm{V}=\frac{1}{3}·\mathrm{\pi }·1180{\mathrm{cm}}^3 \\ \mathrm{V}=\frac{1180}{3}{\mathrm{cm}}^3·\mathrm{\pi } \\ \mathrm{V}\approx 1235,7{\mathrm{cm}}^3 \end{gathered}$$

Das Volumen des Kegelstumpfs beträgt ungefähr $1236c{m}^3$.

Aufgabe 3

1. Berechne das Volumen V eines Hütchens mit $r=10cm$ und $h=20cm$. Gib Dein Ergebnis in dm³ an.

2. Berechne die Höhe h einer Eiswaffel mit dem Volumen $V=5ml$ und $r=2cm$.

3. Berechne den Radius r eines schiefen Kegels mit der $h=3m$ und $V=20m^3$.

Lösung

Zu 1.

In diesem Fall sollst Du das Volumen eines normalen Kegels berechnen. Du schreibst Dir also die Formel zur Berechnung des Volumens V eines Kegels auf:

$\mathrm{V}=\frac{1}{3}·\mathrm{\pi }·{\mathrm{r}}^2·\mathrm{h}$

Als Nächstes setzt Du die oben gegebenen Werte in die Formel ein:

$\mathrm{V}=\frac{1}{3}·\mathrm{\pi }·{(10\mathrm{cm})}^2·20\mathrm{cm}$

Jetzt rechnest Du das Ergebnis mit Deinem Taschenrechner aus:

$$\begin{gathered} \mathrm{V}=\frac{1}{3}·\mathrm{\pi }·100{\mathrm{cm}}^2·20\mathrm{cm} \\ \mathrm{V}=\frac{1}{3}·\mathrm{\pi }·2000{\mathrm{cm}}^3 \\ \mathrm{V}\approx 2094,4{\mathrm{cm}}^3 \end{gathered}$$

Jetzt musst Du das Ergebnis noch in dm³ angeben. Du brauchst also die Umrechnung von cm³ zu dm³:

$1c{m}^3=0,01d{m}^3$

Jetzt kannst Du mit dem Dreisatz Dein Ergebnis umrechnen.

$\begin{array}{rcl}1{\mathrm{cm}}^3& =& 0,01{\mathrm{dm}}^3\\ & & \\ 2094,4{\mathrm{cm}}^3& =& 20,9{\mathrm{dm}}^3\end{array}$

Das Volumen des Verkehrshütchens beträgt knapp $21c{m}^3$.

Zu 2.

Als Erstes schreibst Du wieder die passende Formel auf. In der Aufgabenstellung sind alle Parameter enthalten, die für die Formel des Kegelvolumens gebraucht werden.

$\mathrm{V}=\frac{1}{3}·\mathrm{\pi }·{\mathrm{r}}^2·\mathrm{h}$

Da jetzt nach der Höhe gefragt ist, musst Du die Formel nach h umstellen:

$\begin{array}{rcl}\mathrm{V}& =& \frac{1}{3}·\mathrm{\pi }·{\mathrm{r}}^2·\mathrm{h}|÷(\frac{1}{3}·\mathrm{\pi }·{\mathrm{r}}^2)\\ & & \\ \mathrm{h}& =& \frac{\mathrm{V}}{\frac{1}{3}·\mathrm{\pi }·{\mathrm{r}}^2}\\ & & \\ \mathrm{h}& =& \frac{3·\mathrm{V}}{\mathrm{\pi }·{\mathrm{r}}^2}\end{array}$

Bevor Du die Werte einsetzten kannst, musst Du das Volumen, das in Millilitern angegeben ist, erst in cm³ umrechnen. 1 ml entspricht 1 cm³.

$\begin{array}{rcl}1\mathrm{ml}& =& 1{\mathrm{cm}}^3\\ & & \\ 5\mathrm{ml}& =& 5{\mathrm{cm}}^3\end{array}$

Jetzt kannst Du die bekannten Werte in die Formel einsetzten:

$\mathrm{h}=\frac{3·5{\mathrm{cm}}^3}{\mathrm{\pi }·{(2\mathrm{cm})}^2}$

Zum Schluss kannst Du das Ergebnis mit dem Taschenrechner ausrechnen.

$$\begin{gathered} h=\frac{15c{m}^3}{\pi ·4c{m}^2} \\ h\approx 11,8cm \end{gathered}$$

Die Eiswaffel ist knapp $12cm$ hoch.

Zu 3.

In diesem Fall handelt es sich um einen schiefen Kegel. Notiere die passende Formel:

$\mathrm{V}=\frac{1}{3}·\mathrm{\pi }·{\mathrm{r}}^2·\mathrm{h}$

Da nach dem Radius r gefragt ist, kannst Du als Nächstes die Formel nach r umstellen:

$\begin{array}{rcl}\mathrm{V}& =& \frac{1}{3}·\mathrm{\pi }·{\mathrm{r}}^2·\mathrm{h}|÷\left(\frac{1}{3}·\mathrm{\pi }·\mathrm{h}\right)\\ & & \\ {\mathrm{r}}^2& =& \frac{\mathrm{V}}{\frac{1}{3}·\mathrm{\pi }·\mathrm{h}}\\ & & \\ {\mathrm{r}}^2& =& \frac{3·\mathrm{V}}{\mathrm{\pi }·\mathrm{h}}|\sqrt{}\\ & & \\ \mathrm{r}& =& \sqrt{\frac{3\mathrm{V}}{\mathrm{\pi }·\mathrm{h}}}\end{array}$

Jetzt setzt Du die gegebenen Werte von oben in die Formel ein:

$r=\sqrt{\frac{3·20m^3}{\pi ·3m}}$

Zum Schluss berechnest Du noch das Ergebnis mit dem Taschenrechner:

$\begin{array}{rcl}\mathrm{r}& =& \sqrt{\frac{60{\mathrm{m}}^3}{\mathrm{\pi }·3\mathrm{m}}}\\ & & \\ \mathrm{r}& \approx & \sqrt{62,8{\mathrm{m}}^2}\\ & & \\ \mathrm{r}& \approx & 7,9\mathrm{m}\end{array}$

Der Radius des schiefen Kegels beträgt knapp 8 m.