Immer wenn sich zwei Ebenen im Raum befinden, die zueinander nicht parallel sind, dann schneiden sich diese. Dieser Schnitt ist allerdings nicht nur ein Punkt sondern immer eine Gerade. Wie du diese Gerade berechnen kannst, erfährst du in diesem Artikel.
Ebene Grundlagenwissen
Wie Geraden lassen sich auch Ebenen im Raum durch Vektoren mathematisch darstellen. Eine Ebene wird durch zwei nicht parallele Vektoren und einen Punkt eindeutig aufgespannt. Der Bildschirm, den du gerade benutzt, um diesen Artikel zu lesen, stellt auch eine Ebene im dreidimensionalem Raum dar. Fallen dir andere Objekte ein die Ebenen im Alltag darstellen?
Lösungsideen: Ein Blatt Papier, ein Foto, ein Poster an der Wand, die Zimmertür und vieles mehr. Abstrahiert kannst du auch deinen Körper als Ebene im Koordinatensystem darstellen.
So könnte eine beliebige Ebene im Koordinatensystem aussehen:
Abbildung 1: Eine türkisfarbene Ebene im dreidimensionalem Koordinatensystem
Lagebeziehung zweier Ebenen
Zwei Ebenen E und F können genau drei verschiedene Lagen zueinander einnehmen. Die Ebenen können identisch sein, parallel zueinander sein oder sich in einer Geraden g schneiden. Grafisch kannst du dir das wie folgt vorstellen:
identisch | parallel | Schnittgerade |
| 
| 
|
Falls dir das bis hierhin zu schnell war, dann solltest du dir am Besten den Artikel zur Lagebeziehung zweier Ebenen durchlesen.
Im Folgenden erfährst du, wie du den dritten Fall berechnest – die Schnittgerade zweier Ebenen. Wenn sich zwei Ebenen schneiden, liegen alle Punkte, die auf der Schnittgeraden der beiden Ebenen liegen, sowohl in der ersten als auch der zweiten Ebene. Ansonsten haben die Ebenen keine weiteren gemeinsamen Punkte.
Schnittgerade zweier Ebenen berechnen
Falls eine der zwei Ebenen in Koordinatenform und die andere in Parameterform gegeben ist, dann ist die Berechnung verhältnismäßig einfach. Nachfolgend findest du ein Beispiel mit Erklärungen. Nach diesem Beispiel kannst du dich orientieren, da die Schritte bei der Berechnung immer die Gleichen sind.
Zuerst wird nochmal geklärt, was überhaupt unter einer Koordinatenform bzw. Parameterform verstanden wird, da wir dieses Wissen im Folgenden brauchen.
Eine Ebene im dreidimensionalem Raum ist in Koordinatengleichung bzw. Koordinatenform, wenn diese der folgenden Gleichung genügt:
Dabei ist 
der Normalenvektor
und a,b,c und d reelle Zahlen, also 
.
Eine Ebene im dreidimensionalem Raum ist in Parametergleichung bzw. Parameterform, wenn diese der folgenden Gleichung genügt:
Dabei sind r,s reelle Zahlen, 
der Stützvektor und 
,
die Richtungsvektoren der Ebene.
Jetzt kannst du dir ein Beispiel anschauen. Eine Ebene ist in Koordinatenform und die andere Ebene in Parameterform gegeben.
Aufgabe 1
Bestimme die Schnittgerade der Ebenen E und F :
Lösung 1
1. Schritt: Zuerst bestimmst du die Koordinaten von F
2. Schritt: Nun setzt du die Koordinaten von F in die Ebenengleichung von E ein.
3. Schritt: Stelle die erhaltene Gleichung nach einer Variablen um.
4. Schritt: Ersetze die Variable in der Parametergleichung und löse auf
Die nun aufgestellte Gerade g ist die Schnittgerade der Ebenen E und F.
Anschaulich können wir die Lösung der Aufgabe überprüfen. Die türkise Ebene entspricht der Ebene E, die orangene Ebene entspricht der Ebene F und die Gerade g ist dunkelblau eingezeichnet. Du kannst hier erkennen, dass die Gerade sowohl in der Ebene E als auch in der Ebene F liegt.
Abbildung 2: Grafik der Schnittgeraden von den beiden Ebenen
Schnittgerade zweier Ebenen Koordinatenform
Falls die Ebenen in Koordinatenform gegeben sind oder du die Ebenen in Koordinatenform gebracht hast, dann findest du nachfolgend ein Beispiel wie die Berechnung der Schnittgeraden abläuft. Auch in diesem Fall ist die Berechnung verhältnismäßig einfach und kurz.
Wenn du Schwierigkeiten hast, eine Ebene von Parameterform in Koordinatenform zu transformieren, dann schau' dir am Besten den Artikel Ebenengleichung umformen an!
Aufgabe 2
Bestimme die Schnittgerade der Ebenen E und F:
Lösung 2
1. Schritt: Stelle ein lineares Gleichungssystem auf und vereinfache es soweit du kannst.
2. Schritt: Subtrahiere die erste Gleichung von der zweiten Gleichung.
3. Schritt: Stelle die erhaltene Gleichung nach einer Variablen um.
4. Schritt: Ersetze eine Variable durch eine neue Variable. Wir wählen:
5. Schritt: Durch Einsetzen kannst du die übrig gebliebene Variable berechnen:
6. Schritt: Nun setzt du deine Werte in die gesuchte Geradengleichung ein und vereinfachst.
Die nun aufgestellte Gerade g ist die Schnittgerade der Ebenen E und F.
Auch hier nochmal eine Visualisierung, was gerade errechnet wurde. Die Ebene E - hier türkis dargestellt – und die Ebene F orange dargestellt. Die Schnittgerade g ist die dunkelblau eingezeichnete Gerade.
Abbildung 3: Grafik der Schnittgeraden von den beiden Ebenen
Schnittgerade zweier Ebenen Parameterform
Wenn beide Ebenen in Parameterform angegeben sind, dann hast du die Möglichkeit eine der beiden Ebenen zunächst in eine Koordinatengleichung umzuwandeln und so vorzugehen wie bereits erklärt. Ansonsten kannst du die Schnittgerade g der beiden Ebenen finden, indem du beide Gleichungen gleichsetzt. Wir erklären das nochmal anhand eines Beispiels:
Wenn du Schwierigkeiten hast, eine Ebene von Parameterform in Koordinatenform zu transformieren, dann schau' dir am Besten den Artikel Ebenengleichung umformen an!
Aufgabe 3
Bestimme die Schnittgerade der Ebenen E und F:
Lösung 3
1. Schritt: Da beide Ebenen in der gleichen Form sind, kannst du diese gleichsetzen.
2. Schritt: Nun werden alle drei Gleichungen vereinfacht!
\begin{align}3-2u&=1+r+s\\4-t-3u&=2-r\\-3+3u&=2-s\end{align}
3. Schritt: Anschließend muss das lineare Gleichungssystem mit vier Unbekannten gelöst werden.
\begin{align}-2u-r-s&=-2\\-3u+r-t&=-2\\3u+s&=5\end{align}
Nachdem alle Unbekannten auf eine Seite gebracht wurden, wird die erste und zweite Zeile getauscht. Anschließend multiplizieren wir die erste Zeile mit -1.
\begin{align}3u-r+t&=2\\ -2u-r-s&=-2\\3u+s&=5\end{align}
Unser Ziel ist es, jede Variable durch genau eine andere Variable auszudrücken. Hier sollen t, u, r, durch s ausgedrückt werden. Dafür wird das Gleichungssystem jeweils nach den entsprechenden Variablen umgestellt.
\begin{align}t&=2-3u+r\\r&=2-2u-s\\u&=\frac{5}{3}-s\end{align}
u wird in Gleichung II eingesetzt.
\begin{align}t&=2-3u+r\\r&=-\frac{4}{3}+s\\u&=\frac{5}{3}-s\end{align}
Nun wird r in Gleichung I eingesetzt. Jetzt kann jede Variable durch s ausgedrückt werden.
\begin{align}t&=-\frac{13}{3}+4s\\r&=-\frac{4}{3}+s\\u&=\frac{5}{3}-s\end{align}
4. Schritt: Jetzt kannst du so vorgehen wie im 1. Beispiel. Die Variable wird in eine der Ebenengleichungen eingesetzt, durch welche die anderen Variablen ersetzt wurden – in unserem Fall ist das s. Hier bietet sich F an.
\[g:\vec{X} = \begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix} + \left(-\frac{4}{3}+s\right)\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\]
\[g:\vec{X} = \begin{pmatrix}-\frac{1}{3}\\\frac{10}{3}\\2\end{pmatrix} +s\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix}\]
Die aufgestellte Gerade g ist die Schnittgerade der Ebenen E und F.
Anschaulich können wir die Lösung der Aufgabe überprüfen. Die türkise Ebene entspricht der Ebene F, die orangene Ebene entspricht der Ebene E und die Gerade g ist dunkelblau eingezeichnet. Du kannst hier erkennen, dass die Gerade sowohl in der Ebene E als auch in der Ebene F liegt.
Abbildung 4: Grafik der Schnittgeraden von den beiden Ebenen
Schnittgerade zweier Ebenen - Das Wichtigste auf einen Blick
- Zwei Ebenen im dreidimensionalem Raum können entweder identisch, parallel zueinander sein oder sich schneiden.
- Dieser Schnitt ist immer eine Schnittgerade.
- Die Schnittgerade kannst du auf verschiedenen Arten ausrechnen.
- Das Prinzip der Berechnung liegt dem Lösen eines linearen Gleichungssystems nahe.
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