Ein abhebendes Flugzeug, eine Tür, ein Dach. Diese drei Dinge haben alle eine Sache gemeinsam: Sie bilden entweder mit sich selbst oder mit dem Boden/der Wand einen bestimmten Winkel. Diese Winkel können definiert, gemessen, gezeichnet und berechnet werden. Im Laufe dieses Artikels wirst Du eine Übersicht über all diese Punkte bekommen und so die Grundlagen der Winkel in der Mathematik erlernen.
Winkel – Grundlagen
Bevor Du lernst, Winkel zu zeichnen oder zu messen, muss erst einmal geklärt werden, was ein Winkel überhaupt ist.
Winkel – Definition
Dein Schulbus fährt an mehreren Haltestellen vorbei. An Bushaltestelle \(A\) steigt eine Freundin von Dir ein, dann wirst Du an Bushaltestelle \(S\) direkt vor Deinem Haus aufgesammelt. Anschließend muss der Bus abbiegen und fährt dann noch Bushaltestelle \(B\) an. So ist ein Winkel entstanden.
Abbildung 1: Winkel Anwendungsbeispiel
Dieser Sachverhalt kann aber auch mathematisch ausgedrückt werden.
Ein Winkel \(\alpha\) entsteht, wenn sich zwei Halbgeraden \(g\) und \(h\) einen gemeinsamen Anfangspunkt \(S\) teilen.
Der Punkt \(S\) wird dann als Scheitel des Winkels und die Halbgeraden \(g\) und \(h\) als Schenkel bezeichnet.
Ein Winkel \( \alpha\) kann auch am Schnittpunkt \(S\) zweier Geraden oder in einem gemeinsamen Anfangspunkt \(S\) zweier Strecken entstehen.
Der Weg von Dir zur Bushaltestelle \(A\) ist der 1. Schenkel, während der Weg zur Bushaltestelle \(B\) der 2. Schenkel ist. Der Scheitel \(S\) ist dann die Bushaltestelle vor Deinem Haus.
Die Schenkel werden auch immer so nummeriert, wie eine Drehung des Strahls um den Scheitel \(S\) entgegen dem Uhrzeigersinn.
Abb. 2 - Winkel Bezeichnung.
Winkel – Darstellung
Dementsprechend wird ein Winkel auch mit ebendieser Drehung, nämlich einem Kreisbogen, der den Scheitelpunkt als Mittelpunkt und die Schenkel als Begrenzung hat, gekennzeichnet.
Abb. 3 - Kreisbogen Winkel.
Die Länge des gemalten Kreisbogens gibt auch noch die Größe des Winkels an. Ein sogenannter Vollwinkel entspricht dabei einer ganzen Umdrehung, also einem ganzen Kreis. Wenn Du diesen Kreis dann beispielsweise in 4 gleich große Teile aufteilst, dann entspricht die Größe eines Winkels \( \alpha = \frac{1}{4} \, \text{Umdrehung}\).
Abb. 4 - Kreis in Sektoren aufteilen.
Diese Schreibweise ist jedoch sehr kompliziert. Deshalb wird der Kreis in \(360\) Stücke aufgeteilt, die alle sogenannte \( 1^\circ\) groß sind.
Merke: Die Größe des Winkels ist unabhängig vom Radius des Kreissektors und von der Schenkellänge.
\( ^\circ \) (Grad) ist die Einheit, in der ein Winkel angegeben wird. \( 1^\circ\) entspricht der Größe von einem von \(360\) gleich großen Teilen eines Kreises.
Der
Kreis sieht mit der offiziellen Bezeichnung also so aus:
Abb. 5 - Kreis in Sektoren mit Grad.Winkel – Benennung
Der Winkel muss nun auch noch benannt werden. Dafür gibt es grundsätzlich drei verschiedene Optionen:
1. Griechische Kleinbuchstaben | 2. Drei Punkte | 3. Zwei Strahlen |
| Wenn für zwei Winkel der gleiche griechische Buchstabe verwendet wird, dann sind diese gleich groß. | Der 1. Punkt muss immer auf dem ersten Schenkel liegen, der 2. Punkt ist immer der Scheitelpunkt und der 3. Punkt muss auf dem zweiten Schenkel liegen. | Der erste Schenkel wird zuerst genannt, dann folgt, durch ein Komma abgetrennt, die Bezeichnung des zweiten Schenkels. |
| \(\alpha ,\, \beta , \, \gamma ,\, \delta , \, \dots \) | \( \sphericalangle ASB, \, \sphericalangle BSA, \, \dots\) | \(\sphericalangle (g,\, h), \, \sphericalangle (h, \, g), \, \dots \) |
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Winkel – verschiedene Winkel: Übersicht
Jetzt weißt Du schon, was ein Winkel ist und kennst die verschiedenen Arten, wie Du ihn benennen kannst. Ein Winkel ist jedoch nicht immer gleich ein Winkel. Je nach Größe des Winkels haben diese jedoch noch einen speziellen Namen. Des Weiteren gibt es verschiedene Arten von Winkeln an zwei Geraden.
Winkelarten
Winkel bekommen je nach ihrer Größe noch einen speziellen Namen. Im Folgenden findest Du eine Tabelle mit einer Übersicht der verschiedenen Winkelarten.
Winkelart | Abbildung |
Nullwinkel \[ \alpha = 0^\circ\] | 
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spitzer Winkel \[ 0^\circ \, < \, \alpha \, < \, 90^\circ\] | 
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rechter Winkel \[\alpha = 90^\circ\]Ein rechter Winkel wird mit einem Punkt innerhalb des Kreisbogens dargestellt. | 
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stumpfer Winkel \[90^\circ \, < \, \alpha \, < \, 180^\circ\] | 
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gestreckter Winkel \[\alpha = 180^\circ\] | 
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überstumpfer Winkel \[180^\circ \, < \, \alpha \, < \, 360^\circ\] | 
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Vollwinkel \[\alpha = 360^\circ\] | 
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Wenn Du mehr über die verschiedenen Winkelarten erfahren willst, lese im Artikel „Winkelarten“ die Details nach.
Winkel zwischen Geraden
Wenn sich zwei oder drei Geraden schneiden, so entstehen vier bis acht Winkel. Nun gibt es einige Zusammenhänge zwischen den entstehenden Winkeln. Diese Zusammenhänge kannst Du in der folgenden Tabelle finden.
Namen der Winkel | Abbildung |
Nebenwinkel Zwei nebeneinander liegende Winkel bilden zusammen immer einen gestreckten Winkel. \[\alpha + \beta = 180^\circ\] | 
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| Zwei gegenüberliegende Winkel sind immer gleich groß.\[\alpha = \gamma\] | 
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Zwei Winkel, die die gleiche Lage bezüglich der Parallelen haben, sind immer gleich groß. \[\alpha = \alpha '\] | 
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Zwei Winkel, die die entgegengesetzte Lage bezüglich der Parallelen haben, sind immer gleich groß. \[\alpha = \alpha '\] | 
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Winkel – messen
Zum Messen von Winkeln benötigst Du nur ein Geodreieck. Dann kannst Du die folgenden Schritte schon befolgen:
Erklärung | Abbildung |
1. Schritt Je nach Richtung des Winkels musst Du jetzt die passende Winkelskala wählen. Die äußere Winkelskala gilt für Winkel, die gegen den Uhrzeigersinn verlaufen, während die innere Winkelskala für Winkel, die im Uhrzeigersinn verlaufen, gilt. | 
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| 2. Schritt Lege jetzt das Geodreieck mit dem Nullpunkt auf den Scheitelpunkt \(S\) und mit der langen Seite auf den 1. Schenkel. | 
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3. Schritt Dann kannst Du den Winkel an der vorher ausgewählten Skala ablesen. | 
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Winkel – zeichnen
Um einen Winkel zu zeichnen, brauchst Du ebenfalls nur ein Geodreieck. Dann musst Du folgende Schritte befolgen:
Erklärung | Abbildung |
| 1. SchrittZeichne eine Halbgerade. Dabei ist die Länge und die Lage egal. | 
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| 2. SchrittLege das Geodreieck so an, dass der Nullpunkt auf dem Anfangspunkt \(S\) der Halbgeraden liegt und die lange Seite des Geodreiecks zur Hälfte genau auf der Halbgeraden liegt. | 
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| 3. SchrittMarkiere jetzt die Gradzahl, die der Größe Deines Winkels entspricht, mit einem Punkt. | 
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| 4. SchrittVerbinde den Anfangspunkt \(S\) der Halbgeraden mit Deinem eben eingezeichneten Punkt. | 
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| 5. SchrittZeichne den Kreisbogen in die Zeichnung ein, um den Winkel zu markieren. | 
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Wenn Du wissen willst, was genau der Nullpunkt bei einem Geodreieck ist und Du insgesamt genauere Infos zum Messen und Zeichnen von Winkeln erhalten willst, schaue doch mal im Artikel „Winkel messen“ nach.
Winkel – Rechnen
Du kannst Winkel jedoch nicht nur messen und zeichnen, Du kannst mit ihnen auch rechnen. So können Winkel genauso addiert und subtrahiert werden, wie eine Zahl ohne Einheit. Das Grad-Zeichen wird zwar immer dazu geschrieben, ändert aber nichts an der Rechnung.
Wenn Du also \(128^\circ\) mit \(15^\circ\) subtrahieren sollst, so rechnest Du Folgendes:
\[128^\circ - 15^\circ = 113^\circ\]
Abgesehen von der Addition und Subtraktion mit den spezifischen Werten, kannst Du Winkel auch graphisch addieren und subtrahieren.
Wie Du Winkel graphisch addierst und subtrahierst und mit ihnen rechnest, auch wenn Du keine spezifischen Werte gegeben hast, erfährst Du im Artikel „Rechnen mit Winkeln“.
Winkel – berechnen
Grundsätzlich kannst Du nicht nur mit Winkeln rechnen, sondern auch die Winkel selbst berechnen. Dafür gibt es zwei verschiedene Optionen: Die Innenwinkelsumme und die Winkelfunktionen.
Winkel mithilfe der Innenwinkelsumme berechnen
Rechnen kannst Du mit Winkeln, insbesondere über die Innenwinkelsummen von geometrischen Formen.
Für die Innenwinkelsumme \(X\) eines Vieleckes mit \(n\) Ecken gilt folgende Formel:
\[X = (n - 2) \cdot 180^\circ\]
Die meist genutzten geometrischen Figuren sind jedoch das Dreieck und das Viereck. Nach dieser Formel hat ein Dreieck eine Innenwinkelsumme von \(180^\circ\) und ein Viereck eine Innenwinkelsumme von \(360^\circ\).
Mithilfe dieser Formeln kannst Du dann beispielsweise den Winkel einer Ecke berechnen, wenn die Winkel der anderen Ecken gegeben sind.
Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen
In einem rechtwinkligen Dreieck kannst Du, über die Winkelsumme hinaus, auch noch die Winkel über die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens berechnen. Mit jeweils zwei gegebenen Seiten kannst Du so einen spezifischen Winkel berechnen.
Die Formeln für die Winkelfunktionen in einem rechtwinkligen Dreieck lauten:
\begin{align} sin(\alpha) &= \frac{{\color{#00dcb4}\text{Gegenkathete}}}{{\color{#1478c8}\text{Hypo}\text{tenuse}}} \\[0.2 cm] cos(\alpha) &= \frac{{\color{#fa3273}\text{Ankathete}}}{{\color{#1478c8}\text{Hypo}\text{tenuse}}} \\[0.2 cm] tan(\alpha) &= \frac{{\color{#00dcb4}\text{Gegenkathete}}}{{\color{#fa3273}\text{Ankathete}}} \end{align}
Je nach Dreieck können diese Formeln dann angepasst und angewendet werden.
Beispiele und Aufgaben zum Berechnen von Winkeln findest Du im Artikel „Winkel berechnen“.
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