Lagebeziehung Punkt Gerade

Dir ist folgende Gerade in Parameterform gegeben:

\[f: \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} -5 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \]

Außerdem gilt für den Punkt \(P\, (0| \text{3,6}| \text{1,8})\).

Im Folgenden wird überprüft, ob sich dieser Punkt \(P\) auf der Geraden \(f\) befindet.

Schritt 1:

Zuerst kannst Du den Punkt P als Ortsvektor schreiben. Dazu nimmst Du die Koordinaten \((x, y, z)\) und setzt sie in den Vektor ein. Diesen setzt Du mit der Geradengleichung gleich.

\[\left( \begin{array}{c} 0 \\ 3,6 \\ 1,8 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} -5 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \]

Schritt 2:

Nun stellst Du das Gleichungssystem auf. Dazu verwendest Du jede Zeile getrennt.

\begin{align} 0 &= 4 + \lambda \cdot (-5) \\ 3,6 &= 2 + \lambda \cdot 2 \\ 1,8 &= 1 + \lambda \cdot 1 \end{align}

Schritt 3:

Löse nun auf \( \lambda\) auf. Besitzt jede Zeile nun dasselbe \( \lambda \), so liegt der Punkt auf der Geraden. Andernfalls ist er kein Teil der Gerade.

\begin{align} 0 &= 4 + \lambda \cdot (-5) \\ -4 &= \lambda \cdot (-5) && \longrightarrow \lambda = 0,8 \\ \\ 3,6 &= 2 + \lambda \cdot 2 \\ 1,6 &= \lambda \cdot 2 &&\longrightarrow \lambda = 0,8 \\ \\ 1,8 &= 1 + \lambda \cdot 1 &&\longrightarrow \lambda = 0,8 \end{align}

Damit befindet sich der Punkt \(P\) auf der Geraden \(f\). Du kannst es auch so ausdrücken: \(P \in f\).

Abb. 2 – Lagebeziehung Punkt auf Gerade dreidimensionaler Raum

Gegeben ist eine Gerade \(g: \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 2 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} -6 \\ -2 \\ 2 \end{array} \right)\) und ein Punkt \(P = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right) \).

Du bestimmst nun den Abstand zwischen dem Punkt \(P\) und der Geraden \(g\).

Deine Aufgabe besteht im Großen und Ganzen einmal darin, alle Werte in die Formel einzusetzen.

\[d = \frac{ \left| \left( \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 2 \end{array} \right) \right) \times \left( \begin{array}{c} -6 \\ -2 \\ 2 \end{array} \right) \right| }{ \left| \left( \begin{array}{c} -6 \\ -2 \\ 2 \end{array} \right) \right| }\]

Damit hast Du also bereits die Formel aufgestellt. Es würde nun Sinn ergeben, zuerst \( \vec{q}\) von \( \vec{p}\) abzuziehen.

\[d = \frac{ \left| \left( \begin{array}{c} -3 \\ -3 \\ 0 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} -6 \\ -2 \\ 2 \end{array} \right) \right| }{ \left| \left( \begin{array}{c} -6 \\ -2 \\ 2 \end{array} \right) \right| }\]

Im nächsten Schritt kannst Du das Kreuzprodukt anwenden.

\begin{align} d &= \frac{ \left| \left( \begin{array}{c} -6 - 0 \\ 0 - (-6) \\ 6 - 18 \end{array} \right) \right| }{ \left| \left( \begin{array}{c} -6 \\ -2 \\ 2 \end{array} \right) \right| } \\[0.5cm] &= \frac{ \left| \left( \begin{array}{c} -6 \\ 6 \\ -12 \end{array} \right) \right| }{ \left| \left( \begin{array}{c} -6 \\ -2 \\ 2 \end{array} \right) \right| } \end{align}

Wende nun jeweils den Betrag sowohl im Zähler als auch im Nenner an. Dazu quadrierst Du alle Koordinaten in den Vektoren, summierst sie auf und ziehst anschließend die Wurzel.

\begin{align} d &= \frac{ \sqrt{ (-6)^2 + 6^2 + (-12)^2} }{ \sqrt{ (-6)^2 + (-2)^2 + 2^2} } \\[0.4cm]&= \frac{ \sqrt{ 36 + 36 + 144} }{ \sqrt{ 36 + 4 + 4} } \\[0.4cm]&= \frac{6 \sqrt{6} } {2 \sqrt{11} } \\[0.4cm]&\approx 2,22 \text{ LE} \end{align}

Abb. 3 – Lagebeziehung Abstand Punkt Gerade

Es ist nun eine Ebene in Parameterform gegeben:

\[E: \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) + r \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 2 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)\]

In den nächsten Schritten wird geprüft, ob der Punkt \(P\, (2|1|1)\) auf der Ebene liegt.

Schritt 1:

Setze als Erstes den Punkt als Ortsvektor für \( \vec{x}\) in die Ebenengleichung \(E\) ein.

\[\left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) + r \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 2 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)\]

Schritt 2:

Nun kannst Du das Gleichungssystem aufstellen. Dafür besitzt Du insgesamt drei Zeilen.

\begin{align} 2 &= 3 + 1 \cdot r + s \cdot 1 \\ 1 &= 0 + 5 \cdot r + s \\ 1 &= 0 + 2 \cdot r \end{align}

Schritt 3:

Deine Aufgabe besteht nun darin, einen Parameter zu lösen und auf den anderen zu schließen. Sieh Dir dazu die letzte Zeile an, da in diesem Fall sofort auf \(r\) aufgelöst werden kann.

\begin{align} 1 &= 2 \cdot r &&|:2 \\ \text{0,5} &= r \end{align}

Nun verwendest Du das Einsetzungsverfahren, um nun auch auf den Parameter \(s\) zu schließen. Du kannst also \(r = \text{0,5}\) in die zweite Zeile einfügen.

\begin{align} 1 &= 0 + 5 \cdot \text{0,5} + s \\ 1 &= \text{2,5} + s &&| - \text{2,5} \\ \text{- 1,5} &= s \end{align}

Schritt 4:

Teste nun mithilfe der ersten Zeile des Gleichungssystems und den erhaltenen Parametern, ob eine wahre Aussage entsteht. Setze \(r = \text{0,5}\) und \(s = \text{- 1,5}\) in die Gleichung ein.

\begin{align} 2 &= 3 + \text{0,5} \cdot 1 - \text{1,5} \\ 2 &= \text{3,5} - \text{1,5} \\ 2 &= 2 (\checkmark) \end{align}

Es handelt sich um keinen Widerspruch, sondern eine wahre Aussage. Damit gilt \(P \in E\).

Abb. 4 – Lagebeziehung Punkt auf Ebene Parameterform

Im Folgenden ist eine Ebene gegeben:

\[E: \left( \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 5 \\ - 7 \\ 0 \end{array} \right) \right) \circ \left( \begin{array}{c} 5 \\ 3 \\ - 2 \end{array} \right) = 0 \]

Nun kannst Du bestimmen, ob der Punkt \(P\, (3|-3|1)\) auf der Ebene \(E\) liegt.

Schritt 1:

Setze den Punkt \(P\) in die Ebengleichung ein.

\[E: \left( \left( \begin{array}{c} 3 \\ - 3 \\ 1 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 5 \\ - 7 \\ 0 \end{array} \right) \right) \circ \left( \begin{array}{c} 5 \\ 3 \\ - 2 \end{array} \right) = 0 \]

Schritt 2:

Nun wende die Subtraktion innerhalb der Klammer an.

\begin{align} E: \left( \left( \begin{array}{c} 3 \\ - 3 \\ 1 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 5 \\ - 7 \\ 0 \end{array} \right) \right) \circ \left( \begin{array}{c} 5 \\ 3 \\ - 2 \end{array} \right) &= 0 \\[0,2cm] \left( \begin{array}{c} - 2 \\ 4 \\ 1 \end{array} \right) \circ \left( \begin{array}{c} 5 \\ 3 \\ - 2 \end{array} \right) &= 0\end{align}

Schritt 3+4:

Wende nun das Skalarprodukt an. Außerdem kannst Du prüfen, ob die Aussage der Gleichung wahr ist.

\begin{align} \left( \begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ 1 \end{array} \right) \circ \left( \begin{array}{c} 5 \\ 3 \\ - 2 \end{array} \right) &= 0 \\[0,2cm] - 10 + 12 - 2 &= 0 \,(\checkmark) \end{align}

Damit liegt der Punkt \(P\) in der Ebene \(E\) in Normalenform.

Abb. 5 – Lagebeziehung Punkt auf Ebene Normalenform

Aufgabe 1

Die Ebene \(E\) lautet wie folgt: \(E: 4x - 2y + 1z = 5\).

Der Punkt P besitzt folgende Koordinaten: \(P(3|3|-1)\).

Bestimme, ob dieser Punkt auf der Ebenen liegt.

Lösung

Schritt 1:

Setze alle Koordinaten des Punktes in die Ebenengleichung \(E\) ein.

\[4 \cdot 3 - 2 \cdot 3 + 1 \cdot (-1) = 5\]

Schritt 2:

Löse nun die Gleichung auf und achte darauf, ob die Aussage wahr oder falsch wird.

\begin{align} 4 \cdot 3 - 2 \cdot 3 + 1 \cdot (-1) = 6 \\ 12 - 6 - 1 &= 5 \\ 5 &= 5 \, (\checkmark) \end{align}

Damit liegt der Punkt \(P\) auf der Ebene \(E\), da eine wahre Aussage entsteht.

Abb. 6 – Lagebeziehung Punkt auf Ebene Koordinatenform

Aufgabe 2

Dir ist folgende Gerade gegeben:

\[f: \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \]

Außerdem gibt es zwei Punkte.

\[A\, (0|4|2), B\, (0|3|3)\]

a) Ermittle, ob sich der Punkt \(A\) auf der Geraden \(f\) befindet, mithilfe der Parameterform.

b) Ermittle die Lagebeziehung der Geraden \(f\) im dreidimensionalen Raum mit dem Punkt \(B\) mithilfe des Abstands.

Lösung

1. Zunächst ist gefordert, über die Gerade \(f\) zu ermitteln, ob der Punkt \(A\) enthalten ist. Dazu verwendest Du die Parameterform.Schritt 1:Hierbei formst Du den Punkt \(A\) in einen Ortsvektor um: \(A = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 2 \end{array} \right) \).Nun setzt Du diesen mit der Geradengleichung gleich.\[\left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \]Schritt 2:Stelle jetzt im Folgenden das Gleichungssystem auf. \begin{align} 0 &= 0 + \lambda \cdot 0 \\ 4 &= 2 + 2 \cdot \lambda \\ 2 &= 1 + 1 \cdot \lambda \end{align}Schritt 3:Du kannst nun auf \( \lambda \) auflösen. Die erste Zeile muss nicht mehr betrachtet werden, da die Zahl \(0\) multipliziert mit jeder anderen Zahl wieder \(0\) ergibt. Damit ist diese Gleichung für jede Zahl richtig.\begin{align} 2 &= 1 + 1 \cdot \lambda \,\, \rightarrow {\color{#1478c8}\lambda = 1} \\ 4 &= 2 + 2 \cdot 1 \,\, \rightarrow {\color{#1478c8}\lambda =1} \end{align}Beide \(\lambda\) sind identisch. Somit ergibt sich für die Lagebeziehung, dass der Punkt \(A\) auf der Geraden \(f\) liegt.
2. Bereits aus der Fragestellung kannst Du erkennen, dass nach dem Abstand zwischen Punkt \(B\) und der Geraden \(f\) gefragt wird. Dass dieser Punkt also nicht auf der Geraden liegt, brauchst Du nicht zu beweisen.\[d = \frac{ \left|( \vec{p} - \vec{q}) \times \vec{u} \right| }{ \left| \vec{u} \right| }\]Dabei entsprechen folgende Vektoren diesen Werten:\( \vec{p} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 3 \end{array} \right), \vec{q} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right), \vec{u} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \)Setze diese Werte ein. Anschließend kannst Du direkt subtrahieren.\begin{align} d &= \frac{ \left| \left( \left( \begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \right) \times \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \right| }{ \left| \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \right| } \\[0,2cm]&= \frac{ \left| \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \right| }{ \left| \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \right| } \end{align}Wende nun das Kreuzprodukt an.\begin{align} d &= \frac{ \left| \left( \begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \right| }{ \left| \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \right| } \end{align}Nun kannst Du den Betrag des Zählers und Nenners verwenden und den Abstand final ermitteln.\begin{align} d &= \frac{ \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 0^2}}{ \sqrt{0^2 + 2^2 + 1^2}} \\[0,2cm] &= \frac{ 3}{ \sqrt{5} } \\[0,2cm] &\approx 1,34 \text{ LE} \end{align}