Kreis

Kreiszahl \(\pi\) – Definition

Die sogenannte Kreiszahl \(\pi\), ausgesprochen "Pi", beschreibt ein bestimmtes Verhältnis im Kreis.

Kreis berechnen

Am Kreis kannst Du verschiedene Größen berechnen, wie z. B. den Umfang oder Flächeninhalt.

Umfang Kreis

Was ist der Umfang eines Kreises überhaupt?

Stell Dir vor, Du legst mit einer Schnur einen Kreis. Die Länge der Schnur ist dann der Umfang des entsprechenden Kreises.

Abbildung 2 – Umfang U eines Kreises

Die Formel für das Berechnen des Kreisumfangs lässt sich mit wenigen Schritten herleiten.

Stell Dir vor, Du legst mit der Schnur einen Kreis mit einem Durchmesser \(d=1\). Wenn Du diese ausrollst, wirst Du sehen, dass der Umfang genau \(\pi\) beträgt.

Anstelle des Durchmessers d kannst Du für die Berechnung auch den doppelten Radius verwenden, also\[U=2r \cdot \pi\]

Flächeninhalt Kreis

Der Flächeninhalt eines Kreises ist die Fläche, die mit dem Umfang des Kreises eingeschlossen wird.

Der Flächeninhalt von Figuren wird mit dem Buchstaben A abgekürzt.

Abbildung 3 – Flächeninhalt A eines Kreises

Für die Berechnung des Flächeninhalts A eines Kreises gibt es ebenfalls eine Formel.

Hier kannst Du anstelle des Radius den halben Durchmesser nutzen, also \[A=\left(\frac{d}{2}\right)^2 \cdot \pi\].

Kreisteile

Ein Kreis kann in verschiedene Kreisteile aufgeteilt werden. Dazu gehören der Kreisbogen, der Kreissektor bzw. Kreisausschnitt und das Kreissegment.

Die einzelnen Kreisteile sind in folgender Tabelle genauer beschrieben.

Kreisbogen	Kreissektor	Kreissegment	Kreisring
Der Kreisbogen ist ein Teil auf der Kreislinie eines Kreises und ist damit ein Anteil des Gesamtumfangs U des Kreises.	Der Kreissektor, auch Kreisausschnitt genannt, ist in der Geometrie eine Teilfläche eines Kreises, der zwischen zwei Radien des Kreises und dem dazugehörigen Kreisbogen liegt.	Das Kreissegment wird auch Kreisabschnitt genannt und ist in der Geometrie eine Teilfläche der Kreisfläche, die von einer Sehne und dem dazugehörigen Kreisbogen umschlossen wird.	Ein Kreisring ist die Fläche, welche zwischen zwei unterschiedlich großen Kreisen mit demselben Mittelpunkt liegt. Aufgrund dessen hat ein Kreisring zwei verschiedene Radien: der Radius \(r_k\) des kleinen Innenkreises und der Radius \(r_g\) des größeren Außenkreises. Beide dieser Radien – und damit beide Kreise – haben den gleichen Mittelpunkt M.
Abb. 4 – Kreisteile			Abb. 5 – Kreisring
Die Länge \(b\) des Kreisbogens kannst Du mit folgender Formel berechnen: \[ b= 2\cdot \pi \cdot r \cdot \frac{\mu}{360^\circ}\]	Den Flächeninhalt \(A_s\) eines Kreissektors berechnest du mit der Formel \[ A_s= \pi \cdot r^2 \cdot \frac{\mu}{360^\circ}.\]	Den Flächeninhalt Den Flächeninhalt \(A_a\) eines Kreissektors kannst Du mit folgender Formel berechnen:\[ A_a= \pi \cdot r^2 \cdot \frac{\mu}{360^\circ}-\frac{1}{2} \cdot s \cdot (r-h).\]	Für den Flächeninhalt A eines Kreisrings mit dem Außenradius \(r_g\) und dem Innenradius \(r_k\) gilt: \[ A_k= \pi \cdot {r_g}^2-\pi \cdot {r_k}^2 .\]

Satz des Thales – Definition

Der Satz des Thales ist ein wichtiger Satz in der Mathematik und bezieht sich auf den Halbkreisbogen, also einen halbierten Kreis.

Abbildung 6 – Satz des Thales

Kreis – Gradmaß & Bogenmaß

Das Gradmaß und das Bogenmaß lassen sich ebenfalls am Kreis verdeutlichen.

Der genaue Zusammenhang erklärt sich am Einheitskreis:

Abbildung 7 – Gradmaß und Bogenmaß

Dargestellt ist ein Winkel im Einheitskreis. Das Gradmaß beschreibt hier den Winkel \(\alpha\) in Grad, das Bogenmaß \(x\) ist die entsprechende Länge des Bogens, die der Teil des Kreises hat, der zum entsprechenden Winkel gehört. Wie Du schon weißt, hat der Umfang bzw. die Bogenlänge oft mit der Kreiszahl \(\pi\) zu tun, weshalb das Bogenmaß oft mit \(\pi\) dargestellt wird.

Du kannst das Gradmaß und das Bogenmaß ineinander umrechnen. Die entsprechenden Formeln dafür findest Du hier:

Kreis – Tangente, Sekante & Passante

Tangenten, Passanten und Sekanten am Kreis sind Geraden mit besonderer Lage zum Kreis. Ihre Lage ist dabei entscheidend für ihre Bezeichnung. Wie genau diese Geraden aussehen können, siehst Du in der folgenden Tabelle.

Tangente	Sekante	Passante
Eine Tangente t ist eine Gerade, die den Kreis in genau einem Punkt P berührt.	Eine Gerade wird Sekante s genannt, wenn sie eine Figur in mindestens zwei Punkten schneidet. In einem Kreis hat eine Sekante genau zwei Schnittpunkte P und Q.	Eine Passante p ist eine Gerade, welche den Kreis weder schneidet noch berührt. Sie „passiert“ den Kreis sozusagen. Die Passante hat mit dem Kreis keine gemeinsamen Punkte.
Abb. 8 – Tangente	Abb. 9 – Sekante	Abb. 10 – Passante

Winkel am Kreis

Winkel am Kreis – die gibt es wirklich. Sie entstehen zum Beispiel durch die Unterteilung eines Kreises in Kreissektoren oder Kreisbögen.

Welche Winkel es gibt und wo sie liegen kannst Du der folgenden Tabelle und der Abbildung entnehmen.

Kreis Formeln

Der Kreis ist eine der wichtigsten geometrischen Formen der Ebene, weshalb Du oft Berechnungen am Kreis machen musst. Dafür hast Du im folgenden Absatz noch mal die wichtigsten Formeln in einer Tabelle zusammengefasst.