Dreiecksungleichung

Hast du jemals versucht, ein Dreieck zu zeichnen, bei dem eine Dreiecksseite länger war, als die anderen beiden Seiten zusammen?

Dein Versuch ist dabei sicher ähnlich geendet wie dieser hier:

Abbildung 1: unvollständiges Dreieck

Das liegt daran, dass die Dreiecksungleichung, die eine Voraussetzung für die Existenz eines jeden Dreiecks ist, nicht eingehalten wird.

Was die Dreiecksungleichung ist und wann sie eingehalten wird, erfährst du in diesem Artikel. Neben der Dreiecksungleichung gibt es auch noch die umgekehrte Dreiecksungleichung.

Dreiecksungleichung einfach erklärt

Am Anfang dieses Artikels erhältst du einen Überblick darüber, was die Dreiecksungleichung überhaupt ist. Das ist wichtig, um sie später anwenden und beweisen zu können.

Die Dreiecksungleichung ist ein wichtiger Satz in der Geometrie. Der Satz besagt:

Um die Idee der Dreiecksungleichung zu verstehen, bietet es sich an, das folgende Dreieck ABC zur Hilfe zu nehmen:

Die Idee, die hinter dem Satz der Dreiecksungleichung steckt, ist folgende:

Es gibt zwei Möglichkeiten, um vom Eckpunkt A zum Eckpunkt C zu kommen, indem man die Seiten a, b und c des Dreiecks als Wegstrecken verwendet:

• Möglichkeit 1: Man nimmt den direkten Weg von Eckpunkt A über die Seite b zum Eckpunkt C:

• Möglichkeit 2: Man nimmt den indirekten Weg von Eckpunkt A über die Seite c zum Eckpunkt B und von da aus über die Seite a zum Eckpunkt C:

Dir fällt sicher schnell auf, dass der Weg über den Eckpunkt B ein Umweg ist. Daraus resultiert, dass die Summe der Seitenlängen der Seiten c und a größer ist als die Länge der Seite b.

Mit anderen Worten: Die Seite b ist kürzer als die Seiten c und a zusammen.

Diese Idee kann genauso auf die Verbindung der Eckpunkte A und B sowie die Verbindung der Eckpunkte B und C übertragen werden.

Dreiecksungleichung Satz

Ganz mathematisch korrekt war die Definition der Dreiecksungleichung im vorherigen Abschnitt nicht. Sofern du aber noch nicht mit Vektoren sondern nur mit den Seitenlängen eines Dreiecks rechnest, reicht die oben erläuterte Definition der Dreiecksungleichung für dich vollkommen aus. Du solltest diesen Artikel aber jetzt nicht voreilig schließen. Am Ende dieses Artikels findest du noch Übungsaufgaben zur Dreiecksungleichung.

Du bist schon in der Oberstufe und rechnest bereits mit Vektoren? Dann solltest du dir den folgenden Abschnitt unbedingt anschauen.

Satz der Dreiecksungleichung

Diese Definition weicht nur kaum von der obigen Definition ab.

Die Unterschiede sind folgende: Sie beinhaltet Betragsstriche für jede der drei Dreiecksseiten und erweitert dasKleiner-Zeichen um den Gleichheitsfall.

Wendest du die Formel der Dreiecksungleichung für ein ganz normales Dreieck an, ist es egal, ob du die Formel mit oder ohne Betragsstriche verwendest. Das liegt daran, dass die Seitenlängen von Dreiecken immer positiv sind. Wenn du die Formel der Dreiecksungleichungen aber bei Vektoren anwendest, musst du unbedingt an die Betragsstriche denken!

Man kann den Gleichheitsfall auch auf Dreiecke übertragen, jedoch erhält man dann kein normales Dreieck.

Ist die Summe zweier Seitenlängen genauso groß wie die dritte Seite, so liegen alle drei "Eckpunkte des Dreiecks" auf einer Strecke.

Bei einem solchen Dreieck handelt es sich um ein entartetes Dreieck.

Ein Beispiel für ein solches Dreieck siehst du hier:

Abbildung 5: Entartetes Dreieck

Wie du siehst, handelt es sich bei zwei der Seiten des Dreiecks, also den Strecken und um Teilstrecken der dritten Seite, die durch die Strecke dargestellt wird.

Die Strecke ist demnach die längste Seite des Dreiecks und genauso lang, wie die Strecken und zusammen. Es gilt:

Das ist der Grund, warum der Satz der Dreiecksungleichung den Gleichheitsfall berücksichtigt.

Satz der umgekehrten Dreiecksungleichung

Super, du kennst nun die Dreiecksungleichung. Doch was hat es mit der umgekehrten Dreiecksungleichung auf sich?

Die Antwort auf diese Frage erhältst du in diesem Abschnitt des Artikels.

Wie genau man die umgekehrte Dreiecksungleichung aus der Dreiecksungleichung herleitet, musst du nicht im Detail wissen. Im Beweis der umgekehrten Dreiecksungleichung kannst du dir aber anschauen, wie man die umgekehrte Dreiecksungleichung zurück in die Form der Dreiecksungleichung überführen kann.

Umgekehrte Dreiecksgleichung Beweis

Nachdem du nun gelernt hast, was die Dreiecksungleichung und die umgekehrte Dreiecksungleichung sind, erfährst du in diesem Abschnitt wie die beiden Ungleichungen bewiesen werden können.

Beweis der Dreiecksungleichung

Die Dreiecksungleichung kann bewiesen werden, indem man sie quadriert. Das ist nur möglich, da es sich bei allen Bestandteilen der Ungleichung um Beträge handelt. Da aus diesem Grund mit keiner negativen Zahl gerechnet wird, ist das Quadrieren an dieser Stelle erlaubt.

Wenn man die Dreiecksungleichung in der Form quadriert, ergibt sich folgende Ungleichung:

Wie du siehst, beinhalten beide Seiten der Ungleichung die Summanden und .

Im nächsten Schritt subtrahierst du diese beiden Summanden auf beiden Seiten der Ungleichung. Daraus resultiert:

Diese Ungleichung gilt für alle reellen Zahlen. Sind a und b beide positiv oder negativ, so sind beide Seiten der Ungleichung gleich groß. Ist einer der beiden Faktoren negativ, so ist kleiner als .

Deshalb ist die Dreiecksungleichung hiermit bewiesen.

q. e. d.

Beweis der umgekehrten Dreiecksungleichung

Der Beweis der umgekehrten Dreiecksungleichung baut auf der regulären Dreiecksungleichung, die bereits bewiesen wurde, auf.

Dazu soll gezeigt werden, dass die umgekehrte Dreiecksungleichung zurück in die Form der regulären Dreiecksungleichung überführt werden kann.

Zu Beginn dieses Beweises muss eine Fallunterscheidung vorgenommen werden. Man unterscheidet die Fälle und .

Beweis der umgekehrten Dreiecksungleichung für a ≥ b

Zunächst soll die umgekehrte Dreiecksungleichung für den Fall bewiesen werden.

Wenn , gilt für

Deshalb reicht es in diesem Fall zu zeigen, dass die folgende Ungleichung gilt:

Im ersten Schritt formt man in um. Eine solche Umformung macht man sich in vielen mathematischen Beweisen zu Nutze. Diese Umformung ist zulässig, da der der Wert von b zuerst subtrahiert und dann wieder addiert wird. Der Betrag ändert sich deshalb nicht.Die Umformung vonwird nun in die zu beweisende Ungleichung eingesetzt:
Als Nächstes wird der Betrag von b auf beiden Seiten der Ungleichung hinzuaddiert. Es ergibt sich:
Wenn nun jedes durch ein ersetzt wird, folgt diese Ungleichung:
Da diese Ungleichung die Form der regulären Dreiecksungleichung hat, ist die umgekehrte Dreiecksungleichung für bewiesen.

Beweis der umgekehrten Dreiecksungleichung für a < b

Abschließend muss die umgekehrte Dreiecksungleichung noch für den Fall bewiesen werden.

Dafür wird eine ähnliche Vorgehensweise gewählt.

Wenn , gilt für

Deshalb reicht es zu zeigen, dass die folgende Ungleichung gilt:

Im ersten Schritt wird der Betrag von b umgeformt: Statt wird nun geschrieben. Diese Umformung wird jetzt in die zu beweisende Ungleichung eingesetzt. Es folgt:
Als Nächstes wird auf beiden Seiten der Ungleichung der Betrag von a addiert. Daraus resultiert:
Zum Schluss wird nur noch durch ersetzt. Da für die Beträge der Differenzen von a und b gilt , kann auch durch ersetzt werden. Deshalb folgt:
Auch diese Ungleichung hat die Form der regulären Dreiecksungleichung. Daher ist die umgekehrte Dreiecksungleichung hiermit auch für bewiesen.

Dreiecksungleichung Aufgaben

Super gemacht! Du weißt nun alles, was du in der Theorie über die Dreiecksungleichung und die umgekehrte Dreiecksungleichung wissen musst. In den folgenden drei Aufgaben kannst du überprüfen, ob du alles zu diesem Thema verstanden hast.