Skalarmultiplikation

Q: Was ist ein Vielfaches bei Vektoren?

Ein Vielfaches eines Vektors ist die Vervielfachung der Strecke, entlang derer der Vektor verläuft.

Q: Wie multipliziere ich einen Vektor mit einem Skalar?

Du multiplizierst einen Vektor mit einem Skalar, indem du die Zahl mit allen einzelnen Richtungswerten eines Vektors multiplizierst.

Q: Kann ich eine Zahl mit einem Vektor multiplizieren?

Ja, du kannst eine Zahl mit einem Vektor multiplizieren. Du musst nur darauf achten, dass du jeden Wert des Vektors mit der Zahl multiplizierst.

Q: Wie multipliziere ich einen Vektor mit einem Bruch?

Du multiplizierst einen Vektor mit einem Bruch genau so, wie du es bei anderen Zahlen machst. Du musst jede einzelne Zahl des Vektors mit dem Bruch multiplizieren.

Stochastik

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Du musst bald eine Klausur über Vektoren schreiben und weißt absolut nicht, wie Du sie vervielfachst? Dann bist Du hier genau Richtig! Hier bekommst Du die Information, was Vektoren überhaupt sind und wie man sie vervielfacht.

Skalarmultiplikation – Grundlagenwissen

Für das Thema zum Vervielfachen zweier Vektoren ist die Wiederholung von Vektoren und Richtungsvektoren notwendig, wenn Du Dir nicht mehr sicher bist, was genau das ist, kannst Du ja gern nochmal reinschauen. Wenn nicht, kannst Du den Teil auch überspringen.

Vektoren

Zum Einstieg in das Thema ist eine Wiederholung zu Vektoren empfehlenswert.

Ein Vektor ist ein Objekt, welches in einem Koordinatensystem eine Richtung zu einem Punkt zeigt. Das Koordinatensystem kann zwei- und dreidimensional sein.

Ein Vektor kann aus zwei oder drei Zahlen bestehen. Aus zwei Zahlen besteht er, wenn er im zweidimensionalen Koordinatensystem liegt, aus drei, wenn er im dreidimensionalen Koordinatensystem liegt. Hier siehst Du den Aufbau der Vektoren $\vec{a}$ (3D) und $\vec{b}$ (2D)

$\begin{matrix} \vec{a} = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) & \vec{b} = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) \end{matrix}$

Im Folgenden siehst Du ein Beispiel des Vektors $\vec{b}$ im Koordinatensystem.

Das nächste zweidimensionale Koordinatensystem zeigt Dir den Vektor $\vec{b} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})$ , welcher Dich zum Punkt $B (1 | 2)$ führt.

Skalarprodukt Vektor b im zweidimensionalen Koordinatensystem StudySmarter Abbildung 1: Vektor im zweidimensionalen Koordinatensystem

Und ebenfalls für den Vektor $\vec{a}$ .

Der Vektor $\vec{a} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix})$ führt Dich im dreidimensionalen Koordinatensystem zum Punkt $A (1 | 2 | 3)$ . Dies sieht man in folgender Abbildung:

Skalarprodukt Vektor a im dreidimensionalen Koordinatensystem StudySmarter Abbildung 2: Vektor a im dreidimensionalen Koordinatensystem.

Ein Vektor kann in einem drei- oder zweidimensionalen Koordinatensystem liegen.

In einem dreidimensionalen Koordinatensystem hat der Vektor zwei Bewegungsrichtungen. Einmal $x_{1}$ , die Bewegung in Richtung x-Achse, $x_{2}$ in Richtung y-Achse und x₃ verläuft in Richtung der z-Achse.

Das nächste Bild zeigt Dir den Weg, den Vektor $\vec{a}$ innerhalb des dreidimensionalen Koordinatensystems zurücklegt. Zuerst verläuft er eine Einheit auf der x-Achse voran, nämlich den Vektor $\vec{b} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ . Gleich darauf verläuft er von dem Punkt $B (1 | 0 | 0)$ den Vektor $\vec{c} = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})$ zum Punkt $C (1 | 2 | 0)$ auf der y-Achse. Von diesem Punkt verläuft der Vektor $\vec{d} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{matrix})$ zum Endpunkt $A (1 | 2 | 3)$ auf der z-Achse.

Vervielfachen von Vektoren Der Weg des Vektors a StudySmarter Abbildung 4: Der Weg des Vektors a.

Richtungsvektor

Im Folgenden wird Dir der Begriff des Richtungsvektors erklärt.

Der Richtungsvektor gibt die räumliche Richtung von einer Gerade vor. Er geht nie aus dem Ursprung. Er stützt sich auf dem Stützvektor, welcher immer aus dem Ursprung geht und fängt ab dem Punkt des Stützvektors an.

Hier noch einmal die Erklärung zur Veranschaulichung:

$g : \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{b} = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix})$

$\vec{a}$ = Stützvektor
$\vec{b}$ = Richtungsvektor
r = Variable für einen Skalar

Ein Stützvektor kann beliebig gewählt werden, denn der Richtungsvektor bleibt dabei unverändert. Er erhält lediglich eine andere Position im Koordinatensystem.

Im nächsten Beispiel siehst Du eine Abbildung, um den Stützvektor $\vec{a}$ zu veranschaulichen.

Hier siehst Du eine Gerade $g : \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{b} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix})$ im Koordinatensystem. Der Stützvektor $\vec{a} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})$ ist ebenfalls eingezeichnet, damit Du Dir besser vorstellen kannst, was ein Stützvektor ist und wie er aussieht.

Vervielfachen von Vektoren Stützvektor a im Koordinatensystem StudySmarter Abbildung 5: Stützvektor a im Koordinatensystem

Skalarmultiplikation – Definition

In diesem Abschnitt erfährst Du, was eine Skalarmultiplikation ist.

Eine Skalarmultiplikation ist die Multiplikation einer reellen Zahl (Skalar y) mit einem Vektor. Durch eine Skalarmultiplikation erhält man einen verlängerten Vektor.

Skalarmultiplikation Anwendung

Bei einer Skalarmultiplikation wird eine reelle Zahl mit einem Vektor multipliziert. Eine Berechnung sieht folgendermaßen aus:

$y \cdot \vec{a} = y \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} y \cdot x_{1} \\ y \cdot x_{2} \\ y \cdot x_{3} \end{matrix})$

Wenn zwei Vektoren vielfache voneinander sind, nennt man sie auch kollinear.

Aber was passiert, wenn y größer, kleiner oder gleich 0 ist?

Wenn $y > 1$ , dann wird der Vektor verlängert.
Wenn $y = 1$ , dann bleibt der Vektor gleich.
Wenn $y < 1$ und $y > 0$ , dann wird der Vektor kürzer, wechselt aber noch nicht seine Richtung.
Wenn $y < 0$ , dann geht der Vektor in die entgegengesetzte Richtung.

Im Folgenden siehst Du ein paar Anwendungsbeispiele.

Aufgabe 1

Vervielfache den Vektor $\vec{a}$ mit der Zahl 4.

$\vec{a} = (\begin{matrix} 6 \\ 3 \end{matrix})$

Lösung

Um den Vektor um 4 zu vervielfachen, werden die einzelnen Zahlen mit 4 multipliziert.

$4 \cdot \vec{a} = 4 \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6 \cdot 4 \\ 3 \cdot 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 24 \\ 12 \end{matrix})$

Durch die Vervielfachung mit 4 erhältst Du den verlängerten Vektor $\vec{a_{2}}$ . Vektor $\vec{a}$ und das Vielfache $\vec{a_{2}}$ sind kollinear.

$\vec{a_{2}} = (\begin{matrix} 24 \\ 12 \end{matrix})$

Hier siehst Du, wie der verlängerte Vektor $\vec{a_{2}}$ aussieht.

Veervielfachunf von Vektoren Vervielfachung des Vektors a StudySmarter Abbildung 6: Vervielfachung des Vektors a.

Aufgabe 2

Vervielfache den Vektor $\vec{a}$ um 3.

$\vec{a} = (\begin{matrix} - 2 \\ 5, 5 \\ 3 \end{matrix})$

Lösung

$3 \cdot \vec{a} = 3 \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 5, 5 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \cdot (- 2) \\ 3 \cdot 5, 5 \\ 3 \cdot 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 6 \\ 16, 5 \\ 9 \end{matrix})$

Das Vervielfachen funktioniert, in dem Du die einzelnen Zahlen des Vektors mit der Zahl 3 multiplizierst. Dadurch erhält man den Vektor:

$\vec{a} = (\begin{matrix} - 6 \\ 16, 5 \\ 9 \end{matrix})$

Im dreidimensionalen Koordinatensystem sieht das so aus:

Vervielfachung von Vektoren Vervielfachen des Vektors a StudySmarter Abbildung 7: Vervielfachen des Vektors a.

Skalarmultiplikation mit negativem Skalar

Bei einer Skalarmultiplikation mit negativem Skalar verläuft der Vektor nach dem Ausmultiplizieren in die entgegengesetzte Richtung.

Im Folgenden siehst Du zwei Beispiele. Zuerst in einem zweidimensionalen Koordinatensystem.

Aufgabe 3

Multipliziere den Vektor $\vec{a}$ mit der Zahl -1.

$\vec{a} = (\begin{matrix} 6 \\ 3 \end{matrix})$

Lösung

$- 1 \cdot \vec{a} = - 1 \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \cdot 6 \\ - 1 \cdot 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 6 \\ - 3 \end{matrix})$

Du multiplizierst einen Vektor, indem Du jede Zahl des Vektors mit dem Skalar verrechnest.

$\vec{a} = (\begin{matrix} - 6 \\ - 3 \end{matrix})$

Hier siehst Du den Vektor $\vec{a}$ vor und nach der Multiplikation.

Vervielfachung von Vektoren Vervielfachung des Vektors a mit -1 StudySmarter Abbildung 8: Vervielfachung des Vektors a mit -1

Bei einer Vervielfachung mit -1 kommt es nicht zu einer Verlängerung des Vektors, sondern nur zu einer Symmetrie.

Das nächste Beispiel ist eine negative Skalarmultiplikation im dreidimensionalen Koordinatensystem.

Aufgabe 4

Multipliziere den Vektor $\vec{a}$ mit dem Skalar -0,5.

$\vec{a} = (\begin{matrix} 4 \\ 8 \\ 2 \end{matrix})$

Lösung

$- 0, 5 \cdot \vec{a} = - 0, 5 \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 8 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} (- 0, 5) \cdot 4 \\ (- 0, 5) \cdot 8 \\ (- 0, 5) \cdot 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 \\ - 4 \\ - 1 \end{matrix})$

Beim Multiplizieren mit einem negativen Skalar erhältst Du einen Vektor in die entgegengesetzte Richtung. In diesem Fall sogar mit einer geringeren Strecke, weil mit -0,5 multipliziert wurde. Dadurch erhältst Du den Vektor:

$\vec{a} = (\begin{matrix} - 2 \\ - 4 \\ - 1 \end{matrix})$

Vervielfachung von Vektoren Vervielfachung des Vektors a mit dem Skalar -0,5 StudySmarter Abbildung 9: Vervielfachung des Vektors a mit dem Skalar -0,5.

Falls Dir die Berechnung eines Skalarproduktes noch unbekannt ist, hier ein kleiner Hinweis.

Skalarmultiplikation zweier Vektoren

Ein Skalarprodukt zweier Vektoren ist die Multiplikation zweier Vektoren miteinander. Dafür werden die jeweils gegenüberstehende Zahl zweier Vektoren multipliziert und danach werden die Produkte addiert.

Im Folgenden siehst Du die Formel eines Skalarprodukts.

$\vec{a} \circ \vec{b} = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{matrix}) = x_{1} \cdot y_{1} + x_{2} \cdot y_{2} + x_{3} \cdot y_{3}$

Hier siehst Du ein Beispiel zur Berechnung eines Skalarprodukts:

Berechne das Skalarprodukt vom Vektor $\vec{a} = (\begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix})$ und Vektor $\vec{b} = (\begin{matrix} 1, 5 \\ 2 \end{matrix})$ .

Auch hier siehst Du, wie die Zahlen des Vektors multipliziert und danach addiert werden, um das Skalarprodukt zu erhalten.

$\vec{a} \circ \vec{b} = (\begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 1, 5 \\ 2 \end{matrix}) = 2 \cdot 1, 5 + 5 \cdot 2 = 3 + 10 = 13$

Das Skalarprodukt ist in diesem Fall 13.

Richtungsvektor Vielfaches

Bei einer Vervielfachung eines Richtungsvektors gehst Du genauso wie bei einem alleinstehenden Vektor vor.

Wenn die Richtungsvektoren zweier Geraden Vielfache voneinander sind, liegen sie parallel zueinander. Wenn in diesem Fall der Stützvektor derselbe ist, sind die Geraden identisch. Wenn der Stützvektor kein Vielfaches oder der gleiche ist, dann sind die Geraden parallel.

Im Folgenden siehst Du ein Beispiel zum Vielfachen eines Richtungsvektors einer Gerade.

Aufgabe 5

Erstelle zur Gerade $g : \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix})$ eine parallele Gerade, indem Du den Richtungsvektor um 2 vervielfachst.

Lösung

Die Lösung ist nur eine mögliche Lösung, weil Du einen beliebigen Stützvektor verwenden kannst, der kein Vielfaches von dem Stützvektor der Ausgangsfunktion ist. Du kannst zum Beispiel auch einen Stützvektor nehmen, wie $\vec{a} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ oder $\vec{a} = (\begin{matrix} 200 \\ 350 \\ - 3 \end{matrix})$ . Jegliche Zahlenkombination ist möglich, solange sie die beiden Ortsvektoren der Geraden $g : \vec{x}$ und $h : \vec{x}$ nicht linear abhängig voneinander sind.

Linear abhängige Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind Vielfache voneinander.

$h : \vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 6 \\ 8 \end{matrix})$

Als Stützvektor wurde hier der Vektor $\vec{a} = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix})$ verwendet.

Beim Vervielfachen des Richtungsvektors kommt der Vektor $\vec{b} = (\begin{matrix} 4 \\ 6 \\ 8 \end{matrix})$ raus. Das führt Dich zu der Gerade $h : \vec{x}$ :

$h : \vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 6 \\ 8 \end{matrix})$

Wenn Du an dieser Stelle eine andere Gerade hast, ist das kein Problem, denn der Stützvektor kann und darf anders aussehen. Durch die Vervielfachung des Richtungsvektors erhältst Du zwei parallele Geraden $h : \vec{x} u n d g : \vec{x}$ .

Diese Abbildung zeigt die Geraden $h : \vec{x} u n d g : \vec{x}$ im dreidimensionalen Koordinatensystem:

Vervielfachung von Vektoren Zwei parallele Geraden g:x und h:x StudySmarter Abbildung 10: Zwei parallele Geraden g:x und h:x.

Skalarmultiplikation – Aufgaben

Und zum Abschluss noch ein paar Übungsaufgaben, um Dein gelerntes Wissen zu überprüfen!

Aufgabe 6

Vervielfache den Vektor $\vec{a} = (\begin{matrix} 2, 5 \\ 7 \end{matrix})$ mit der Zahl 8.

Lösung

$8 \cdot \vec{a} = 8 \cdot (\begin{matrix} 2, 5 \\ 7 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 8 \cdot 2, 5 \\ 8 \cdot 7 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 20 \\ 56 \end{matrix})$

Durch die Skalarmultiplikation von 8 mit dem Vektor $\vec{a}$ erhält man den Vektor $\vec{a} = (\begin{matrix} 20 \\ 56 \end{matrix})$ .

Aufgabe 7

Mache eine Skalarmultiplikation von -5 und dem Vektor $\vec{a} = (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 3, 5 \end{matrix})$ .

Lösung

$- 5 \cdot \vec{a} = - 5 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 3, 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \begin{matrix} (- 5) \cdot 1 \\ (- 5) \cdot (- 2) \\ (- 5) \cdot 3, 5 \end{matrix} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 5 \\ 10 \\ - 17, 5 \end{matrix})$

Durch die Skalarmultiplikation von -5 von dem Vektor $\vec{a}$ erhältst Du den Vektor $\vec{a} = (\begin{matrix} - 5 \\ 10 \\ - 17, 5 \end{matrix})$ .

Aufgabe 8 zu parallelen Geraden

Erstelle eine parallele Gerade $h : \vec{x}$ zu der Gerade $g : \vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ 0, 5 \\ 3 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 1, 5 \\ 7 \end{matrix})$ , indem Du den Richtungsvektor mit 3 vervielfachst.

Lösung

$h : \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + 3 \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 1, 5 \\ 7 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 3 \cdot (- 2) \\ 3 \cdot 1, 5 \\ 3 \cdot 7 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 6 \\ 4, 5 \\ 21 \end{matrix})$

Durch das Vervielfachen des Richtungsvektors und der Verwendung eines ganz anderen Stützvektors erhältst Du die Gerade $h : \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 6 \\ 4, 5 \\ 21 \end{matrix})$ .

Skalarmultiplikation – Das Wichtigste

Bei einer Skalarmultiplikation wird eine reelle Zahl mit einem Vektor $\vec{a}$ multipliziert. Die Berechnung sieht folgendermaßen aus:

$y \cdot \vec{a} = y \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} y \cdot x_{1} \\ y \cdot x_{2} \\ y \cdot x_{3} \end{matrix})$

Es gibt verschieden Arten, einen Vektor zu vervielfachen:

Wenn $y > 0$ , dann wird der Vektor verlängert.
Wenn $y = 1$ , dann bleibt der Vektor gleich.
Wenn $y < 1 u n d > 0$ , dann wird der Vektor kürzer.
Wenn $y < 0$ , dann verläuft der Vektor in die entgegengesetzte Richtung.

Der Richtungsvektor gibt die räumliche Richtung von zum Beispiel einer Gerade oder einer Seite einer Ebene vor. Er geht nie aus dem Ursprung. Er stützt sich auf dem Stützvektor, welcher immer aus dem Ursprung geht und fängt ab dem Punkt des Stützvektors an.
Wenn die Richtungsvektoren zweier Geraden Vielfache voneinander sind, dann liegen sie parallel zueinander.
Wenn in diesem Fall der Stützvektor derselbe ist, dann sind die Geraden identisch.
Wenn der Stützvektor kein Vielfaches oder der gleiche ist, dass sind die Geraden parallel.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Skalarmultiplikation

Ein Vielfaches eines Vektors ist die Vervielfachung der Strecke, entlang derer der Vektor verläuft.

Du multiplizierst einen Vektor mit einem Skalar, indem du die Zahl mit allen einzelnen Richtungswerten eines Vektors multiplizierst.

Ja, du kannst eine Zahl mit einem Vektor multiplizieren. Du musst nur darauf achten, dass du jeden Wert des Vektors mit der Zahl multiplizierst.

Du multiplizierst einen Vektor mit einem Bruch genau so, wie du es bei anderen Zahlen machst. Du musst jede einzelne Zahl des Vektors mit dem Bruch multiplizieren.

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Was ist eine Skalarmultiplikation?

Eine Skalarmultiplikation ist die Multiplikation einer reellen Zahl (Skalar) mit einem Vektor. Auch genannt das "Vervielfachen von Vektoren".

Was sind Vektoren?

Ein Vektor ist ein Objekt, welches in einem Koordinatensystem eine Richtung zu einem Punkt zeigt. Das Koordinatensystem kann zwei- und dreidimensional sein.

Wann sind zwei Vektoren kollinear?

Zwei Vektoren sind kollinear, wenn sie Vielfache voneinander sind.

Woraus besteht eine Geradengleichung?

Eine Geradengleichung besteht aus einem Stützvektor und einem Richtungsvektor.

Was ist der Stützvektor?

Der Stützvektor stützt die Gerade oder Ebene und geht immer aus dem Ursprung.

Was ist ein Richtungsvektor?

Ein Richtungsvektor gibt die räumliche Richtung von zum Beispiel einer Gerade oder einer Seite einer Ebene vor. Er geht nie aus dem Ursprung. Er stützt sich auf dem Stützvektor, welcher immer aus dem Ursprung geht und fängt ab dem Punkt des Stützvektors an.

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