Normalenvektor

Aufgabe 1

Bestimme den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der Ebene $E:\overrightarrow{x}$ in Normalenform.

$\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ 13\end{array}\right)\circ \left[\overrightarrow{x}-\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 0\end{array}\right)\end{array}\right]=0$

Lösung

Du liest in diesem Fall den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ ab. Der Normalenvektor ist der türkisfarbene Vektor zu Beginn der Geradengleichung.

Der Normalenvektor ist:

$\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ 13\end{array}\right)$

Aufgabe 2

Benenne den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der Ebene $2x_1+4x_2+9x_3=6$.

Lösung

Der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ wird von den türkisfarbenen Zahlen vor den Variablen x abgelesen.

Somit ist der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der Ebene$E:\overrightarrow{x}$ $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 9\end{array}\right)$.

Aufgabe 3

Berechne den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der Ebene $E:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 2\end{array}\right)+r·\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 1\end{array}\right)+s·\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 1\end{array}\right)$.

Lösung

Du berechnest den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ , indem Du die beiden Spannvektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ der Ebene $E:\overrightarrow{x}$ in die Formel des Kreuzprodukts einsetzt und das Kreuzprodukt dann ausmultiplizierst.

$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3·1-1·3\\ 1·1-2·1\\ 2·3-3·1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3-3\\ 1-2\\ 6-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 3\end{array}\right)$

Der Normalenvektor der Ebene $E:\overrightarrow{x}$ ist $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 3\end{array}\right)$.

Hier siehst Du eine Abbildung des Normalenvektors $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 3\end{array}\right)$ im Koordinatensystem. Auch da erkennt man, dass der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ senkrecht auf der Ebene $E:\overrightarrow{x}$ steht.

Abbildung 3: Normalenvektor n der Ebene E:x im Koordinatensystem

Aufgabe 4

Berechne das Skalarprodukt des Vektors $\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 1,5\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$.

Lösung

$\overrightarrow{a}\circ \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 1,5\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)=(-2)·2+1·1+1,5·2=(-4)+1+3=0$

Auch hier geht man nach dem gleich Prinzip vor, wie bisher. In diesem Fall kommt man zu dem Skalarprodukt 0. Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren 0 sind, dann sind sie orthogonal zueinander.

$\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\iff \overrightarrow{a}\circ \overrightarrow{b}=0$

Aufgabe 5

Berechne den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der Gerade $g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)+r·\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 2\end{array}\right)$.

Lösung

Für das Bestimmen der Normalenvektors $\overrightarrow{n}$ der Gerade $g:\overrightarrow{x}$ muss das Skalarprodukt des Richtungsvektors $\overrightarrow{a}$ und des Normalenvektors $\overrightarrow{n}$ gleich 0 sein.

$\overrightarrow{a}\circ \overrightarrow{n}=0$ " id="2358655 " role="math " style="max-width: none;">$\overrightarrow{n}\circ \overrightarrow{a}=0$

Zuerst wird das Skalarprodukt ausmultipliziert.

$\overrightarrow{a}\circ \overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 2\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}{n}_1\\ n_2\\ n_3\end{array}\right)=3·n_1+1·n_2+2·n_3=0$ " id="2358681 " role="math " style="max-width: none;">$\overrightarrow{n}\circ \overrightarrow{a}=n_1·3+n_2·1+n_3·2=0$

Anhand dieser Rechnung erkennst Du, welche Zahlen für $n$ eingesetzt werden müssen, um den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ zu bestimmen.

Hier kannst Du verschiedene Zahlen für $n$ Einsetzen. Alle möglichen Normalenvektoren $\overrightarrow{n}$ sind parallel zueinander.

$\overrightarrow{a}\circ \overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 2\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}(-1)\\ 1\\ 1\end{array}\right)=3·(-1)+1·1+2·1=-3+1+2=-3+3=0$ " id="2358791 " role="math " style="max-width: none;">$\overrightarrow{n}\circ \overrightarrow{a}=(-1)·3+1·1+1·2=0$

Du rechnest also -1 mal 3 und bekommst den Wert -3 raus. Die Werte danach bleiben gleich. Addierst du -3 und 3 erhältst du 0.

In diesem Fall ist der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ " id="2543213 " role="math " style="vertical-align: undefined;"> der Gerade $g:\overrightarrow{x}$ $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}(-1)\\ 1\\ 1\end{array}\right)$. Es ist allerdings auch ein anderer Normalenvektor möglich, nämlich $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}1\\ (-1)\\ (-1)\end{array}\right)$. Das siehst Du an der Rechnung im nächsten Abschnitt.

$\overrightarrow{n}\circ \overrightarrow{a}=1·3+(-1)·1+(-1)·2=0$

$\overrightarrow{a}\circ \overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 2\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}1\\ (-1)\\ (-1)\end{array}\right)=3·1+1·(-1)+2·(-1)=3+(-1)+(-2)=3+(-3)=0$ " id="2358825 " role="math " style="max-width: none;">

Auch hier rechnest Du das Gleiche wie vorhin, allerdings ist der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ " id="2543217 " role="math " style="vertical-align: undefined;"> mit -1 multipliziert. Du multiplizierst also 3 mit 1, somit bleibt der Wert gleich. Die anderen beiden Werte multiplizierst Du mit -1 und addierst sie. Dann erhältst Du -3. Die Zahl 3 addiert mit -3 ist gleich 0.

Hier siehst Du eine Abbildung zu dem Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der Gerade $g:\overrightarrow{x}$ " id="2543086 " role="math " style="vertical-align: undefined;"> .

Abbildung 4: Rechter Winkel ger Gerade g:x und dem Normalenvektor n

Aufgabe 6

Berechne den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der Ebene $E:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 5\end{array}\right)+r·\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ -5\end{array}\right)+s·\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$.

Lösung

Um den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ zu berechnen, musst Du das Kreuzprodukt der Spannvektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ausrechnen.

$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ -5\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·3-(-5)·2\\ (-5)·1-2·3\\ 2·2-6·1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18-(-10)\\ -5-6\\ 4-6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}28\\ -11\\ -2\end{array}\right)$

Somit hast Du den Normalenvektor $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}28\\ -11\\ -2\end{array}\right)$.

Aufgabe 7

Benenne den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der Ebene $\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}2\\ 4\\ 3\end{array}\end{array}\right)\circ \left[\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}4\\ 6\\ 1\end{array}\right)\right]=0$ in Normalenform.

Lösung

Der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ist einfach abzulesen, in dem Du den Vektor vor der Klammer nimmst.

Der Normalenvektor ist in diesem Falle $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}2\\ 4\\ 3\end{array}\end{array}\right)$.

Aufgabe 8

Benenne den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der Ebene $1x_1+6x_2+3x_3=5$ in Koordinatenform.

Lösung

Der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der Ebene $E:\overrightarrow{x}$ ist in diesem Fall ebenfalls abzulesen, in dem Du die Zahlen vor der Variable x nimmst und sie in einen Vektor $\overrightarrow{n}$ " id="2543219 " role="math " style="vertical-align: undefined;"> umwandelst.

Der Normalenvektor ist $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}1\\ 6\\ 3\end{array}\right)$.

Aufgabe 9

Berechne den Normalenvektor$\overrightarrow{n}$ der Gerade $g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 6\end{array}\right)+r·\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ 1\end{array}\right)$.

Lösung

Der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ muss, im Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor $\overrightarrow{a}$ der Gerade $g:\overrightarrow{x}$, gleich 0 sein.

$\overrightarrow{a}\circ \overrightarrow{n}=0$

Danach multiplizierst Du das Skalarprodukt aus.

$\overrightarrow{a}\circ \overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ 1\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}{n}_1\\ n_2\\ n_3\end{array}\right)=5·n_1+2·n_2+1·n_3=0$

Jetzt siehst Du direkt, welche Zahlen Du für $n$ Einsetzen musst, um den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ zu bestimmen.

$\overrightarrow{a}\circ \overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ 1\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}1\\ (-2)\\ (-1)\end{array}\right)=5·1+2·(-2)+1·(-1)=5+(-4)+(-1)=5+(-5)=0$

Wenn Du die Zahlen des Normalenvektors $\overrightarrow{n}$ mit dem Richtungsvektor $\overrightarrow{a}$ verrechnest, erhältst du das Produkt 0 .

Du müsstest jetzt den Normalenvektor $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}1\\ (-2)\\ (-1)\end{array}\right)$ haben, oder einen, parallelen Vektor, wie $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}(-1)\\ 2\\ 1\end{array}\right)$