Insgesamt gibt es zwei Strahlensätze in der Geometrie. Zunächst schauen wir uns an, was der erste Strahlensatz überhaupt ist. Dieses Wissen benötigst du, um den ersten Strahlensatz später in Aufgaben anwenden zu können.
Erster Strahlensatz – Voraussetzungen
Eine Voraussetzung für die Anwendung des ersten Strahlensatzes ist, dass sich zwei Geraden oder Strahlen in einem Punkt schneiden.
1. Voraussetzung
Schneiden sich zwei Geraden oder Strahlen in einem Punkt Z, ist die erste Voraussetzung für die Anwendung des ersten Strahlensatzes erfüllt. Dieser Schnittpunkt Z wird auch als Zentrum bezeichnet.
Der erste Strahlensatz kann unabhängig von der Größe des Winkels, unter dem sich die beiden Strahlen bzw. Geraden am Punkt Z schneiden, angewandt werden.
Zur Erinnerung: Bei einem Strahl ist nur ein fester Startpunkt gegeben, der Endpunkt hingegen ist bei einem Strahl nicht definiert. Ein Strahl ist deshalb unendlich lang. Eine andere Bezeichnung für einen Strahl lautet Halbgerade.
Es muss aber eine zweite Voraussetzung erfüllt sein, damit der erste Strahlensatz Anwendung finden kann.
2. Voraussetzung
Eine weitere Voraussetzung für die Anwendung des ersten Strahlensatzes ist, dass die beiden Strahlen bzw. Geraden von zwei weiteren parallel zueinander verlaufenden Geraden g und h geschnitten werden. Wichtig ist hierbei, dass keiner der Schnittpunkte dem Zentrum Z entspricht.
Die Schnittpunkte der Parallelen mit den Strahlen bzw. Geraden werden als Punkte A und A' sowie B und B' bezeichnet. Dabei liegt der Punkt A' auf demselben Strahl bzw. derselben Geraden wie der Punkt A. Der Punkt B' liegt auf demselben Strahl bzw. derselben Geraden wie der Punkt B.
Wie eine Situation aussieht, in der alle Voraussetzungen für die Anwendung des ersten Strahlensatzes bei zwei sich im Punkt Z schneidenden Strahlen erfüllt sind, siehst du in der folgenden Abbildung:
Abbildung 1: Ausgangssituation bei zwei sich schneidenden Strahlen
Soll der erste Strahlensatz hingegen bei zwei sich im Punkt Z schneidenden Geraden angewendet werden, so sieht die Ausgangssituation folgendermaßen aus:
Abbildung 2: Ausgangssituation bei zwei sich schneidenden Geraden
Zur Erinnerung: Worin unterscheiden sich Strecken, Geraden und Strahlen?
Bei einer Strecke gibt es sowohl einen festen Startpunkt als auch einen festen Endpunkt. Die Länge einer Strecke ist deshalb begrenzt.
Bei einer Gerade gibt es weder einen Startpunkt, noch einen Endpunkt. Eine Gerade ist demnach unendlich lang.
Bei einem Strahl ist nur ein fester Startpunkt gegeben, der Endpunkt hingegen ist nicht definiert. Ein Strahl ist deshalb ebenfalls unendlich lang. Eine andere Bezeichnung für Strahl ist Halbgerade.
Wenn du mehr zu Geraden, Strecken und Strahlen wissen möchtest, solltest du unbedingt in den dazugehörigen Artikel Gerade Strecke Strahl reinschauen.
Erster Strahlensatz – Formel und Definition
Die beiden sich schneidenden Strahlen bzw. Geraden werden dadurch, dass sie von zwei weiteren parallel verlaufenden Geraden g und h geschnitten werden, in Teilstrecken unterteilt.
Werden zwei durch den Punkt Z verlaufende Strahlen von zwei weiteren parallel verlaufenden Geraden g und h in den Punkten A, A', B und B' geschnitten, so gilt für die Verhältnisse der Strecken a, a+a', b und b+b':
In Worten ausgedrückt: Das Verhältnis zwischen den beiden Strecken a und b ist genauso groß, wie das Verhältnis zwischen den beiden Strecken a+a' und b+b'.
Soll der erste Strahlensatz bei zwei sich schneidenden Geraden angewandt werden, so lautet die dazugehörige Formel:
Vielleicht hast du die Formel für den ersten Strahlensatz schon einmal in dieser Form gesehen:
Gerade hast du aber gelernt, dass für die Formel des ersten Strahlensatzes gilt:
Welche der beiden Formeln ist denn jetzt die richtige Formel für den ersten Strahlensatz?
Die Antwort lautet: beide.
Dadurch, dass auf beiden Seiten der Formel der Kehrwert gebildet wird, besagen beide Versionen der Formel das Gleiche. Deshalb ist es egal, welche der beiden Formeln du verwendest. Suche dir einfach die Version der Formel aus, die du dir besser merken kannst.
Erster Strahlensatz – Verwendung
Die Gleichung des ersten Strahlensatzes kann zur Bestimmung der Länge einer Strecke genutzt werden. Dafür wird die Gleichung nach der Strecke aufgelöst, die gesucht wird. Um die Länge der gesuchten Strecke berechnen zu können, müssen alle anderen drei Streckenlängen bekannt sein.
Der erste Strahlensatz kann nicht nur in der Geometrie verwendet werden, um die Länge von Streckenabschnitten von zwei Strahlen zu bestimmen, sondern findet auch im Alltag Verwendung. Du kannst zum Beispiel mithilfe des ersten Strahlensatzes die Entfernung von Gebäuden oder Bäumen bestimmen.
Unterschied zwischen den 1. und 2. Strahlensatz
Wie du bereits gesehen hast, sind die Voraussetzungen für die Anwendung des 1. und 2. Strahlensatzes die selben. Nun fragst du dich sicherlich, worin der Unterschied der beiden Strahlensätze liegt.
Die beiden Strahlensätze unterscheiden sich folgendermaßen:
Beim ersten Strahlensatz werden die Teilstrecken auf den beiden sich im Zentrum Z schneidenden Strahlen miteinander ins Verhältnis gesetzt. Die Länge der Parallelstrecken spielen beim ersten Strahlensatz keine Rolle.
Im Gegensatz dazu werden beim zweiten Strahlensatz die Teilstrecken auf je einem Strahl mit den beiden Parallelstrecken ins Verhältnis gesetzt.
Erster Strahlensatz – Formel umstellen
Wie du im letzten Abschnitt gelernt hast, lautet die Formel für den ersten Strahlensatz wie folgt:
oder 
Abhängig davon welche Strecken dir bekannt sind und welche Strecke du berechnen möchtest, wird die Formel für den ersten Strahlensatz entsprechend umgestellt. Wie das funktioniert, lernst du in diesem Abschnitt.
Ersten Strahlensatz nach a auflösen
Zuerst lernst du, wie man die Formel für den ersten Strahlensatz nach der Strecke a auflöst.
Abbildung 3: Strecke von Z nach A
Dafür wird die Formel 
mit b multipliziert.
Daraus resultiert der nach a aufgelöste erste Strahlensatz:
Ersten Strahlensatz nach a+a' auflösen
Nun soll die Formel für den ersten Strahlensatz nach der Strecke a+a' aufgelöst werden.
Abbildung 4: Strecke von Z nach A'
Dazu multiplizierst du die oben aufgeführte Formel nicht mehr mit b sondern stattdessen mit b+b'.
Du erhältst den nach a+a' aufgelösten ersten Strahlensatz:
Ersten Strahlensatz nach b auflösen
Als Nächstes soll die Formel für den ersten Strahlensatz nach der Strecke b aufgelöst werden.
Abbildung 5: Strecke von Z nach B
Dafür bietet es sich an den Kehrwert der Formel 
zu verwenden.
Er lautet:
Um den Strahlensatz nun nach b aufzulösen, multiplizierst du beide Seiten der Gleichung mit a.
Als Ergebnis erhältst du den nach b aufgelösten ersten Strahlensatz:
Ersten Strahlensatz nach b+b' auflösen
Abschließend wird die Formel für den ersten Strahlensatz nach der Strecke b+b' aufgelöst.
Abbildung 6: Strecke von Z nach B'
Das funktioniert, indem man die für das Auflösen nach b verwendete Formel mit a+a' anstatt a multipliziert.
Der nach b+b' aufgelöste erste Strahlensatz lautet:
Erster Strahlensatz - Beweis
Du weißt nun, was der erste Strahlensatz ist und wie man seine Formel nach den gesuchten Strecken auflöst. Aber warum darf man den ersten Strahlensatz überhaupt verwenden und woher stammt seine Formel?
Das lernst du im folgenden Beweis des ersten Strahlensatzes.
Um den Beweis des ersten Strahlensatzes zu veranschaulichen, wird die folgende Abbildung zweier sich schneidender Strahlen, die wiederum von zwei parallelen Geraden geschnitten werden, zur Hilfe genommen:
Abbildung 7: Beweis des ersten Strahlensatzes
Es soll gezeigt werden, dass gilt: 
Zwischen den Punkten Z, A, A', B und B' können viele Dreiecke gebildet werden. Für den Beweis des ersten Strahlensatzes benötigen wir zwei dieser Dreiecke: Das Dreieck ZAB und das Dreieck ZA'B'.
Wenn du dir die beiden Dreiecke ZAB und ZA'B' genauer anschaust, fällt dir sicher schnell auf, dass es sich um ähnliche Dreiecke handelt.
Das liegt daran, dass sie den Winkel am Punkt Z teilen, der im Folgenden mit 
bezeichnet wird.
Außerdem sind die Winkel, die jeweils am Punkt A bzw. A' liegen gleich groß, da es sich bei ihnen um Stufenwinkel handelt. Diese sind die Winkel 
und 
.
Zur Erinnerung: Zwei Dreiecke sind ähnlich zueinander, wenn sie in zwei Winkeln - und daher in allen drei Winkeln - übereinstimmen.
Abbildung 8: Ähnliche Dreiecke ZAB und ZA'B'
Da es sich bei den beiden Dreiecken ZAB und ZA'B' um ähnliche Dreiecke handelt, gibt es einen Streckfaktor k, mit dessen Hilfe das Dreieck ZAB in das Dreieck ZA'B' überführt werden kann.
Bei dieser Formel handelt es sich um die Formel für den ersten Strahlensatz. Der erste Strahlensatz ist hiermit bewiesen.
q.e.d.
q. e. d. ist eine Abkürzung für den lateinischen Satz "Quod erat demonstrandum".
Das bedeutet so viel wie "Was zu beweisen war" und steht in der Regel am Ende eines Beweises.
Erster Strahlensatz - Umkehrung
Die Aussage des ersten Strahlensatzes kann umgekehrt werden.
Wie du bereits gelernt hast, gilt nach dem ersten Strahlensatz, wenn zwei durch den Punkt Z verlaufende Strahlen von zwei weiteren parallel verlaufenden Geraden g und h in den Punkten A, A', B und B' geschnitten, für die Verhältnisse der Strecken a, a', b und b':
Die Umkehrung des ersten Strahlensatzes besagt folgendes:
Wenn zwei durch den Punkt Z verlaufende Strahlen von den Geraden g und h in den Punkten A, A', B und B' geschnitten werden und für die Verhältnisse der Strecken a, a+a', b und b+b' gilt, dass
,
dann verlaufen g und h parallel zueinander.
Der erste Strahlensatz kann deshalb nicht nur zur Berechnung der Längen von Strecken verwendet werden, sondern kann mithilfe seiner Umkehrung auch Aufschluss darüber geben, ob Geraden parallel zueinander verlaufen.
Erster Strahlensatz – Aufgaben
Nachdem du im bisherigen Verlauf des Artikels einiges über die Theorie des ersten Strahlensatzes gelernt hast, kannst du zum Abschluss dieses Artikels die praktische Anwendung des ersten Strahlensatzes anhand von drei Beispielaufgaben üben.
Aufgabe 1
Dir liegt folgende Skizze von zwei sich im Punkt Z schneidenden Strahlen vor:
Abbildung 9: Übungsaufgabe 1
Die beiden Geraden, die die Strahlen schneiden, verlaufen parallel zueinander.
Über die Strecken a, b und a+a' ist bekannt:
Bestimme mithilfe des ersten Strahlensatzes die Länge der Strecke b+b'.
Lösung
Löst man die Formel für den ersten Strahlensatz nach b+b' auf, so ergibt sich folgende Formel:
Um die Länge der Strecke b+b' zu bestimmen, setzt man die Werte für die drei bekannten Strecken in die umgestellte Formel ein:
Die Strecke b+b' ist demnach 9,6cm lang.
Aufgabe 2
In der folgenden Abbildung siehst du zwei Geraden, die sich im Punkt Z schneiden. Außerdem werden sie von zwei weiteren, parallel verlaufenden Geraden in den Punkten A, A', B und B' geschnitten.
Abbildung 10: Übungsaufgabe 2
Bestimme die Länge der Strecke a', wenn für die anderen drei Strecken gilt:
Lösung
Zuerst löst man die Formel für den ersten Strahlensatz nach der Strecke a+a' auf. Es ergibt sich:
Anschließend setzt man die Werte für die drei bekannten Strecken in die nach a' aufgelöste Formel ein.
Es resultiert:
Die Strecke a' ist also 4cm lang.
Aufgabe 3
Dir liegt folgende Skizze von zwei sich im Punkt Z schneidenden Strahlen vor:
Abbildung 11: Übungsaufgabe 3
Überprüfe rechnerisch, ob es sich bei den beiden Geraden g und h um Parallelen handelt, wenn für die Strecken a, b, a' und b' gilt:
Lösung
Wenn gilt:
Dann gilt nach der Umkehrung des ersten Strahlensatzes, dass die beiden Geraden g und h parallel zueinander verlaufen.
Um zu überprüfen, ob es sich um Parallelen handelt, werden also die bekannten Werte für die Strecken a, b, a+a' und b+b' in die Gleichung eingesetzt.
Wenn auf beiden Seiten der Gleichung der gleiche Wert steht, dann handelt es sich um parallele Geraden.
Wenn allerdings die Gleichung nicht gilt, so verlaufen die beiden Geraden g und h nicht parallel zueinander.
Durch Einsetzen der Werte ergibt sich:
Nach Kürzen resultiert:
Damit folgt, dass die beiden Geraden g und h nicht parallel zueinander verlaufen.
Super gemacht! Du weißt nun alles, was du über den ersten Strahlensatz wissen musst und bist in der Lage, dieses Wissen auch anzuwenden. Weiter so!
Neben dem ersten Strahlensatz gibt es auch den zweiten Strahlensatz. Da du dich nun schon in das Thema der Strahlensätze eingearbeitet hast, empfehle ich dir, nach einer kurzen Pause direkt mit dem Artikel "Zweiter Strahlensatz" weiter zu lernen.
Erster Strahlensatz - Das Wichtigste auf einen Blick
- Der erste Strahlensatz ist eine Verhältnisgleichung in der Geometrie. Er kann genutzt werden, um die Länge einer unbekannten Strecke zu berechnen.
- Um den ersten Strahlensatz anwenden zu können, müssen sich zwei Strahlen bzw. Geraden in einem Punkt Z schneiden. Außerdem müssen sie von zwei weiteren Geraden, die parallel zueinander verlaufen, in den Punkten A, A', B und B' geschnitten werden.
- Der erste Strahlensatz besagt: Das Verhältnis zwischen der Strecke Z zu A und der Strecke Z zu B ist genauso groß wie das Verhältnis zwischen der Strecke Z zu A' und der Strecke Z zu B'.
- Der erste Strahlensatz kann umgekehrt werden und deshalb genutzt werden, um zu beurteilen, ob zwei Geraden parallel zueinander verlaufen.
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bei zwei sich im Zentrum Z schneidenden Strahlen können auch folgendermaßen benannt werden (siehe Abbildung 1):
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und 
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stattdessen (siehe Abbildung 2):
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