Achsensymmetrie

Stochastik

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Figuren und Funktionen, die durch eine Spiegelung an einer Achse wieder auf sich selbst abgebildet werden, nennt man zu dieser Achse achsensymmetrisch. Wie Du Achsensymmetrie bei Figuren und Funktionen prüfst, erfährst Du hier anhand einiger Beispiele.

Achsensymmetrie Definition – einfach erklärt

Achsensymmetrie beschreibt die Eigenschaft, dass eine Figur oder eine Funktion durch Spiegelung an einer sogenannten Symmetrieachse identisch auf sich selbst abgebildet werden kann.

Wenn Dich auch die Definition von Punktsymmetrie interessiert, dann klicke hier auf die Erklärung zu „Punktsymmetrie“

Wenn eine Figur eine Symmetrieachse besitzt, kannst Du die Figur an der Symmetrieachse entlang „falten“ und die Eckpunkte liegen übereinander. Manche Figuren besitzen auch mehrere Symmetrieachsen.

Damit eine Figur achsensymmetrisch ist, muss sie einige Bedingungen erfüllen.

Jeder Punkt auf der einen Seite der Spiegelachse muss den gleichen Abstand zur Spiegelachse haben, wie der äquivalente (entsprechende) Punkt auf der anderen Spiegelseite.
Jeder Winkel der einen Seite der Spiegelachse ist gleich groß mit dem äquivalenten Winkel der anderen Spiegelseite.
Jede Seite der einen Seite der Spiegelachse ist gleich lang, wie die äquivalente Seite der anderen Spiegelseite.

Achsensymmetrie Funktion – Formel

Eine Funktion \(f(x)\) ist achsensymmetrisch, wenn die Funktion durch eine Spiegelung an der y-Achse, wieder \(f(x)\) ergibt. Mathematisch ist das der Fall, wenn gilt \[f(-x) = f(x)\]

Jedes Polynom, das ausschließlich gerade Exponenten enthält, ist automatisch achsensymmetrisch.

Im Folgenden findest Du einige Beispiele für achsensymmetrische Funktionen,

Funktion	Beweis	Symmetrieachse
Funktion \(2.\) Grades \[f(x)=x^2\]	\[\begin{align}f(-x) &= (-x)^2 \\&= x^2\\&=f(x)\end{align}\]	Abb - 1: Symmetrieachse Parabel
Funktion \(4.\) Grades \[f(x)=x^4\]	\[\begin{align}f(-x) &= (-x)^4 \\&= x^4\\&=f(x)\end{align}\]	Abb - 2: Symmetrieachse Parabel
Funktion \(6.\) Grades \[f(x)=2x^6-2x^2\]	\[\begin{align}f(-x) &= 2(-x)^6-2(-x)^2 \\&= 2x^4-2x^2 \\&=f(x)\end{align}\]	Abb - 3: Symmetrieachse Funktion vierten Grades

Achsensymmetrische Figuren – Beispiele

Achsensymmetrie kommt in Funktionen und Figuren vor, aber auch in alltäglichen Dingen, wie dem StudySmarter Logo.

Abb - 4: StudySmarter Logo achsensymmetrisch

Im Folgenden findest Du eine Auflistung typischer mathematischer Figuren und ihrer Symmetrieachsen.

Figuren	Symmetrieachsen
Quadrat	Das Quadrat besitzt vier Symmetrieachsen. Abb -5: Achsensymmetrisches Quadrat
Rechteck	Das Rechteck hat zwei Symmetrieachsen. Abb - 6: Achsensymmetrisches Rechteck
gleichschenkliges Trapez	Das gleichschenklige Trapez hat eine Symmetrieachse. Abb - 7: Symmetrieachse Trapez
gleichschenkliges Dreieck	Das gleichschenklige Dreieck hat eine Symmetrieachse. Abb - 8: Symmetrieachse Dreieck
Kreis	Der Kreis hat unendlich viel Symmetrieachsen. Alle Geraden, welche durch den Kreismittelpunkt gehen, sind Symmetrieachsen des Kreises. Abb - 9: Symmetrieachsen Kreis

Achsensymmetrie nachweisen – Formel

Die Achsensymmetrie einer Funktion kann anhand einer Formel nachgewiesen werden. Die Formel lautet \(f(-x)=f(x)\). Wenn Du also vor jeden \(x\)-Wert ein Minus setzt und durch die Berechnung die Ausgangsfunktion rauskommt, dann ist die Funktion achsensymmetrisch.

Achsensymmetrie nachweisen – Aufgabe 1

Weise rechnerisch nach, dass die Funktion \(f(x)=2x^6-x^2\) achsensymmetrisch ist.

Lösung

Um rechnerisch nachzuweisen, dass eine Funktion achsensymmetrisch ist, setzt du in die Funktion \(-x\) ein.

\begin{align} f(-x)&=2\cdot (-x)^6-(-x)^2 \\[0.2cm] &=2\cdot (-x \cdot -x \cdot -x \cdot -x \cdot -x \cdot -x)^6 - (-x\cdot -x)^2 \\[0.2cm] &=2x^6-x^2 \end{align}

Hier siehst Du, dass die Aussage \(f(-x)=f(x)\) zutrifft und die Funktion f(x) ist achsensymmetrisch.

Achsensymmetrie – Aufgaben mit Lösungen

Nachdem Du nun vieles über Achsensymmetrie erfahren hast, kannst Du hier noch Dein Wissen anhand einiger Aufgaben mit Lösungen testen.

Symmetrieachsen einzeichnen – Aufgabe 2

Zeichne in das regelmäßige Fünfeck alle möglichen Symmetrieachsen ein.

Lösung

Das regelmäßige Fünfeck hat \(5\) Symmetrieachsen. Die Symmetrieachsen sind die Mittelsenkrechten der Seiten und gleichzeitig die Winkelhalbierenden der Ecken.

Achsensymmetrie Fünfeck Symmetrieachsen StudySmarter Abb - 10: Regelmäßiges Fünfeck mit Symmetrieachsen

Achsensymmetrie nachweisen – Aufgabe 3

Weise rechnerisch nach, ob die Funktion \(f(x)=3x^4+x^2\) achsensymmetrisch ist.

Lösung

Um rechnerisch nachzuweisen, dass eine Funktion achsensymmetrisch ist, setzt du in die Funktion \(-x\) ein.

\begin{align} f(-x)&=3(-x)^4+(-x)^2\\[0.2cm] &=3 \cdot (-x \cdot -x \cdot -x \cdot -x)^4+ (-x \cdot -x)^2 \\[0.2cm] &= 3x^4+x^2\end{align}

Hier siehst Du, dass die Aussage \(f(-x)=f(x)\) zutrifft und die Funktion f(x) ist achsensymmetrisch.

Achsensymmetrie - Das Wichtigste

Achsensymmetrie beschreibt die Eigenschaft, dass eine Figur oder eine Funktion durch Spiegelung an einer sogenannten Symmetrieachse identisch auf sich selbst abgebildet werden kann.
Geometrische Figuren können mehrere Symmetrieachsen besitzen. Der Kreis besitzt unendlich viele Symmetrieachsen.
Bedingungen der Achsensymmetrie:
1. Jeder Punkt auf der einen Seite der Spiegelachse muss den gleichen Abstand zur Spiegelachse haben, wie der äquivalente (entsprechende) Punkt auf der anderen Spiegelseite.
2. Jeder Winkel der einen Seite der Spiegelachse ist gleich groß mit dem äquivalenten Winkel der anderen Spiegelseite.
3. Jede Seite der einen Seite der Spiegelachse ist gleich lang, wie die äquivalente Seite der anderen Spiegelseite.
Wenn Du eine Achsensymmetrie nachweisen willst, dann musst Du diese Formel anwenden: \(f(-x)=f(x)\).

Nachweise

Vargyas (2015). Achsensymmetrie: Vom Spielen zum Formalisieren. In: Ludwig, M., Filler, A., Lambert, A. (eds) Geometrie zwischen Grundbegriffen und Grundvorstellungen. Springer Spektrum, Wiesbaden.
Schmidt-Thieme, Weigand (2018). Symmetrie und Kongruenz. In: Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I. Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Achsensymmetrie

Eine Figur oder Funktion ist achsensymmetrisch, wenn sie sich an der Symmetrieachse (Spiegelachse) spiegeln lässt. Die Hälften der Figur oder Funktion sind deckungsgleich.

Viele der geometrischen Figuren sind symmetrisch. Alle der folgenden Figuren symmetrisch: Quadrat, Rechteck, gleichschenkliges Trapez, symmetrischer Drachen, gleichschenkliges und gleichseitiges Dreieck und der Kreis.

Bei Figuren kannst Du Achsensymmetrie nachweisen, indem Du die Figur entlang der Symmetrieachse faltest. Wenn alle Ecken auf einer anderen Ecke liegen ist die Figur achsensymmetrisch.

Bei der Achsensymmetrie spiegelst Du an einer Spiegelachse. Bei der Punktsymmetrie spiegelst oder drehst Du die Figur an einem Punkt. Dieser Punkt kann innerhalb und außerhalb der Figur liegen.

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Was ist Achsensymmetrie?

Eine Figur oder Funktion ist achsensymmetrisch, wenn sie sich an der Symmetrieachse (Spiegelachse) spiegeln lässt. Die Hälften der Figur oder Funktion sind deckungsgleich.

Wie viele Symmetrieachsen besitzt ein Kreis?

unendlich viele

Wie viele Symmetrieachsen besitzt ein Parallelogramm?

keine

Wie viele Symmetrieachsen besitzt ein Rechteck?

zwei

Wie kannst Du überprüfen, ob Figuren eine Symmetrieachse haben?

Du schneidest die Figur aus und faltest sie, so dass die Ecken übereinander liegen. Wenn das gelingt, besitzt die Figur eine Symmetrieachse an der Faltkante.

Wie viele Symmetrieachsen besitzt ein Quadrat?

vier

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