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Kurvendiskussion

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Kurvendiskussion

Die Kurvendiskussion beobachtet geometrische Eigenschaften von Funktionen, indem deren Graphen untersucht werden. Die Herleitung der Lösung kann dabei grafisch oder rechnerisch erfolgen.

So können wir mit Hilfe der Kurvendiskussion beispielsweise Scheitelpunkte, sowie Wendepunkte berechnen oder Hoch-/ und Tiefpunkte via der abc-Formel ermitteln und vieles mehr. Die Kurvendiskussion ist eng mit der Differentialrechnung verbunden, d.h. wir bringen dir auch bei wie das Ableiten von Funktionen funktioniert (siehe Steigung berechnen oder Ableitungsregeln).

Wenn du mehr über die einzelnen Themenbereiche erfahren möchtest, klicke einfach auf den entsprechenden Link und du gelangst direkt zu unserer ausführlichen Zusammenfassung.

Wir erklären dir neben den Hauptelementen wie der Mitternachtsformel und der Nullstellenberechnung, auch die Basics: von Werte- und Definitionsbereich, bis hin zur Grenzwertberechnung und der quadratischen Ergänzung.

Wenn du zusätzlich mit vielen Übungsaufgaben und original STARK Lerninhalten lernen möchtest, schau mal in der StudySmarter Lernapp vorbei!

Ziel der Kurvendiskussion

Die wichtigsten Ziele der Kurvendiskussion sind:

  • exakte Punktbestimmung
  • Symmetrieverhalten betrachten
  • Grenzwerte untersuchen
  • Minima (Tiefpunkte) und Maxima (Hochpunkte) bestimmen

Asymptote

Eine Asymptote ist eine Kurve, an welche sich der Graph einer Funktion unbegrenzt annähert, sie jedoch nie berührt. In der Abbildung siehst du, was man grafisch unter einer Asymptote versteht.

Definitionsbereiche bestimmen

Bevor man mit der Kurvendiskussion starten kann, wird zunächst der Definitionsbereich (=Definitionsmenge) bestimmt. Man untersucht, welche Werte für x eingesetzt werden können.

Extremstellen

Extremstellen befinden sich potenziell dort, wo die Steigung der Funktion Null entspricht. Durch genaueres Untersuchen, mithilfe der ersten und zweiten Ableitung, stellt man fest, ob es sich hierbei um einen Hoch- oder einen Tiefpunkt handelt.

Wenn du wissen möchtest, wie genau man Extremstellen berechnet, sieh dir hier die ausführliche Zusammenfassung an.

Grenzwerte

Unter einem Grenzwert, dem sogenannten Limes, versteht man jenen Wert, dem sich die Funktion der betrachteten Stelle annähert. Hierbei kann man sich dem Wert von links oder von rechts annähern.

Mitternachtsformel/ abc-Formel

Die Mitternachtsformel, auch abc-Formel genannt, wird zum Lösen Quadratischer Gleichungen verwendet. Zunächst wird hierbei die Gleichung in die allgemeine Form gebracht, damit die Formel auch angewendet werden kann. Anschließend setzt man die entsprechenden Variablen in die Formel ein und erhält die gesuchte Lösungsmenge.

Hier erfährst du mehr über die genaue Berechnung mithilfe der Mitternachtsformel!

Monotonieverhalten

Du willst herausfinden, ob eine Funktion (streng) monoton steigend oder (streng) monoton fallend verläuft? Dann musst du zunächst die Nullstellen der ersten und zweiten Ableitung der Funktion berechnen und anschließend die Intervalle benennen, um das Ergebnis ermitteln zu können.

Hier kannst du mehr über die Untersuchung des Monotonieverhaltens erfahren.

Nullstellen berechnen

Nullstellen sind x-Werte, für die der Funktionswert gleich Null ist. Einfacher formuliert sind es also alle Werte, die die x-Achse schneiden.

Mehr zur genauen Berechnung von Nullstellen findest du hier.

Polynomdivision

Bei der Polynomdivision handelt es sich um ein mathematisches Verfahren zur Division polynomieller Funktionen – heißt: ein Polynom wird durch ein anderes geteilt. Sie wird dann angewendet, wenn die Potenz einer Polynomfunktion > 2 ist.

Wie man die Polynomdivision genau durchführt, erfährst du hier!

Quadratische Ergänzung

Ziel der Quadratischen Ergänzung ist es, einen Term so umzuformen, dass die erste oder zweite binomische Formel angewendet werden kann, um am Ende ein quadriertes Binom zu erhalten.Wozu das Ganze? Um eine quadratische Funktion in Scheitelform zu bringen oder sie zu lösen.

Mehr zur Quadratischen Ergänzung und ihrer Vorgehensweise, erklären wir dir hier.

Scheitelpunkt berechnen

Der Scheitelpunkt ist der höchste bzw. tiefste Punkt einer Parabel, also dem Graph einer quadratischen Funktion. Man spricht hierbei auch vom Maximum bzw. Minimum einer Funktion.

Um den Scheitelpunkt zu ermitteln, kann man ihn entweder aus dem Graph ablesen oder mittels der quadratischen Ergänzung oder durch Ableiten berechnen. Wie genau das funktioniert, erklären wir dir hier!

Steigung berechnen/ Ableiten

Die Steigung einer Funktion entspricht ihrer ersten Ableitung. Somit wäre auch geklärt, wie du sie berechnen kannst. Meist kann man die Steigung auch aus dem Graph der Funktion ablesen.

Eine ausführliche Erklärung zum Ermitteln der Steigung gibt es hier!

Symmetrie

Eine Funktion ist symmetrisch, wenn ihre Variablen beliebig untereinander vertauscht werden können, ohne dass sich ihr Funktionswert verändert.

Näheres zum Symmetrieverhalten einer Funktion, erfährst du hier.

Wendepunkt berechnen

Im sogenannten Wendepunkt verändert der Graph einer Funktion sein Krümmungsverhalten, d.h. er wechselt an dieser Stelle von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt. Die mathematische Voraussetzung lautet:

Für eine schrittweise Erläuterung der Berechnung von Wendepunkten, schau dir unsere Zusammenfassung an!

Wertebereich

Wie der Begriff „Wertebereich“ schon verrät, gibt dieser Bereich an, welche y-Werte eine Funktion annimmt. Diese kann man ganz einfach ermitteln, indem man die x-Werte des Definitionsbereichs in die Funktion einsetzt.

Eine ausführliche Erklärung zum Thema Wertebereich gibt es hier!

y-Achsenabschnitt

Der y-Achsenabschnitt ist der Punkt, in dem der Graph der Funktion die y-Achse schneidet. Es handelt sich also um jenen Punkt, an dem y=0 ist.

Du willst mehr zum Thema y-Achsenabschnitt erfahren? Dann schau dir hier unsere Zusammenfassung an.

Hinweis:

Noch mehr Zusammenfassungen und Übungsaufgaben zum Thema Kurvendiskussion, findest du hier in der StudySmarter Lernapp für Schüler!

Finales Kurvendiskussion Quiz

Frage

Wie leitet man die natürliche Exponentialfunktion ab?

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Was beschreibt die Ableitung im Allgemeinen?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Ableitung einer Funktion entspricht in jedem Punkt der Steigung
der Tangente an den Graphen der Funktion und wird deshalb als Grenzwert der Sekantensteigung bestimmt.

Die Ableitung einer Funktion entspricht in jedem Punkt der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion und wird deshalb als Grenz- wert der Sekantensteigung bestimmt.

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die allgemeine Formel für die Potenzregel?

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Bei welcher Art von Funktionen gilt die Potenzregel?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei Grundfunktionen:

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die allgemeine Formel für die Faktorregel?

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die allgemeine Formel für die Summenregel?

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion:



Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion:

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion:

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion:

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion:


Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Was sind Trigonometrische Funktionen?

Antwort anzeigen

Antwort

Trigonometrische Funktionen sind Winkelfunktionen (bzw. Kreisfunktionen), die jedem Winkel α einen entsprechenden Funktionswert zuordnen.

Frage anzeigen

Frage

Wie muss der Taschenrechner bei Berechnung von trigonometrischen Funktionen für Gradmaß und für Bogenmaß eingestellt werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei Berechnung von konkreten Funktionswerten, muss der Taschenrechner auf den entsprechenden Modus eingestellt werden, d. h. DEG für das Gradmaß und RAD für das Bogenmaß.

Frage anzeigen

Frage

Welche drei trigonometrischen Funktionen gibt es?

Antwort anzeigen

Antwort

Sinusfunktion  

Kosinusfunktion

Tangensfunktion

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Ableitungsregel für die Sinusfunktion?

Antwort anzeigen

Antwort

f(x) = sin x

f '(x) = cos x

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Ableitungsregel für die Kosinusfunktion?

Antwort anzeigen

Antwort

f(x) = cos x

f '(x) = – sin x

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Ableitungsregel für die Tangensfunktion?

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Wann muss die Ableitungsregel von cos/sin/tan mit der Kettenregel kombiniert werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn die Variable x nicht alleine/ nicht mit Faktor 1 steht.

Frage anzeigen

Frage

Überblick der Ableitungen: cos/sin/tan

Antwort anzeigen

Antwort

Überblick der Ableitungen: 


wird abgeleitet zu                 (dann geht es wieder von vorne los)


Frage anzeigen

Frage

Wann muss die Ableitungsregel mit der Kettenregel kombiniert werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Variable x darf in diesem Fall nur alleine stehen bzw. mit Faktor 1. Andernfalls muss diese Ableitungsregel mit der Kettenregel kombiniert werden.

Frage anzeigen

Frage

Was gilt bei Verknüpfungen von Funktionen?

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Antwort

Bei Verknüpfungen von Funktionen gelten zusätzlich alle weiteren bekannten

Differenziationsregeln.

Frage anzeigen

Frage

Wie nennt man Funktionen bei denen die Funktionsvariable im Exponenten steht?

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Antwort

Funktionen mit Gleichungen der Form , bei denen die Funktionsvariable
im Exponenten steht, nennt man Exponentialfunktionen zur Basis a, wobei ist.

Frage anzeigen

Frage

Gib die natürliche Exponentialfunktion an. 

Antwort anzeigen

Antwort


Mit der Euler’sche Zahl e (≈ 2,718)

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die allgemeine Ableitungsregel für Exponentialfunktionen?

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Leite ab: 

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Leite ab:

Antwort anzeigen

Antwort



Frage anzeigen

Frage

Leite ab:


Antwort anzeigen

Antwort

Ableitung mithilfe der Faktorregel


Frage anzeigen

Frage

Leite ab:

Antwort anzeigen

Antwort

Ableitung mithilfe der Faktor- und
Summenregel

Frage anzeigen

Frage

Leite ab:


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Leite ab:


Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Leite ab:

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die natürliche Logarithmusfunktion?

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Antwort

f(x)= ln x

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Definitionsmenge der natürlichen Logarithmusfunktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Wertemenge der natürlichen Logarithmusfunktion?

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Antwort

Frage anzeigen

Frage

Welche Nullstelle besitzt die natürlich Logarithmusfunktion?

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Antwort

Die ln-Funktion hat eine Nullstelle bei x = 1.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Grenzwerte der natürlichen Logarithmusfunktion.

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Zeichne den Graph der natürlichen Logarithmusfunktion.

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine gebrochenrationale Funktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine gebrochenrationale Funktion f ist der Quotient zweier ganzrationaler Funktionen u(x) und v(x):

Frage anzeigen

Frage

Was gibt eine Nullstellen des Nenners v(x) einer gebrochenrationalen Funktion noch an?

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Antwort

Nullstellen des Nenners v(x) sind Definitionslücken und mögliche
Polstellen der Funktion f.

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Frage

Wann ist eine Nullstellen des Zählers u(x) eine Nullstelle der gebrochenrationalen Funktion?

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Antwort

Eine Nullstelle des Zählers ist nur dann Nullstelle der Funktion f, wenn sie nicht zugleich Nullstelle des Nenners ist.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Nullstelle des Nenners eine Polstelle?

Antwort anzeigen

Antwort

  • Falls x0 keine Nullstelle des Zählers ist oder
  • x0 zugleich Nullstelle des Zählers und die Vielfachheit der Nullstelle
    im Nenner größer als die Vielfachheit der Nullstelle im Zähler ist.
Frage anzeigen

Frage

Gebe den Definitionsbereich und die Nullstellen der Funktion f sowie die Art der Definitionslücken an.

Antwort anzeigen

Antwort


Die Funktion f besitzt

  • bei x = 1 eine einfache Nullstelle,
  • bei x = −2 eine einfache Polstelle
  • bei x = 3 eine doppelte Polstelle.
Frage anzeigen

Frage

Gebe den Definitionsbereich und die Nullstellen der Funktion f sowie die Art der Definitionslücken an.

Antwort anzeigen

Antwort


Die Funktion f besitzt

  • bei x = 0 eine einfache Nullstelle
  • bei x = 3 eine (be)hebbare Definitionslücke.
    Für x ≠ 3 kann man im Funktionsterm kürzen:

Frage anzeigen

Frage

Was versteht man unter einer ganzrationalen Funktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Unter einer ganzrationalen Funktion (oder Polynomfunktion) vom Grad n versteht man eine reelle Funktion der Form:

Frage anzeigen

Frage

Wie werden diese Werte einer ganzrationalen Funktion bezeichnet?

Antwort anzeigen

Antwort

Koeffizienten

Frage anzeigen

Frage

Wie können Nullstellen einer ganzrationalen Funktion ermittelt werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Z.B durch Linearfaktorzerlegung

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Nullstellen mit der Linearfaktorzerlegung.


Antwort anzeigen

Antwort


⇒ Nullstellen bei x = 2, x = –1 und x = 1

Frage anzeigen

Frage

Nenne zwei Spezialfälle ganzrationaler Funktionen.

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Was ist ein Wendepunkt?

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Antwort

Graphisch, ein Punkt, an dem der Funktionsgraph sein Krümmungsverhalten verändert. Der Graph wechselt entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder anders herum.

Frage anzeigen

Frage

Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit ein Wendepunkt vorliegt?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Wendepunkt liegt vor, wenn gilt: 

  • f’’(x) = 0 und
  • f’’’(x) ≠ 0
Frage anzeigen

Frage

Zeichne grob auf, wie ein Wendepunkt aussieht.

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Antwort

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man einen Wendepunkt (Schritte)?

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Antwort

  1.  Zweite Ableitung berechnen. 
  2.  Nullstellen der zweiten Ableitung berechnen. f’’(x) = 0 
  3. Dritte Ableitung berechnen. 
  4.  Die in Schritt 2 berechneten x-Werte in die dritte Ableitung einsetzen. → Wenn f’’’(x) ≠ 0, dann ist es ein Wendepunkt 
  5. Die berechneten x-Werte in die Funktion f(x) einsetzen, um die y-Koordinaten der Wendepunkte zu berechnen. 
Frage anzeigen

Frage

Die Funktion f(x) = x³ soll auf Wendepunkte untersucht werden.

Antwort anzeigen

Antwort

1. Ableitungen berechnen 

f’(x) = 3x²; f’’(x) = 6x 

2. Nullstellen von f’’(x) berechnen. Ansatz: f’’(x) = 0  → x = 0 

3. f’’’(x) berechnen. f’’’(x) = 6 

4. x-Werte aus Schritt 2 in f’’’(x) einsetzen. f’’’(x) ist immer ungleich Null: f’’’(x) = 6 ≠ 0 An der Stelle x= 0 liegt ein Wendepunkt vor 

5. x-Wert in f(x) einsetzen, um y-Koordinate des WP zu erhalten y = f(0) = 0 

Die Funktion f(x) hat bei (0|0) einen WP.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe den Wendepunkt (0/0) von f(x) = x³.

Antwort anzeigen

Antwort

Für x < 0 ist die Funktion rechtsgekrümmt. 

Für x > 0 ist die Funktion linksgekrümmt.

Frage anzeigen

Frage

Untersuche die Funktion auf Wendepunkte.

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Antwort

1. Ableitungen: f’(x) = 2x2 +6x + 4; f’’(x) = 4x + 6 

2. Nullstellen von f’’(x) berechnen. Ansatz: f’’(x) = 0 f’’(x)= -1,5 

3. f’’’(x) berechnen. f’’’(x) = 4 

4. x-Werte aus Schritt 2 in f’’’(x) einsetzen. f’’’(x) ist immer ungleich Null: f’’’(x) = 4 ≠ 0 An der Stelle x= -1,5 liegt ein Wendepunkt vor. 

5. x-Wert in f(x) einsetzen, um y-Koordinate des WP zu berechnen y = f(-1,5) = -1,5 

f(x) hat an der Stelle (-1,5|-1,5) einen WP.

Frage anzeigen

Frage

Antwort anzeigen

Antwort

Für x < -1,5 ist die Funktion rechtsgekrümmt. 

Für x > -1,5 ist die Funktion linksgekrümmt.

Frage anzeigen

Frage

Wo ist der Wendepunkt der Funktion f(x)= x³-3x²?

Antwort anzeigen

Antwort

1. Ableitungen: f'(x) = 3x²+6x, f''(x)= 6x +6, f'''(x) = 6 

2. Zweite Ableitung gleich Null stellen: f''(x) = 0 --> x1= 1

3. x1 in dritte Ableitung einsetzen: Ungleich 0 --> Es liegt bei x1 ein WP vor. 

4.y-Koordinate herausfinden, indem x1 in f(x) eingesetzt wird: f(1)=-2. 

Der WP liegt bei (1/-2).

Frage anzeigen

Frage

Wo liegt der WP von f(x)= 1/3x³-2x²+3x?

Antwort anzeigen

Antwort

Alle Rechenschritte befolgen. Dann erhält man als

WP(2,2/3).

Frage anzeigen

Frage

Wo liegt die Wendestelle von f(x) =f(x)=-3x³+12x+3?

Antwort anzeigen

Antwort

1. f'(x)=-9x²+12, f''(x)=-18x, f'''(x)=-18 

2. 0=-18x Gleichung auflösen: xE=0 

3. f'''(xW)=f'''(0)=-18, -18 ist kleiner als 0, also ist es ein LR-Wendepunkt 

4. f(xW)=f(0)=-3⋅0³+12⋅0+3=3 

Es liegt LR-WP (0|3) vor.

Frage anzeigen

Frage

Berechne den WP von f(x) = x3 – 6x2 + 5x.

Antwort anzeigen

Antwort

1. Ableiten: f ‚(x) = 3x2 – 12x + 5 f “(x) = 6x – 12 f “'(x) = 6 

2. Notwendige Bedingung prüfen: f “(x) = 0        x = 2        → potenzieller Wendepunkt liegt vor 

3. Hinreichende Bedingung prüfen f “'(2) = 6 ≠ 0 → Wendepunkt liegt vor 

4. y-Wert bestimmen y = f(2) y = -6 

→ Für die Funktion liegt ein WP bei ( 2 | -6 ) vor.

Frage anzeigen

Frage

Zeichne grob auf, wie ein L-R WP bzw. R-L WP aussieht.

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Welche Ableitungen müssen aufgestellt werden, um WP zu bestimmen?

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Antwort

Es werden immer die erste, zweite und dritte Ableitung benötigt.

Frage anzeigen

Frage

Bei welcher Funktionsart liegt immer ein WP vor?

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Antwort

Funktionen 3. Ordnung, also kubische Funktionen haben immer einen Wendepunkt.

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Frage

Was ist der Wertebereich?

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Antwort

Der WB bestimmt, welche y-Werte eine Funktion annimmt.

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Frage

Was ist die Menge eines Wertebereiches?

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Antwort

Menge an y-Werten für eine Funktion

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Frage

Welchen Wertebereich hat die Funktion f(x) = x² mit dem Definitionsbereich D={1,2,3,4,5}?

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Antwort


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Frage

Wie lautet der Wertebereich für lineare Funktionen?

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Antwort


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Frage

Gegeben sei der Graph der Funktion f(x)= x+2. Der Definitionsbereich der Funktion ist wie folgt: D= {0;2}. Wie lautet der Wertebereich?

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Antwort


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Frage

Wie bestimme ich den Wertebereich linearer Funktionen?

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Antwort

1. Definitionsbereich Werte in f(x) einsetzen. 

2. Funktion auflösen. 

3.Ergebnisse in aufschreiben.

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Frage

An welcher Achse lässt sich der Wertebereich auch ablesen?

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Antwort

An der y-Achse

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Frage

Was gilt für den Wertebereich quadratischer Funktionen mit nur positiven Vorzeichen von x²?

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Antwort


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Frage

Was gilt für den Wertebereich quadratischer Funktionen mit nur negativen Vorzeichen von x²?

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Antwort


Frage anzeigen

Frage

Wie bestimme ich die Wertebereichsmenge von quadratischen Funktionen?

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Antwort

1. Vorzeichen von x² ablesen 

2. Scheitelpunkt berechnen 

3. Wertebereich bestimmen

Frage anzeigen

Frage

Es sei der Graph der Funktion f(x) = x2-6x+10 gegeben. Der Definitionsbereich der Funktion ist D= R. Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei S (3 |1). Wie lautet die Wertebereichsmenge?

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Antwort


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Frage

Gegeben sei der Graph der Funktion f(x) = -x2 +8x -14. Der Definitionsbereich der Funktion ist D= R. Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei S (4 |2). Wie lautet die Wertebereichsmenge?

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Antwort


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Frage

Wovon hängen die Grenzen für den Wertebereich ab?

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Antwort

  • y- Koordinate des Scheitelpunktes 
  • Vorzeichen von x²
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Frage

Wie bestimme ich den Wertebereich besonderer Funktionen?

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Antwort

Extrempunkte berechnen und Grenzwertbetrachtung durchführen

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Frage

Was ist der y-Achsenabschnitt?

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Antwort

Der Punkt, an dem der Graph einer Funktion die y-Achse schneidet.

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Frage

Wie berechne ich eine Geradengleichung?

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Antwort

1. Y- Achsenabschnitt (n) ablesen. 

2. Steigungsdreieck einzeichnen um Steigung (m) zu bestimmen. 

3. Nachdem n und m ermittelt wurden, Variablen in die allgemeine Form einsetzen.

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Frage

Wie lautet die allgemeine Form für lineare Funktionen?

Antwort anzeigen

Antwort

f(x) = m * x + n

m = Steigung 

n = Y- Achsenabschnitt

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Frage

Wie lese ich den y-Achsenabschnitt ab?

Antwort anzeigen

Antwort

Schaue, wo der Schnittpunkt des Graphen mit der y- Achse ist

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Frage

Lies den y-Achsenabschnitt ab:


Antwort anzeigen

Antwort

Der y- Achsenabschnitt beträgt 1,5. Der dazugehörige x-Wert ist immer = 0.

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Frage

Wie ist der x-Wert, an dem Punkt, wo der Graph die y-Achse schneidet?

Antwort anzeigen

Antwort

Er ist immer Null. x= 0

Frage anzeigen

Frage

Wo liegt der y-Achsenabschnitt?


Antwort anzeigen

Antwort

y- Achsenabschnitt liegt bei 4.

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Frage

Wie bestimmte ich den Y Achsenabschnitt mit der Steigung?

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Antwort

1. Berechne zuerst die Steigung: Setze die Koordinaten eines Punktes in die Steigungsformel ein. 

2. Stelle die allgemeine Form nach y um und löse nach y auf. 

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Steigungsformel für lineare Funktionen?

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Steigung?

 

Antwort anzeigen

Antwort

m= 1,5

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet der y-Achsenabschnitt, wenn m=1,5 und P(2/1) gegeben sind?

Antwort anzeigen

Antwort

y=-2

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Frage

Wie kann ich die Steigung einer linearen Funktion bestimmen?

Antwort anzeigen

Antwort

1) mit einem Steigungsdreieck oder

2) mit der Steigungsformel

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Frage

Wie lautet der y-Achsenabschnitt der Funktion f(x) = 3x+2?

Antwort anzeigen

Antwort

Null in f(x) einsetzen und auflösen: 

f(0) = 3*0 +2 = 2

y = 2

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Frage

Wie lautet der y-Achsenabschnitt der Funktion f(x) = 4x-5?

Antwort anzeigen

Antwort

Null in f(x) einsetzen und auflösen: 

f(0) = 4*0 -5 = -5.

y = -5

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Frage

Bei welchen Funktionen wende ich die MNF an?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei quadratischen Funktionen der Form f(x)=ax²+bx+c

Frage anzeigen

Frage

Wann benutzt man die Mitternachtsformel?

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Antwort

Zum Lösen quadratischer Gleichungen der allgemeinen Form.

Frage anzeigen

Frage

Wie wird die Mitternachtsformel noch genannt?

Antwort anzeigen

Antwort

Abc-Formel

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Frage

Was erhält man nach auflösen der MNF?

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Antwort

Eine Lösungsmenge der Form (). Diese sind die Nullstellen der Funktion.

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Frage

Wie lautet die MNF?

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Welche zwei Fälle gibt es bei der MNF?

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Antwort


Frage anzeigen

Frage

Wo kann die Anzahl der Lösungen abgelesen werden?

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Antwort

An der Diskriminante

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Frage

Was ist die Diskriminante?

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Antwort

Das was unter der Wurzel steht. (b²-4ac)

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Frage

Welche Arten von Diskriminanten gibt?

Antwort anzeigen

Antwort

1. b²-4ac > 0: zwei Lösungen 

2. b²-4ac = 0 :eine Lösung 

3. b²-4ac < 0: keine Lösung

Frage anzeigen

Frage

Wie wendet man die MNF an?  (Vorgehensweise)

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Antwort

1. Die quadratische Gleichung in die allgemein Form bringen 

2.  a, b und c aus der Formel heraus ablesen

3. a, b und c in die Mitternachtsformel einsetzen

 4. Lösungsmenge aufschreiben

Frage anzeigen

Frage

Was ist der Unterschied zwischen MNF und der pq-Formel?

Antwort anzeigen

Antwort

Die pq-Formel wird in der Normalform angewendet.

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Frage

Was machst du, wenn a = 0 entspricht?

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Antwort

Es muss gelten, sonst können wir die Mitternachtsformel nicht anwenden. Es muss ein quadratisches Glied vorhanden sein.

Frage anzeigen

Frage

Löse die Gleichung 3x²-9x+5=-1 mit der MNF. 

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Was musst gleich 0 sein, um die MNF anzuwenden?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Gleichung die berechnet wird, muss gleich Null gesetzt werden, bevor die MNF angewendet werden kann.

Frage anzeigen

Frage

Was beschreibt eine Asymptote?

Antwort anzeigen

Antwort

Sie beschreibt die Näherung des Funktionsgraphen für eine Definitionslücke an einen bestimmten Wert.

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine Definitionslücke?

Antwort anzeigen

Antwort

An solchen Stellen kann für eine Funktion kein bestimmter Wert berechnet werden.

Frage anzeigen

Frage

Was wird an einer Definitionslücke immer kleiner?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Abstand an einer Definitionslücke zwischen dem Funktionsgraph und der Asymptote wird immer kleiner und kleiner für x→±∞ .

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine Asymptote für ein Graph?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Gerade, an die sich eine Kurve annähert, ohne sie im Endlichen zu schneiden.

Frage anzeigen

Frage

Welche allgemeine Form gilt, wenn die Funktion durch f(x) und die Asymptote vereinfacht durch g(x) beschrieben wird?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Grenzwert des Abstandes ist gleich null wenn x gegen unendlich läuft [(f (x) − g (x)) = 0 ].

Frage anzeigen

Frage

Welche Arten an Asymptoten gibt es?

Antwort anzeigen

Antwort

  1. senkrechte Asymptote (parallel zur y-Achse)
  2. waagerechte Asymptote (parallel zur X-Achse)
  3.  eine schiefe Asymptote.
Frage anzeigen

Frage

Wann kann eine schiefe Asymptote am Funktionsterm abgelesen werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn für das Restglied gilt: Grad des Zählers < Grad des Nenners.

Frage anzeigen

Frage

Wie wird der Graph von gebrochen rationalen Funktionen bestimmt?

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Antwort

Durch senkrechte und waagerechte Asymptoten.

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Frage

Welche Arten von Definitionslücken gibt es?

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Antwort

  1. Durch Null dividieren ist nicht erlaubt! An dieser Stelle besitzt die Funktion eine Definitionslücke.
  2. Die Zahl unter einer Wurzel darf niemals negativ sein! An dieser Stelle besitzt die Funktion eine Definitionslücke.
  3. Das Argument einer Logarithmusfunktion darf niemals negativ sein! An dieser Stelle besitzt die Funktion eine Definitionslücke.
Frage anzeigen

Frage

An welcher Stelle ist die Funktion nicht definiert?

Antwort anzeigen

Antwort

An der Stelle x = 1, da man nicht durch Null dividieren darf.

Frage anzeigen

Frage

An welchen Stellen ist die Funktion nicht definiert?

Antwort anzeigen

Antwort

An den Stellen x > 1 ist sie nicht definiert, da der Wert unter Der Wurzel negativ wäre und dies nicht definiert ist.

Frage anzeigen

Frage

An welchen Stellen ist die Funktion nicht definiert?

Antwort anzeigen

Antwort

An den Stellen x ≤ − 1 ist sie nicht definiert, da das Argument der Logarithmusfunktion negativ wäre und dies nicht definiert ist.

Frage anzeigen

Frage

Wann liegt eine senkrechte Asymptote vor?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn gilt: f (x) = ±∞ . Dabei ist die Asymptote eine Gerade und definiert als x = k .

Frage anzeigen

Frage

Wann liegt eine waagerechte Asymptote vor?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine waagerechte Asymptote ist definiert als eine Gerade der Form y = k . Sie tritt auf, wenn für eine zugrundeliegende Funktion f (x) gilt: f (x) − k) = 0 . Das bedeutet, der Graph der Funktion f (x) nähert sich für x→±∞ immer mehr der Geraden y = k .

Frage anzeigen

Frage

Welche Ausnahmen gelten für waagereche Asymptoten von gebrochen rationalen Funktionen?

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Antwort

  • Ist der Zählergrad > Nennergrad der Funktion, so existiert keine waagerechte Asymptote 
  • Ist der Zählergrad = Nennergrad der Funktion, so existiert eine waagerechte Asymptote y = k für x→±∞ 
  • Ist der Zählergrad < Nennergrad der Funktion, so existiert eine waagerechte Asymptote y = 0 (x-Achse) für x→±∞
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Wann treten schiefe Asymptoten auf?

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Eine schiefe Asymptote ist definiert als eine Gerade der Form y = m·x + c . Sie tritt auf, wenn für eine zugrundeliegende Funktion f (x) gilt: (f (x) − (m·x + c)) = 0 . Das bedeutet, der Graph der Funktion f (x) nähert sich für x→±∞ immer mehr der Geraden y = m·x + c .

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Wie nennt man den Definitionsbereich noch?

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Definitionsmenge

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Was grenzt der Definitionsbereich ein?

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Der Definitionsbereich grenzt ein, welche x-Werte in eine Funktion f(x) eingesetzt werden können. Diesen Definitionsbereich bezeichnet man mit .

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Was ist der Definitionsbereich beim Wurzel ziehen?

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Eine Wurzel kann man nur für positive Zahlen ziehen: f(x) =√x → Df = R unten 0 hoch+

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Was ist der Definitionsbereich bei der Flächenberechnung für die Seitenlängen?

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Ein Flächeninhalt kann nur mit positiven Seitenlängen berechnet werden: 2x² +x = 55m² → Df = R hoch +

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Wie lautet der Definitionsbereich für f(x)=4x²-x+3 ?

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= R

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Wie lautet der Definitionsbereich für f(x) = x³ -6x²+8x?

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= R

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Wie lautet der Definitionsbereich für f(x) = 3x² - 5?

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Woran kann man den Definitionsbereich für gebrochen rationale Funktionen entnehmen?

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Da man nicht durch 0 teilen kann, musst man den Nenner einer gebrochen rationalen Funktion immer genauer anschauen. “ Wann wird der Nenner gleich Null?”. Demnach kannst du die entsprechenden Werte aus dem Definitionsbereich entnehmen.

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Was ist der Definitionsbereich für ?

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Weil man nicht durch 0 teilen darf, stellt man die Frage: Wann wird der Nenner gleich Null? 

x+1 = 0 → x = -1 

Die Funktion ist nur für x = -1 nicht definiert. 

Das ist somit eine Definitionslücke. Die Definitionsmenge der Funktion lautet also:

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Was ist der Definitionsbereich für ?

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Da man nicht durch 0 teilen darf, die Frage: Wann wird der Nenner gleich Null? 

3x (x-2) = 0 → = 0 und = 2 Die Funktion ist für  = 0 und = 2 nicht definiert. Es gibt also zwei Definitionslücken. Die Definitionsmenge der Funktion lautet dann:

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Was ist der Definitionsbereich für

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Was ist der Definitionsbereich für

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Was ist der Definitionsbereich für ?

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Wie bestimmt man den Definitionsbereich für Logarithmusfunktionen?

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Um die Definitionsmenge einer Logarithmusfunktion zu bestimmen, musst folgende Ungleichung gelöst werden: ln g(x) → g(x) > 0 Die Logarithmusfunktion ist nur definiert, wenn die innere Funktion g(x) größer als Null ist.

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Was ist der Definitionsbereich für f(x) = ln (x-1)?

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Wann ist die innere Funktion größer Null? 

x-1> 0 → x >1 

Die innere Funktion ist größer Null, solange x größer als 1 ist. Die Definitionsmenge lautet: =(1; ∞)

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Was ist der Definitionsbereich für f(x) = ln(x2-1)?

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Schaue, wann die innere Funktion größer Null ist. 

x2-1 > 0 → x2 > 1 

Löse die Gleichung auf, indem du die Wurzel ziehst 土√x2 > √1 

Intervall 1: x > 1 

Intervall 2: -x >1 → x < -1 

Die innere Funktion ist größer als Null, solange x größer als 1 bzw. kleiner als -1 ist. Im Intervall zwischen -1 und 1 gibt es eine Definitionslücke. Die Definitionsmenge lautet: = R \ (-1; +1)

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Ist die Funktion an der Stelle stetig?



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1.Bedingung:

 befindet sich in der Definitionsmenge


2.Bedingung:



Die Funktion ist an dieser Stelle nicht stetig.


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Wann ist eine Funktion stetig?

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Eine Funktion ist stetig, wenn man sie ohne Unterbrechung zeichnen kann.

Das heißt, sie ist an allen Stellen ihres Definitionsbereichs stetig.



Das sagt aus, wenn x nahe  ist, muss  nahe an  sein.

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Wie lautet die erste Bedingung einer stetigen Funktion?

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Die erste Bedingung einer stetigen Funktion ist, dass die Stelle  in der Definitionsmenge enthalten sein muss.

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Wie lautet die zweite Bedingung einer stetigen Funktion?

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Die Grenzwerte der Funktion müssen beidseitig übereinstimmen (Die Grenzwerte bildet man, um zu schauen, ob die Funktion nach rechts und nach links ohne Unterbrechungen weitergeht) und mit dem Funktionswert identisch sein.

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Was versteht man unter dem Zwischenwertsatz?

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Der Zwischenwertsatz sagt aus, dass eine Funktion in einem Intervall mit Vorzeichenwechsel mindestens eine Nullstelle besitzt.

Das heißt außerdem, dass jeder Wert d, der zwischen   und   liegt, im Intervall  auch wirklich angenommen wird. Es gibt also eine Stelle c  zwischen  a und  b, für die gilt .

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Ist eine differenzierbare Funktion auch stetig? Und ist eine stetige Funktion auch differenzierbar?


Nun folgen verschiedene Antwortmöglichkeiten


1. Eine differenzierbare Funktion ist an der Stelle  stetig


2.Eine stetige Funktion ist immer differenzierbar


3.Eine stetige Funktion ist nicht immer auch differenzierbar

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Folgende Antworten sind richtig:


1. Eine differenzierbare Funktion ist an der Stelle  stetig


3.Eine stetige Funktion ist nicht immer auch differenzierbar

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Wie lautet die Definition des Grenzwertes, welcher gegen einen Punkt läuft?

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Wenn die Funktionswerte f(x) einer Funktion x immer näher an einen Wert c kommen, wenn x immer näher an den Wert x0 kommt, so heißt die Zahl c Grenzwert oder Limes der Funktion gegen x0.




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Wie lautet die Definition des Grenzwertes, welcher Unendlich läuft?

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Wenn die Funktionswerte f(x) einer Funktion x immer näher an einen Wert c kommen, wenn x immer größer wird, so heißt die Zahl c der Grenzwert oder Limes der Funktion gegen  (sprich "plus unendlich").



Betrachtet man dasselbe für immer kleiner werdende x-Werte, so ist c der Grenzwert oder Limes der Funktion gegen .



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Wie lautet die Definition einer unstetigen Funktion?

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Eine Funktion ist unstetig, wenn der Graph eine Unterbrechung aufweist. 


Im Gegensatz zu einer stetigen Funktion, stimmen die Grenzwerte einer unstetigen Funktion meist nicht überein oder nicht mit dem Funktionswert an der Stelle . Daher ist die Funktion unstetig, da sie Lücken oder Sprünge aufweist, an denen der Funktionsgraph nicht mehr konstant verläuft. 

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Was ist eine Treppenfunktion?

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Eine Treppenfunktion ist eine bekannte unstetige Funktion, welche endlich viele Funktionswerte annimmt und stückweise konstant ist.

Bei der oben erwähnten Treppenfunktion gilt dies hingegen nicht. Die Treppenfunktion ist im Gegensatz zu gebrochen rationale Funktion auf ganz  definiert. Das heißt auch die Sprungstellen, an denen der Stift abgesetzt werden muss, sind Teil des Definitionsbereichs. Daher sind Treppenfunktionen nicht stetig.


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Nenne das Vorgehen zur Bestimmung der Stetigkeit an einem bestimmten Punkt!

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Für die Bestimmung der Stetigkeit an einem Punkt gibt es drei Bedingungen:


1. Bedingung

Zunächst musst du schauen, ob der Punkt  überhaupt ein Bestandteil der Definitionsmenge ist.


2. Bedingung

Die zweite Bedingung sagt aus, dass   einen beidseitigen Grenzwert an der Stelle  besitzt.

Dabei muss sowohl der linksseitige als auch der rechtsseitige Grenzwert gleich sein. Die Grenzwerte bildet man, um zu schauen, ob die Funktion nach rechts und nach links ohne Unterbrechungen weitergeht.


3. Bedingung

Nun musst du prüfen ob der Grenzwert mit dem Funktionswert an der Stelle  übereinstimmt.

Dies muss der Fall sein damit eine Funktion überhaupt stetig sein kann, da ohne die Übereinstimmung eine Unterbrechung des Funktionsgraphen vorliegt.


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Was musst du bei gebrochen rationalen Funktionen beachten?

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Bei den gebrochen rationalen Funktionen musst du beachten, dass sie nicht unbedingt der graphischen Bedingung entsprechen, dass man sie in einer Linie zeichnen kann. Es handelt sich jedoch trotzdem um stetige Funktionen.

Der Grund dafür ist, dass gebrochen rationale Funktion an unstetigen Stellen, wie zum Beispiel Definitionslücken oder Unendlichkeitsstellen, nicht definiert sind. Daher sind die im Definitionsbereich  stetig, aber nicht auf ganz .


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Ist die Funktion  an der Stelle  stetig?

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1. Bedingung

Überprüfen, ob  ein Bestandteil der Definitionsmenge ist.


 gehört zur Definitionsmenge.


2. Bedingung

Überprüfen ob  einen beidseitigen Grenzwert besitzt.


Rechtsseitiger Grenzwert:


 


Linksseitiger Grenzwert:



Die Stelle  existiert ein beidseitiger Grenzwert.


3. Bedingung

Grenzwert und Funktionswert stimmen überein.


Funktionswert:



Grenzwert:



Der Funktionswert und Grenzwert stimmen an der Stelle  überein, das heißt die Funktion ist an dieser Stelle stetig.




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