Wie führe ich eine Kurvendiskussion durch?

Möchtest Du eine vollständige Kurvendiskussion durchführen, musst Du diese Schritte befolgen:Definitionsbereich bestimmenNullstellen bestimmeny-Achsenabschnitt bestimmenUntersuchung der SymmetrieUntersuchung des Verhaltens im UnendlichenExtremstellen bestimmenUntersuchung der MonotonieUntersuchung des KrümmungsverhaltensWendestellen bestimmenWertebereich bestimmen

Was benötige ich für eine Kurvendiskussion?

Für eine Kurvendiskussion brauchst Du Informationen zu den wichtigsten Eigenschaften der Funktion, die Du untersuchen möchtest. Die Kurvendiskussion besteht dabei aus folgenden Schritten: Definitionsbereich bestimmenNullstellen bestimmeny-Achsenabschnitt bestimmenUntersuchung der SymmetrieUntersuchung des Verhaltens im UnendlichenExtremstellen bestimmenUntersuchung der MonotonieUntersuchung des KrümmungsverhaltensWendestellen bestimmenWertebereich bestimmen

Kurvendiskussion

Algebra

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Hast Du schon einmal in Mathe die Nullstellen oder die Symmetrie einer Funktion bestimmt? Dann hast Du bereits einen Teil einer Kurvendiskussion durchgeführt. Welche Schritte darüber hinaus zu einer vollständigen Kurvendiskussion gehören, erfährst Du hier an einigen Beispielen.

Vollständige Kurvendiskussion Schritte

Bei einer Kurvendiskussion geht es darum, eine mathematische Funktion auf ihre Eigenschaften hin zu untersuchen.

Eine vollständige Kurvendiskussion besteht aus folgenden Schritten:

Definitionsbereich bestimmen
Nullstellen bestimmen
y-Achsenabschnitt bestimmen
Untersuchung der Symmetrie
Untersuchung des Verhaltens im Unendlichen
Extremstellen bestimmen
Untersuchung der Monotonie
Untersuchung des Krümmungsverhaltens
Wendestellen bestimmen
Wertebereich bestimmen

Ziel einer Kurvendiskussion ist es, dass Du die Eigenschaften der Funktion so gut kennst, dass Du ihren Funktionsgraphen zeichnen kannst, ohne weitere Werte zu berechnen.

Kurvendiskussion Schritte StudySmarter Abb. 1 - Wichtige Eigenschaften eines Funktionsgraphen

Kurvendiskussion Beispiel

In den wenigsten Aufgaben in Mathe wirst Du eine vollständige Kurvendiskussion einer Funktion durchführen müssen. Meistens werden nur einzelne Schritte davon abgefragt. Hier werden demnach die Schritte der Kurvendiskussion an einzelnen Beispielen gezeigt

In den folgenden Erklärungen findest Du eine jeweils vollständige Kurvendiskussion zu den wichtigsten Funktionen:

Kurvendiskussion Polynomfunktion
Kurvendiskussion e-Funktion
Kurvendiskussion Logarithmusfunktion
Kurvendiskussion trigonometrische Funktionen
Kurvendiskussion Funktionsschar

Definitionsbereich Kurvendiskussion

Der Definitionsbereich einer Funktion verrät Dir, welche Werte Du für \(x\) in die Funktion einsetzen darfst und welche nicht. Auch wenn nicht explizit in einer Aufgabe danach gefragt wird, empfiehlt es sich immer, den Definitionsbereich zu Beginn selbst zu bestimmen.

Die folgende Tabelle zeigt Dir bestimmte Terme, die den Definitionsbereich einer Funktion immer auf gleiche Weise einschränken.

Term	Definitionsbereich
\(\dfrac{1}{x}\)	\(x \neq 0\)
\(ln(x)\)	\(x>0\)
\(\sqrt{x}\)	\(x \geq 0\)

Bestimme den Definitionsbereich der folgenden Funktion: \[f(x)=\frac{3x^2+10}{x-4}\]

Der Nenner eines jeden Bruches darf niemals gleich null sein. Dasselbe gilt auch für den Nenner der Funktion \(f(x)\).

\begin{align}x-4&\neq0&&|+4\\x&\neq4 \end{align}

Die Funktion \(f(x)\) ist demnach für \(x=4\) nicht definiert. Jede andere reelle Zahl darfst Du hingegen für \(x\) einsetzen.\[\rightarrow \mathbb{D}_f=\mathbb{R}\text{ \ {4}}\]

Mehr zu dem Thema findest Du in der Erklärung "Definitionsbereich".

Kurvendiskussion Nullstellen

Beim Bestimmen der Nullstellen suchst Du nach der Schnittstelle, die der Graph der Funktion mit der x-Achse hat. Dazu setzt Du die Funktion \(f(x)\) gleich null und löst die Gleichung nach \(x\) auf.

\[\rightarrow f(x)=0\]

Gesucht sind die Nullstellen der folgenden Funktion: \[f(x)=-4x^2+16\]

Setzte dafür \(f(x)\) gleich null und löse nach \(x\) auf.

\begin{align}f(x)&=0\\[0.2cm]-4x^2+16&=0&&|-16\\-4x^2&=-16&&|:(-4)\\x^2&=4&&|\sqrt{\,}\\x_1&=-2\\x_2&=2\end{align}

Die Funktion \(f(x)\) schneidet die x-Achse bei den Stellen \(x_1=-2\) und \(x_2=2\).

Mehr Details und Beispiele dazu kannst Du in der Erklärung "Nullstellen berechnen" finden.

Y-Achsenabschnitts Kurvendiskussion

Beim y-Achsenabschnitt \(y_0\) wird die Schnittstelle des Funktionsgraphen mit der y-Achse gesucht. Dazu setzt Du für \(x\) in die Funktion null ein.

\[y_0=f(0)\]

Gesucht ist der y-Achsenabschnitt der Funktion \[f(x)=4e^{x^2}+24x-18\]

Setze dafür in die Funktion \(x=0\) ein.

\begin{align}y_0&=f({\color{#1478C8}0})\\[0.2cm]&=4e^{{\color{#1478C8}0}^2}+24\cdot {\color{#1478C8}0}-18\\&=4-18\\y_0&=-14\end{align}

Die Funktion schneidet die y-Achse im Punkt \(Y_0\,(0|-14)\).

Weitere Beispiele dazu findest Du in der Erklärung "y Achsenabschnitt".

Symmetrie Kurvendiskussion

Ein weiterer Teil der Kurvendiskussion ist das Bestimmen der Symmetrie von Funktionen. Dabei können Funktionen zum Beispiel punktsymmetrisch zum Ursprung oder achsensymmetrisch zur y-Achse sein.

Art der Symmetrie	Bedingung
Achsensymmetrie zur y-Achse	\[f(-x)=f(x)\] \(\rightarrow\) Funktion mit ausschließlich geraden Exponenten
Punktsymmetrie zum Ursprung	\[f(-x)=-f(x)\] \(\rightarrow\) Funktion mit ausschließlich ungeraden Exponenten

Treffen die Bedingungen beide nicht zu, ist die Funktion entweder nicht symmetrisch oder hat eine andere Symmetrieachse bzw. einen anderen Symmetriepunkt.

Wie Du eine Funktion auf Symmetrie zu einer beliebigen Achse oder einem beliebigen Punkt untersuchst, erfährst Du in der Erklärung "Symmetrie von Funktionen ".

Oftmals wird in Aufgaben aber nur nach der einfachen Punkt- und Achsensymmetrie gefragt.

Die Funktion \(f(x)=-0{,}5x^4+3x^2\) hat zum Beispiel ausschließlich gerade Exponenten und ist demnach achsensymmetrisch zur y-Achse.

Kurvendiskussion Symmetrie Achsensymmetrie StudySmarter Abb. 2 - Achsensymmetrie Beispiel

Das Verhalten im Unendlichen

Ein ebenso wichtiger Schritt der Kurvendiskussion ist die Betrachtung des Grenzverhaltens bzw. des Verhaltens im Unendlichen der Funktion. Dabei schaust Du Dir an, welchen y-Wert die Funktion einnimmt, wenn Du sehr große positive Zahlen bzw. sehr große negative Zahlen für \(x\) in die Funktion einsetzt. Die entsprechende mathematische Schreibweise davon lautet \(\lim \limits_{x \to \infty}\) und \(\lim \limits_{x \to -\infty}\).

Untersuche, wie sich die Funktion \[f(x)=e^{2x}\cdot 4x^2+2\] im Unendlichen verhält.

Dafür nimmst Du jetzt Deinen Taschenrechner zur Hand und setzt für \(x\) zwei große positive Werte in die Funktion ein.

\begin{align}f(10)&\approx \text{8810588,32}\\f(200)&\approx \text{1,16}\cdot 10^{92}\\ \end{align}

Wie Du siehst, werden die Funktionswerte für steigende x-Werte immer größer.

\[\rightarrow \lim \limits_{x \to \infty} \left(e^{2x}\cdot 4x^2+2 \right) =+\infty\]

Wie sieht es für die negativen x-Werte aus?

\begin{align} f(-10)&\approx \text{2,02}\\ f(-200)&=2\\ \end{align}

Für immer kleiner werdende x-Werte nähert sich die Funktion dem Wert 2 an.

\[\rightarrow \lim \limits_{x \to -\infty} \left(e^{2x}\cdot 4x^2+2\right) =2\]

Du darfst an der Stelle keinen Taschenrechner benutzen? Dann schau Dir die Erklärung "Verhalten im Unendlichen" an. Dort erfährst Du noch weitere Methoden zum Ermitteln von Grenzwerten von Funktionen.

Extremstellen Kurvendiskussion

Ein essenzieller Bestandteil der Kurvendiskussion ist das Bestimmen der Extremstellen. Dabei wendest Du zunächst die notwendige Bedingung an, bei dem potenzielle Extremstellen aufgezeigt werden, und überprüfst anschließend mit der hinreichenden Bedingung die Art der Extremstelle.

Notwendige Bedingung: Die Steigung an der Stelle muss gleich null sein. \[ f'(x)=0\rightarrow \text{potenzielle Extremstellen bei }x_E\]
Hinreichende Bedingung: Um welche Extremstelle handelt es sich?\begin{align}f''(x_E) >0 &\rightarrow \text{Tiefpunkt} \\ f''(x_E) < 0 & \rightarrow \text{Hochpunkt} \\ f''(x_E)=0 & \rightarrow \text{keine Extremstelle} \end{align}

Gesucht sind die Extremstellen der Funktion \[f(x)=-3 x^4+6 x^2+2\]

Notwendige Bedingung: Setze die erste Ableitung gleich 0.

\begin{align}f'(x)&=0\\-12x^3+12x&=0\end{align}

Daraus ergeben sich folgende potenzielle Extremstellen \[\rightarrow x_1=-1 , \quad x_2=0, \quad x_3=1\]

Hinreichende Bedingung: Setze die potenziellen Extremstellen in die zweite Ableitung \(f''(x)=-36x^2+12\) ein.

\begin{align}&f''(x_1=-1)=-24 &&<0 \rightarrow \text{Hochpunkt}\\&f''(x_2=0)=12 &&>0 \rightarrow \text{Tiefpunkt} \\&f''(x_3=1)=-24&&<0 \rightarrow \text{Hochpunkt}\end{align}

Die Funktion hat also bei den Stellen \(x=-1\) und \(x=1\) zwei lokale Maxima und bei der Stelle \(x=0\) ein lokales Minimum.

Ging Dir das Ganze etwas zu schnell? Dann schau in der Erklärung "Extremstellen" vorbei.

Monotonie Kurvendiskussion

Bei der Monotonie untersuchst Du die Änderungsraten der Funktion – genauer gesagt, teilst Du die Funktion in Bereiche auf, in denen sie ansteigt oder abfällt. Dafür betrachtest Du die erste Ableitung.

Erste Ableitung	Monotonieverhalten
\(f'(x)>0\)	\(f(x) \) streng monoton steigend
\(f'(x)<0\)	\(f(x)\) streng monoton fallend

Die Monotonie bestimmst Du in einer Kurvendiskussion am besten immer im Zuge der Extremstellen. Von ihnen kannst Du das Monotonieverhalten direkt ableiten.

Vor einem Hochpunkt ist \(f(x)\) streng monoton steigend, nach einem Hochpunkt streng monoton fallend.
Vor einem Tiefpunkt ist \(f(x)\) streng monoton fallend, nach einem Tiefpunkt streng monoton steigend.
Nach einem Sattelpunkt ändert sich die Steigung nicht.

Betrachte dazu die Funktion \[f(x)=3 x^4+6 x^2+2\] aus dem vorigen Beispiel.

Kurvendiskussion Monotonieverhalten und Extrempunkte StudySmarter Abb. 3 - Monotonieverhalten an einem Beispiel

\(f(x)\) ist streng monoton steigend im Intervall \([-\infty;-1[\)
\(f(x)\) ist streng monoton fallend im Intervall \(]-1;0[\)
\(f(x)\) ist streng monoton steigend im Intervall \(]0;1[\)
\(f(x)\) ist streng monoton fallend im Intervall \(]1;-\infty]\)

Mehr zu dem Thema findest Du in der Erklärung "Monotonieverhalten".

Krümmungsverhalten Kurvendiskussion

Beim Krümmungsverhalten einer Funktion untersuchst Du, ob und inwiefern sich die Steigung der Funktion ändert. Dafür betrachtest Du die zweite Ableitung.

Zweite Ableitung	Krümmungsverhalten
\(f''(x)>0\)	\(f(x)\) links-gekrümmt
\(f''(x)<0\)	\(f(x)\) rechts-gekrümmt
\(f''(x)=0\)	\(f(x)\) nicht gekrümmt

Wendestellen Kurvendiskussion

Wechselt das Krümmungsverhalten der Funktion, hat die Funktion eine Wendestelle. Ähnlich wie bei der Bestimmung der Extremstellen gibt es auch hier eine notwendige und eine hinreichende Bedingung.

Notwendige Bedingung: Die Krümmung an der Stelle muss gleich null sein. \[ f''(x)=0 \rightarrow \text{potentielle Wendestellen bei }x_W\]
Hinreichende Bedingung: Um welche Wendestelle handelt es sich?\begin{align}f'''(x_W) >0 &\rightarrow \text{Rechts-Links-Wendestelle} \\ f'''(x_W) < 0 & \rightarrow \text{Links-Rechts-Wendestelle} \\ f'''(x_W)=0 & \rightarrow \text{keine Wendestelle} \end{align}

Gesucht ist die Wendestelle der Funktion \[f(x)=x^3-6 x^2+9x-1\]

Notwendige Bedingung: Setze die zweite Ableitung gleich 0.

\begin{align}f''(x)&=0\\6x-12&=0\end{align}

Daraus ergibt sich folgende potentielle Wendestelle \[\rightarrow x_W=2\]

Hinreichende Bedingung: Betrachte die dritte Ableitung \(f'''(x)=6\) an der potentiellen Wendestelle \(x_W=2\).

\begin{align}f'''(2)&=6\,\,<0 \rightarrow \text{Rechts-Links-Wendestelle} \end{align}

Oftmals kommt in der dritten Ableitung gar keine Variable mehr vor, in der Du die jeweilige Stelle einsetzen kannst. In dem Fall betrachtest Du wie hier einfach nur den Wert der Konstanten.

Die Funktion hat also bei der Stelle \(x=2\) eine Rechts-Links-Wendestelle.

Kurvendiskussion Wendepunkt und Krümmungsverhalten StudySmarter Abb. 4 - Krümmungsverhalten und Wendestelle an einem Beispiel

Auch hierzu findest Du weitere Inhalte in der Erklärung "Krümmung und Wendepunkte".

Sattelpunkt Kurvendiskussion

Bei einem Sattelpunkt, oder auch Terrassenpunkt genannt, handelt es sich um einen besonderen Wendepunkt. Neben der Änderung des Krümmungsverhaltens hat die Funktion an diesem Punkt zusätzlich keine Steigung.

Bei einem Sattelpunkt gelten demnach folgende Bedingungen:

\(f''(x_S)=0 \rightarrow\) potenzielle Wendestelle bei \(x_S\)
\(f'''(x_S)\neq 0 \rightarrow\) \(x_S\) ist eine Wendestelle
\(f'(x_S)=0 \rightarrow\) bei der Stelle \(x_S\) liegt ein Sattelpunkt

Beispiele dazu kannst Du in der Erklärung "Sattelpunkt" nachlesen.

Wertebereich Kurvendiskussion

Der Wertebereich zeigt Dir, welche y-Werte die Funktion annehmen kann. Er ergibt sich aus dem Definitionsbereich, also den erlaubten x-Werten, die Du in die Funktion einsetzen darfst.

Den Wertebereich einer Funktion bestimmst Du am besten erst, nachdem Du Dir einen Überblick über den Definitionsbereich, dem Verhalten gegen Unendlich und den Extrempunkten der Funktion gemacht hast.

Die Funktion \(f(x)=x^2+3\) ist für alle reellen Zahlen definiert, hat einen Tiefpunkt bei

\[T=(0|3)\]

und folgendes Verhalten im Unendlichen:

\begin{align}\lim \limits_{x \to \infty}=+\infty \\[0.1cm] \lim \limits_{x \to -\infty}=+\infty \end{align}

Von diesen Informationen kannst Du nun ableiten, dass die Funktion keine y-Werte hat, die kleiner als 3 sind. Es ergibt sich dann ein Wertebereich von \(\mathbb{W}_f=[3;+\infty]\).

Mehr dazu findest Du in der Erklärung "Wertebereich".

Kurvendiskussion – Aufgaben

Jetzt bist Du an der Reihe! Mit den Aufgaben kannst Du Dein neu erlerntes Wissen auf die Probe stellen.

Aufgabe 1

Bestimme die Nullstellen der folgenden Funktion: \[f(x)=-3x^4+12x^2\]

Lösung

Setzte dafür \(f(x)\) gleich null und löse nach \(x\) auf.

\begin{align}f(x)&=0\\[0.2cm]-3x^4+12x^2&=0\\x^2\cdot(-3x^2+12)&=0\\[0.2cm] \rightarrow x^2&=0 \\x_1&=0\\[0.2cm] \rightarrow-3x^2+12&=0&&|-12\\-3x^2&=-12&&|:(-3)\\x^2&=4&&|\sqrt{\,}\\x_2&=2\\x_3&=-2\end{align}

Die Nullstellen von \(f(x)\) liegen bei \(x_1=0\), \(x_2=2\) und \(x_3=-2\).

Aufgabe 2

Untersuche das Krümmungsverhalten der folgenden Funktion: \[f(x)=-3x^2+2\]

Lösung

Bilde dafür die zweite Ableitung von \(f(x)\).

\begin{align}f'(x)&=-6x\\f''(x)&=-6\end{align}

Da die zweite Ableitung \(f''(x) > 0\) ist, ist die Funktion \(f(x)\) linksgekrümmt.

Aufgabe 3

Begründe, warum die folgende Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist: \[f(x)=4x^7+3x^3\]

Lösung

Bei Punktsymmetrie zum Ursprung muss folgendes gelten:

\[f(-x)=-f(x)\]

Angewendet auf die vorliegende Funktion ergibt sich Folgendes:

\begin{align}f(-x)&=-f(x)\\[0.2cm]4\cdot (-x)^7+3 \cdot (-x)^3 &=-(4x^7+3x^3)\\-4x^7-3x^3&=-4x^7-3x^3 && \color{#00ff00}\checkmark \end{align}

Ebenso erkennst Du die Punktsymmetrie an den ausschließlich ungeraden Exponenten in der Funktion.

Kurvendiskussion – Das Wichtigste

Bei einer Kurvendiskussion geht es darum, eine mathematische Funktion auf ihre Eigenschaften hin zu untersuchen, sodass Du eine Vorstellung über den Funktionsgraphen bekommst.
Eine vollständige Kurvendiskussion besteht aus folgenden Schritten:
- Definitionsbereich bestimmen
- Nullstellen bestimmen
- y-Achsenabschnitt bestimmen
- Untersuchung der Symmetrie
- Untersuchung des Verhaltens im Unendlichen
- Extremstellen bestimmen
- Untersuchung der Monotonie
- Untersuchung des Krümmungsverhaltens
- Wendestellen bestimmen
- Wertebereich bestimmen

Nachweise

Jost; Seeger. (2012). Fit fürs Abi. Mathematik Oberstufenwissen. Schroedel Verlag
Baum, Bellstedt et. al. (2009). Lambacher Schweizer 11/12 Mathematik für Gymnasien. Gesamtband Oberstufe Niedersachsen. Ernst Klett Verlag.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Kurvendiskussion

Möchtest Du eine vollständige Kurvendiskussion durchführen, musst Du diese Schritte befolgen:

Definitionsbereich bestimmen
Nullstellen bestimmen
y-Achsenabschnitt bestimmen
Untersuchung der Symmetrie
Untersuchung des Verhaltens im Unendlichen
Extremstellen bestimmen
Untersuchung der Monotonie
Untersuchung des Krümmungsverhaltens
Wendestellen bestimmen
Wertebereich bestimmen

Um die Nullstellen bei einer Kurvendiskussion zu berechnen, setzt Du die zu untersuchende Funktion f(x) gleich null und löst beispielsweise mit der pq-Formel nach x auf

Ziel einer Kurvendiskussion ist es, dass Du die Eigenschaften der Funktion so gut kennst, dass Du ihren Funktionsgrafen selbst zeichnen kannst bzw. Dir einen ungefähren Überblick über den Verlauf des Funktionsgraphen machen kannst.

Für eine Kurvendiskussion brauchst Du Informationen zu den wichtigsten Eigenschaften der Funktion, die Du untersuchen möchtest. Die Kurvendiskussion besteht dabei aus folgenden Schritten:

Definitionsbereich bestimmen
Nullstellen bestimmen
y-Achsenabschnitt bestimmen
Untersuchung der Symmetrie
Untersuchung des Verhaltens im Unendlichen
Extremstellen bestimmen
Untersuchung der Monotonie
Untersuchung des Krümmungsverhaltens
Wendestellen bestimmen
Wertebereich bestimmen

Finales Kurvendiskussion Quiz

Kurvendiskussion Quiz - Teste dein Wissen

Frage

Was beschreibt die Ableitung im Allgemeinen?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Ableitung einer Funktion entspricht in jedem Punkt der Steigung
der Tangente an den Graphen der Funktion und wird deshalb als Grenzwert der Sekantensteigung bestimmt.

Die Ableitung einer Funktion entspricht in jedem Punkt der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion und wird deshalb als Grenz- wert der Sekantensteigung bestimmt.

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Frage

Was sind Trigonometrische Funktionen?

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Antwort

Trigonometrische Funktionen sind Winkelfunktionen (bzw. Kreisfunktionen), die jedem Winkel α einen entsprechenden Funktionswert zuordnen.

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Frage

Wie muss der Taschenrechner bei Berechnung von trigonometrischen Funktionen für Gradmaß und für Bogenmaß eingestellt werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei Berechnung von konkreten Funktionswerten, muss der Taschenrechner auf den entsprechenden Modus eingestellt werden, d. h. DEG für das Gradmaß und RAD für das Bogenmaß.

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Frage

Wie lautet die Ableitungsregel für die Sinusfunktion?

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Antwort

f(x) = sin x

f '(x) = cos x

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Frage

Wie lautet die Ableitungsregel für die Kosinusfunktion?

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Antwort

f(x) = cos x

f '(x) = – sin x

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Frage

Wann muss die Ableitungsregel von cos/sin/tan mit der Kettenregel kombiniert werden?

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Antwort

Wenn die Variable x nicht alleine/ nicht mit Faktor 1 steht.

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Frage

Wann muss die Ableitungsregel mit der Kettenregel kombiniert werden?

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Antwort

Die Variable x darf in diesem Fall nur alleine stehen bzw. mit Faktor 1. Andernfalls muss diese Ableitungsregel mit der Kettenregel kombiniert werden.

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Frage

Was gilt bei Verknüpfungen von Funktionen?

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Antwort

Bei Verknüpfungen von Funktionen gelten zusätzlich alle weiteren bekannten

Differenziationsregeln.

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Frage

Wie lautet die natürliche Logarithmusfunktion?

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Antwort

f(x)= ln x

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Frage

Welche Nullstelle besitzt die natürlich Logarithmusfunktion?

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Antwort

Die ln-Funktion hat eine Nullstelle bei x = 1.

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Frage

Was gibt eine Nullstellen des Nenners v(x) einer gebrochenrationalen Funktion noch an?

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Antwort

Nullstellen des Nenners v(x) sind Definitionslücken und mögliche
Polstellen der Funktion f.

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Frage

Wann ist eine Nullstellen des Zählers u(x) eine Nullstelle der gebrochenrationalen Funktion?

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Antwort

Eine Nullstelle des Zählers ist nur dann Nullstelle der Funktion f, wenn sie nicht zugleich Nullstelle des Nenners ist.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Nullstelle des Nenners eine Polstelle?

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Antwort

Falls x0 keine Nullstelle des Zählers ist oder
x0 zugleich Nullstelle des Zählers und die Vielfachheit der Nullstelle
im Nenner größer als die Vielfachheit der Nullstelle im Zähler ist.

Frage anzeigen

Frage

Wie können Nullstellen einer ganzrationalen Funktion ermittelt werden?

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Antwort

Z.B durch Linearfaktorzerlegung

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Frage

Was ist ein Wendepunkt?

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Antwort

Graphisch, ein Punkt, an dem der Funktionsgraph sein Krümmungsverhalten verändert. Der Graph wechselt entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder anders herum.

Frage anzeigen

Frage

Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit ein Wendepunkt vorliegt?

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Antwort

Ein Wendepunkt liegt vor, wenn gilt:

f’’(x) = 0 und
f’’’(x) ≠ 0

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man einen Wendepunkt (Schritte)?

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Antwort

Zweite Ableitung berechnen.
Nullstellen der zweiten Ableitung berechnen. f’’(x) = 0
Dritte Ableitung berechnen.
Die in Schritt 2 berechneten x-Werte in die dritte Ableitung einsetzen. → Wenn f’’’(x) ≠ 0, dann ist es ein Wendepunkt
Die berechneten x-Werte in die Funktion f(x) einsetzen, um die y-Koordinaten der Wendepunkte zu berechnen.

Frage anzeigen

Frage

Die Funktion f(x) = x³ soll auf Wendepunkte untersucht werden.

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Antwort

1. Ableitungen berechnen

f’(x) = 3x²; f’’(x) = 6x

2. Nullstellen von f’’(x) berechnen. Ansatz: f’’(x) = 0 → x = 0

3. f’’’(x) berechnen. f’’’(x) = 6

4. x-Werte aus Schritt 2 in f’’’(x) einsetzen. f’’’(x) ist immer ungleich Null: f’’’(x) = 6 ≠ 0 An der Stelle x= 0 liegt ein Wendepunkt vor

5. x-Wert in f(x) einsetzen, um y-Koordinate des WP zu erhalten y = f(0) = 0

Die Funktion f(x) hat bei (0|0) einen WP.

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Frage

Beschreibe das Krümmungsverhalten um den Wendepunkt (0/0) von f(x) = x³.

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Antwort

Für x < 0 ist die Funktion rechtsgekrümmt.

Für x > 0 ist die Funktion linksgekrümmt.

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Frage

Wo ist der Wendepunkt der Funktion f(x)= x³-3x²?

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Antwort

1. Ableitungen: f'(x) = 3x²+6x, f''(x)= 6x +6, f'''(x) = 6

2. Zweite Ableitung gleich Null stellen: f''(x) = 0 --> x1= 1

3. x1 in dritte Ableitung einsetzen: Ungleich 0 --> Es liegt bei x1 ein WP vor.

4.y-Koordinate herausfinden, indem x1 in f(x) eingesetzt wird: f(1)=-2.

Der WP liegt bei (1/-2).

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Frage

Wo liegt der WP von f(x)= 1/3x³-2x²+3x?

Antwort anzeigen

Antwort

Alle Rechenschritte befolgen. Dann erhält man als

WP(2,2/3).

Frage anzeigen

Frage

Wo liegt die Wendestelle von f(x) =f(x)=-3x³+12x+3?

Antwort anzeigen

Antwort

1. f'(x)=-9x²+12, f''(x)=-18x, f'''(x)=-18

2. 0=-18x Gleichung auflösen: xE=0

3. f'''(xW)=f'''(0)=-18, -18 ist kleiner als 0, also ist es ein LR-Wendepunkt

4. f(xW)=f(0)=-3⋅0³+12⋅0+3=3

Es liegt LR-WP (0|3) vor.

Frage anzeigen

Frage

Berechne den WP von f(x) = x3 – 6x2 + 5x.

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Antwort

1. Ableiten: f ‚(x) = 3x2 – 12x + 5 f “(x) = 6x – 12 f “'(x) = 6

2. Notwendige Bedingung prüfen: f “(x) = 0 x = 2 → potenzieller Wendepunkt liegt vor

3. Hinreichende Bedingung prüfen f “'(2) = 6 ≠ 0 → Wendepunkt liegt vor

4. y-Wert bestimmen y = f(2) y = -6

→ Für die Funktion liegt ein WP bei ( 2 | -6 ) vor.

Frage anzeigen

Frage

Welche Ableitungen müssen aufgestellt werden, um WP zu bestimmen?

Antwort anzeigen

Antwort

Es werden immer die erste, zweite und dritte Ableitung benötigt.

Frage anzeigen

Frage

Bei welcher Funktionsart liegt immer ein WP vor?

Antwort anzeigen

Antwort

Funktionen 3. Ordnung, also kubische Funktionen haben immer einen Wendepunkt.

Frage anzeigen

Frage

Was ist der Wertebereich?

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Antwort

Der WB bestimmt, welche y-Werte eine Funktion annimmt.

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Frage

Was ist die Menge eines Wertebereiches?

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Antwort

Menge an y-Werten für eine Funktion

Frage anzeigen

Frage

An welcher Achse lässt sich der Wertebereich auch ablesen?

Antwort anzeigen

Antwort

An der y-Achse

Frage anzeigen

Frage

Wie bestimme ich die Wertebereichsmenge von quadratischen Funktionen?

Antwort anzeigen

Antwort

1. Vorzeichen von x² ablesen

2. Scheitelpunkt berechnen

3. Wertebereich bestimmen

Frage anzeigen

Frage

Wovon hängen die Grenzen für den Wertebereich ab?

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Antwort

y- Koordinate des Scheitelpunktes
Vorzeichen von x²

Frage anzeigen

Frage

Wie bestimme ich den Wertebereich besonderer Funktionen?

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Antwort

Extrempunkte berechnen und Grenzwertbetrachtung durchführen

Frage anzeigen

Frage

Was ist der y-Achsenabschnitt?

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Antwort

Der Punkt, an dem der Graph einer Funktion die y-Achse schneidet.

Frage anzeigen

Frage

Wie berechne ich eine Geradengleichung?

Antwort anzeigen

Antwort

1. Y- Achsenabschnitt (n) ablesen.

2. Steigungsdreieck einzeichnen um Steigung (m) zu bestimmen.

3. Nachdem n und m ermittelt wurden, Variablen in die allgemeine Form einsetzen.

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die allgemeine Form für lineare Funktionen?

Antwort anzeigen

Antwort

f(x) = m * x + n

m = Steigung

n = Y- Achsenabschnitt

Frage anzeigen

Frage

Wie lese ich den y-Achsenabschnitt ab?

Antwort anzeigen

Antwort

Schaue, wo der Schnittpunkt des Graphen mit der y- Achse ist

Frage anzeigen

Frage

Wie ist der x-Wert, an dem Punkt, wo der Graph die y-Achse schneidet?

Antwort anzeigen

Antwort

Er ist immer Null. x= 0

Frage anzeigen

Frage

Wie bestimmte ich den Y Achsenabschnitt mit der Steigung?

Antwort anzeigen

Antwort

1. Berechne zuerst die Steigung: Setze die Koordinaten eines Punktes in die Steigungsformel ein.

2. Stelle die allgemeine Form nach y um und löse nach y auf.

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet der y-Achsenabschnitt, wenn m=1,5 und P(2/1) gegeben sind?

Antwort anzeigen

Antwort

y=-2

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Frage

Wie kann ich die Steigung einer linearen Funktion bestimmen?

Antwort anzeigen

Antwort

1) mit einem Steigungsdreieck oder

2) mit der Steigungsformel

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet der y-Achsenabschnitt der Funktion f(x) = 3x+2?

Antwort anzeigen

Antwort

Null in f(x) einsetzen und auflösen:

f(0) = 3*0 +2 = 2

y = 2

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet der y-Achsenabschnitt der Funktion f(x) = 4x-5?

Antwort anzeigen

Antwort

Null in f(x) einsetzen und auflösen:

f(0) = 4*0 -5 = -5.

y = -5

Frage anzeigen

Frage

Bei welchen Funktionen wende ich die MNF an?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei quadratischen Funktionen der Form f(x)=ax²+bx+c

Frage anzeigen

Frage

Wann benutzt man die Mitternachtsformel?

Antwort anzeigen

Antwort

Zum Lösen quadratischer Gleichungen der allgemeinen Form.

Frage anzeigen

Frage

Wie wird die Mitternachtsformel noch genannt?

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Abc-Formel

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Wo kann die Anzahl der Lösungen abgelesen werden?

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An der Diskriminante

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Was ist die Diskriminante?

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Das was unter der Wurzel steht. (b²-4ac)

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Welche Arten von Diskriminanten gibt?

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1. b²-4ac > 0: zwei Lösungen

2. b²-4ac = 0 :eine Lösung

3. b²-4ac < 0: keine Lösung

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Wie wendet man die MNF an? (Vorgehensweise)

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1. Die quadratische Gleichung in die allgemein Form bringen

2. a, b und c aus der Formel heraus ablesen

3. a, b und c in die Mitternachtsformel einsetzen

4. Lösungsmenge aufschreiben

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Was ist der Unterschied zwischen MNF und der pq-Formel?

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Die pq-Formel wird in der Normalform angewendet.

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Was musst gleich 0 sein, um die MNF anzuwenden?

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Die Gleichung die berechnet wird, muss gleich Null gesetzt werden, bevor die MNF angewendet werden kann.

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Was beschreibt die Ableitung im Allgemeinen?

Die Ableitung einer Funktion entspricht in jedem Punkt der Steigung
der Tangente an den Graphen der Funktion und wird deshalb als Grenzwert der Sekantensteigung bestimmt.

Die Ableitung einer Funktion entspricht in jedem Punkt der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion und wird deshalb als Grenz- wert der Sekantensteigung bestimmt.

Was sind Trigonometrische Funktionen?

Trigonometrische Funktionen sind Winkelfunktionen (bzw. Kreisfunktionen), die jedem Winkel α einen entsprechenden Funktionswert zuordnen.

Wie muss der Taschenrechner bei Berechnung von trigonometrischen Funktionen für Gradmaß und für Bogenmaß eingestellt werden?

Bei Berechnung von konkreten Funktionswerten, muss der Taschenrechner auf den entsprechenden Modus eingestellt werden, d. h. DEG für das Gradmaß und RAD für das Bogenmaß.

Wie lautet die Ableitungsregel für die Sinusfunktion?

f(x) = sin x

f '(x) = cos x

Wie lautet die Ableitungsregel für die Kosinusfunktion?

f(x) = cos x

f '(x) = – sin x

Wann muss die Ableitungsregel von cos/sin/tan mit der Kettenregel kombiniert werden?

Wenn die Variable x nicht alleine/ nicht mit Faktor 1 steht.

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