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Kurvendiskussion

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Kurvendiskussion

Hast Du schon einmal in Mathe die Nullstellen oder die Symmetrie einer Funktion bestimmt? Dann hast Du bereits einen Teil einer Kurvendiskussion durchgeführt. Welche Schritte darüber hinaus zu einer vollständigen Kurvendiskussion gehören, erfährst Du hier an einigen Beispielen.

Vollständige Kurvendiskussion Schritte

Bei einer Kurvendiskussion geht es darum, eine mathematische Funktion auf ihre Eigenschaften hin zu untersuchen.

Eine vollständige Kurvendiskussion besteht aus folgenden Schritten:
  • Definitionsbereich bestimmen
  • Nullstellen bestimmen
  • y-Achsenabschnitt bestimmen
  • Untersuchung der Symmetrie
  • Untersuchung des Verhaltens im Unendlichen
  • Extremstellen bestimmen
  • Untersuchung der Monotonie
  • Untersuchung des Krümmungsverhaltens
  • Wendestellen bestimmen
  • Wertebereich bestimmen

Ziel einer Kurvendiskussion ist es, dass Du die Eigenschaften der Funktion so gut kennst, dass Du ihren Funktionsgraphen zeichnen kannst, ohne weitere Werte zu berechnen.

Kurvendiskussion Schritte StudySmarterAbb. 1 - Wichtige Eigenschaften eines Funktionsgraphen

Kurvendiskussion Beispiel

In den wenigsten Aufgaben in Mathe wirst Du eine vollständige Kurvendiskussion einer Funktion durchführen müssen. Meistens werden nur einzelne Schritte davon abgefragt. Hier werden demnach die Schritte der Kurvendiskussion an einzelnen Beispielen gezeigt

Definitionsbereich Kurvendiskussion

Der Definitionsbereich einer Funktion verrät Dir, welche Werte Du für \(x\) in die Funktion einsetzen darfst und welche nicht. Auch wenn nicht explizit in einer Aufgabe danach gefragt wird, empfiehlt es sich immer, den Definitionsbereich zu Beginn selbst zu bestimmen.

Die folgende Tabelle zeigt Dir bestimmte Terme, die den Definitionsbereich einer Funktion immer auf gleiche Weise einschränken.

Definitionsbereich
\(\dfrac{1}{x}\)
\(x \neq 0\)
\(ln(x)\)
\(x>0\)
\(\sqrt{x}\)
\(x \geq 0\)

Bestimme den Definitionsbereich der folgenden Funktion: \[f(x)=\frac{3x^2+10}{x-4}\]

Der Nenner eines jeden Bruches darf niemals gleich null sein. Dasselbe gilt auch für den Nenner der Funktion \(f(x)\).

\begin{align}x-4&\neq0&&|+4\\x&\neq4 \end{align}

Die Funktion \(f(x)\) ist demnach für \(x=4\) nicht definiert. Jede andere reelle Zahl darfst Du hingegen für \(x\) einsetzen.\[\rightarrow \mathbb{D}_f=\mathbb{R}\text{ \ {4}}\]

Mehr zu dem Thema findest Du in der Erklärung "Definitionsbereich".

Kurvendiskussion Nullstellen

Beim Bestimmen der Nullstellen suchst Du nach der Schnittstelle, die der Graph der Funktion mit der x-Achse hat. Dazu setzt Du die Funktion \(f(x)\) gleich null und löst die Gleichung nach \(x\) auf.

\[\rightarrow f(x)=0\]

Gesucht sind die Nullstellen der folgenden Funktion: \[f(x)=-4x^2+16\]

Setzte dafür \(f(x)\) gleich null und löse nach \(x\) auf.

\begin{align}f(x)&=0\\[0.2cm]3x^2+16&=0&&|-16\\-4x^2&=-16&&|:(-4)\\x^2&=4&&|\sqrt{\,}\\x_1&=-2\\x_2&=2\end{align}

Die Funktion \(f(x)\) schneidet die x-Achse bei den Stellen \(x_1=-2\) und \(x_2=2\).

Mehr Details und Beispiele dazu kannst Du in der Erklärung "Nullstellen berechnen" finden.

Y-Achsenabschnitts Kurvendiskussion

Beim y-Achsenabschnitt \(y_0\) wird die Schnittstelle des Funktionsgraphen mit der y-Achse gesucht. Dazu setzt Du für \(x\) in die Funktion null ein.

\[y_0=f(0)\]

Gesucht ist der y-Achsenabschnitt der Funktion \[f(x)=4e^{x^2}+24x-18\]

Setze dafür in die Funktion \(x=0\) ein.

\begin{align}y_0&=f({\color{#1478C8}0})\\[0.2cm]&=4e^{{\color{#1478C8}0}^2}+24\cdot {\color{#1478C8}0}-18\\&=4-18\\y_0&=-14\end{align}

Die Funktion schneidet die y-Achse im Punkt \(Y_0\,(0|-14)\).

Weitere Beispiele dazu findest Du in der Erklärung "y Achsenabschnitt".

Symmetrie Kurvendiskussion

Ein weiterer Teil der Kurvendiskussion ist das Bestimmen der Symmetrie von Funktionen. Dabei können Funktionen zum Beispiel punktsymmetrisch zum Ursprung oder achsensymmetrisch zur y-Achse sein.

Art der Symmetrie
Bedingung
Achsensymmetrie zur y-Achse
\[f(-x)=f(x)\]
\(\rightarrow\) Funktion mit ausschließlich geraden Exponenten
Punktsymmetrie zum Ursprung
\[f(-x)=-f(x)\]
\(\rightarrow\) Funktion mit ausschließlich ungeraden Exponenten

Treffen die Bedingungen beide nicht zu, ist die Funktion entweder nicht symmetrisch oder hat eine andere Symmetrieachse bzw. einen anderen Symmetriepunkt.

Wie Du eine Funktion auf Symmetrie zu einer beliebigen Achse oder einem beliebigen Punkt untersuchst, erfährst Du in der Erklärung "Symmetrie von Funktionen ".

Oftmals wird in Aufgaben aber nur nach der einfachen Punkt- und Achsensymmetrie gefragt.

Die Funktion \(f(x)=-0{,}5x^4+3x^2\) hat zum Beispiel ausschließlich gerade Exponenten und ist demnach achsensymmetrisch zur y-Achse.

Kurvendiskussion Symmetrie Achsensymmetrie StudySmarterAbb. 2 - Achsensymmetrie Beispiel

Das Verhalten im Unendlichen

Ein ebenso wichtiger Schritt der Kurvendiskussion ist die Betrachtung des Grenzverhaltens bzw. des Verhaltens im Unendlichen der Funktion. Dabei schaust Du Dir an, welchen y-Wert die Funktion einnimmt, wenn Du sehr große positive Zahlen bzw. sehr große negative Zahlen für \(x\) in die Funktion einsetzt. Die entsprechende mathematische Schreibweise davon lautet \(\lim \limits_{x \to \infty}\) und \(\lim \limits_{x \to -\infty}\).

Untersuche, wie sich die Funktion \[f(x)=e^{2x}\cdot 4x^2+2\] im Unendlichen verhält.

Dafür nimmst Du jetzt Deinen Taschenrechner zur Hand und setzt für \(x\) zwei große positive Werte in die Funktion ein.

\begin{align}f(10)&\approx \text{8810588,32}\\f(200)&\approx \text{1,16}\cdot 10^{92}\\ \end{align}

Wie Du siehst, werden die Funktionswerte für steigende x-Werte immer größer.

\[\rightarrow \lim \limits_{x \to \infty} \left(e^{2x}\cdot 4x^2+2 \right) =+\infty\]

Wie sieht es für die negativen x-Werte aus?

\begin{align} f(-10)&\approx \text{2,02}\\ f(-200)&=2\\ \end{align}

Für immer kleiner werdende x-Werte nähert sich die Funktion dem Wert 2 an.

\[\rightarrow \lim \limits_{x \to -\infty} \left(e^{2x}\cdot 4x^2+2\right) =2\]

Du darfst an der Stelle keinen Taschenrechner benutzen? Dann schau Dir die Erklärung "Verhalten im Unendlichen" an. Dort erfährst Du noch weitere Methoden zum Ermitteln von Grenzwerten von Funktionen.

Extremstellen Kurvendiskussion

Ein essenzieller Bestandteil der Kurvendiskussion ist das Bestimmen der Extremstellen. Dabei wendest Du zunächst die notwendige Bedingung an, bei dem potenzielle Extremstellen aufgezeigt werden, und überprüfst anschließend mit der hinreichenden Bedingung die Art der Extremstelle.

  • Notwendige Bedingung: Die Steigung an der Stelle muss gleich null sein. \[ f'(x)=0\rightarrow \text{potenzielle Extremstellen bei }x_E\]
  • Hinreichende Bedingung: Um welche Extremstelle handelt es sich?\begin{align}f''(x_E) >0 &\rightarrow \text{Tiefpunkt} \\ f''(x_E) < 0 & \rightarrow \text{Hochpunkt} \\ f''(x_E)=0 & \rightarrow \text{keine Extremstelle} \end{align}

Gesucht sind die Extremstellen der Funktion \[f(x)=-3 x^4+6 x^2+2\]

Notwendige Bedingung: Setze die erste Ableitung gleich 0.

\begin{align}f'(x)&=0\\-12x^3+12x&=0\end{align}

Daraus ergeben sich folgende potenzielle Extremstellen \[\rightarrow x_1=-1 , \quad x_2=0, \quad x_3=1\]

Hinreichende Bedingung: Setze die potenziellen Extremstellen in die zweite Ableitung \(f''(x)=-36x^2+12\) ein.

\begin{align}&f''(x_1=-1)=-24 &&<0 \rightarrow \text{Hochpunkt}\\&f''(x_2=0)=12 &&>0 \rightarrow \text{Tiefpunkt} \\&f''(x_3=1)=-24&&<0 \rightarrow \text{Hochpunkt}\end{align}

Die Funktion hat also bei den Stellen \(x=-1\) und \(x=1\) zwei lokale Maxima und bei der Stelle \(x=0\) ein lokales Minimum.

Ging Dir das Ganze etwas zu schnell? Dann schau in der Erklärung "Extremstellen" vorbei.

Monotonie Kurvendiskussion

Bei der Monotonie untersuchst Du die Änderungsraten der Funktion – genauer gesagt, teilst Du die Funktion in Bereiche auf, in denen sie ansteigt oder abfällt. Dafür betrachtest Du die erste Ableitung.

Erste Ableitung
\(f'(x)>0\)
\(f(x) \) streng monoton steigend
\(f'(x)<0\)
\(f(x)\) streng monoton fallend

Die Monotonie bestimmst Du in einer Kurvendiskussion am besten immer im Zuge der Extremstellen. Von ihnen kannst Du das Monotonieverhalten direkt ableiten.

  • Vor einem Hochpunkt ist \(f(x)\) streng monoton steigend, nach einem Hochpunkt streng monoton fallend.
  • Vor einem Tiefpunkt ist \(f(x)\) streng monoton fallend, nach einem Tiefpunkt streng monoton steigend.
  • Nach einem Sattelpunkt ändert sich die Steigung nicht.

Betrachte dazu die Funktion \[f(x)=3 x^4+6 x^2+2\] aus dem vorigen Beispiel.

Kurvendiskussion Monotonieverhalten und Extrempunkte StudySmarterAbb. 3 - Monotonieverhalten an einem Beispiel

  • \(f(x)\) ist streng monoton steigend im Intervall \([-\infty;-1[\)
  • \(f(x)\) ist streng monoton fallend im Intervall \(]-1;0[\)
  • \(f(x)\) ist streng monoton steigend im Intervall \(]0;1[\)
  • \(f(x)\) ist streng monoton fallend im Intervall \(]1;-\infty]\)

Mehr zu dem Thema findest Du in der Erklärung "Monotonieverhalten".

Krümmungsverhalten Kurvendiskussion

Beim Krümmungsverhalten einer Funktion untersuchst Du, ob und inwiefern sich die Steigung der Funktion ändert. Dafür betrachtest Du die zweite Ableitung.

Zweite Ableitung
\(f''(x)>0\)
\(f(x)\) rechts-gekrümmt
\(f''(x)<0\)
\(f(x)\) links-gekrümmt
\(f''(x)=0\)
\(f(x)\) nicht gekrümmt

Wendestellen Kurvendiskussion

Wechselt das Krümmungsverhalten der Funktion, hat die Funktion eine Wendestelle. Ähnlich wie bei der Bestimmung der Extremstellen gibt es auch hier eine notwendige und eine hinreichende Bedingung.

  • Notwendige Bedingung: Die Krümmung an der Stelle muss gleich null sein. \[ f''(x)=0 \rightarrow \text{potentielle Wendestellen bei }x_W\]
  • Hinreichende Bedingung: Um welche Wendestelle handelt es sich?\begin{align}f'''(x_W) >0 &\rightarrow \text{Rechts-Links-Wendestelle} \\ f'''(x_W) < 0 & \rightarrow \text{Links-Rechts-Wendestelle} \\ f'''(x_W)=0 & \rightarrow \text{keine Wendestelle} \end{align}

Gesucht ist die Wendestelle der Funktion \[f(x)=x^3-6 x^2+9x-1\]

Notwendige Bedingung: Setze die zweite Ableitung gleich 0.

\begin{align}f''(x)&=0\\6x-12&=0\end{align}

Daraus ergibt sich folgende potentielle Wendestelle \[\rightarrow x_W=2\]

Hinreichende Bedingung: Betrachte die dritte Ableitung \(f'''(x)=6\) an der potentiellen Wendestelle \(x_W=2\).

\begin{align}f'''(2)&=6\,\,<0 \rightarrow \text{Rechts-Links-Wendestelle} \end{align}

Oftmals kommt in der dritten Ableitung gar keine Variable mehr vor, in der Du die jeweilige Stelle einsetzen kannst. In dem Fall betrachtest Du wie hier einfach nur den Wert der Konstanten.

Die Funktion hat also bei der Stelle \(x=2\) eine Rechts-Links-Wendestelle.

Kurvendiskussion Wendepunkt und Krümmungsverhalten StudySmarterAbb. 4 - Krümmungsverhalten und Wendestelle an einem Beispiel

Auch hierzu findest Du weitere Inhalte in der Erklärung "Krümmung und Wendepunkte".

Sattelpunkt Kurvendiskussion

Bei einem Sattelpunkt, oder auch Terrassenpunkt genannt, handelt es sich um einen besonderen Wendepunkt. Neben der Änderung des Krümmungsverhaltens hat die Funktion an diesem Punkt zusätzlich keine Steigung.

Bei einem Sattelpunkt gelten demnach folgende Bedingungen:

  • \(f''(x_S)=0 \rightarrow\) potenzielle Wendestelle bei \(x_S\)
  • \(f'''(x_S)\neq 0 \rightarrow\) \(x_S\) ist eine Wendestelle
  • \(f'(x_S)=0 \rightarrow\) bei der Stelle \(x_S\) liegt ein Sattelpunkt

Beispiele dazu kannst Du in der Erklärung "Sattelpunkt" nachlesen.

Wertebereich Kurvendiskussion

Der Wertebereich zeigt Dir, welche y-Werte die Funktion annehmen kann. Er ergibt sich aus dem Definitionsbereich, also den erlaubten x-Werten, die Du in die Funktion einsetzen darfst.

Den Wertebereich einer Funktion bestimmst Du am besten erst, nachdem Du Dir einen Überblick über den Definitionsbereich, dem Verhalten gegen Unendlich und den Extrempunkten der Funktion gemacht hast.

Die Funktion \(f(x)=x^2+3\) ist für alle reellen Zahlen definiert, hat einen Tiefpunkt bei

\[T=(0|3)\]

und folgendes Verhalten im Unendlichen:

\begin{align}\lim \limits_{x \to \infty}=+\infty \\[0.1cm] \lim \limits_{x \to -\infty}=+\infty \end{align}

Von diesen Informationen kannst Du nun ableiten, dass die Funktion keine y-Werte hat, die kleiner als 3 sind. Es ergibt sich dann ein Wertebereich von \(\mathbb{W}_f=[3;+\infty]\).

Mehr dazu findest Du in der Erklärung "Wertebereich".

Kurvendiskussion – Aufgaben

Jetzt bist Du an der Reihe! Mit den Aufgaben kannst Du Dein neu erlerntes Wissen auf die Probe stellen.

Aufgabe 1

Bestimme die Nullstellen der folgenden Funktion: \[f(x)=-3x^4+12x^2\]

Lösung

Setzte dafür \(f(x)\) gleich null und löse nach \(x\) auf.

\begin{align}f(x)&=0\\[0.2cm]-3x^4+12x^2&=0\\x^2\cdot(-3x^2+12)&=0\\[0.2cm] \rightarrow x^2&=0 \\x_1&=0\\[0.2cm] \rightarrow-3x^2+12&=0&&|-12\\-3x^2&=-12&&|:(-3)\\x^2&=4&&|\sqrt{\,}\\x_2&=2\\x_3&=-2\end{align}

Die Nullstellen von \(f(x)\) liegen bei \(x_1=0\), \(x_2=2\) und \(x_3=-2\).

Aufgabe 2

Untersuche das Krümmungsverhalten der folgenden Funktion: \[f(x)=-3x^2+2\]

Lösung

Bilde dafür die zweite Ableitung von \(f(x)\).

\begin{align}f'(x)&=-6x\\f''(x)&=-6\end{align}

Da die zweite Ableitung \(f''(x) > 0\) ist, ist die Funktion \(f(x)\) linksgekrümmt.

Aufgabe 3

Begründe, warum die folgende Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist: \[f(x)=4x^7+3x^3\]

Lösung

Bei Punktsymmetrie zum Ursprung muss folgendes gelten:

\[f(-x)=-f(x)\]

Angewendet auf die vorliegende Funktion ergibt sich Folgendes:

\begin{align}f(-x)&=-f(x)\\[0.2cm]4\cdot (-x)^7+3 \cdot (-x)^3 &=-(4x^7+3x^3)\\-4x^7-3x^3&=-4x^7-3x^3 && \color{#00ff00}\checkmark \end{align}

Ebenso erkennst Du die Punktsymmetrie an den ausschließlich ungeraden Exponenten in der Funktion.

Kurvendiskussion – Das Wichtigste

  • Bei einer Kurvendiskussion geht es darum, eine mathematische Funktion auf ihre Eigenschaften hin zu untersuchen, sodass Du eine Vorstellung über den Funktionsgraphen bekommst.
  • Eine vollständige Kurvendiskussion besteht aus folgenden Schritten:
    • Definitionsbereich bestimmen
    • Nullstellen bestimmen
    • y-Achsenabschnitt bestimmen
    • Untersuchung der Symmetrie
    • Untersuchung des Verhaltens im Unendlichen
    • Extremstellen bestimmen
    • Untersuchung der Monotonie
    • Untersuchung des Krümmungsverhaltens
    • Wendestellen bestimmen
    • Wertebereich bestimmen

Nachweise

  1. Jost; Seeger. (2012). Fit fürs Abi. Mathematik Oberstufenwissen. Schroedel Verlag
  2. Baum, Bellstedt et. al. (2009). Lambacher Schweizer 11/12 Mathematik für Gymnasien. Gesamtband Oberstufe Niedersachsen. Ernst Klett Verlag.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Kurvendiskussion

Möchtest Du eine vollständige Kurvendiskussion durchführen, musst Du diese Schritte befolgen:

  • Definitionsbereich bestimmen
  • Nullstellen bestimmen
  • y-Achsenabschnitt bestimmen
  • Untersuchung der Symmetrie
  • Untersuchung des Verhaltens im Unendlichen
  • Extremstellen bestimmen
  • Untersuchung der Monotonie
  • Untersuchung des Krümmungsverhaltens
  • Wendestellen bestimmen
  • Wertebereich bestimmen

Um die Nullstellen bei einer Kurvendiskussion zu berechnen, setzt Du die zu untersuchende Funktion f(x) gleich null und löst beispielsweise mit der pq-Formel nach x auf

Ziel einer Kurvendiskussion ist es, dass Du die Eigenschaften der Funktion so gut kennst, dass Du ihren Funktionsgrafen selbst zeichnen kannst bzw. Dir einen ungefähren Überblick über den Verlauf des Funktionsgraphen machen kannst.

Für eine Kurvendiskussion brauchst Du Informationen zu den wichtigsten Eigenschaften der Funktion, die Du untersuchen möchtest. Die Kurvendiskussion besteht dabei aus folgenden Schritten: 


  • Definitionsbereich bestimmen
  • Nullstellen bestimmen
  • y-Achsenabschnitt bestimmen
  • Untersuchung der Symmetrie
  • Untersuchung des Verhaltens im Unendlichen
  • Extremstellen bestimmen
  • Untersuchung der Monotonie
  • Untersuchung des Krümmungsverhaltens
  • Wendestellen bestimmen
  • Wertebereich bestimmen

Finales Kurvendiskussion Quiz

Frage

Wie leitet man die natürliche Exponentialfunktion ab?

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Antwort

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Frage

Was beschreibt die Ableitung im Allgemeinen?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Ableitung einer Funktion entspricht in jedem Punkt der Steigung
der Tangente an den Graphen der Funktion und wird deshalb als Grenzwert der Sekantensteigung bestimmt.

Die Ableitung einer Funktion entspricht in jedem Punkt der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion und wird deshalb als Grenz- wert der Sekantensteigung bestimmt.

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Frage

Wie lautet die allgemeine Formel für die Potenzregel?

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Antwort


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Frage

Bei welcher Art von Funktionen gilt die Potenzregel?

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Antwort

Bei Grundfunktionen:

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Frage

Wie lautet die allgemeine Formel für die Faktorregel?

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Antwort

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Frage

Wie lautet die allgemeine Formel für die Summenregel?

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Antwort


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Frage

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion:



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Antwort


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Frage

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion:

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Antwort

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Frage

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion:

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Antwort

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Frage

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion:

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Antwort

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Frage

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion:


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Antwort


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Frage

Was sind Trigonometrische Funktionen?

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Antwort

Trigonometrische Funktionen sind Winkelfunktionen (bzw. Kreisfunktionen), die jedem Winkel α einen entsprechenden Funktionswert zuordnen.

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Frage

Wie muss der Taschenrechner bei Berechnung von trigonometrischen Funktionen für Gradmaß und für Bogenmaß eingestellt werden?

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Antwort

Bei Berechnung von konkreten Funktionswerten, muss der Taschenrechner auf den entsprechenden Modus eingestellt werden, d. h. DEG für das Gradmaß und RAD für das Bogenmaß.

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Frage

Welche drei trigonometrischen Funktionen gibt es?

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Antwort

Sinusfunktion  

Kosinusfunktion

Tangensfunktion

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Frage

Wie lautet die Ableitungsregel für die Sinusfunktion?

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Antwort

f(x) = sin x

f '(x) = cos x

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Frage

Wie lautet die Ableitungsregel für die Kosinusfunktion?

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Antwort

f(x) = cos x

f '(x) = – sin x

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Frage

Wie lautet die Ableitungsregel für die Tangensfunktion?

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Antwort


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Frage

Wann muss die Ableitungsregel von cos/sin/tan mit der Kettenregel kombiniert werden?

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Antwort

Wenn die Variable x nicht alleine/ nicht mit Faktor 1 steht.

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Frage

Überblick der Ableitungen: cos/sin/tan

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Antwort

Überblick der Ableitungen: 


wird abgeleitet zu                 (dann geht es wieder von vorne los)


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Frage

Wann muss die Ableitungsregel mit der Kettenregel kombiniert werden?

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Antwort

Die Variable x darf in diesem Fall nur alleine stehen bzw. mit Faktor 1. Andernfalls muss diese Ableitungsregel mit der Kettenregel kombiniert werden.

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Frage

Was gilt bei Verknüpfungen von Funktionen?

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Antwort

Bei Verknüpfungen von Funktionen gelten zusätzlich alle weiteren bekannten

Differenziationsregeln.

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Frage

Wie nennt man Funktionen bei denen die Funktionsvariable im Exponenten steht?

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Antwort

Funktionen mit Gleichungen der Form , bei denen die Funktionsvariable
im Exponenten steht, nennt man Exponentialfunktionen zur Basis a, wobei ist.

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Frage

Gib die natürliche Exponentialfunktion an. 

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Antwort


Mit der Euler’sche Zahl e (≈ 2,718)

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Frage

Wie lautet die allgemeine Ableitungsregel für Exponentialfunktionen?

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Antwort


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Frage

Leite ab: 

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Antwort

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Frage

Leite ab:

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Antwort



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Frage

Leite ab:


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Antwort

Ableitung mithilfe der Faktorregel


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Frage

Leite ab:

Antwort anzeigen

Antwort

Ableitung mithilfe der Faktor- und
Summenregel

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Frage

Leite ab:


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Antwort

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Frage

Leite ab:


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Antwort

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Frage

Leite ab:

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Antwort

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Frage

Wie lautet die natürliche Logarithmusfunktion?

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Antwort

f(x)= ln x

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Frage

Was ist die Definitionsmenge der natürlichen Logarithmusfunktion?

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Antwort

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Frage

Was ist die Wertemenge der natürlichen Logarithmusfunktion?

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Antwort

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Frage

Welche Nullstelle besitzt die natürlich Logarithmusfunktion?

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Antwort

Die ln-Funktion hat eine Nullstelle bei x = 1.

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Frage

Nenne die Grenzwerte der natürlichen Logarithmusfunktion.

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Antwort

Frage anzeigen

Frage

Zeichne den Graph der natürlichen Logarithmusfunktion.

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Antwort

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Frage

Was ist eine gebrochenrationale Funktion?

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Antwort

Eine gebrochenrationale Funktion f ist der Quotient zweier ganzrationaler Funktionen u(x) und v(x):

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Frage

Was gibt eine Nullstellen des Nenners v(x) einer gebrochenrationalen Funktion noch an?

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Antwort

Nullstellen des Nenners v(x) sind Definitionslücken und mögliche
Polstellen der Funktion f.

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Frage

Wann ist eine Nullstellen des Zählers u(x) eine Nullstelle der gebrochenrationalen Funktion?

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Antwort

Eine Nullstelle des Zählers ist nur dann Nullstelle der Funktion f, wenn sie nicht zugleich Nullstelle des Nenners ist.

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Frage

Wann ist eine Nullstelle des Nenners eine Polstelle?

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Antwort

  • Falls x0 keine Nullstelle des Zählers ist oder
  • x0 zugleich Nullstelle des Zählers und die Vielfachheit der Nullstelle
    im Nenner größer als die Vielfachheit der Nullstelle im Zähler ist.

Frage anzeigen

Frage

Gebe den Definitionsbereich und die Nullstellen der Funktion f sowie die Art der Definitionslücken an.

Antwort anzeigen

Antwort


Die Funktion f besitzt

  • bei x = 1 eine einfache Nullstelle,
  • bei x = −2 eine einfache Polstelle
  • bei x = 3 eine doppelte Polstelle.

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Frage

Gebe den Definitionsbereich und die Nullstellen der Funktion f sowie die Art der Definitionslücken an.

Antwort anzeigen

Antwort


Die Funktion f besitzt

  • bei x = 0 eine einfache Nullstelle
  • bei x = 3 eine (be)hebbare Definitionslücke.
    Für x ≠ 3 kann man im Funktionsterm kürzen:

Frage anzeigen

Frage

Was versteht man unter einer ganzrationalen Funktion?

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Antwort

Unter einer ganzrationalen Funktion (oder Polynomfunktion) vom Grad n versteht man eine reelle Funktion der Form:

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Frage

Wie werden diese Werte einer ganzrationalen Funktion bezeichnet?

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Antwort

Koeffizienten

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Frage

Wie können Nullstellen einer ganzrationalen Funktion ermittelt werden?

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Antwort

Z.B durch Linearfaktorzerlegung

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Frage

Bestimme die Nullstellen mit der Linearfaktorzerlegung.


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Antwort


⇒ Nullstellen bei x = 2, x = –1 und x = 1

Frage anzeigen

Frage

Nenne zwei Spezialfälle ganzrationaler Funktionen.

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Antwort

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Frage

Was ist ein Wendepunkt?

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Antwort

Graphisch, ein Punkt, an dem der Funktionsgraph sein Krümmungsverhalten verändert. Der Graph wechselt entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder anders herum.

Frage anzeigen

Frage

Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit ein Wendepunkt vorliegt?

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Antwort

Ein Wendepunkt liegt vor, wenn gilt: 

  • f’’(x) = 0 und
  • f’’’(x) ≠ 0

Frage anzeigen

Frage

Zeichne grob auf, wie ein Wendepunkt aussieht.

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man einen Wendepunkt (Schritte)?

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Antwort

  1.  Zweite Ableitung berechnen. 
  2.  Nullstellen der zweiten Ableitung berechnen. f’’(x) = 0 
  3. Dritte Ableitung berechnen. 
  4.  Die in Schritt 2 berechneten x-Werte in die dritte Ableitung einsetzen. → Wenn f’’’(x) ≠ 0, dann ist es ein Wendepunkt 
  5. Die berechneten x-Werte in die Funktion f(x) einsetzen, um die y-Koordinaten der Wendepunkte zu berechnen. 

Frage anzeigen

Frage

Die Funktion f(x) = x³ soll auf Wendepunkte untersucht werden.

Antwort anzeigen

Antwort

1. Ableitungen berechnen 

f’(x) = 3x²; f’’(x) = 6x 

2. Nullstellen von f’’(x) berechnen. Ansatz: f’’(x) = 0  → x = 0 

3. f’’’(x) berechnen. f’’’(x) = 6 

4. x-Werte aus Schritt 2 in f’’’(x) einsetzen. f’’’(x) ist immer ungleich Null: f’’’(x) = 6 ≠ 0 An der Stelle x= 0 liegt ein Wendepunkt vor 

5. x-Wert in f(x) einsetzen, um y-Koordinate des WP zu erhalten y = f(0) = 0 

Die Funktion f(x) hat bei (0|0) einen WP.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe den Wendepunkt (0/0) von f(x) = x³.

Antwort anzeigen

Antwort

Für x < 0 ist die Funktion rechtsgekrümmt. 

Für x > 0 ist die Funktion linksgekrümmt.

Frage anzeigen

Frage

Untersuche die Funktion auf Wendepunkte.

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Antwort

1. Ableitungen: f’(x) = 2x2 +6x + 4; f’’(x) = 4x + 6 

2. Nullstellen von f’’(x) berechnen. Ansatz: f’’(x) = 0 f’’(x)= -1,5 

3. f’’’(x) berechnen. f’’’(x) = 4 

4. x-Werte aus Schritt 2 in f’’’(x) einsetzen. f’’’(x) ist immer ungleich Null: f’’’(x) = 4 ≠ 0 An der Stelle x= -1,5 liegt ein Wendepunkt vor. 

5. x-Wert in f(x) einsetzen, um y-Koordinate des WP zu berechnen y = f(-1,5) = -1,5 

f(x) hat an der Stelle (-1,5|-1,5) einen WP.

Frage anzeigen

Frage

Antwort anzeigen

Antwort

Für x < -1,5 ist die Funktion rechtsgekrümmt. 

Für x > -1,5 ist die Funktion linksgekrümmt.

Frage anzeigen

Frage

Wo ist der Wendepunkt der Funktion f(x)= x³-3x²?

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Antwort

1. Ableitungen: f'(x) = 3x²+6x, f''(x)= 6x +6, f'''(x) = 6 

2. Zweite Ableitung gleich Null stellen: f''(x) = 0 --> x1= 1

3. x1 in dritte Ableitung einsetzen: Ungleich 0 --> Es liegt bei x1 ein WP vor. 

4.y-Koordinate herausfinden, indem x1 in f(x) eingesetzt wird: f(1)=-2. 

Der WP liegt bei (1/-2).

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Frage

Wo liegt der WP von f(x)= 1/3x³-2x²+3x?

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Antwort

Alle Rechenschritte befolgen. Dann erhält man als

WP(2,2/3).

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Frage

Wo liegt die Wendestelle von f(x) =f(x)=-3x³+12x+3?

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Antwort

1. f'(x)=-9x²+12, f''(x)=-18x, f'''(x)=-18 

2. 0=-18x Gleichung auflösen: xE=0 

3. f'''(xW)=f'''(0)=-18, -18 ist kleiner als 0, also ist es ein LR-Wendepunkt 

4. f(xW)=f(0)=-3⋅0³+12⋅0+3=3 

Es liegt LR-WP (0|3) vor.

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Frage

Berechne den WP von f(x) = x3 – 6x2 + 5x.

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Antwort

1. Ableiten: f ‚(x) = 3x2 – 12x + 5 f “(x) = 6x – 12 f “'(x) = 6 

2. Notwendige Bedingung prüfen: f “(x) = 0        x = 2        → potenzieller Wendepunkt liegt vor 

3. Hinreichende Bedingung prüfen f “'(2) = 6 ≠ 0 → Wendepunkt liegt vor 

4. y-Wert bestimmen y = f(2) y = -6 

→ Für die Funktion liegt ein WP bei ( 2 | -6 ) vor.

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Frage

Zeichne grob auf, wie ein L-R WP bzw. R-L WP aussieht.

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Antwort

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Frage

Welche Ableitungen müssen aufgestellt werden, um WP zu bestimmen?

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Antwort

Es werden immer die erste, zweite und dritte Ableitung benötigt.

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Frage

Bei welcher Funktionsart liegt immer ein WP vor?

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Antwort

Funktionen 3. Ordnung, also kubische Funktionen haben immer einen Wendepunkt.

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Frage

Was ist der Wertebereich?

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Antwort

Der WB bestimmt, welche y-Werte eine Funktion annimmt.

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Frage

Was ist die Menge eines Wertebereiches?

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Antwort

Menge an y-Werten für eine Funktion

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Frage

Welchen Wertebereich hat die Funktion f(x) = x² mit dem Definitionsbereich D={1,2,3,4,5}?

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Antwort


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Frage

Wie lautet der Wertebereich für lineare Funktionen?

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Antwort


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Frage

Gegeben sei der Graph der Funktion f(x)= x+2. Der Definitionsbereich der Funktion ist wie folgt: D= {0;2}. Wie lautet der Wertebereich?

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Frage

Wie bestimme ich den Wertebereich linearer Funktionen?

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Antwort

1. Definitionsbereich Werte in f(x) einsetzen. 

2. Funktion auflösen. 

3.Ergebnisse in aufschreiben.

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Frage

An welcher Achse lässt sich der Wertebereich auch ablesen?

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Antwort

An der y-Achse

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Frage

Was gilt für den Wertebereich quadratischer Funktionen mit nur positiven Vorzeichen von x²?

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Antwort


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Frage

Was gilt für den Wertebereich quadratischer Funktionen mit nur negativen Vorzeichen von x²?

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Antwort


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Frage

Wie bestimme ich die Wertebereichsmenge von quadratischen Funktionen?

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Antwort

1. Vorzeichen von x² ablesen 

2. Scheitelpunkt berechnen 

3. Wertebereich bestimmen

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Frage

Es sei der Graph der Funktion f(x) = x2-6x+10 gegeben. Der Definitionsbereich der Funktion ist D= R. Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei S (3 |1). Wie lautet die Wertebereichsmenge?

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Antwort


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Frage

Gegeben sei der Graph der Funktion f(x) = -x2 +8x -14. Der Definitionsbereich der Funktion ist D= R. Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei S (4 |2). Wie lautet die Wertebereichsmenge?

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Antwort


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Frage

Wovon hängen die Grenzen für den Wertebereich ab?

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Antwort

  • y- Koordinate des Scheitelpunktes 
  • Vorzeichen von x²

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Frage

Wie bestimme ich den Wertebereich besonderer Funktionen?

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Antwort

Extrempunkte berechnen und Grenzwertbetrachtung durchführen

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Frage

Was ist der y-Achsenabschnitt?

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Antwort

Der Punkt, an dem der Graph einer Funktion die y-Achse schneidet.

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Frage

Wie berechne ich eine Geradengleichung?

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Antwort

1. Y- Achsenabschnitt (n) ablesen. 

2. Steigungsdreieck einzeichnen um Steigung (m) zu bestimmen. 

3. Nachdem n und m ermittelt wurden, Variablen in die allgemeine Form einsetzen.

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Frage

Wie lautet die allgemeine Form für lineare Funktionen?

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Antwort

f(x) = m * x + n

m = Steigung 

n = Y- Achsenabschnitt

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Frage

Wie lese ich den y-Achsenabschnitt ab?

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Antwort

Schaue, wo der Schnittpunkt des Graphen mit der y- Achse ist

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Frage

Lies den y-Achsenabschnitt ab:


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Antwort

Der y- Achsenabschnitt beträgt 1,5. Der dazugehörige x-Wert ist immer = 0.

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Frage

Wie ist der x-Wert, an dem Punkt, wo der Graph die y-Achse schneidet?

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Antwort

Er ist immer Null. x= 0

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Frage

Wo liegt der y-Achsenabschnitt?


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Antwort

y- Achsenabschnitt liegt bei 4.

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Frage

Wie bestimmte ich den Y Achsenabschnitt mit der Steigung?

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Antwort

1. Berechne zuerst die Steigung: Setze die Koordinaten eines Punktes in die Steigungsformel ein. 

2. Stelle die allgemeine Form nach y um und löse nach y auf. 

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Frage

Wie lautet die Steigungsformel für lineare Funktionen?

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Antwort


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Frage

Wie lautet die Steigung?

 

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Antwort

m= 1,5

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Frage

Wie lautet der y-Achsenabschnitt, wenn m=1,5 und P(2/1) gegeben sind?

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Antwort

y=-2

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Frage

Wie kann ich die Steigung einer linearen Funktion bestimmen?

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Antwort

1) mit einem Steigungsdreieck oder

2) mit der Steigungsformel

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Frage

Wie lautet der y-Achsenabschnitt der Funktion f(x) = 3x+2?

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Antwort

Null in f(x) einsetzen und auflösen: 

f(0) = 3*0 +2 = 2

y = 2

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Frage

Wie lautet der y-Achsenabschnitt der Funktion f(x) = 4x-5?

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Antwort

Null in f(x) einsetzen und auflösen: 

f(0) = 4*0 -5 = -5.

y = -5

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Frage

Bei welchen Funktionen wende ich die MNF an?

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Antwort

Bei quadratischen Funktionen der Form f(x)=ax²+bx+c

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Frage

Wann benutzt man die Mitternachtsformel?

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Antwort

Zum Lösen quadratischer Gleichungen der allgemeinen Form.

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Frage

Wie wird die Mitternachtsformel noch genannt?

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Antwort

Abc-Formel

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Frage

Was erhält man nach auflösen der MNF?

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Antwort

Eine Lösungsmenge der Form (). Diese sind die Nullstellen der Funktion.

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Frage

Wie lautet die MNF?

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Antwort


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Frage

Welche zwei Fälle gibt es bei der MNF?

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Antwort


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Frage

Wo kann die Anzahl der Lösungen abgelesen werden?

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Antwort

An der Diskriminante

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Frage

Was ist die Diskriminante?

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Antwort

Das was unter der Wurzel steht. (b²-4ac)

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Frage

Welche Arten von Diskriminanten gibt?

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Antwort

1. b²-4ac > 0: zwei Lösungen 

2. b²-4ac = 0 :eine Lösung 

3. b²-4ac < 0: keine Lösung

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Frage

Wie wendet man die MNF an?  (Vorgehensweise)

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Antwort

1. Die quadratische Gleichung in die allgemein Form bringen 

2.  a, b und c aus der Formel heraus ablesen

3. a, b und c in die Mitternachtsformel einsetzen

 4. Lösungsmenge aufschreiben

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Frage

Was ist der Unterschied zwischen MNF und der pq-Formel?

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Antwort

Die pq-Formel wird in der Normalform angewendet.

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Frage

Was machst du, wenn a = 0 entspricht?

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Antwort

Es muss gelten, sonst können wir die Mitternachtsformel nicht anwenden. Es muss ein quadratisches Glied vorhanden sein.

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Frage

Löse die Gleichung 3x²-9x+5=-1 mit der MNF. 

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Antwort


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Frage

Was musst gleich 0 sein, um die MNF anzuwenden?

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Antwort

Die Gleichung die berechnet wird, muss gleich Null gesetzt werden, bevor die MNF angewendet werden kann.

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Frage

Was beschreibt eine Asymptote?

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Antwort

Sie beschreibt die Näherung des Funktionsgraphen für eine Definitionslücke an einen bestimmten Wert.

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Frage

Was ist eine Definitionslücke?

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Antwort

An solchen Stellen kann für eine Funktion kein bestimmter Wert berechnet werden.

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Frage

Was wird an einer Definitionslücke immer kleiner?

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Antwort

Der Abstand an einer Definitionslücke zwischen dem Funktionsgraph und der Asymptote wird immer kleiner und kleiner für x→±∞ .

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Frage

Was ist eine Asymptote für ein Graph?

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Antwort

Eine Gerade, an die sich eine Kurve annähert, ohne sie im Endlichen zu schneiden.

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Frage

Welche allgemeine Form gilt, wenn die Funktion durch f(x) und die Asymptote vereinfacht durch g(x) beschrieben wird?

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Antwort

Der Grenzwert des Abstandes ist gleich null wenn x gegen unendlich läuft [(f (x) − g (x)) = 0 ].

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Frage

Welche Arten an Asymptoten gibt es?

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Antwort

  1. senkrechte Asymptote (parallel zur y-Achse)
  2. waagerechte Asymptote (parallel zur X-Achse)
  3.  eine schiefe Asymptote.

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Frage

Wann kann eine schiefe Asymptote am Funktionsterm abgelesen werden?

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Antwort

Wenn für das Restglied gilt: Grad des Zählers < Grad des Nenners.

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Frage

Wie wird der Graph von gebrochen rationalen Funktionen bestimmt?

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Antwort

Durch senkrechte und waagerechte Asymptoten.

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Frage

Welche Arten von Definitionslücken gibt es?

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Antwort

  1. Durch Null dividieren ist nicht erlaubt! An dieser Stelle besitzt die Funktion eine Definitionslücke.
  2. Die Zahl unter einer Wurzel darf niemals negativ sein! An dieser Stelle besitzt die Funktion eine Definitionslücke.
  3. Das Argument einer Logarithmusfunktion darf niemals negativ sein! An dieser Stelle besitzt die Funktion eine Definitionslücke.

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Frage

An welcher Stelle ist die Funktion nicht definiert?

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Antwort

An der Stelle x = 1, da man nicht durch Null dividieren darf.

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Frage

An welchen Stellen ist die Funktion nicht definiert?

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Antwort

An den Stellen x > 1 ist sie nicht definiert, da der Wert unter Der Wurzel negativ wäre und dies nicht definiert ist.

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Frage

An welchen Stellen ist die Funktion nicht definiert?

Antwort anzeigen

Antwort

An den Stellen x ≤ − 1 ist sie nicht definiert, da das Argument der Logarithmusfunktion negativ wäre und dies nicht definiert ist.

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Frage

Wann liegt eine senkrechte Asymptote vor?

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Antwort

Wenn gilt: f (x) = ±∞ . Dabei ist die Asymptote eine Gerade und definiert als x = k .

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Frage

Wann liegt eine waagerechte Asymptote vor?

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Antwort

Eine waagerechte Asymptote ist definiert als eine Gerade der Form y = k . Sie tritt auf, wenn für eine zugrundeliegende Funktion f (x) gilt: f (x) − k) = 0 . Das bedeutet, der Graph der Funktion f (x) nähert sich für x→±∞ immer mehr der Geraden y = k .

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Frage

Welche Ausnahmen gelten für waagereche Asymptoten von gebrochen rationalen Funktionen?

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Antwort

  • Ist der Zählergrad > Nennergrad der Funktion, so existiert keine waagerechte Asymptote 
  • Ist der Zählergrad = Nennergrad der Funktion, so existiert eine waagerechte Asymptote y = k für x→±∞ 
  • Ist der Zählergrad < Nennergrad der Funktion, so existiert eine waagerechte Asymptote y = 0 (x-Achse) für x→±∞

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Frage

Wann treten schiefe Asymptoten auf?

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Antwort

Eine schiefe Asymptote ist definiert als eine Gerade der Form y = m·x + c . Sie tritt auf, wenn für eine zugrundeliegende Funktion f (x) gilt: (f (x) − (m·x + c)) = 0 . Das bedeutet, der Graph der Funktion f (x) nähert sich für x→±∞ immer mehr der Geraden y = m·x + c .

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Frage

Wie nennt man den Definitionsbereich noch?

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Antwort

Definitionsmenge

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Frage

Was grenzt der Definitionsbereich ein?

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Antwort

Der Definitionsbereich grenzt ein, welche x-Werte in eine Funktion f(x) eingesetzt werden können. Diesen Definitionsbereich bezeichnet man mit .

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Frage

Was ist der Definitionsbereich beim Wurzel ziehen?

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Antwort

Eine Wurzel kann man nur für positive Zahlen ziehen: f(x) =√x → Df = R unten 0 hoch+

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Frage

Was ist der Definitionsbereich bei der Flächenberechnung für die Seitenlängen?

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Antwort

Ein Flächeninhalt kann nur mit positiven Seitenlängen berechnet werden: 2x² +x = 55m² → Df = R hoch +

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Frage

Wie lautet der Definitionsbereich für f(x)=4x²-x+3 ?

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Antwort

= R

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Frage

Wie lautet der Definitionsbereich für f(x) = x³ -6x²+8x?

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Antwort

= R

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Frage

Wie lautet der Definitionsbereich für f(x) = 3x² - 5?

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Antwort


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Frage

Entscheide, welche Aussagen korrekt sind. 

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Antwort

Eine Asymptote nähert sich einem Funktionsgraphen nur an, berührt sie aber nicht. 

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Frage

Was ist der Definitionsbereich für ?

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Antwort

Weil man nicht durch 0 teilen darf, stellt man die Frage: Wann wird der Nenner gleich Null? 

x+1 = 0 → x = -1 

Die Funktion ist nur für x = -1 nicht definiert. 

Das ist somit eine Definitionslücke. Die Definitionsmenge der Funktion lautet also:

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Frage

Was ist der Definitionsbereich für ?

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Antwort

Da man nicht durch 0 teilen darf, die Frage: Wann wird der Nenner gleich Null? 

3x (x-2) = 0 → = 0 und = 2 Die Funktion ist für  = 0 und = 2 nicht definiert. Es gibt also zwei Definitionslücken. Die Definitionsmenge der Funktion lautet dann:

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Frage

Was ist der Definitionsbereich für

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Antwort


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Frage

Was ist der Definitionsbereich für

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Antwort


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Frage

Was ist der Definitionsbereich für ?

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Antwort


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Frage

Wie bestimmt man den Definitionsbereich für Logarithmusfunktionen?

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Antwort

Um die Definitionsmenge einer Logarithmusfunktion zu bestimmen, musst folgende Ungleichung gelöst werden: ln g(x) → g(x) > 0 Die Logarithmusfunktion ist nur definiert, wenn die innere Funktion g(x) größer als Null ist.

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Frage

Was ist der Definitionsbereich für f(x) = ln (x-1)?

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Antwort

Wann ist die innere Funktion größer Null? 

x-1> 0 → x >1 

Die innere Funktion ist größer Null, solange x größer als 1 ist. Die Definitionsmenge lautet: =(1; ∞)

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Frage

Was ist der Definitionsbereich für f(x) = ln(x2-1)?

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Antwort

Schaue, wann die innere Funktion größer Null ist. 

x2-1 > 0 → x2 > 1 

Löse die Gleichung auf, indem du die Wurzel ziehst 土√x2 > √1 

Intervall 1: x > 1 

Intervall 2: -x >1 → x < -1 

Die innere Funktion ist größer als Null, solange x größer als 1 bzw. kleiner als -1 ist. Im Intervall zwischen -1 und 1 gibt es eine Definitionslücke. Die Definitionsmenge lautet: = R \ (-1; +1)

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Frage

Ist die Funktion an der Stelle stetig?



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Antwort

1.Bedingung:

 befindet sich in der Definitionsmenge


2.Bedingung:



Die Funktion ist an dieser Stelle nicht stetig.


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Frage

Wann ist eine Funktion stetig?

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Antwort

Eine Funktion ist stetig, wenn man sie ohne Unterbrechung zeichnen kann.

Das heißt, sie ist an allen Stellen ihres Definitionsbereichs stetig.



Das sagt aus, wenn x nahe  ist, muss  nahe an  sein.

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Frage

Wie lautet die erste Bedingung einer stetigen Funktion?

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Antwort

Die erste Bedingung einer stetigen Funktion ist, dass die Stelle  in der Definitionsmenge enthalten sein muss.

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Frage

Wie lautet die zweite Bedingung einer stetigen Funktion?

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Antwort

Die Grenzwerte der Funktion müssen beidseitig übereinstimmen (Die Grenzwerte bildet man, um zu schauen, ob die Funktion nach rechts und nach links ohne Unterbrechungen weitergeht) und mit dem Funktionswert identisch sein.

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Frage

Was versteht man unter dem Zwischenwertsatz?

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Antwort

Der Zwischenwertsatz sagt aus, dass eine Funktion in einem Intervall mit Vorzeichenwechsel mindestens eine Nullstelle besitzt.

Das heißt außerdem, dass jeder Wert d, der zwischen   und   liegt, im Intervall  auch wirklich angenommen wird. Es gibt also eine Stelle c  zwischen  a und  b, für die gilt .

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Frage

Ist eine differenzierbare Funktion auch stetig? Und ist eine stetige Funktion auch differenzierbar?


Nun folgen verschiedene Antwortmöglichkeiten


1. Eine differenzierbare Funktion ist an der Stelle  stetig


2.Eine stetige Funktion ist immer differenzierbar


3.Eine stetige Funktion ist nicht immer auch differenzierbar

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Antwort

Folgende Antworten sind richtig:


1. Eine differenzierbare Funktion ist an der Stelle  stetig


3.Eine stetige Funktion ist nicht immer auch differenzierbar

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Frage

Wie lautet die Definition des Grenzwertes, welcher gegen einen Punkt läuft?

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Antwort

Wenn die Funktionswerte f(x) einer Funktion x immer näher an einen Wert c kommen, wenn x immer näher an den Wert x0 kommt, so heißt die Zahl c Grenzwert oder Limes der Funktion gegen x0.




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Frage

Wie lautet die Definition des Grenzwertes, welcher Unendlich läuft?

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Antwort

Wenn die Funktionswerte f(x) einer Funktion x immer näher an einen Wert c kommen, wenn x immer größer wird, so heißt die Zahl c der Grenzwert oder Limes der Funktion gegen  (sprich "plus unendlich").



Betrachtet man dasselbe für immer kleiner werdende x-Werte, so ist c der Grenzwert oder Limes der Funktion gegen .



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Frage

Wie lautet die Definition einer unstetigen Funktion?

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Antwort

Eine Funktion ist unstetig, wenn der Graph eine Unterbrechung aufweist. 


Im Gegensatz zu einer stetigen Funktion, stimmen die Grenzwerte einer unstetigen Funktion meist nicht überein oder nicht mit dem Funktionswert an der Stelle . Daher ist die Funktion unstetig, da sie Lücken oder Sprünge aufweist, an denen der Funktionsgraph nicht mehr konstant verläuft. 

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Frage

Was ist eine Treppenfunktion?

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Antwort

Eine Treppenfunktion ist eine bekannte unstetige Funktion, welche endlich viele Funktionswerte annimmt und stückweise konstant ist.

Bei der oben erwähnten Treppenfunktion gilt dies hingegen nicht. Die Treppenfunktion ist im Gegensatz zu gebrochen rationale Funktion auf ganz  definiert. Das heißt auch die Sprungstellen, an denen der Stift abgesetzt werden muss, sind Teil des Definitionsbereichs. Daher sind Treppenfunktionen nicht stetig.


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Frage

Nenne das Vorgehen zur Bestimmung der Stetigkeit an einem bestimmten Punkt!

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Antwort

Für die Bestimmung der Stetigkeit an einem Punkt gibt es drei Bedingungen:


1. Bedingung

Zunächst musst du schauen, ob der Punkt  überhaupt ein Bestandteil der Definitionsmenge ist.


2. Bedingung

Die zweite Bedingung sagt aus, dass   einen beidseitigen Grenzwert an der Stelle  besitzt.

Dabei muss sowohl der linksseitige als auch der rechtsseitige Grenzwert gleich sein. Die Grenzwerte bildet man, um zu schauen, ob die Funktion nach rechts und nach links ohne Unterbrechungen weitergeht.


3. Bedingung

Nun musst du prüfen ob der Grenzwert mit dem Funktionswert an der Stelle  übereinstimmt.

Dies muss der Fall sein damit eine Funktion überhaupt stetig sein kann, da ohne die Übereinstimmung eine Unterbrechung des Funktionsgraphen vorliegt.


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Frage

Was musst du bei gebrochen rationalen Funktionen beachten?

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Antwort

Bei den gebrochen rationalen Funktionen musst du beachten, dass sie nicht unbedingt der graphischen Bedingung entsprechen, dass man sie in einer Linie zeichnen kann. Es handelt sich jedoch trotzdem um stetige Funktionen.

Der Grund dafür ist, dass gebrochen rationale Funktion an unstetigen Stellen, wie zum Beispiel Definitionslücken oder Unendlichkeitsstellen, nicht definiert sind. Daher sind die im Definitionsbereich  stetig, aber nicht auf ganz .


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Frage

Ist die Funktion  an der Stelle  stetig?

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Antwort

1. Bedingung

Überprüfen, ob  ein Bestandteil der Definitionsmenge ist.


 gehört zur Definitionsmenge.


2. Bedingung

Überprüfen ob  einen beidseitigen Grenzwert besitzt.


Rechtsseitiger Grenzwert:


 


Linksseitiger Grenzwert:



Die Stelle  existiert ein beidseitiger Grenzwert.


3. Bedingung

Grenzwert und Funktionswert stimmen überein.


Funktionswert:



Grenzwert:



Der Funktionswert und Grenzwert stimmen an der Stelle  überein, das heißt die Funktion ist an dieser Stelle stetig.




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