Abstand Punkt Gerade

Aufgabe 1

Gegeben sind eine Gerade $g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ 2\end{array}\right)+\lambda ·\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 1\end{array}\right)$ und ein Punkt . Es soll der Abstand zwischen g und P berechnet werden. Zusätzlich ist nach dem Lotfußpunkt gefragt.

Abbildung 1: Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden mit einer Hilfsebene

1. Um diese Aufgabe mithilfe einer Hilfsebene zu lösen, stellen wir erst einmal die Gleichung der Hilfsebene auf. Diese Hilfsebene soll durch den Punkt P gehen und orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden$\overrightarrow{u}$sein. Hier bietet es sich an, eine Ebene in Normalenform aufzustellen, da in dieser Form$\overrightarrow{n}$senkrecht auf der Ebene steht und somit$\overrightarrow{u}$ = $\overrightarrow{n}$gilt.

$E:\left[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 3\end{array}\right)\right]\circ \left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 1\end{array}\right)=0$

2. Als Nächstes solltest du die Ebenengleichung E in die Koordinatenform umwandeln. So ist es später einfacher weiterzurechnen.

$\begin{array}{rcl}\left[\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 3\end{array}\right)\right]\circ \left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 1\end{array}\right)& =& 0\\ & & \\ -\left(x_1-2\right)+3\left(x_2-4\right)+\left(x_3-3\right)& =& 0\\ & & \\ E:2-x_1+3x_2-12+x_3-3& =& 0\\ & & \\ E:-x_1+3x_2+x_3& =& 13\end{array}$

3. Im nächsten Schritt soll nun der Schnittpunkt von der Geraden g mit der Ebene E berechnet werden. Dafür muss die Geradengleichung umgeschrieben und dann in E eingesetzt werden.

$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}5-1·\lambda \\ 1+3·\lambda \\ 2+1·\lambda \end{array}\right)$

$\begin{array}{rcl}E:-\left(5-\lambda \right)+3\left(1+3\lambda \right)+(2+\lambda )& =& 13\\ & & \\ E:-5+\lambda +3+9\lambda +2+\lambda & =& 13\\ & & \\ E:11\lambda & =& 13\\ & & \\ E:\lambda & =& \frac{13}{11}\end{array}$

4. Jetzt kannst du λ in die Geradengleichung g einsetzen, um den Schnittpunkt und Lotfußpunkt S zu erhalten.

$\overrightarrow{S}=\left(\begin{array}{c}5-1·\frac{13}{11}\\ 1+3·\frac{13}{11}\\ 2+1·\frac{13}{11}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{42}{11}\\ \frac{50}{11}\\ \frac{35}{11}\end{array}\right)$

5. Im Folgenden muss dann die Strecke$\overrightarrow{PS}$ermittelt und deren Länge ausgerechnet werden. Die Strecke$\overrightarrow{PS}$entspricht dem Abstand d zwischen dem Punkt P und der Geraden g (S liegt auf g).

$\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{S}-\overrightarrow{P}=\left(\begin{array}{c}\frac{42}{11}\\ \frac{50}{11}\\ \frac{35}{11}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{20}{11}\\ \frac{6}{11}\\ \frac{2}{11}\end{array}\right)$

$d=\left|\overrightarrow{PS}\right|=\left|\left(\begin{array}{c}\frac{20}{11}\\ \frac{6}{11}\\ \frac{2}{11}\end{array}\right)\right|=\sqrt{{\left(\frac{20}{11}\right)}^2+{\left(\frac{6}{11}\right)}^2+{\left(\frac{2}{11}\right)}^2}=\sqrt{\frac{40}{11}}\approx 1,9$

Aufgabe 2

Gegeben ist wieder eine Gerade g, diesmal mit der Gleichung $g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 2\end{array}\right)+\lambda ·\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -2\end{array}\right)$ und ein Punkt $P\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 3\end{array}\right)$.

Es soll der Abstand zwischen der Geraden g und dem Punkt P, sowie der Lotfußpunkt F, berechnet werden.

Abbildung 2: Lotfußpunktverfahren

1. Da der Lotfußpunkt F auf jeden Fall auf der Geraden g liegen muss, kann dieser auch in Abhängigkeit von λ angegeben werden.

$\overrightarrow{F}(4+2\lambda |2+5\lambda |2-2\lambda )$

2. Die Länge der Verbindungsstrecke$\overrightarrow{PF}$entspricht jetzt genau unserem gesuchten Abstand d. Jetzt fehlt nur noch das "richtige λ", sodass$\overrightarrow{PF}$senkrecht auf der Geraden g steht. Wenn$\overrightarrow{PF}$ senkrecht auf g stehen soll, dann muss$\overrightarrow{PF}$auch senkrecht auf den Richtungsvektor$\overrightarrow{u}$der Geraden stehen. Das bedeutet, dass das Skalarprodukt der beiden 0 sein muss. Dazu müssen wir jedoch erst mal die Strecke$\overrightarrow{PF}$berechnen.

$\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{F}-\overrightarrow{P}=\left(\begin{array}{c}(4+2\lambda )-3\\ (2+5\lambda )-2\\ (2-2\lambda )-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1+2\lambda \\ 5\lambda \\ -1-2\lambda \end{array}\right)$

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{PF}\circ \overrightarrow{u}& =& 0\\ & & \\ \left(\begin{array}{c}1+2\lambda \\ 5\lambda \\ -1-2\lambda \end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -2\end{array}\right)& =& 0\\ & & \\ 2·(1+2\lambda )+5·5\lambda +(-2)·(-1-2\lambda )& =& 0\\ & & \\ 2+4\lambda +25\lambda +2+4\lambda & =& 0\\ & & \\ 33\lambda +4& =& 0\\ & & \\ 33\lambda & =& -4\\ & & \\ \lambda & =& -\frac{4}{33}\end{array}$

3. Jetzt kannst du dein ausgerechnetes λ in $\overrightarrow{PF}$ von oben einfügen.

$\overrightarrow{F}\left(\begin{array}{c}4+2·\left(-\frac{4}{33}\right)\\ 2+5·\left(-\frac{4}{33}\right)\\ 2-2·\left(-\frac{4}{33}\right)\end{array}\right)\Rightarrow \overrightarrow{F}\left(\begin{array}{c}\frac{124}{33}\\ \frac{46}{33}\\ \frac{74}{33}\end{array}\right)$

4. Als Letztes musst du jetzt nur noch wieder die Länge von$\overrightarrow{PF}$berechnen.

$d=\left|\overrightarrow{PF}\right|=\sqrt{{\left(\frac{124}{33}\right)}^2+{\left(\frac{46}{33}\right)}^2+{\left(\frac{74}{33}\right)}^2}=\sqrt{\frac{232}{11}}\approx 4,6$

Aufgabe 3

Gegeben ist ein Graph $g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -1\end{array}\right)+\lambda ·\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ und ein Punkt $P(-2|4|2)$. Nun soll der minimale Abstand d zwischen g und P mithilfe der Differentialgleichung berechnet werden. Außerdem ist nach dem Lotfußpunkt F gefragt.

1. Mit dem minimalen Abstand ist der kleinstmögliche Abstand gemeint. Wie auch schon bei den anderen Lösungswegen entspricht der Abstand d der Länge der Strecke zwischen dem Punkt P und einem Punkt F auf der Geraden. Deshalb kann hier zunächst wieder wie bei dem Lotfußpunktverfahren vorgegangen werden: F in Abhängigkeit von r angeben und so auch den allgemeinen Vektor$\overrightarrow{PF}$angeben.

$\overrightarrow{F}\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -1\end{array}\right)+r·\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ 3\end{array}\right)\Rightarrow \overrightarrow{F}\left(\begin{array}{c}3+5r\\ 1+2r\\ -1+3r\end{array}\right)$

$\overrightarrow{PF}=\left(\begin{array}{c}3+5r\\ 1+2r\\ -1+3r\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3+5r+2\\ 1+2r-4\\ -1+3r-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5+5r\\ -3+2r\\ -3+3r\end{array}\right)$

2. Jetzt setzt man die Gleichung mit der Variable r in$d=\left|\overrightarrow{PF}\right|$ein und löst auf. Die Gleichung ist dann in Abhängigkeit von r angegeben, wodurch wir sie auch d(r) nennen können.

$d=\left|\overrightarrow{PF}\right|=\left|\left(\begin{array}{c}5+5r\\ -3+2r\\ -3+3r\end{array}\right)\right|$

$\begin{array}{rcl}d\left(r\right)& =& \sqrt{{(5+5r)}^2+{(-3+2r)}^2+{(-3+3r)}^2}\\ & & \\ d\left(r\right)& =& \sqrt{(25+2·5·5r+25r^2)+(9+2·(-3)·2r+4r^2)+(9+2·(-3)·3r+9r^2)}\\ & & \\ d\left(r\right)& =& \sqrt{25+50r+25r^2+9-12r+4r^2+9-18r+9r^2}\\ & & \\ d\left(r\right)& =& \sqrt{38r^2+20r+43}\end{array}$

3. Jetzt ist der Abstand am kleinsten, wenn der Term unter der Wurzel am kleinsten ist. Deshalb reicht es aus, wenn wir uns nur den Term$f\left(r\right)=38r^2+20r+43$unter der Wurzel anschauen.

Da die Bedingung für ein Minimum$f\text{'}\left(r\right)=0undf\text{'}\text{'}\left(r\right)>0$lautet, müssen wir zunächst die erste und zweite Ableitung von f(r) berechnen. Anschließend können wir prüfen, bei welchem Wert von r die Bedingungen erfüllt sind.

$\begin{array}{rcl}f\text{'}\left(r\right)& =& 76r+20\\ & & \\ f\text{'}\text{'}\left(r\right)& =& 76\end{array}$

$\Rightarrow 0=76r+20\Rightarrow -20=76r\Rightarrow r=-\frac{5}{19}$

$\Rightarrow 76>0$

4. Für den Wert$r=-\frac{5}{19}$ sind beide Bedingungen erfüllt, was bedeutet, dass d(r) an dieser Stelle am kleinsten ist. Jetzt musst du nur noch r in d(r) einsetzen, um den Abstand vom Punkt P zur Geraden g zu erhalten.

$\begin{array}{rcl}d\left(r\right)& =& \sqrt{38·{\left(-\frac{5}{19}\right)}^2+20·\left(-\frac{5}{19}\right)+43}\\ & & \\ d\left(r\right)& =& \sqrt{\frac{767}{19}}\approx 40,37\end{array}$

5. Um jetzt noch auf den Lotfußpunkt zu kommen, setzt du einfach $r=-\frac{5}{19}$ in den Punkt$\overrightarrow{F}$von oben ein.

$\overrightarrow{F}\left(\begin{array}{c}3+5·\left(-\frac{5}{19}\right)\\ 1+2·\left(-\frac{5}{19}\right)\\ -1+3·\left(-\frac{5}{19}\right)\end{array}\right)\Rightarrow \overrightarrow{F}\left(\begin{array}{c}\frac{32}{19}\\ \frac{9}{19}\\ -\frac{34}{19}\end{array}\right)$

Aufgabe 4

Berechne den Abstand der Geraden $g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 3\end{array}\right)+\lambda ·\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ zum Punkt $P\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 3\end{array}\right)$ mit der Abstandsregel.

Abbildung 4: Abstandsregel Beispiel

Lösung

Generell hast du zwei Möglichkeiten diese Aufgabe zu lösen. Entweder, du ersetzt direkt alle Variablen und rechnest es sozusagen "am Stück" aus, oder du rechnest es Stück für Stück aus und setzt am Ende die Ergebnisse in die Formel ein, um diese kürzer zu halten. Zur Übersichtlichkeit rechnen wir hier mit der 2. Variante.

1. Als Erstes kannst du denn Vektor $\overrightarrow{ap}$ berechnen:

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{ap}& =& \overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}\\ & & \\ \overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}& =& \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2-2\\ 3-1\\ 3-2\end{array}\right)\\ & & \\ \overrightarrow{ap}& =& \left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 1\end{array}\right)\end{array}$

2. Als Nächstes können wir das Kreuzprodukt des Vektors $\overrightarrow{ap}mit\overrightarrow{b}$ berechnen:

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{ap}\times \overrightarrow{b}& =& \left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 1\end{array}\right)\\ & & \\ \overrightarrow{ap}\times \overrightarrow{b}& =& \left(\begin{array}{c}(2·1)-(1·1)\\ (1·4)-(1·(-4\left)\right)\\ (-4·1)-(4·2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2-1\\ 4-(-4)\\ -4-8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ -12\end{array}\right)\end{array}$

3. Jetzt können wir den Betrag des Kreuzprodukts von $\overrightarrow{ap}und\overrightarrow{b}$ ausrechnen:

$\begin{array}{rcl}\left|\overrightarrow{ap}\times \overrightarrow{b}\right|& =& \left|\left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ -12\end{array}\right)\right|\\ & & \\ \left|\overrightarrow{ap}\times \overrightarrow{b}\right|& =& \sqrt{1^2+8^2+{(-12)}^2}=\sqrt{1+64+144}=\sqrt{209}\end{array}$

4. Im nächsten Schritt können wir noch den Betrag des Vektors$\overrightarrow{b}$berechnen:

$\begin{array}{rcl}\left|\overrightarrow{b}\right|& =& \left|\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 1\end{array}\right)\right|\\ & & \\ \left|\overrightarrow{b}\right|& =& \sqrt{4^2+1^2+1^2}=\sqrt{16+1+1}=\sqrt{18}\end{array}$

5. Als Letztes kannst du jetzt alle Ergebnis in die Formel einsetzen:

$\begin{array}{rcl}d& =& \frac{\left|(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\times \overrightarrow{b}\right|}{\left|\overrightarrow{b}\right|}\\ & & \\ d& =& \frac{\sqrt{209}}{\sqrt{18}}=\frac{\sqrt{418}}{6}\approx 3,4\end{array}$

Aufgabe 5

Berechne den Abstand d zwischen dem Punkt$P\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -2\end{array}\right)$und der Geraden$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 0\end{array}\right)+\lambda ·\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ mithilfe einer Ebene. Gib weiterhin auch den Lotfußpunkt$\overrightarrow{F}$an.

Lösung

Abbildung 6: Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden mit einer Hilfsebene

Prüfe, ob der Punkt P eventuell auf der Geraden g liegt. Dabei gilt: P gleich g. Anschließend muss jede Zeile nach λ aufgelöst werden.

$P=g$

$\begin{array}{rcl}\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -2\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{c}0+1·\lambda \\ 4+1·\lambda \\ 0+2·\lambda \end{array}\right)\\ & & \\ 1.2& =& \lambda \\ 2.0& =& 4+\lambda \Rightarrow \lambda =-4\\ 3.-2& =& 2·\lambda \Rightarrow \lambda =-1\end{array}$

$\Rightarrow$ P liegt nicht auf g, da λ unterschiedliche Werte annimmt.

1. Um den Abstand d zwischen dem Punkt P und der Geraden g zu berechnen, musst du als Erstes eine Hilfsebene aufstellen, die durch den Punkt P geht und orthogonal zum Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ ist. Es ist am einfachsten, wenn du diese Ebene erst in der Normalenform aufstellst und sie dann in die Koordinatenform umwandelst.

Der Richtungsvektor$\overrightarrow{u}$ist in diesem Fall$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right)$. Er kann jetzt anstatt von$\overrightarrow{n}$in die Ebenengleichung $E:\left[\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}\right]\circ \overrightarrow{n}=0$eingefügt werden.

$$\begin{gathered} E:\left[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -2\end{array}\right)\right]\circ \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right)=0 \\ E:1·(x_1-2)+1·(x_2-0)+2·(x_3-(-2\left)\right)=0 \\ E:(x_1-2)+x_2+2·(x_3+2)=0 \\ E:x_1-2+x_2+2x_3+4=0 \\ E:x_1+x_2+2x_3=-2 \end{gathered}$$

2. Jetzt kannst du den Schnittpunkt$\overrightarrow{F}$von der Geraden g mit der Ebene E berechnen, indem du g in E einsetzt und λ ausrechnest. Dafür musst du g in Abhängigkeit von λ ausdrücken.

Du schreibst also:

$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0+1·\lambda \\ 4+1·\lambda \\ 0+2·\lambda \end{array}\right)$ $\Rightarrow g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}\lambda \\ 4+\lambda \\ 2\lambda \end{array}\right)$

g in E:

3. Um den Schnittpunkt$\overrightarrow{F}$von Gerade und Ebene zu erhalten, musst du λ in g einsetzen. Dieser Punkt entspricht dem Lotfußpunkt, wenn du mit dem Lotfußpunktverfahren gerechnet hättest.

λ in g: $g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 4+(-1)\\ 2·(-1)\end{array}\right)$

$\overrightarrow{F}\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ -2\end{array}\right)$

4. Als Nächstes muss die Strecke$\overrightarrow{PF}$berechnet werden, da dieser Betrag dem Abstand zwischen dem Punkt P und der Geraden g entspricht.$\overrightarrow{PF}$berechnest du, indem du$\overrightarrow{F}-\overrightarrow{P}$rechnest.

$\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{F}-\overrightarrow{P}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ -2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -2\end{array}\right)$

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{PF}& =& \left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 0\end{array}\right)\\ & & \\ & \Rightarrow & \left|\overrightarrow{PF}\right|=d\\ & & \\ d& =& \left|\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 0\end{array}\right)\right|\\ & & \\ d& =& \sqrt{{(-3)}^2+3^2+0^2}\\ & & \\ d& =& \sqrt{9+9}\\ & & \\ d& =& \sqrt{18}\approx 4,2\end{array}$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{PF}\right|=d$

Aufgabe 6

Welche Punkte der Gerade $g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -6\end{array}\right)+\lambda ·\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 4\end{array}\right)$ haben von$P\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 2\end{array}\right)$den Abstand 6?

Lösung

Wir wissen, dass die gesuchten Punkte alle auf der Geraden g liegen, also können wir sie "in Abhängigkeit" von λ angeben. Jeder Punkt hat also die Koordinaten von der Geraden g.

$Q\left(\begin{array}{c}-1+\lambda ·1\\ 2+\lambda ·(-1)\\ -6+\lambda ·4\end{array}\right)\Rightarrow Q\left(\begin{array}{c}-1+\lambda \\ 2-\lambda \\ -6+4\lambda \end{array}\right)$

Als Nächstes können wir den Abstand von Q zu P ausrechnen, indem wir den Betrag der Strecke $\overrightarrow{PQ}$ berechnen. Da d = 6 sein muss, können wir d ersetzen und nach λ auflösen.

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{PQ}& =& \overrightarrow{Q}-\overrightarrow{P}=\left(\begin{array}{c}-1+\lambda \\ 2-\lambda \\ -6+4\lambda \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 2\end{array}\right)\\ & & \\ \overrightarrow{PQ}& =& \left(\begin{array}{c}-1+\lambda -4\\ 2-\lambda -3\\ -6+4\lambda -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-5+\lambda \\ -1-\lambda \\ -8+4\lambda \end{array}\right)\\ & & \\ d& =& \left|\overrightarrow{PQ}\right|\\ & & \\ d& =& \left|\left(\begin{array}{c}-5+\lambda \\ -1-\lambda \\ -8+4\lambda \end{array}\right)\right|\\ & & \\ d& =& \sqrt{{(-5+\lambda )}^2+{(-1-\lambda )}^2+{(-8+4\lambda )}^2}\\ & & \\ d& =& \sqrt{(25-10\lambda +{\lambda }^2)+(1+2\lambda +{\lambda }^2)+(64-64\lambda +16{\lambda }^2)}\\ & & \\ d& =& \sqrt{18{\lambda }^2-72\lambda +90}\end{array}$

Da d = 6 sein muss, können wir d ersetzen und nach λ auflösen.

$6=\sqrt{18{\lambda }^2-72\lambda +90}|{\left(\right)}^2$

$\begin{array}{rcl}36& =& 18{\lambda }^2-72\lambda +90|-36\\ & & \\ 0& =& 18{\lambda }^2-72\lambda +54|÷18\\ & & \\ 0& =& {\lambda }^2-4\lambda +3|\mathrm{Mitternachtsformel}\\ & & \\ & \Rightarrow & {\mathrm{\lambda }}_{1/2}=\frac{-(-4)\pm \sqrt{{(-4)}^2-4·1·3}}{2·1}\\ & & \\ {\mathrm{\lambda }}_{1/2}& =& \frac{4\pm \sqrt{16-12}}{2}\\ & & \\ {\mathrm{\lambda }}_{1/2}& =& \frac{4\pm \sqrt{4}}{2}\\ & & \\ {\mathrm{\lambda }}_{1/2}& =& \frac{4}{2}\pm \frac{\sqrt{4}}{2}\\ & & \\ {\mathrm{\lambda }}_{1/2}& =& 2\pm 1\\ & & \\ {\mathrm{\lambda }}_1& =& 2+1=3\\ & & \\ {\mathrm{\lambda }}_2& =& 2-1=1\\ & & \end{array}$

Als Letztes können wir jetzt ${\lambda }_1\mathrm{und}{\lambda }_2$ in den Punkt Q einsetzen.

$$\begin{gathered} \Rightarrow Q_1\left(\begin{array}{c}-1+3\\ 2-3\\ -6+4·3\end{array}\right)\Rightarrow Q_1\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 6\end{array}\right) \\ \Rightarrow Q_2\left(\begin{array}{c}-1+1\\ 2-1\\ -6+4·1\end{array}\right)\Rightarrow Q_2\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -2\end{array}\right) \end{gathered}$$

Die Punkte$Q_1\left(2\right|-1\left|6\right)\mathrm{und}{Q}_2\left(0\right|1|-2)$liegen also auf der Gerade g und haben den Abstand 6 von P.