Du beschäftigst dich gerade im Unterricht mit geometrischen Körpern und bist bereits dem Würfel begegnet? In diesem Artikel erfährst du alles, was du zum Würfel wissen musst, wie du den Flächeninhalt und Oberflächeninhalt berechnest und wie du einen Würfel zeichnest!
Definition des Würfels
Der Würfel begegnet dir immer wieder in deinem Alltag, ob beim Spielen oder vielleicht hast du schon mal ein Aquarium gesehen, das eine Würfelform hat.
Zunächst möchten wir uns erst mal anschauen, was der Würfel überhaupt ist und welche Eigenschaften er hat.
Ein Würfel ist ein geometrischer Körper, der aus 6 gleich großen Quadratflächen besteht.
Es handelt sich beim Würfel um ein dreidimensionales Polyeder.
In unserer Definition taucht der Begriff Polyeder auf. Unter einem Polyeder versteht man einen dreidimensionalen Körper, der aus ebenen Flächen besteht.
Zu den Polyedern zählt nicht nur der Würfel, sondern es gibt insgesamt 5 verschiedene Arten, die dir vielleicht in der Schule bereits begegnet sind.
Dabei unterscheidet man zwischen Vier-, Sechs-, Acht-, Zwölf- und Zwanzigflächnern. Ein Würfel zählt zu den Sechsflächnern.
Genauso zählt der Quader zu den Sechsflächnern. Er ist dem Würfel sehr ähnlich, diese beiden Körper haben aber einen wichtigen Unterschied.
Wiederholen wir dazu kurz, was ein Quader ist. Wenn du mehr darüber wissen möchtest, schau dir doch den Artikel zum Quader an.
Ein Quader ist ein dreidimensionaler geometrischer Körper, genauer ein vierseitiges gerades Prisma.
Er besteht aus sechs Rechtecken, wobei jeweils zwei dieser Rechtecke parallel gegenüberliegen, also nicht aneinander anliegen, und kongruent sind.
Du hast schon erfahren, dass auch ein Würfel aus sechs Flächen besteht. Aber ist er deswegen auch genau der gleiche geometrische Körper? Nein.
Ein Würfel ist immer ein Quader, denn er besteht aus sechs gleich großen und rechteckigen Flächen. Er kann allerdings als Sonderform eines Quaders bezeichnet werden, da alle Kanten gleich lang sind.
Andersherum ist es allerdings so, dass ein Quader nicht immer ein Würfel sein muss. Die Bedingung für einen Quader ist nämlich nur, dass die gegenüberliegenden Kanten gleich groß sein müssen, nicht aber alle.
Du kannst dir also merken: Jeder Würfel ist ein Quader, aber nicht jeder Quader ist ein Würfel.
Der Begriff Würfel kommt übrigens von dem deutschen Wort ,,werfen'', da man ja einen Würfel in Würfelspielen wirft.
Aufbau des Würfels
Wir schauen uns zunächst den Aufbau eines Würfels an. Dafür kannst du dir diese Abbildung anschauen:
Abbildung 1: ein Würfel
Da ein Würfel ein geometrischer Körper ist, wird er immer dreidimensional dargestellt.
Bei einem Würfel tauchen oftmals die Begriffe Fläche, Kante und Ecke auf. Was damit gemeint ist, schauen wir uns in dieser Abbildung mal genauer an:
Abbildung 2: Bezeichnungen an einem Würfel
Als Kante bezeichnet man die Seiten des Würfels. Da alle Kanten gleich lang sind, können diese mit demselben Buchstaben markiert werden. Normalerweise nutzt man dazu den Buchstaben a. In diesem Bild sind alle Kanten grün markiert.
Die Ecken sind orange dargestellt. Sie werden mit den Großbuchstaben A bis H beschriftet.
Als Fläche bezeichnet man die blaue Fläche, die natürlich auch an den Seiten, oben und unten sind. Insgesamt gibt es sechs Flächen. Die Fläche wird auch als kongruente Quadratfläche bezeichnet.
Unter dem Begriff "kongruent" versteht man, dass zwei Flächen passend übereinstimmen. Man verwendet auch oft den Begriff deckungsgleich.
Eigenschaften des Würfels
Ein Würfel weist verschiedene Eigenschaften auf. Diese sind:
Ein Würfel hat 6 Flächen, 8 Ecken und 12 Kanten.
Die Grundfläche eines Würfels ist ein Quadrat.
Bei einem Würfel sind alle Kanten gleich lang.
Ein Würfel ist punktsymmetrisch zu seinem Mittelpunkt und generell symmetrisch, da alle Kanten, Ecken usw. gleichartig sind. Er hat 3 vierzählige, 4 dreizählige und 6 zweizählige Drehachsen. Außerdem hat er 6 Spiegelebenen und es sind insgesamt 14 Drehspiegelungen möglich.
Ein Würfel hat Raumdiagonalen und Seitendiagonalen.
Den Aufbau des Würfels hast du ja bereits oben schon etwas genauer kennengelernt und kannst deshalb auch die Eigenschaften der Flächen, Kanten und Grundflächen anhand der Abbildungen nachvollziehen.
Die Symmetrie eines Würfels
Eine weitere Eigenschaft des Würfels ist die hohe Symmetrie. Hier ist es nämlich besonders, dass alle Kanten gleich lang sind, alle Flächen gleich groß und sich Ecken und Flächen immer gegenüber liegen.
Wenn ein zweidimensionaler Körper symmetrisch ist, fallen dir sicherlich direkt die Begriffe "achsensymmetrisch" und "punktsymmetrisch" ein. Man hat dann immer eine Symmetrieachse oder einen Symmetriepunkt gegeben.
Der Würfel ist nur zu einem Punkt punktsymmetrisch, und zwar zu seinem Mittelpunkt. Er hat jedoch keine Symmetrieachsen, wie es die zweidimensionalen Figuren haben. Der Würfel kann bezüglich einer Spiegelebene oder einer Drehachse symmetrisch sein.
Abbildung 3: Spiegelebene eines Würfels
Abbildung 4: Drehachse eines Würfels
An einer Drehachse kann der Würfel gedreht werden, wie ein Hühnchen am Spieß. Jeweils nach 90° landet der Würfel wieder auf sich selbst.
Eine Spiegelebene teilt den Würfel in zwei exakt gleich große Körper. Diese beiden Hälften können an der Ebene aufeinander gespiegelt werden.
In den beiden Abbildungen siehst du je ein Beispiel für eine Spiegelebene und eine Drehachse. Der Würfel hat aber viele Spiegelebenen und Drehachsen. Auf diese wird aber an dieser Stelle nicht weiter eingegangen.
Diagonalen des Würfels
Sicherlich kannst du dich an die Diagonale eines Quadrats erinnern: sie ist die Verbindungsstrecke zweier gegenüberliegenden Eckpunkte und teilt das Quadrat in zwei Dreiecke.
Der Würfel hat mehr Diagonalen:
Zum einen hat er zwölf Seitendiagonalen. Das sind die Diagonalen der Seitenflächen.
Zum anderen hat er Raumdiagonalen, die quer durch das Innere des Würfels geht. Davon hat ein Würfel je vier Stück.
Abbildung 5: einige Diagonalen des Würfels
Wie zeichnet man einen Würfel in 3D?
Oftmals wird von dir verlangt, dass du einen Würfel in 3D zeichnen kannst. Da du vielleicht noch nicht weißt, wie das geht oder es dir noch mal anschauen möchtest, hast du hier eine schrittweise Erklärung, wie du einen Würfel in 3D zeichnen kannst.
Da die Grundfläche des Würfels ein Quadrat ist, zeichnest du dir zunächst ein Quadrat in dein Heft auf. Achte unbedingt darauf, dass alle Seiten gleich lang sind. In unserer Zeichnung ist eine Seite 8 Kästchen lang.
Das Ganze könnte dann so ausschauen:
Abbildung 6: Würfel zeichnen 1. Schritt
Wenn du das gemacht hast, ziehst du von jeder dieser Ecke aus eine diagonale Linie. Diese Diagonale soll durch halb so viele Kästchen gehen, wie die Seitenlänge des Quadrats lang ist. Das wären in unserer Zeichnung durch 4 Kästchen.
Abbildung 7: Würfel zeichnen 2. Schritt
Wenn das geschafft ist, verbindest du nun die Enden der diagonalen Linien miteinander. Das sollte dann am Ende folgendermaßen aus:
Abbildung 8: dritter Schritt
Im letzten Schritt kannst du die Ecken beschriften.
Außerdem kannst du hier noch einmal eine andere Weise sehen, wie ein Würfel gezeichnet wird: oftmals werden nämlich die Seiten des Würfels, die man nicht sehen würde, wenn man einen Würfel anschaut, durch gestrichelte Linien dargestellt.
Abbildung 9: gezeichneter Würfel
Volumen eines Würfels
Die Volumenberechnung eines Würfels kann uns Informationen über den Rauminhalt des Körpers geben.
Ein Alltagsbeispiel dafür wäre zum Beispiel ein Schwimmbecken, das mit Wasser gefüllt werden muss.
Dafür müssen wir uns den ganzen Würfel als dreidimensionales Objekt vorstellen.
Das Volumen eines Körpers wird mit dem Buchstaben V abgekürzt. Die Einheit von Volumen wird immer mit der Einheit Kubik angegeben. Dazu wird an die Einheit ein "hoch 3" angefügt, also ein ³.
Wenn du dir mit den Einheiten noch etwas unsicher bist, kannst du in den Artikel Größen und Einheiten mal hereinschauen. Da wird dir das noch etwas genauer erklärt.
Beim Flächeninhalt war die Einheit Quadrat, also ein "hoch 2". Also das hier ²
Formel für die Berechnung des Volumens
Nun schauen wir uns aber mal an, wie wir das Volumen eines Würfels rechnerisch bestimmen können.
Um das Volumen eines Würfels zu bestimmen, benutzt man folgende Formel:
Das große V steht für das Volumen, das wir berechnen wollen. Das a steht für die Kantenlänge.
Das Volumen V eines Quaders berechnet man immer mit der Formel Tiefe mal Breite mal Höhe. Dies bleibt beim Würfel genauso, denn der Würfel ist auch ein Quader, wie wir oben gesehen haben.
Beim Würfel sind nun aber Tiefe, Breite und Höhe alle drei gleich lang – in der allgemeinen Formel ist jede dieser Kantenlängen mit a bezeichnet.
Rechnest du also in einem Würfel "Tiefe mal Breite mal Höhe", so rechnest du . Das lässt sich zur oben stehenden Formel vereinfachen.
Die Formel für diese Berechnung des Volumens kannst du dir übrigens auch über den Flächeninhalt eines Quadrats herleiten:
Für den Flächeninhalt des Quadrats mit Seitenlänge a rechnest du, also Länge mal Breite.
Die Grundfläche eines Würfels ist ein Quadrat. Wenn du das Volumen eines Würfels berechnest, kannst du dir das also so vorstellen, dass du einmal die Grundfläche des Würfels berechnest und dann ganz viele dünne Quadrate darauf legst, genauer gesagt so viele, bis der Würfel gefüllt ist.
Dieser Stapel hat dann eine Höhe von a. Deshalb wird die Grundfläche noch mal mit a multipliziert.
Du kannst anhand einer Aufgabe sehen, wie das mit der Volumenberechnung funktioniert.
Aufgabe 1
Gegeben ist ein Würfel mit der Kantenlänge 10 m. Berechne sein Volumen.
Lösung
Die Kantenlänge des gegebenen Würfels ist 10 m. Das heißt, unser a in der Formel ist 10 m.
Nun setzt du die 10 m in die Formel für das Volumen ein, die du kennengelernt hast.
Oberflächeninhalt eines Würfels
Wir haben bereits erfahren, dass ein Würfel aus sechs kongruenten Quadratflächen besteht.
Der Oberflächeninhalt eines Würfels setzt sich genau aus diesen Quadratflächen zusammen.
Der Oberflächeninhalt eines Körpers ist die Summe aller Flächeninhalte seiner Teilflächen. Er wird mit dem Buchstaben O angegeben.
Du kannst dir den Oberflächeninhalt wie die ,,Hülle'' der geometrischen Figur vorstellen.
Natürlich gibt es auch für den Oberflächeninhalt eine Formel, die dir das Berechnen vereinfacht.
Die Formel für die Berechnung des Oberflächeninhalts eines Würfels lautet:
Das große O steht für den Oberflächeninhalt. Das a steht wieder für die Kantenlänge des Würfels.
Unser Ergebnis wird immer mit einer Quadrateinheit angegeben. Also immer hoch 2.
Wichtig: Setzt du für a eine konkrete Größe ein, musst du darauf achten, eine Klammer zu setzen, sodass nicht nur die Einheit, sondern die ganze Länge der Kante quadriert wird!
Bei einem Beispiel gehen wir das erneut zusammen durch:
Aufgabe 2
Gegeben ist ein Würfel mit der Kantenlänge 3 m. Berechne seinen Oberflächeninhalt.
Lösung
Die Kantenlänge von 3 m setzen wir einfach in die Formel ein.
Würfelnetz
Wenn man einen Würfel aufklappt, sieht das zum Beispiel folgendermaßen aus:
Abbildung 11: verschiedene Würfelnetze
Das Ganze wird dann Würfelnetz genannt. Es gibt mehrere verschiedene Würfelnetze, also unterschiedliche Weisen wie man ihn zusammen bauen kann.
Das Würfelnetz hilft dir, den Aufbau des Würfels besser nachzuvollziehen und wie sich der Oberflächeninhalt zusammensetzt.
Hier kannst du nämlich die einzelnen Quadratflächen besser erkennen, die die Oberfläche bilden.
Insgesamt gibt es 11 verschiedene Würfelnetze. Zwei hast du bereits kennengelernt. Findest du auch noch die Restlichen 9?
Würfel – Anwendungsaufgaben
Im letzten Teils des Artikels kannst du nun testen, wie gut du den Würfel und seine Berechnungen schon beherrscht und anwenden kannst.
Wir nehmen uns nun das Beispiel mit dem Schwimmbecken zur Hand. Das Becken ist wie ein Würfel aufgebaut und soll vollständig mit Wasser gefüllt werden.
Abbildung 12: Schwimmbecken in Würfelform
Aufgabe 3
Berechne, wie viel Liter Wasser in das Schwimmbecken passen!
Lösung:
In das Schwimmbecken passen insgesamt 64.000 Liter Wasser. Wie du auf die Lösung kommst, kannst du in dieser schrittweisen Erklärung nachvollziehen:
1. Schritt: a bestimmen
Dieses Mal haben wir das a nicht direkt angegeben, sondern müssen es anhand der Abbildung ablesen. Wenn man sich die Abbildung anschaut, sieht man, dass die Kantenlänge 4 Meter beträgt.
Es gilt also:
2. Schritt: Formel anwenden
Wenn wir die Formel anwenden, erhalten wir ein Ergebnis von 64 m³.
3. Schritt: Einheit umwandeln
Da wir nun unser Ergebnis in Kubikmetern gegeben haben, es aber in Liter umrechnen wollen, müssen wir die Einheit verändern.
Die Umrechnung von Kubikmeter in Liter ist folgendermaßen:
Also gilt:
Jetzt schauen wir uns das Beispiel für den Oberflächeninhalt an.
Für den Winter soll eine Abdeckung gebaut werden, die von außen einmal das ganze Schwimmbecken umfasst.
Aufgabe 4
Berechne, wie viel Material der Bauingenieur benötigt, um diese Abdeckung zu bauen.
Lösung:
1. Schritt: a bestimmen
Wir haben ja bereits im vorherigen Aufgabenteil festgestellt, dassist. Da wir das gleiche Schwimmbecken haben, können wir diesen Wert auch wieder verwenden.
2. Schritt: Formel anwenden
Unsere Formel lautet:
Hier setzten wir für die Variable a nun 4 m ein.
Wir wissen jetzt also, dass der Oberflächeninhalt des Würfels beträgt. Das heißt, der Bauingenieur muss so viel Material kaufen.
Würfel - Das Wichtigste
- Ein Würfel ist ein geometrischer Körper, der aus sechs kongruenten Quadratflächen besteht.
- Ein Würfel besteht aus Kanten, Flächen und Ecken.
- Alle Kanten und Flächen des Würfels sind gleich.
- Das Volumen eines Würfels beschreibt den Rauminhalt des Körpers.
- Die Formel für die Volumenberechnung eines Würfels lautet:
- Der Oberflächeninhalt ist die äußere Hülle des Würfels.
- Für einen Würfel kann man ein Würfelnetz konzipieren.
- Die Formel für den Oberflächeninhalt eines Würfels lautet:
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