Volumen Quader

Volumen eines Quaders: Die Basics

Als Erstes kannst du hier wiederholen, was ein Quader überhaupt ist.

Schaue dir beispielsweise diesen Quader an.

Abbildung 1: Quader

Jetzt haben wir schon die Frage geklärt, was ein Quader ist, aber was ist eigentlich das Volumen?

Das Volumen eines Quaders kannst du dir so vorstellen: Du gießt Wasser in den Quader. So viel Wasser, wie in den Quader passt, so groß ist sein Volumen. Anstatt Wasser kannst du auch Einheitswürfel nehmen und schauen, wie viele Einheitswürfel in einen Quader passen.

Das kann dann zum Beispiel so aussehen:

Abbildung 2: Wasser zur Bestimmung des Volumens eines QuadersAbbildung 3: Einheitswürfel zur Bestimmung des Volumens eines Quaders

Durch diese Definition des Volumens kommst du auch schnell darauf, wie das Volumen angegeben wird.

Volumen Quader: Herleitung der Formel

Die Herleitung der Formel zur Berechnung des Volumens eines Quaders, ist gar nicht so schwer zu verstehen. Stell dir vor, du hast ein Rechteck und du sollst dessen Flächeninhalt berechnen.

Was machst du? Du multiplizierst die eine Seite a mit der anderen Seite b.

Abbildung 4: Grundfläche eines Quaders

Für den Flächeninhalt A eines beliebigen Rechtecks gilt:

$A_{\square }=a·b$

Jetzt willst du aber nicht nur die Fläche eines Rechtecks berechnen, sondern das Volumen eines Quaders. Gerade hast du die Grundfläche G des Quaders berechnet. Um von einem Rechteck zu einem Quader zu kommen, musst du nur die Höhe ergänzen.

Abbildung 5: Volumen eines Quaders

Und ganz wie vorher multiplizieren wir die beiden Seiten a und b miteinander, nur dass jetzt zusätzlich noch die Höhe multipliziert wird.

Deshalb gilt für das Volumen V eines beliebigen Quaders:

$\mathit{V}\mathbf{}\mathbf{=}\mathbf{}\mathit{a}\mathbf{}\mathbf{·}\mathbf{}\mathit{b}\mathbf{}\mathbf{·}\mathbf{}\mathit{h}$

Ob die Höhe jetzt mit h bezeichnet wird oder mit c ist dabei egal.

Du kannst die Formel auch so schreiben:

Volumen Quader: Formel

in diesem Abschnitt wird die Formel für das Volumen eines Quaders wiederholt und an Beispielaufgaben demonstriert.

Für die Formel brauchst du die drei Seiten a, b und c des Quaders.

In der Zeichnung sieht das so aus:

Abbildung 6: Quader mit Seiten a, b und c

In einem Beispiel sieht das so aus:

Berechnung des Volumens eines schiefen Quaders

Schiefe Quader sehen "normalen" Quadern sehr ähnlich. Ihr einziger Unterschied ist, dass die Seiten nach oben, nicht senkrecht auf der Grundfläche stehen, sondern schief. Das sieht dann so aus:

Abbildung 8: schiefer Quader

Du kannst auch das Volumen eines schiefen Quaders berechnen und im Grunde funktioniert das genauso, wie bei einem "normalen" Quader. Das liegt daran, dass du die bei der überstehenden Seite, in unserem Beispiel der rechten Seite, den Überstand senkrecht "abschneiden" könntest und an der gegenüberliegenden Seite wieder hinzufügen könntest. So hast du wieder einen "normalen" Quader.

Abbildung 9: schiefer Quader zu "normaler" Quader

Die Höhe eines schiefen Quaders entspricht nicht der Länge der Seite c. Die Höhe steht immer senkrecht auf der Grundfläche, wodurch sie explizit angegeben sein muss oder du sie erst, aus beispielsweise zwei Punkten, berechnen musst.

Abbildung 10: Höhe eines schiefen Quaders

Volumen eines schiefen Quaders: Aufgaben

Die Berechnung sieht an einem konkreten Beispiel folgendermaßen aus:

Volumen Quader: Aufgaben