Du kannst mit einem Dreieck einige Konstruktionen durchführen. Eine davon ist es, den Umkreis um ein Dreieck zu konstruieren.
Umkreis eines Dreiecks – Was ist das?
Hast Du ein Dreieck ABC gegeben, kannst Du einen Kreis bilden, welcher durch alle Eckpunkte des Dreiecks ABC verläuft.
Der Umkreis eines Dreiecks ABC ist der Kreis, welcher durch alle drei Eckpunkte verläuft.
Sein Mittelpunkt M ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten ma, mb und mc der Dreiecksseiten a, b und c.
Hier findest Du den Umkreis eines Dreiecks in einem Beispiel:
Der Kreis u ist der Umkreis des Dreiecks ABC.
Abbildung 1: Umkreis u des Dreiecks ABC
Umkreismittelpunkt
Den Mittelpunkt M des Umkreises u findest Du, indem Du den Schnittpunkt M der Mittelsenkrechten ermittelst. Er ist von allen drei Eckpunkten gleich weit entfernt. Es gilt also Folgendes:
Abbildung 2: Umkreismittelpunkt M und seine Abstände zu den Eckpunkten A, B und C
Der Radius des Umkreises
Wie oben bereits gesehen, lässt sich der Radius r des Umkreises u einfach messen, indem Du den Abstand zwischen seinem Mittelpunkt und einem seiner Eckpunkte misst. Es gibt aber auch eine Formel, mit welcher Du den Radius des Umkreises berechnen kannst, ohne diesen vorher eingezeichnet zu haben.
Den Radius r des Umkreises u eines Dreiecks ABC kannst Du mit folgender Formel berechnen:
In der obigen Formel sind a, b, und c die Seitenlängen der drei Seiten und der Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
Wenn Du also den Radius des Umkreises u eines Dreiecks ABC berechnen möchtest, teilst Du das Produkt der Seitenlängen durch das Vierfache des Flächeninhaltes des Dreiecks ABC.
Umkreis Dreieck konstruieren
Wenn Du den Umkreis eines Dreiecks konstruieren möchtest, solltest Du wissen, wie man Mittelsenkrechten konstruiert.
Falls Du Dir mit diesem Verfahren noch unsicher bist, schau gerne im Artikel Mittelsenkrechte konstruieren vorbei.
Die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruierst Du, indem Du um alle drei Eckpunkte Kreise zeichnest. Der Radius der Kreise sollte so gewählt werden, dass die Kreise zwei Schnittpunkte haben. Durch diese zwei Schnittpunkte je zweier Kreise zeichnest Du eine Gerade. So entstehen die drei Mittelsenkrechten des Dreiecks.
Um den Umkreis eines Dreiecks ABC zu konstruieren, gehst Du in folgenden Schritten vor:
- Konstruiere die Mittelsenkrechten ma, mb und mc der drei Seiten a, b und c ein.
- Bestimme den Schnittpunkt M der Mittelsenkrechten.
- Der Mittelpunkt des Umkreises ist der Schnittpunkt M der Mittelsenkrechten und der Radius des Umkreises ist der Abstand von dem Mittelpunkt des Kreises und einem Eckpunkt des Dreiecks. Mit diesen Daten kannst Du den Umkreis u konstruieren.
Es genügt auch, wenn du nur zwei der drei Mittelsenkrechten einzeichnest und entsprechend deren Schnittpunkt ausmachst. Der Vollständigkeit halber zeigen wir es dir in unseren Beispielen mit allen drei Mittelsenkrechten.
Aufgabe
Konstruiere für das Dreieck ABC den Umkreis u.
Abbildung 3: Dreieck ABC
Lösung
| 1. Schritt: Die Mittelsenkrechten konstruieren | 2. Schritt: Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten |
| Zunächst konstruierst du mithilfe deines Zirkels die Mittelsenkrechten ma, mb und mc aller drei Seiten.  Abbildung 4: Mittelsenkrechten des Dreiecks ABC
| Die drei Mittelsenkrechten ma, mb und mc sollten sich alle in einem Punkt M schneiden. Sollte das nicht der Fall sein, kontrolliere noch einmal, ob du alle Mittelsenkrechten richtig konstruiert hast.  Abbildung 5: Mittelpunkt M der Mittelsenkrechten
|
Du kannst anschließend den Umkreis u konstruieren. Der Mittelpunkt des Umkreises u ist der Schnittpunkt M der Mittelsenkrechten und der Radius ist der Abstand zwischen dem Schnittpunkt M und einem der drei Eckpunkte.
Um den Umkreis u also zu konstruieren, stichst du den Zirkel im Mittelpunkt M ein und stellst ihn auf den Abstand zwischen Mittelpunkt M und einer der drei Ecken ein. Anschließend kannst du den Umkreis u zeichnen.
Abbildung 6: Umkreis u des Dreiecks ABC
Formale Konstruktionsanleitung
Oben konntest Du jetzt schon sehen, wie es Schritt für Schritt aussieht, wenn der Umkreis eines Dreiecks konstruiert wird. Diese Konstruktionsschritte findest Du hier noch mal zusammengefasst:
- k(A;r) mit r>0,5·und r>0,5·
- k(B;r) mit r>0,5·und r>0,5· → Punkte X1 und X2
- k(C;r) mit r>0,5·und r>0,5· → Punkte Y1 und Y2
- mc =
- ma = → Punkt M
- k(M;r) = Umkreis u
Abbildung 7: Konstruktion der zwei Mittelsenkrechten und Abbildung 8: Mittelsenkrechten
Abbildung 9: Umkreis u
Umkreise verschiedener Dreiecke
Bei den verschiedenartigen Dreiecken sehen auch ihre Umkreise unterschiedlich aus. Im Folgenden lernst Du einige besondere Fälle kennen.
Umkreis rechtwinkliges Dreieck
Bei rechtwinkligen Dreiecken gibt es eine Besonderheit bezüglich des Mittelpunktes M. Dieser bildet in diesem Fall nämlich nicht nur den Mittelpunkt des Umkreises u, sondern ist gleichzeitig Mittelpunkt der Hypotenuse.
Abbildung 10: Rechtwinkliges Dreieck ABC und sein Umkreis U
In diesem beispielhaften Dreieck ABC bildet die Seite a die Hypotenuse. Es ist zu erkennen, dass der Schnittpunkt M die Hypotenuse halbiert, da die Mittelsenkrechte m durch diesen Punkt verläuft. Gleichzeitig ist M Mittelpunkt des Kreises u.
Umkreis stumpfwinkliges Dreieck
Liegt Dir ein stumpfwinkliges Dreieck ABC vor, befindet sich der Mittelpunkt M des Umkreises immer außerhalb des Dreiecks ABC.
Stumpfwinklig ist ein Dreieck, wenn es einen Winkel α besitzt, für welchen gilt 90° < α < 180°.
Abbildung 11: Stumpfwinkliges Dreieck ABC und sein Umkreis U
Umkreis spitzwinkliges Dreieck
Ist das Dreieck ABC, zu welchem Du denn Umkreis u konstruieren sollst, ein spitzwinkliges Dreieck, kannst Du mit Sicherheit sagen, dass der Mittelpunkt M des Umkreises u innerhalb des Dreiecks ABC liegt.
Spitzwinklig ist ein Dreieck, wenn für alle Winkel α, β und γ gilt 0° < α, β, γ < 90°.
Abbildung 12: Spitzwinkliges Dreieck ABC und sein Umkreis u
Wenn Du nicht nur wissen möchtest, wie man den Umkreis eines Dreiecks konstruiert, sondern auch welche Eigenschaften dieser hat, schau gerne in unserem Artikel "Umkreis eines Dreiecks" vorbei!
Umkreis Dreieck – Aufgaben
Aufgabe 1
Konstruiere den Umkreis u des rechtwinkligen Dreiecks ABC.
Abbildung 13: Rechtwinkliges Dreieck ABC
Lösung
Den Umkreis u des obigen Dreiecks ABC konstruierst Du, indem Du die Mittelsenkrechten der drei Seiten einzeichnest und deren Schnittpunkt M und somit den Mittelpunkt des Umkreises ausmachst. Anschließend kannst Du den Umkreis u mit Radius 
zeichnen.
Abbildung 14: Rechtwinkliges Dreieck ABC und sein Umkreis u
Aufgabe 2
Konstruiere den Umkreis des Dreiecks ABC und bestimme anhand des Umkreises u, ob es sich um ein stumpfwinkliges oder spitzwinkliges Dreieck handelt.
Abbildung 15: Dreieck ABC
Lösung
Den Umkreis u des obigen Dreiecks ABC konstruierst Du, indem Du die Mittelsenkrechten der drei Seiten einzeichnest und deren Schnittpunkt M und somit den Mittelpunkt des Umkreises ausmachst. Anschließend kannst Du den Umkreis u mit Radius 
zeichnen.
Abbildung 16: Dreieck ABC mit seinem Umkreis u
Der Mittelpunkt des Umkreises u liegt innerhalb des Dreiecks ABC, was darauf schließen lässt, dass es sich um ein spitzwinkliges Dreieck handelt.
Umkreis Dreieck konstruieren – Das Wichtigste
- Der Umkreis u eines Dreiecks ABC ist der Kreis, welcher um das Dreieck und durch seine drei Eckpunkte A, B und C verläuft.
- Um den Umkreis u zu konstruieren, musst Du die Mittelsenkrechten aller drei Seiten erstellen.
- Der Mittelpunkt des Umkreises u ist der Schnittpunkt P der Mittelsenkrechten.
- Der Radius des Umkreises ist der Abstand zwischen seinem Mittelpunkt und einem Eckpunkt des Dreiecks.
- Die Formel für den Radius lautet .
- Der Umkreis eines rechtwinkligen Dreiecks bildet gleichzeitig den Mittelpunkt der Hypotenuse.
- Der Umkreis eines stumpfwinkligen Dreiecks hat seinen Mittelpunkt immer außerhalb des Dreiecks.
- Der Umkreis eines spitzwinkligen Dreiecks hat seinen Mittelpunkt immer innerhalb des Dreiecks.
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