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In einem Dreieck sind zahlreiche Konstruktionen möglich, um neue geometrische Objekte oder Punkte mit besonderen Eigenschaften zu erhalten. Besonders anschaulich ist der Schwerpunkt des Dreiecks.
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Team Schwerpunkt eines Dreiecks Lehrer
Das ist der Punkt, an dem du ein Dreieck mit einem Finger von unten balancieren kannst, ohne dass es herunterfällt. Alternativ ist es auch der Punkt, an dem du das Dreieck aufhängen kannst, sodass es genau waagrecht (und damit parallel zum Boden) ausgerichtet ist.
Versuche einmal auf diese Art selbst den Schwerpunkt deines Geodreiecks zu bestimmen.
Abbildung 1: Schwerpunkt eines Geodreiecks selbst bestimmen
Wie man diesen besonderen Punkt für ein beliebiges Dreieck bestimmen kann, ohne es auf Pappe auszuschneiden und zu balancieren, wird im Folgenden aufgezeigt.
Bevor wir uns mit der Konstruktion befassen, wiederholen wir knapp, was als Schwerpunkt eines Dreiecks gilt.
Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der eindeutige Punkt im Dreieck, in dem sich die drei Seitenhalbierenden schneiden. Er wird auch Massenmittelpunkt oder physikalischer Schwerpunkt der Dreiecksfläche genannt.
Zur Erinnerung: Eine Seitenhalbierende eines Dreiecks verläuft von einer Ecke des Dreiecks zum Seitenmittelpunkt der gegenüberliegenden Dreiecksseite. Mehr über die Seitenhalbierenden im Dreieck kannst du gerne in unserem Artikel nachlesen. Außerdem werden der Schwerpunkt eines Dreiecks und seine Eigenschaften in einem entsprechenden Artikel ausführlicher erklärt.
Abbildung 2: Seitenhalbierende vom Punkt C zum Mittelpunkt M der Strecke AB
Die Seitenhalbierenden nennt man auch Schwerelinien. Der Name kommt daher, dass sie das Dreieck ausgehend von einer Ecke so teilen, dass zwei flächengleiche ("gleichschwere") Teildreiecke entstehen.
Zur Veranschaulichung: Die Schwerelinien sind die Linien, die durch die Eckpunkte des Dreiecks verlaufen und auf denen du ein Dreieck mit einem Lineal oder Stift balancieren kannst. Davon gibt es genau drei Stück.
Abbildung 3: Eine Schwerelinie eines Geodreiecks
Wird das Dreieck nun im Schwerpunkt – dem Schnittpunkt der Schwerelinien – gehalten, ziehen die Flächen auf den beiden Seiten der Schwerelinien jeweils mit gleicher Kraft nach unten. So wird das Dreieck im Gleichgewicht gehalten.
Alle drei Seitenhalbierenden schneiden sich in einem Punkt im Dreiecksinneren, da sie innerhalb des Dreiecks verlaufen. Das gilt für jedes und innerhalb von jedem Dreieck (im Gegensatz zu, beispielsweise, den Mittelsenkrechten).
Der Schwerpunkt hat noch eine besondere Eigenschaft: Er teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2:1. Das bedeutet, dass das Teilstück jeder Seitenhalbierenden vom Eckpunkt bis zum Schwerpunkt doppelt so lang ist wie das andere Teilstück vom Schwerpunkt zur Dreiecksseite.
Mehr dazu im Artikel zum Schwerpunkt eines Dreiecks.
Abbildung 4: Die drei Seitenhalbierenden und ihr Schnittpunkt als Schwerpunkt im Dreieck ABC
Die Seitenhalbierenden sind üblicherweise nach der Dreiecksseite benannt, die sie halbieren. So ist die Seitenhalbierende die Strecke, die durch den Punkt C verläuft und die Seite c halbiert.
Um den Schwerpunkt eines Dreiecks zu konstruieren, benötigst du einen Zirkel und ein Lineal.
Du kannst den Schwerpunkt auch berechnen, statt ihn zu konstruieren. Dies erfordert allerdings einige Rechenschritte. Im Artikel Schwerpunkt eines Dreiecks wird erklärt, wie die Berechnung funktioniert.
Zur Konstruktion:
Indem du nacheinander die einzelnen Schritte der untenstehenden Tabelle in deinem Dreieck anwendest, kannst du leicht den Schwerpunkt erarbeiten.
| Schritt | Beschreibung | Visualisierung (Abbildungen 5 - 6) |
| 1. Dreieck ABC | Starte mit einem beliebigen Dreieck, dessen Schwerpunkt du konstruieren möchtest. |
|
| 2. Konstruktion der Seitenmittelpunkte | Konstruiere für die drei Strecken a, b und c jeweils den Seitenmittelpunkt. Hier am Beispiel der Seite b. Zeichne dazu zwei Kreise und mit demselben Radius um die beiden Eckpunkte A und C der Strecke b. Der Radius der Kreise muss dabei größer sein als die halbe Seitenlänge von b (sonst gibt es keinen Schnittpunkt der Kreise). Verbinde dann die beiden Schnittpunkte der Kreise D und E.Diese Verbindungsstrecke schneidet die Dreiecksseite b im Seitenmittelpunkt . |
|
Die Konstruktion der Seitenmittelpunkte entspricht größtenteils dem Verfahren zur Konstruktion einer Mittelsenkrechten. Eine detailliertere Erklärung zu diesem wichtigen Schritt steht im Artikel Mittelsenkrechte konstruieren.
| Schritt | Beschreibung | Visualisierung (Abbildungen 7 - 8) |
| 3. Einzeichnen der Seitenhalbierenden | Die Seitenhalbierenden erhältst du, indem du die Seitenmittelpunkte , und )mit den gegenüberliegenden Ecken verbindest. |
|
| 4. Einzeichnen des Schwerpunktes | Der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden ist der Schwerpunkt S des Dreiecks. |
|
Wie die oben beschriebenen Schritte angewendet werden können, wird anhand des folgenden Beispiels zur Konstruktion des Schwerpunktes ausführlich besprochen:
Konstruiere den Schwerpunkt des Dreiecks mit den Seitenlängen , und .
1. Schritt: Dreieck ABC
Zeichne das Dreieck.
Abbildung 9:Dreieck ABC
2. Schritt: Konstruktion der Seitenmittelpunkte
Du kannst mit einer beliebigen Dreiecksseite beginnen. Wir beginnen hier mit der Seite a.
Zeichne zwei Kreise mit Radius r = 2 cm (> 1,5 cm) um die Punkte B und C. Dabei entstehen die Kreise und . Zeichne deren Schnittpunkte E und F ein.
Abbildung 10: Konstruktion Seitenmittelpunkt von a
Verbinde jetzt E und F. Der Schnittpunkt der Verbindungsstrecke mit der Dreiecksseite a liefert den Mittelpunkt der Seite a.
Abbildung 11: Konstruktion Seitenmittelpunkt von a
Wiederhole dieses Verfahren an der Dreiecksseite b. Aus Gründen der Übersichtlichkeit werden in den Abbildungen die vorherigen Konstruktionsschritte ausgeblendet.
Zeichne zwei Kreise mit Radius 2 cm (> 1,75 cm) um die Eckpunkte A und C der Dreiecksseite b. Es entstehen die Kreise und . Zeichne dann die Schnittpunkte J und K der beiden Kreise ein.
Abbildung 12: Konstruktion Seitenmittelpunkt von b
Verbinde im nächsten Schritt die Punkte J und K miteinander. Der Schnittpunkt der Verbindungsstrecke und der Dreiecksseite b ist der Seitenmittelpunkt .
Abbildung 13: Konstruktion Seitenmittelpunkt von b
Zuletzt konstruieren wir den Mittelpunkt der Seite c. Zeichne dazu Kreise und mit Radius r = 3 cm (> 2,5 cm) um die Eckpunkte A und B. Markiere auch hier wieder die Schnittpunkte N und O der beiden Kreise.
Abbildung 14: Konstruktion Seitenmittelpunkt von c
Du erhältst den Seitenmittelpunkt , indem du die Verbindungsstrecke einzeichnest und ihren Schnittpunkt mit der Seite c bestimmst.
Abbildung 15: Konstruktion Seitenmittelpunkt von c
3. Schritt: Einzeichnen der Seitenhalbierenden
Verknüpfe dazu die Seitenmittelpunkte mit den gegenüberliegenden Eckpunkten des Dreiecks.
Abbildung 16: Einzeichnen der Seitenhalbierenden
4. Schritt: Einzeichnen des Schwerpunktes
Kennzeichne nun den Schwerpunkt S des Dreiecks als Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.
Abbildung 17: Einzeichnen des Schwerpunktes
Fertig ist die Konstruktion deines Schwerpunktes S des Dreiecks ABC.
Im folgenden Abschnitt wird erläutert, ob und welche besonderen Eigenschaften der Schwerpunkt im gleichseitigen, gleichschenkligen und rechtwinkligen Dreieck hat.
Abbildung 18: Schwerpunkt des gleichseitigen Dreiecks DEF als Schnittpunkt der Seitenhalbierenden
Im gleichseitigen Dreieck fallen die Seitenhalbierenden mit den Mittelsenkrechten und den Winkelhalbierenden zusammen. Also kann der Schwerpunkt auch als Schnittpunkt der Winkelhalbierenden oder als Schnittpunkt der Mittelsenkrechten konstruiert werden.
Eine Anleitung zur Konstruktion von Winkelhalbierenden und Mittelsenkrechten findest du in den jeweiligen Artikeln.
Abbildung 19: Schwerpunkt des gleichseitigen Dreiecks ABC als Schnittpunkt der Winkelhalbierenden bzw. Mittelsenkrechten
Abbildung 20: Schwerpunkt des gleichschenkligen Dreiecks ABC als Schnittpunkt der Seitenhalbierenden
Im gleichschenkligen Dreieck fallen die Winkelhalbierenden und Mittelsenkrechten nicht mit den Seitenhalbierenden zusammen. In der Abbildung wird dies anhand des Dreiecks ABC deutlich:
Die Mittelsenkrechten sind gestrichelt dargestellt, die Seitenhalbierenden wie oben in türkis, die Winkelhalbierenden in Schwarz. Die Schnittpunkte der Winkelhalbierenden W und der Mittelsenkrechten M entsprechen nicht dem Schwerpunkt S.
Wie du im Bild gut erkennen kannst, liegen die drei Schnittpunkte auf einer Geraden (die gleichzeitig Seitenhalbierende, Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende ist). Dies ist eine wichtige Eigenschaft des gleichschenkligen Dreiecks.
Um den Schwerpunkt eines gleichschenkligen Dreiecks zu konstruieren, musst du also den gewöhnlichen Weg über die Seitenhalbierenden und deren Schnittpunkt gehen.
Abbildung 21: Schwerpunkt des gleichschenkligen Dreiecks ABC im Vergleich zum Schnittpunkt der Winkelhalbierenden W und dem Schnittpunkt der Mittelsenkrechten M
Abbildung 22: Schwerpunkt des rechtwinkligen Dreiecks ABC als Schnittpunkt der Seitenhalbierenden
Auch im rechtwinkligen Dreieck fallen die Winkelhalbierenden und Mittelsenkrechten nicht mit den Seitenhalbierenden zusammen. In der Abbildung wird dies anhand des Dreiecks ABC deutlich:
Die Mittelsenkrechten sind gestrichelt, die Seitenhalbierenden in türkis (siehe oben), und die Winkelhalbierenden in Schwarz dargestellt. Die Schnittpunkte der Winkelhalbierenden W und der Mittelsenkrechten M entsprechen nicht dem Schwerpunkt S.
Vielleicht ist dir aufgefallen, dass der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten auf der Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks liegt. Das ist eine wichtige Eigenschaft von rechtwinkligen Dreiecken. Obwohl diese Information für die Konstruktion des Schwerpunktes nicht relevant ist, kann sie sich in anderen Aufgaben als hilfreich erweisen.
Abbildung 23: Schwerpunkt eines rechtwinkligen Dreiecks ABC im Vergleich zum Schnittpunkt der Winkelhalbierenden W und der Mittelsenkrechten M
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Wie bekommt man den Schwerpunkt?
Den Schwerpunkt in einem Dreieck bekommt man, indem man den Schnittpunkt der Seitenhalbierenden im Dreieck bestimmt. Um die Seitenhalbierenden zu zeichnen, muss man zunächst die drei Mittelsenkrechten konstruieren, weil deren Schnittpunkt mit der jeweiligen Dreiecksseite der Mittelpunkt der Dreiecksseite ist. Verbindet man den Mittelpunkt der Dreiecksseite mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt, so erhält man die Seitenhalbierende.
Was ist der Schwerpunkt in einem Dreieck?
Der Schwerpunkt in einem Dreieck ist der Punkt, in dem sich die drei Seitenhalbierenden des Dreiecks schneiden. Er ist der Massenschwerpunkt des Dreiecks, also der Punkt, an dem das Dreieck auf einer Fingerspitze oder Bleistiftspitze balanciert werden kann, ohne dass es herunterfällt. Von diesem Punkt aus ziehen alle Seiten des Dreiecks mit der gleichen Kraft zu Boden und halten das Dreieck so im Gleichgewicht.
Kann der Schwerpunkt eines Dreiecks auch außerhalb liegen?
Nein, der Schwerpunkt eines Dreiecks kann nicht außerhalb des Dreiecks liegen. Die Seitenhalbierenden liegen als Strecken alle innerhalb des Dreiecks und damit auch ihr Schnittpunkt. Auch anschaulich muss sich der Massenmittelpunkt der Dreiecksfläche innerhalb des Dreiecks befinden.
Was ist eine Seitenhalbierende?
Eine Seitenhalbierende ist eine Strecke im Dreieck, die von einem Eckpunkt des Dreiecks zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verläuft. Sie teilt damit das Dreieck in zwei flächengroße, "gleichschwere" Teildreiecke. Daher wird die auch Schwerelinie des Dreiecks genannt. Es gibt genau drei Seitenhalbierende im Dreieck.
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Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
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Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
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