Vielleicht weißt Du schon, was ein Zylinder ist und vielleicht sogar, aus welchen Teilen er besteht. Neben dem Volumen eines Zylinders lässt sich auch seine Oberfläche berechnen. Nach welchen Formeln dies erfolgt und wofür Du diese Rechnung benötigst, erfährst Du in diesem Artikel.
Allgemeines zum Oberflächeninhalt eines Zylinders
Der Oberflächeninhalt einer geometrischen Figur ist die gesamte Fläche, welche eine Figur bildet. Der Oberflächeninhalt besteht aus allen äußeren Flächen einer Figur. In Formeln wird für den Oberflächeninhalt meistens der Großbuchstabe O verwendet.
Wenn Du einen Zylinder aufschneidest und in seine Einzelteile zerlegst, erhältst Du zwei Kreise und ein Rechteck. Wenn Du beide Flächeninhalte zusammenaddierst, erhältst Du den Oberflächeninhalt des Zylinders.
Abbildung 1: Zerlegen eines Zylinders in zwei Kreise und ein Rechteck
Der Oberflächeninhalt einer Figur darf nicht mit deren Volumen verwechselt werden. Während der Oberflächeninhalt die gesamte äußere Fläche einer Figur umfasst, bezeichnet das Volumen den räumlichen Inhalt der Figur.
Der Oberflächeninhalt besteht also aus den Flächeninhalten anderer Formen. Deshalb wird der Oberflächeninhalt in derselben Einheit, wie der Flächeninhalt angegeben.
Der Oberflächeninhalt wird in Quadratmillimetern (\(mm^2\)), Quadratzentimetern (\(cm^2\)), Quadratdezimetern (\(dm^2\)), Quadratmetern (\(m^2\)) oder Quadratkilometern (\(km^2\)) angegeben.
Um Dich in das Thema zu vertiefen, lies Dir gerne den Artikel zu Flächeneinheiten durch!
Die Mantelfläche eines Zylinders
Die Mantelfläche eines Zylinders ist die Fläche, welche die beiden Kreise oben und unten miteinander verbindet. Sie wird in Rechnungen meistens mit dem Großbuchstaben M ausgedrückt. Da sie die Form eines Rechtecks besitzt, kann sie auch wie ein solches berechnet werden.
Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts \(A\) eines Rechtecks mit den Seitenlängen \(a\) und \(b\) lautet:
\[A=a\cdot b\]
Im Fall der Mantelfläche eines Zylinders entspricht die Seite a dem Umfang U und die Seite b der Höhe h des Zylinders. So entsteht folgende Formel für die Mantelfläche M eines Zylinders:
\[M = U\cdot h\]
Abbildung 2: Zylinder Mantelfläche
Der Umfang U eines Zylinders lässt sich genauso wie der Umfang U eines Kreises berechnen:
Für den Umfang \(U\) eines Zylinders mit dem Radius \(r\) gilt:
Abbildung 3: Umfang eines Zylinders
Dies kann jetzt in die Formel zur Berechnung der Mantelfläche M eines Zylinders eingesetzt werden.
Die Formel zur Berechnung der Mantelfläche \(M\) eines Zylinders mit dem Radius \(r\) und der Höhe \(h\) lautet:
\[M=U\cdot h= 2\cdot \pi \cdot r\cdot h\]
Oberflächeninhalt eines Zylinders berechnen
Um den Oberflächeninhalt berechnen zu können, gibt es eine Formel. Diese leitet sich aus der oben dargestellten Zerlegung des Zylinders ab.
Herleitung der Formel für den Oberflächeninhalt eines Zylinders
Um die Formel für einen Zylinder herzuleiten, zerlegst Du diesen zuerst einmal in seine Einzelteile. Ein Zylinder besteht aus zwei gleich großen Kreisen (der Deckfläche D und der Grundfläche G) sowie der rechteckigen Mantelfläche M.
Abbildung 4: Beschriftete Flächen eines Zylinders
Die Berechnung des Oberflächeninhalts führst Du aus, indem Du die einzelnen Flächen addierst. Du hast zwei gleich große Kreise und eine Mantelfläche, also gilt für die Oberfläche Deines Zylinders:\[O_{Zylinder} = 2\cdot A_{Kreis} + M \]
Dafür benötigst Du den Flächeninhalt der beiden Kreise und die Mantelfläche:
- Kreisfläche: \(A_{Kreis} = \pi r^2\)
- Mantelfläche: \(M = U\cdot h = 2\cdot \pi\cdot r \cdot h\)
So erhältst Du die Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts:
\[O = 2\pi\cdot r^2 + 2\pi\cdot r \cdot h\]
Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts eines Zylinders
Formel zur Berechnung des Oberflächeninhaltes O eines Zylinders:
\[O = 2\pi\cdot r^2 + 2\pi\cdot r \cdot h\]
Dabei ist O der Oberflächeninhalt, π die Kreiszahl, r der Radius und h die Höhe eines beliebigen Zylinders.
Was tun, wenn der Durchmesser gegeben ist und nicht der Radius? Auch dann kannst Du den Oberflächeninhalt des Zylinders berechnen. Du musst nur den Zusammenhang zwischen Radius und Durchmesser kennen. Der doppelte Radius r entspricht dem Durchmesser d beziehungsweise entspricht der halbe Durchmesser d dem Radius r.
Für den Radius \(r\) und den Durchmesser \(d\) gilt folgende Beziehung:
\[d=2r \Leftrightarrow r=\frac{d}{2}\]
Die folgende Zeichnung verdeutlicht dies:
Abbildung 6: Zusammenhang zwischen Durchmesser und Radius
Diese Formel für den Radius kann jetzt in die Formel für den Oberflächeninhalt eingesetzt werden.
Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts O eines Zylinders mit gegebenem Durchmesser d:
\[O=2\cdot \pi \cdot \frac{d}{2}\cdot h+2\cdot \pi\cdot \left(\frac{d}{2}\right)^2\]
In der folgenden Aufgabe wird die Formel beispielhaft angewendet:
Aufgabe
Berechne den Oberflächeninhalt O eines Zylinders mit dem Radius \(r = 2\, cm\) und der Höhe \(h= 4\,cm\).
Abbildung 7: Zylinder mit h = 4 cm und r = 2 cm
Lösung
Als Erstes kannst Du Dir die Formel von oben aufschreiben:
\[O = 2\pi r^2 + 2\pi \cdot r \cdot h\]
Im nächsten Schritt kannst Du die bekannten Werte aus der Aufgabenstellung einfach in die Formel einsetzen:\[O = 2\pi\cdot (2\,cm)^2 + 2\pi \cdot 4 \,cm\]
Zum Schluss muss nur noch das Ergebnis mit dem Taschenrechner ausgerechnet werden:
\begin{align} O&=2\pi \cdot 8\, cm^2+2\pi\cdot 4\,cm^2\\&=\pi\cdot 16\,cm^2+\pi\cdot 8\, cm^2 \\&\approx 75{,}4\,cm^2\end{align}
Der Oberflächeninhalt des Zylinders beträgt also ungefähr \(75\, cm^2\).
Berechnen von Oberflächeninhalten besonderer Zylinder
Es gibt auch eine besondere Form von Zylindern, nämlich Zylinder „ohne Deckel“, wie zum Beispiel ein Glas oder ein Eimer, oder auch Hohlzylinder, wie eine Klopapierrolle oder ein Ring. Auch für diese Objekte kannst Du mit der richtigen Formel den Oberflächeninhalt berechnen.
Zylinder ohne Deckel
Zylinder ohne Deckel sind Gegenstände, die Dir im Alltag begegnen z.B. Eimer oder Gläser. Sie haben eine Grundfläche und einen Mantel. Allerdings sind sie oben offen, haben also keine Deckfläche.
Die Deckfläche ist einer der Kreisflächen, die den Zylinder bilden. Wie der Name schon sagt, ist die Deckfläche die Fläche, die oben liegt. Ein Zylinder ohne Deckfläche ist also ein Zylinder, der oben offen ist.
Um den Oberflächeninhalt O eines Zylinders ohne Deckfläche D zu berechnen, muss der Oberflächeninhalt O eines „normalen“ Zylinders berechnet werden, aber mit nur einer Kreisfläche.
Für den Oberflächeninhalt \(O\) eines Zylinders ohne Deckfläche mit der Höhe \(h\) und dem Radius \(r\) gilt:
\[O=2\cdot \pi\cdot r\cdot h+\pi\cdot r^2\]
In diesem Fall fällt die Deckfläche D weg, wodurch der Flächeninhalt A des Kreises nur einmal in die Formel eingeht.
In der Anwendung kann das dann beispielsweise so aussehen:
Aufgabe
Berechne den Oberflächeninhalt O eines Zylinders ohne Deckfläche mit dem Radius \(r=5\,cm\) und der Höhe \(h= 8\, cm\).
Abbildung 8: Zylinder mit Radius r = 5 cm und Höhe h = 8 cm
Lösung
Als Erstes kannst Du Dir die passende Formel aufschreiben. In diesem Fall wählst Du die Formel, die nur einmal den Kreisflächeninhalt einbezieht:
\[O=2\cdot \pi\cdot r\cdot h+\pi\cdot r^2\]
Als Nächstes setzt Du die gegebenen Werte in die Formel ein:
\[O=2\cdot \pi\cdot 5\,cm\cdot 8\,cm+\pi\cdot \left(5\,cm\right)^2\]
Zum Schluss kannst Du das Ergebnis mit dem Taschenrechner ausrechnen:
\[O=\pi\cdot 80\,cm^2+\pi\cdot 25\,cm^2 \approx 329{,}9\,cm^2\]
Der Oberflächeninhalt des Zylinders ohne Deckfläche beträgt ungefähr \(330\,cm^2\).
Berechnen des Oberflächeninhalts eines Hohlzylinders
Um den Oberflächeninhalt eines Hohlzylinders zu berechnen, wird die äußere Mantelfläche mit der inneren Mantelfläche addiert. Anschließend wird die kleine Kreisfläche von der großen Kreisfläche subtrahiert, um nur den Kreisring zu erhalten. Diese Fläche wird dann wieder verdoppelt, um die Grundfläche und die Deckfläche zu erhalten.
Abbildung 9: Hohlzylinder
Dieser Sachverhalt kann auch als Formel ausgedrückt werden.
Für den Oberflächeninhalt \(O\) eines Hohlzylinders mit dem Innenradius \(r_k\), dem Außenradius \(r_g\) und der Höhe \(h\) gilt:\[O=2\pi\cdot h\cdot r_g + 2\pi \cdot h\cdot r_k +2\pi\cdot r_g^2-2\pi\cdot r_k^2\]
Durch Ausklammern kann die Formel vereinfacht werden:\[O=2\pi\cdot(h\cdot r_g+h\cdot r_k+r_g^2-r_k^2)\]
Aufgabe
Berechne den Oberflächeninhalt O eines Hohlzylinders mit dem Außenradius \(r_g=6\,cm\), dem Innenradius \(r_k = 3\, cm\) und der Höhe \(h=5\, cm\).
Abbildung 10: Hohlzylinder mit rg = 6 cm, rK = 3 cm und h = 5 cm
Lösung
Als Erstes kannst Du wieder die passende Formel aufschreiben:\[O=2\pi\cdot h\cdot r_g + 2\pi \cdot h\cdot r_k +2\pi\cdot r_g^2-2\pi\cdot r_k^2\]
Im nächsten Schritt kannst Du die bekannten Werte einsetzen. Achte dabei darauf auf, dass Du den großen Zylinder nicht mit dem kleinen Zylinder vertauschst.
\[O=2\pi\cdot 5\,cm \cdot 6\,cm + 2\pi \cdot 5\,cm \cdot 3\, cm +2\pi\cdot (6\, cm)^2-2\pi\cdot (3\, cm)^2\]
Zum Schluss kannst Du jetzt noch das Ergebnis mit dem Taschenrechner ausrechnen:
\[O\approx 565{,}5\,cm^2\]
Der Oberflächeninhalt des Hohlzylinders beträgt ungefähr \(566\, cm^2\).
Aufgaben mit Lösung zum Oberflächeninhalt eines Zylinders
Mithilfe der folgenden Aufgaben kannst Du nun Dein Wissen vertiefen.
Aufgabe
1. Berechne den Oberflächeninhalt O eines Farbeimers mit dem Radius \(r=4\, cm\) und der Höhe \(h=9\, cm\). Gib Dein Ergebnis in \(dm^2\) an.
Abbildung 11: Zylinder mit r = 4 cm und h = 9 cm
2. Berechne die Höhe h eines Zylinders mit dem Radius \(r=2\, cm\) und dem Oberflächeninhalt \(O=20\, cm^2\).
Abbildung 12: Zylinder mit r = 2 cm und O = 20 cm²
3. Berechne den Oberflächeninhalt O eines Rings mit dem Außendurchmesser \(d_g = 10\, cm\), dem Innendurchmesser \(d_k=6\, cm\) und der Höhe \(h=10\,cm\).
Lösung
1. Als Erstes kannst Du die passende Formel aufschreiben. In diesem Fall ist das die „normale“ Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts eines Zylinders:\[O = 2\pi\cdot r^2 + 2\pi\cdot r \cdot h\] danach kannst Du die bekannten Werte in die Formel einsetzen:
\[O = 2\pi\cdot (4\,cm)^2 + 2\pi\cdot 4\,cm \cdot 9\,cm\] Jetzt kannst Du das Ergebnis mit dem Taschenrechner ausrechnen:\[O\approx 326{,}7\,cm^2\]
Als Nächstes musst Du das Ergebnis von \(cm^2\) in \(dm^2\) umwandeln. Dabei gilt:\[1\,cm^2 = 0{,}01\, dm^2\]
Mit dem Dreisatz kannst Du jetzt ganz einfach den Oberflächeninhalt in \(dm^2\) umwandeln.
\begin{align}1\,cm^2 &= 0{,}01 dm^2\\326{,}7cm^2 &=3{,}267\, dm^2\end{align}
Um mehr darüber zu erfahren, lies Dir gerne den Artikel zu Dreisatz durch!
Der Zylinder hat einen Oberflächeninhalt von ungefähr \(3{,}3\, dm^2\).
2. Um die Höhe eines Zylinders aus dem Oberflächeninhalt zu berechnen, musst Du als Erstes wieder die „normale“ Formel aufschreiben.\[O=2\pi\cdot r\cdot h +2\pi \cdot \pi \cdot r^2\]
Als Nächstes kannst Du dann die Formel nach h umstellen:\begin{align} O&=2\pi\cdot r\cdot h + 2\pi \cdot r^2 &&\quad |-2\pi r^2\\\\O-2\pi r^2 &= 2\pi r \cdot h &&\quad |:\,2\pi r \\\\ \frac{O-2\pi r^2}{2\pi r} &= h\end{align}
Setzt Du die bekannten Werte in die neue Formel für h ein, dann erhälst Du: \[h=\frac{20\,cm^2-2\pi\cdot 2\, cm}{2\pi\cdot 2\, cm}\]Jetzt kannst Du die Formel in Deinen Taschenrechner eingeben und ausrechnen:\[h\approx 0{,}59\]
Der Zylinder ist ungefähr \(0{,}6 \, cm \) hoch.
3. Der Ring in dieser Aufgabe ist ein Hohlzylinder und muss deshalb auch wie ein solcher berechnet werden. Aufgrund dessen kannst Du Dir schon einmal die passende Formel aufschreiben:\[O=2\pi\cdot h\cdot r_g + 2\pi \cdot h\cdot r_k +2\pi\cdot r_g^2-2\pi\cdot r_k^2\]
Jetzt ist jedoch nur der Durchmesser gegeben und nicht der Radius. Deshalb solltest Du den Zusammenhang zwischen Radius und Durchmesser kennen:\[r=\frac{d}{2}\]
Du kannst jetzt also diese Formel für r in die Formel für den Oberflächeninhalt einsetzen:\[O=2\pi \cdot h \cdot \frac{d_g}{2}+2\pi\cdot h\cdot \frac{d_k}{2}+2\pi \cdot h \cdot\left(\frac{d_g}{2}\right)^2-2\pi \cdot h \cdot\left(\frac{d_k}{2}\right)^2\]
In diese Formel kannst Du die bekannten Werte einsetzen und das Ergebnis ausrechnen:\[O=551{,}3\, cm^2\]
Der Oberflächeninhalt des Rings beträgt ungefähr .
Oberflächeninhalt Zylinder – Das Wichtigste auf einen Blick
- In Formeln wird für den Oberflächeninhalt meistens der Großbuchstabe O verwendet.
- Ein Zylinder besteht aus zwei Kreisen, der Grundfläche G und der Deckfläche D sowie einem Rechteck, der Mantelfläche M.
- Wenn der Flächeninhalt dieser Formen zusammenaddiert wird, erhältst Du den Oberflächeninhalt eines Zylinders.
- Zur Berechnung des Oberflächeninhalts eines Zylinders gilt: \(O=2\cdot \pi \cdot r \cdot h + 2\cdot \pi \cdot r^2\).
- Bei der Berechnung des Oberflächeninhalts eines Zylinders ohne Deckfläche wird der Flächeninhalt des zweiten Kreises weggelassen.
- Der Oberflächeninhalt eines Zylinders wird berechnet, indem die äußere Mantelfläche mit der inneren Mantelfläche addiert wird. Anschließend wird die kleine Kreisfläche von der großen Kreisfläche subtrahiert und verdoppelt, um die Grundfläche und die Deckfläche zu erhalten.
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