Oberflächeninhalt Kegel

Stochastik

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Vielleicht weißt Du schon, was ein Kegel ist und vielleicht sogar, aus welchen Teilen er besteht. Neben dem Volumen eines Kegels lässt sich auch seine Oberfläche berechnen. Nach welchen Formeln dies erfolgt und wofür Du diese Rechnung benötigst, erfährst Du in diesem Artikel.

Oberflächeninhalt Kegel Kegel StudySmarter

Allgemeines zum Oberflächeninhalt eines Kegels

Jedes geometrische Objekt, also jedes Objekt im dreidimensionalen Raum, hat eine Oberfläche und dadurch auch einen Oberflächeninhalt, der berechnet werden kann. Dieser Oberflächeninhalt zeigt zum Beispiel an, wie viel von einem Material benötig wird, um einen Körper zu umwickeln.

Wiederholung Kegel

Der Kegel ist ein spitz zulaufender, dreidimensionaler Körper mit einem Kreis als Grundfläche. Er setzt sich zusammen aus der Grundfläche G, der Spitze S, der Mantelfläche M, der Mantellinie s und der Höhe h.

Oberflächeninhalt Kegel, Kegel Körper, StudySmarter Abbildung 1: Kegel

Um mehr über Kegel zu erfahren, lies Dir gerne unseren Artikel dazu durch.

Definition des Oberflächeninhalts

Der Oberflächeninhalt O besteht aus allen äußeren Flächen einer Figur.

Wenn man einen Kegel aufschneidet und in seine Einzelteile zerlegt, erhält man 2 Flächen: eine Mantelfläche und einen Kreis. Wenn deren Flächeninhalt zusammenaddiert wird, erhältst Du den Oberflächeninhalt des Kegels.

Oberflächeninhalt Kegel Netz eines Kegels StudySmarter Abbildung 2: Netz eines Kegels

Der Oberflächeninhalt einer Figur darf nicht mit deren Volumen verwechselt werden. Während der Oberflächeninhalt die gesamte äußere Fläche einer Figur umfasst, bezeichnet das Volumen den räumlichen Inhalt der Figur.

Einheit

Der Oberflächeninhalt besteht aus den Flächeninhalten der verschiedenen Formen. Deshalb wird der Oberflächeninhalt O in derselben Einheit wie der Flächeninhalt angegeben.

Der Oberflächeninhalt wird als quadrierte Längeneinheit angegeben, zum Beispiel in Quadratmillimetern (mm²), Quadratzentimetern (cm²), Quadratdezimetern (dm²), Quadratmetern (m²) oder Quadratkilometern (km²).

Die Längeneinheiten werden wie folgt umgerechnet:

\begin{array}{rcl} 1 c m^{2} & = & 100 m m^{2} \\ 1 d m^{2} & = & 100 c m^{2} \\ 1 m^{2} & = & 100 d m^{2} \\ 1 k m^{2} & = & 1000000 m^{2} \end{array}

Um Dich in das Thema zu vertiefen, lies Dir gerne den Artikel zu Flächeneinheiten durch!

Berechnen der Mantelfläche eines Kegels

Ein Teil des Oberflächeninhaltes besteht aus der Mantelfläche M des Kegels.

Die Mantelfläche M eines Kegels ist ein Kreisausschnitt (auch Kreissegment genannt). Der Radius dieses Kreisausschnittes entspricht der Mantellinie s, während die Bogenlänge b dem Umfang U des Kreises der Grundfläche entspricht.

Da die Mantelfläche auch eine Fläche ist, wird sie in der gleichen Einheit wie der Oberflächeninhalt angegeben. Graphisch sieht sie wie folgt aus:

Oberflächeninhalt Kegel Mantelfläche StudySmarter Abbildung 3: Mantelfläche M

Für die Mantelfläche M eines Kegels gilt:

$M = π \cdot r \cdot s$

Zur Wiederholung: π (Pi) ist die Kreiszahl. Sie ist unendlich und hat den gerundeten Wert 3,14. Entweder Du verwendest diesen gerundeten Wert oder gibst einfach pi in Deinen Taschenrechner ein.

Schauen wir uns die Formel mal an einem Beispiel an:

Aufgabe

Berechne die Mantelfläche M eines Kegels mit r = 5 m und s = 2 m.

Lösung

Zuerst musst Du die Formel zur Berechnung der Mantelfläche eines Kegels aufschreiben.

$M = π \cdot r \cdot s$

Als Nächstes kannst Du die bekannten Werte in die Formel einsetzen.

$M = π \cdot 5 m \cdot 2 m$

Zum Schluss kannst Du das Ergebnis mit dem Taschenrechner ausrechnen.

$M = π \cdot 10 m^{2} M \approx 31, 4 m^{2}$

Die Mantelfläche des Kegels ist ungefähr 31,4 m² groß.

Berechnen des Oberflächeninhalts eines Kegels

Um jetzt den Oberflächeninhalt berechnen zu können, gibt es eine Formel. Diese Formel leitet sich aus der oben dargestellten Zerlegung des Kegels ab.

Herleitung der Formel des Oberflächeninhalts eines Kegels

Die Formel für den Oberflächeninhalt lässt sich mithilfe der Zerlegung eines Kegels herleiten. Ein Kegel besteht aus zwei Flächen: der Mantelfläche M und der kreisförmigen Grundfläche G.

Oberflächeninhalt Kegel beschriftetes Netz StudySmarter Abbildung 4: beschriftetes Netz eines Kegels

Die Summe dieser beiden Flächen ergibt die Formel für den Oberflächeninhalt O.

Neben der Mantelfläche M musst Du noch die Grundfläche ermitteln, um den Oberflächeninhalt eines Kegels berechnen zu können. Die Grundfläche G ist kreisförmig und kann deshalb wie der Flächeninhalt A eines Kreises berechnet werden.

Für den Flächeninhalt A eines Kreises und damit für die Grundfläche G gilt:

$A_{○} / G = π \cdot r^{2}$

Oberflächeninhalt Kegel Flächeninhalt Kreis StudySmarter Abbildung 5: Flächeninhalt

Wenn Du nun die Formel für die Mantelfläche M mit der Formel für die Grundfläche G addierst, erhältst Du die Formel für den Oberflächeninhalt eines Kegels:

$O = π \cdot r^{2} + π \cdot r \cdot s$

Anstatt dieser Formel kannst Du auch die vereinfachte Formel der Mantelfläche und der Grundfläche verwenden.

Die allgemeine Formel für den Oberflächeninhalt O lautet:

$O = M + G$

Formel des Oberflächeninhalts eines Kegels

Für den Oberflächeninhalt O eines Kegels gilt:

$O = π \cdot r^{2} + π \cdot r \cdot s$

Diese Formel kann zusammengefasst werden:

$O = π \cdot r \cdot (r + s)$

Hier findest Du ein Anwendungsbeispiel für diese Formel:

Aufgabe

Berechne den Oberflächeninhalt O eines Kegels mit $r = 5 c m$ und $s = 7 c m$ .

Lösung

Als Erstes schreibst Du Dir die Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts O eines Kegels auf. Dabei kannst Du entscheiden, welche Version der Formeln Du wählst.

$O = π \cdot r^{2} + π \cdot r \cdot s$

Als Nächstes werden die oben gegebenen Werte in die Formel eingesetzt.

$O = π \cdot {(5 cm)}^{2} + π \cdot 5 cm \cdot 7 cm$

Zum Schluss kannst Du Ergebnis mit dem Taschenrechner ausrechnen. Achte darauf, die richtige Einheit zu notieren.

$\begin{array}{rcl} O & = & π \cdot 25 {cm}^{2} + π \cdot 35 {cm}^{2} \\ O & = & π \cdot (25 {cm}^{2} + 35 {cm}^{2}) \\ O & = & π \cdot 60 {cm}^{2} \\ O & \approx & 188, 5 {cm}^{2} \end{array}$

Der Oberflächeninhalt des Kegels beträgt ungefähr 188,5 cm².

Berechnung des Oberflächeninhalts eines Kegelstumpfes

Ein Sonderfall eines Kegels ist der Kegelstumpf, bei dem die Spitze abgeschnitten ist.

Oberflächeninhalt Kegel Kegelstumpf StudySmarter Abbildung 6: Kegelstumpf

Der Flächeninhalt eines Kegelstumpfes wird auch mit der Summe der Einzelflächen angegeben. Ein Kegelstumpf hat aufgrund seiner abgeschnittenen Eigenschaft noch eine zusätzliche Fläche: die Deckfläche D.

Die allgemeine Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts eines Kegelstumpfes lautet:

O = A_{M} + A_{G} + A_{D}

Um Dich in das Thema zu vertiefen, lies Dich gerne in den Artikel zum Kegelstumpf ein!

Die konkrete Formel für den Oberflächeninhalt O eines Kegelstumpfes lautet:

$O = π \cdot s \cdot (R + r) + π \cdot R^{2} + π \cdot r^{2}$

Diese Formel kann zusammengefasst werden zu:

$O = π \cdot (s \cdot (R + r) + R^{2} + r^{2})$

R ist dabei immer der größere Radius, während r immer der kleinere Radius ist.

Weitere Aufgaben zum Oberflächeninhalt eines Kegels

In den folgenden Aufgaben kannst Du Dein Wissen testen.

Aufgaben

1. Berechne den Oberflächeninhalt O einer Eiswaffel mit $r = 2 c m$ und $s = 5 c m$ . Gib Dein Ergebnis in dm² an.

Oberflächeninhalt Kegel Eiswaffel StudySmarter

2. Berechne die Mantellinie s eines Verkehrshütchens mit $r = 1 m$ und dem Oberflächeninhalt $O = 4 m^{3}$ .

Oberflächeninhalt Kegel Verkehrshütchen StudySmarter

3. Berechne die Grundfläche G eines Kegels mit $O = 620 c m^{2}$ , $r = 8 c m$ und $s = 10 c m$ .

Lösungen

Zu 1.:

Hierfür verwendest Du die Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts eines Kegels:

$O = π \cdot r \cdot (r + s)$

Anschließend setzt Du die oben gegebenen Werte in die Formel ein:

$O = π \cdot 2 cm \cdot (2 cm + 5 cm)$

Jetzt kannst Du das Ergebnis mit dem Taschenrechner ausrechnen:

$O = π \cdot 2 cm \cdot 7 cm O = π \cdot 14 {cm}^{2} O \approx 44 {cm}^{2}$

Da das Ergebnis in dm² angegeben werden sollte, musst Du dafür die Umrechnung von cm² in dm² durchführen:

$1 {cm}^{2} = 0, 01 {dm}^{2}$

Als Letztes kannst Du nun ein Ergebnis mit dem Dreisatz in dm² umwandeln.

$\begin{array}{rcl} 1 {cm}^{2} & = & 0, 01 {dm}^{2} \\ 44 {cm}^{2} & = & 0, 44 {dm}^{2} \end{array}$

Um mehr über den Dreisatz zu erfahren, schau gern in den zugehörigen Artikel!

Die Eiswaffel hat einen Oberflächeninhalt von 0,44 dm².

Zu 2.:

Hierfür verwendest Du die Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts eines Kegels:

$O = π \cdot r \cdot (r + s)$

Um die Mantellinie s zu berechnen, stellst Du die Formel nach s um:

$\begin{array}{rcl} O & = & π \cdot r \cdot (r + s) | \div (π \cdot r) \\ r + s & = & \frac{O}{π \cdot r} | - r \\ s & = & \frac{O}{π \cdot r} - r \end{array}$

Jetzt kannst Du die bekannten Werte in die Formel einsetzten:

$s = \frac{4 m^{2}}{π \cdot 1 m} - 1 m$

Zum Schluss musst Du nur noch das Ergebnis mit dem Taschenrechner ausrechnen:

$s = \frac{4 m^{2}}{π \cdot 1 m} - 1 m s = \frac{4 m}{π} - 1 m s \approx 1, 27 m - 1 m s \approx 0, 27 m$

Die Mantellinie s des Verkehrshütchens beträgt ungefähr 0,27 m.

Zu 3.:

In der Aufgabe geht es um den Oberflächeninhalt O, die Grundfläche G, die Mantellinie s und den Radius r. Es gibt eine allgemeine Formel, in der die Grundfläche und der Oberflächeninhalt enthalten sind. Außerdem braucht man für diese Formel noch die Mantelfläche, diese kommt jedoch an späterer Stelle.

$O = M + G$

In der Aufgabenstellung sind r r und s gegeben, aber nicht M. Du kannst M durch die spezifische Formel ersetzen. Dadurch kannst Du alle Werte, die angegeben sind, verwenden:

$\begin{array}{rcl} M & = & π \cdot r \cdot s \\ \Rightarrow & O = π \cdot r \cdot s + G \end{array}$

Jetzt musst Du noch die Formel nach G umstellen, da nach der Grundfläche gefragt ist:

$O = π \cdot r \cdot s + G | - (π \cdot r \cdot s) G = O - (π \cdot r \cdot s)$

Nun kannst Du die gegebenen Werte in die Formel einsetzten:

$G = 620 {cm}^{2} - (π \cdot 8 cm \cdot 10 cm)$

Zum Schluss kannst Du das Ergebnis mit dem Taschenrechner ausrechnen:

$G = 620 c m^{2} - (π \cdot 80 c m^{2}) G \approx 368, 7 c m^{2}$

Der Kegel hat eine Grundfläche von ungefähr 368,7 cm².

Oberflächeninhalt Kegel – Das Wichtigste auf einen Blick

Der Oberflächeninhalt O besteht aus allen äußeren Flächen einer Figur
Der Oberflächeninhalt O wird normalerweise in Quadratmillimetern (mm²), Quadratzentimetern (cm²), Quadratdezimetern (dm²), Quadratmetern (m²) oder Quadratkilometern (km²) angegeben
Die Mantelfläche M eines Kegels ist ein Kreisausschnitt (auch Kreissegment genannt).
Für die Mantelfläche M gilt: $M = π \cdot r \cdot s$
Allgemein gilt für den Oberflächeninhalt O: $O = M + G$
Für den Oberflächeninhalt O eines Kegels gilt: $O = π \cdot r \cdot s + π \cdot r^{2}$

Häufig gestellte Fragen zum Thema Oberflächeninhalt Kegel

Die Mantelfläche eines Kegels ist ein Kreisausschnitt (auch Kreissegment genannt). Der Radius dieses Kreisausschnittes entspricht der Mantellinie s, während die Bogenlinie b dem Umfang U des Kreises der Grundfläche entspricht.

Der Oberflächeninhalt eines Kegels ist die äußere Hülle, die den Kegel bildet. Er setzt sich zusammen aus der Grundfläche G und der Mantelfläche M.

Man findet den Radius eines Kegels, indem man entweder

1. den Radius des Körpers misst

2. ihn sich aus zwei gegebenen Punkten ausrechnet

3. eine Formel umstellt. Du könntest zum Beispiel die Formel für die Mantelfläche

M = π · r · s

nach dem Radius r umstellen

r = M/(π · s) .

Die Mantelfläche sieht aus wie ein Kreis, aus dem ein Stück herausgeschnitten wurde. Diese Fläche wird Kreisausschnitt oder Kreissegment genannt.

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Was ist der Oberflächeninhalt?

Der Oberflächeninhalt einer geometrischen Figur ist die gesamte Fläche, welche eine Figur bildet. Er besteht aus allen äußeren Flächen einer Figur.

In welche Einzelteile kann ein Kegel zerlegt werden?

ein Kreis und ein Kreissegment

In welcher Einheit wird der Oberflächeninhalt angegeben?

Der Oberflächeninhalt wird normalerweise in Quadratmillimetern (mm²), Quadratzentimetern (cm²), Quadratdezimetern (dm²), Quadratmetern (m²) oder Quadratkilometern (km²) angegeben.

Was ist die Mantelfläche?

Die Mantelfläche eines Kegels ist ein Kreisausschnitt (auch Kreissegment genannt). Es sieht aus, als wäre ein Stück des Kreises weggeschnitten worden. Der Radius dieses Kreisausschnittes entspricht der Mantellinie s, während die Bogenlänge b dem Umfang U des Kreises der Grundfläche entspricht.

In welcher Einheit wird die Mantelfläche angegeben?

Die Mantelfläche wird in der gleichen Einheit wie der Oberflächeninhalt angegeben. Sie wird normalerweise in Quadratmillimetern (mm²), Quadratzentimetern (cm²), Quadratdezimetern (dm²), Quadratmetern (m²) oder Quadratkilometern (km²) angegeben.

Berechne die Mantelfläche M eines Kegels mit r = 5 m und s = 2 m.

Die Mantelfläche des Kegels ist ungefähr 31,4 m² groß.

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