Was ist eigentlich ein Kreisausschnitt? Ist jeder Teil eines Kreises, der aus diesem ausgeschnitten wird, ein Kreisausschnitt? Leider nicht. Was ein Kreisausschnitt in der Geometrie wirklich ist, wird dir in diesem Artikel erklärt.
Kreisausschnitt Definition
Der Kreisausschnitt ist in der Geometrie eine Teilfläche eines Kreises, der zwischen zwei Radien des Kreises und dem dazugehörigen Kreisbogen b liegt.
Der Kreisausschnitt wird auch Kreissektor genannt.
Abbildung 1: Kreisausschnitt
Im Verlauf dieses Artikels wird an einigen Stellen der Kreisbogen eines Kreises erwähnt. Um das Thema Kreisausschnitt zu verstehen ist es daher wichtig zu wissen, was der Kreisbogen b eines Kreises ist. Wenn du nicht mehr genau wissen solltest, was genau der Kreisbogen ist, solltest du unbedingt einen Blick in unseren dazugehörigen Artikel werfen.
Kreisausschnitt – Erklärung
Bevor du erfährst, wie man den Kreisausschnitt berechnen kann, erfährst du in diesem Abschnitt erst einmal alles über die Grundlagen und die Herleitung des Kreisausschnitts.
Kreisausschnitt – Grundlagen
Der Kreisausschnitt gehört zu den Kreisteilen. Zu dem Thema Kreisteile haben wir bereits einen eigenen Artikel verfasst. Wenn du dich also auch für die anderen Teile eines Kreises außer dem Kreisausschnitt interessierst, solltest du in diesem Artikel unbedingt vorbeischauen.
Um das Prinzip des Kreisausschnitts zu verstehen, hilft dir vielleicht folgende Veranschaulichung:
Stell dir vor, du hast für deinen Geburtstag einen runden Kuchen gebacken und bist gerade dabei das erste Stück des Kuchens anzuschneiden.
Wenn du den Kuchen nun von oben betrachtest, entspricht der gesamte Kuchen einem Kreis und das geschnittene Kuchenstück dem Kreisausschnitt.
Abbildung 2: Kuchenstück als Kreisausschnitt
Ein anderer Name für den Kreisausschnitt ist Kreissektor, wie du bereits oben in der Definition lesen konntest.
Wenn die Punkte A und B auf der Kreislinie eines Kreises liegen, dann ist der Kreisausschnitt bzw. Kreissektor genau die Fläche, die von den beiden Radien, die durch den Punkt A bzw. Punkt B und den Mittelpunkt M verlaufen, und dem Kreisbogen b zwischen den Punkten A und B begrenzt wird.
Damit unterscheidet sich der Kreisausschnitt maßgeblich vom Kreisabschnitt.
Der Kreisabschnitt ist die Fläche, die zwischen dem Kreisbogen b, also der Verbindung vom Punkt A und Punkt B entlang der Kreislinie, und der Kreissehne s, also der direkten Verbindung von Punkt A und Punkt B, liegt.
Kreisabschnitte werden auch Kreissegmente genannt.
Der Unterschied zwischen einem Kreisausschnitt und einem Kreisabschnitt wird in der folgenden Abbildung noch einmal verdeutlicht:
Abbildung 3: Vergleich Kreisausschnitt (links) und Kreisabschnitt (rechts)
Der Kreisausschnitt ist die Fläche zwischen den beiden Radien r und dem Kreisbogen b des Kreises.
Der Kreisabschnitt ist die Fläche zwischen dem Kreisbogen b und der Kreissehne s des Kreises.
Kreisausschnitt – Herleitung
Wie du gelernt hast, ist der Kreisausschnitt eine Teilfläche der Gesamtfläche des Kreises. Die Herleitung der Formel für die Fläche des Kreisausschnitts baut daher auf der Formel für den gesamten Flächeninhalt des Kreises auf.
Die Formel für den gesamten Flächeninhalt eines Kreises lautet
Die Formel für den Flächeninhalt des Kreisausschnitts erweitert die oben genannte Formel für den Flächeninhalt des gesamten Kreis lediglich um den Faktor 
:
Die Formel für den Flächeninhalt eines Kreisausschnitts lautet
Das liegt daran, dass durch den Faktor 
angegeben wird, welchen Anteil der Kreisausschnitt am Gesamtflächeninhalt des Kreises hat. 
gibt an, wie groß der Mittelpunktswinkel ist.
Nimm an, der Mittelpunktswinkel 
von einem Kreisausschnitt beträgt 180°. Grafisch dargestellt sieht der Kreisausschnitt dann folgendermaßen aus:
Abbildung 4: Kreisausschnitt mit halber Fläche des Gesamtkreises
Du siehst, dass der Kreisausschnitt bei einem Mittelpunktswinkel von 
genau die Hälfte des Kreises ausmacht. Dadurch ist der Flächeninhalt des Kreisausschnitts genau halb so groß wie der Flächeninhalt des gesamten Kreises.
Das wird in der Formel des Kreisausschnitts zum Ausdruck gebracht, indem der Mittelpunktswinkel 
in Relation zum 360°-Winkel gesetzt wird. Wenn du den Flächeninhalt für einen gesamten Kreis berechnen möchtest, dann beträgt der Mittelpunktswinkel 
= 360°. Da gilt 
, kannst du den Teil 
bei der Flächenberechnung eines ganzen Kreises weglassen.
Es folgt:
Das entspricht genau der Hälfte des Flächeninhalts des Gesamtkreises.
Nimm nun an, dass für den Mittelpunktswinkel 
des Kreisausschnitts gilt: 
.
Grafisch dargestellt sieht der Kreisausschnitt dieses Kreises folgendermaßen aus:
Abbildung 5: Kreisausschnitt mit einem Viertel der Fläche des Gesamtkreises
Du siehst, dass der Kreisausschnitt bei einem Mittelpunktswinkel von 
genau ein Viertel des Kreises ausmacht. Dadurch ist der Flächeninhalt des Kreisausschnitts genau ein Viertel so groß wie der Flächeninhalt des gesamten Kreises.
Das wird in der Formel des Kreisausschnitts zum Ausdruck gebracht, indem der Mittelpunktswinkel 
in Relation zum 360°-Winkel gesetzt wird. Wenn du den Flächeninhalt für einen gesamten Kreis berechnen möchtest, dann beträgt der Mittelpunktswinkel 
= 360°. Da gilt 
, kannst du den Teil 
bei der Flächenberechnung eines ganzen Kreises weglassen.
Es folgt:
Das entspricht genau einem Viertel des Flächeninhalts des Gesamtkreises.
Kreisausschnitt – Umfang berechnen
In diesem Abschnitt lernst du, wie du den Umfang eines Kreisausschnitts berechnen kannst. Dazu lernst du zunächst die allgemeine Formel für den Umfang eines Kreisausschnitts kennen und erfährst anschließend, wie du diese Formel nach dem Radius r und dem Kreisbogen b auflösen kannst.
Umfang eines Kreisausschnitts berechnen – Formel
Schau dir erstmal die genaue Definition des Umfangs eines Kreisausschnitts an!
Da es sich beim Kreisausschnitt um die Fläche handelt, die zwischen dem Kreisbogen und zwei Kreisradien liegt, lautet die Formel für den Umfang eines Kreisausschnitts folgendermaßen
Der Umfang eines Kreisausschnitts ist daher vom Radius r und dem Kreisbogen b des Kreises abhängig.
Für den Kreisbogen b gilt
Der Umfang des Kreisausschnitts wird damit auch von der Größe des Mittelpunktswinkels 
beeinflusst.
Umfang eines Kreisausschnitts berechnen – Formel umstellen
Die Formel für den Umfang des Kreisausschnitts kann nach dem Radius r und dem Kreisbogen b aufgelöst werden. Wie das funktioniert, erfährst du jetzt.
Formel für den Umfang eines Kreisausschnitts nach dem Radius auflösen
Zuerst soll die Formel für den Umfang des Kreisausschnitts nach dem Radius r des Kreises aufgelöst werden.
Die Ausgangsformel für den Umfang des Kreisausschnitts sieht folgendermaßen aus:
Um die Formel nach dem Radius r aufzulösen, wird zunächst der Kreisbogen b auf beiden Seiten der Gleichung subtrahiert und anschließend die Gleichung durch 2 dividiert. Es folgt:
Für den Radius r eines Kreisausschnitts gilt
Formel für den Umfang eines Kreisausschnitts nach dem Kreisbogen auflösen
Als Nächstes soll die Formel für den Umfang des Kreisausschnitts nach dem Kreisbogen b des Kreises aufgelöst werden.
Die Ausgangsformel für den Umfang des Kreissektors sieht wieder folgendermaßen aus:
Um die Formel nach dem Kreisbogen b aufzulösen, wird einfach nur auf beiden Seiten der Gleichung 
subtrahiert.
Es folgt:
Für den Kreisbogen b eines Kreisausschnittsgilt
Kreisausschnitt – Fläche berechnen
Nachdem du nun bereits gelernt hast, wie du den Umfang des Kreisausschnitts berechnen kannst, lernst du in diesem Abschnitt die Berechnung des Flächeninhalts des Kreisausschnitts. Auch in diesem Abschnitt wird so vorgegangen, dass du zunächst lernst, wie die allgemeine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreisausschnitts lautet. Anschließend wird die Formel einzeln nach allen beinhalteten Variablen aufgelöst.
Fläche eines Kreisausschnitts berechnen – Formel
Schau dir zunächst die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreisausschnitts an! Der Mittelpunktswinkel ![]()
ist dabei im Gradmaß angegeben!
Der Flächeninhalt eines Kreisausschnitts lautet
Da für den Kreisbogen b eines Kreises gilt
,
lässt sich die Formel für den Flächeninhalt eines Kreisausschnitts vereinfachen!
Für den Flächeninhalt eines Kreisausschnitts gilt
Je nachdem, welche Angaben dir zur Berechnung des Flächeninhalts des Kreisausschnitts zur Verfügung stehen, kannst du eine der beiden Formel zur Flächenberechnung des Kreisausschnitts auswählen.
Fläche eines Kreisausschnitts berechnen – Formel umstellen
Die Formeln zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreissektors lassen sich nach dem Radius r, dem Mittelpunktswinkel 
und dem Kreisbogen b auflösen.
Formel für den Flächeninhalt eines Kreisausschnitts nach dem Radius auflösen
Zuerst soll die Formel für den Flächeninhalt des Kreisausschnitts nach dem Radius r des Kreises aufgelöst werden.
Die Ausgangsformel für den Flächeninhalt des Kreissektors sieht folgendermaßen aus:
Um die Formel nach dem Radius r aufzulösen, wird sie auf beiden Seiten durch die Kreiszahl 
und den Mittelpunktswinkel 
dividiert und anschließend mit 
multipliziert.
Es folgt:
Abschließend muss nur noch die Wurzel gezogen werden:
Der Radius r eines Kreisausschnitts ist wie folgt definiert
Wird stattdessen die Formel 
als Ausgangsformel für den Flächeninhalt des Kreisausschnitts verwendet, so resultiert nach Division durch den Kreisbogen b und Multiplikation mit dem Faktor 2:
Eine alternative Formel für den Radius r eines Kreisausschnitts lautet
Formel für den Flächeninhalt eines Kreisausschnitts nach dem Mittelpunktswinkel auflösen
Als Nächstes soll die Formel für den Flächeninhalt des Kreisausschnitts nach dem Mittelpunktswinkel 
des Kreisausschnitts aufgelöst werden.
Die Ausgangsformel sieht erneut folgendermaßen aus:
Um die Formel nach dem Mittelpunktswinkel 
des Kreissektors aufzulösen, wird sie auf beiden Seiten mit dem Faktor 
multipliziert und anschließend durch 
dividiert.
Das Ergebnis ist:
Der Mittelpunktswinkel 
eines Kreisausschnitts berechnet sich aus
Formel für den Flächeninhalt eines Kreisausschnitts nach dem Kreisbogen auflösen
Abschließend muss die Formel für den Flächeninhalt des Kreisausschnitts nur noch nach dem Kreisbogen b aufgelöst werden.
Dafür wird die folgende Ausgangsformel verwendet:
Nach einer Multiplikation der Gleichung mit 2 und Division durch den Radius r folgt für den Kreisbogen b:
Für den Kreisbogen b eines Kreisausschnitts gilt damit auch
Kreisausschnitt – Übungsaufgaben
Super! Du hast jetzt alles, was du über den Kreisausschnitt wissen musst, gelernt!
In den drei abschließenden Übungsaufgaben kannst du nun dein Wissen zum Thema Kreisausschnitt überprüfen.
Aufgabe 1
Berechne den Umfang des Kreisausschnitts eines Kreises, wenn für den Kreisbogen b und den Radius r des Kreissektors gilt:
Lösung
Die Formel für den Umfang des Kreisausschnitts lautet:
Nach Einsetzen der Werte für den Radius und den Kreisbogen resultiert:
Der Umfang des Kreisausschnitts beträgt daher 26 cm.
Aufgabe 2
Berechne den Flächeninhalt eines Kreisausschnitts, wenn für den Radius r und den Mittelpunktswinkel 
des Kreissektors gilt:
Lösung
Die Formel für die Fläche des Kreisausschnitts lautet: 
Nach Einsetzen der Werte für den Radius und den Mittelpunktswinkel resultiert:
Die Fläche des Kreisausschnitts ist etwa 
groß.
Aufgabe 3
Berechne die Länge des Kreisbogens b, wenn für die Fläche des Kreisausschnitts und den Radius des dazugehörigen Kreises gilt:
Lösung
Die nach dem Kreisbogen aufgelöste Formel für die Fläche des Kreisausschnitts lautet: 
Nach Einsetzen der Werte für den Flächeninhalt und den Radius resultiert:
Der Kreisbogen b des Kreissektors ist daher 8 cm lang.
Kreisausschnitt - Das Wichtigste auf einen Blick
- Der Kreisausschnitt ist in der Geometrie eine Teilfläche eines Kreises, der zwischen zwei Radien des Kreises und dem dazugehörigen Kreisbogen b liegt.
- Der Kreisausschnitt wird auch Kreissektor genannt.
- Der Kreisausschnitt bzw. Kreissektor muss vom Kreisabschnitt bzw. Kreissegment unterschieden werden.
- Die Formel zur Berechnung des Umfangs des Kreisausschnitts lautet:
- Die Formel zur Berechnung der Fläche des Kreisausschnitts lautet:
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