Koordinatensystem

Stochastik

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Um Punkte, Strecken oder andere geometrische Objekte zu zeichnen hilft als Vorlage ein Koordinatensystem. Das Grundgerüst vom Koordinatensystem bilden die Achsen. Was genau das ist, wie die korrekte Beschriftung eines Koordinatensystems gelingt oder wie Du ein Koordinatensystem zeichnest, erfährst Du in dieser Erklärung durch verschiedene Beispiele.

Koordinatensystem StudySmarter Abb. 1: Koordinatensystem

Koordinatensystem – Definition

Ein kartesisches Koordinatensystem kann in der zweidimensionalen Ebene und dreidimensionalen Raum sein.

Ein kartesisches Koordinatensystem sind zwei Geraden, die sich schneiden, gleich lang sind und den gleichen Abstand zueinander haben. Das sind die Koordinatenachsen \(x\) und \(y\).

Anhand eines Koordinatensystems können Punkte an bestimmten Koordinaten eingezeichnet werden, die auch miteinander verbunden werden können.

Koordinatensystem – Erklärung

Ein Koordinatensystem hat immer einen positiven Bereich. In diesen positiven Bereich kannst Du zum Beispiel positive Punkte \(P\) eintragen.

Der positive Teil eines Koordinatensystems nennt sich auch der erste Quadrant.

Aber wie sieht der positive Teil eines Koordinatensystems aus?

Hier siehst Du zwei Achsen, die \( {\color{#1478c8}x}\) - und \({\color{#00dcb4}y}\) -Achse, welche in einem \(90°\) Winkel zueinander sind. Die beiden Achsen treffen sich in ihrem Ursprung \({\color{#fa3273}O}\) .

Der Punkt \({\color{#fa3273}O}\) ist der Punkt \({\color{#fa3273} O(0|0)}\).

Koordinatensystem positiven Bereich StudySmarter Abb. 2: Koordinatensystem im positiven Bereich

Wie trägst Du hier einen Punkt ein?

Positives Koordinatensystem - Punkte eintragen

Ein Punkt \(P\) besteht immer aus zwei Werten, einmal dem \(x\)- und einmal dem \(y\)-Wert. Das sieht dann folgendermaßen aus:

\[P(x|y)\]

Punkte ins zweidimensionale Koordinatensystem trägst Du folgendermaßen ein:

Zuerst schaust Du Dir den \(x\)-Wert des Punktes \(P\) an und gehst auf der \(x\)-Achse zu dem Punkt.
Danach schaust Du Dir den \(y\)-Wert der Punktes \(P\) an und gehst auf der \(x\)-Achse vom \(x\)-Wert aus den Abstand entlang der \(y\)-Achse.
Zuletzt markierst Du den Punkt.

Jetzt kannst Du es probieren!

Aufgabe 1

Zeichne den Punkt \(P(3|2)\) ins zweidimensionale kartesische Koordinatensystem ein.

Lösung

Zuerst gehst Du entlang der \(x\)-Achse zur dritten Skalierung, aufgrund des x-Wertes \(x=3\).

Koordinatensystem Punkt einzeichnen StudySmarter Abb. 3: Punkt ins Koordinatensystem einzeichnen

Gleich danach gehst Du zwei Einheiten nach oben, wie der \(y\)-Wert \(y=2\) angibt und zeichnest den Punkt \(P\) an dieser Stelle ein.

Koordinatensystem Punkt einzeichnen StudySmarter Abb. 4: Punkt ins Koordinatensystem eintragen

Nun hast Du einen eingezeichneten Punkt \(P\).

Und was ist, wenn Du in deinem Punkt eine negative Koordinate hast?

Koordinatensystem x-y

Wenn Du eine negative Koordinate in ein Koordinatensystem einzeichnen musst, dann benötigst Du auch den negativen Bereich des Koordinatensystems.

Wie sieht das Koordinatensystem dann aus?

Ein zweidimensionales kartesisches Koordinatensystem hat zwei Achsen.

Die waagerechte Achse ist die \( {\color{#1478c8}x}\) -Achse, und die senkrechte Achse ist die \({\color{#00dcb4}y}\) -Achse.

Der Punkt \( {\color{#fa3273}O(0|0)} \) ist der Ursprung des Koordinatensystems und der Schnittpunkt beider Koordinatenachsen.

Die durchgehenden grauen Linien sind das Koordinatengitter, welches das Einzeichnen, von Punkten erleichtert.

Koordinatensystem Achsen StudySmarter Abb. 5: Koordinatensystem Achsen

Neben den Achsen hat das Koordinatensystem vier Quadranten, welche im oberen rechten Quadranten anfangen und gegen den Uhrzeigersinn gehen.

Koordinatensystem Quadranten StudySmarter Abb. 6: Koordinatensystem Quadranten

Anhand der Vorzeichen eines Punktes, kann abgelesen werden, in welchem Quadranten der Punkt \( P\) liegt.

Quadrant	Vorzeichen \(x\)	Vorzeichen \(y\)
1. Quadrant	\(+\)	\(+\)
2. Quadrant	\(-\)	\(+\)
3. Quadrant	\(-\)	\(-\)
4. Quadrant	\(+\)	\(-\)

Aber wie genau trägst Du dann einen Punkt \(P\) ins Koordinatensystem ein?

Koordinatensystem zeichnen - Koordinatensystem Beschriftung

Bevor Du ein Punkt ins Koordinatensystem eintragen kannst, musst Du es erstmal zeichnen. Ein Koordinatensystem kannst Du auch zeichnen. Dafür musst Du folgende Schritte befolgen:

Achsen zeichnen in beliebiger Länge.
Achsen skalieren.
Achsen beschriften mit Zahlen und Buchstaben.

Nun siehst Du diesem Vorgang anhand eines Beispiels.

Zuerst zeichnest Du die Achsen in beliebiger Länge und skalierst diese in diesem Fall mit \( 1\, cm \) Abständen.

Koordinatensystem zeichnen StudySmarter Abb. 7: Koordinatensystem zeichnen

Nach dem Skalieren beschriftest Du die Achsen mit den Buchstaben \(x\) und \(y\).

Koordinatensystem zeichnen StudySmarter Abb. 8: Koordinatensystem zeichnen

Jetzt hast Du ein vollständiges Koordinatensystem, in welches Du Punkte, und Funktionen einzeichnen kannst.

Koordinatensystem - Punkte eintragen

Punkte ins zweidimensionale Koordinatensystem trägst Du folgendermaßen ein:

Zuerst schaust Du Dir den \(x\)-Wert an und gehst auf der \(x\)-Achse zu dem Punkt.
Danach schaust Du Dir den \(y\)-Wert an und gehst auf der \(x\)-Achse vom \(x\)-Wert aus dem Abstand entlang der \(y\)-Achse und markierst den Punkt.

Nun bist Du an der Reihe!

Aufgabe 2

Zeichne den Punkt \(P(-3|4)\) ins Koordinatensystem ein.

Lösung

Der \(x\)-Wert des Punktes \(P\) ist \(x=-3\). Also gehst Du entlang der x-Achse zur dritten Skalierung, aufgrund des \(x\)-Wertes.

Koordinatensystem Punkt einzeichnen StudySmarter Abb. 9: Punkt ins Koordinatensystem eintragen

Gleich danach gehst Du vier Einheiten nach oben, wie der \(y\)-Wert \(y=4\) angibt und zeichnest den Punkt \(P\) an dieser Stelle ein.

Koordinatensystem Punkt einzeichnen StudySmarter Abb. 10: Punkt ins Koordinatensystem eintragen

Nun hast Du den Punkt \(P(3|-4)\) eingezeichnet.

Räumliches Koordinatensystem x-y-z

Neben dem zweidimensionalen Koordinatensystem gibt es ebenfalls das dreidimensionale Koordinatensystem für zum Beispiel die Vektorgeometrie.

Das dreidimensionale Koordinatensystem hat drei Achsen, die \( {\color{#1478c8}x}\) -Achse , \({\color{#00dcb4}y}\) -Achse und \( {\color{#fa3273}z}\) -Achse. Der Schnittpunkt all dieser Achsen ist der Ursprung des Koordinatensystems, nämlich der Punkt \(P(0|0|0)\).

koordinatensystem Räumliches Koordinatensystem StudySmarter Abb. 11: Räumliches Koordinatensystem

Koordinatensystem – Übung

Aufgabe 3

Trage den Punkt \(P(5|6)\) ins Koordinatensystem ein.

Lösung

Zuerst gehst Du entlang der \(x-Achse\) zur fünften Skalierung, aufgrund des \(x\)-Wertes \(x=5\).

Koordinatensystem Punkt einzeichnen StudySmarter Abb. 12: Punkt ins Koordinatensystem einzeichnen

Gleich danach gehst Du zwei Einheiten nach oben, wie der \(y\)-Wert \(y=6\) angibt und zeichnest den Punkt \(P\) an dieser Stelle ein.

Koordinatensystem Punkt einzeichnen StudySmarter Abb. 13: Punkt ins Koordinatensystem einzeichnen

Nun hast Du einen eingezeichneten Punkt \(P\).

Jetzt hast Du das ganze Wissen auf einen Blick!

Koordinatensystem – Das Wichtigste

Ein kartesisches Koordinatensystem sind zwei orthogonale Geraden, als Koordinatenachsen \(x\) und \(y\), welche den gleichen konstanten Abstand haben. Wenn das Koordinatensystem im Raum ist, hat es drei Achsen \(x,\, y\) und \(z\).
Ein Koordinatensystem kann im zwei- und dreidimensionalen Raum sein.
Das dreidimensionale Koordinatensystem hat drei Achsen, die \(x\)-Achse, \(y\)-Achse und \(z\)-Achse.
Der Schnittpunkt aller Achsen ist der Ursprung bei dem Punkt \(P(0|0)\).
Das zweidimensionale Koordinatensystem hat vier Quadranten.
Einen Punkt \(P\) zeichnest Du ins Koordinatensystem ein, in dem Du auf der \(x\)-Achse zum \(x\)-Wert gehst und den \(y\)-Wert entlang der \(y\)-Achse von dem Punkt aus gehst. Dann markierst Du den Punkt.

Nachweise

Dürrschnabel (2019): Orientierung im zweidimensionalen Koordinatensystem. In: So viel Mathe muss sein!. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg.
Beetz (2015): Funktionen für Höhlenmenschen oder andere Anfänger. Springer Spektrum. Wiesbaden

Häufig gestellte Fragen zum Thema Koordinatensystem

Zuerst zeichnest Du die Achsen in beliebiger Länge und skalierst diese. Dann beschriftest Du die Achsen mit Zahlen und Buchstaben.

Ein Koordinatensystem brauchst Du um Punkte, Funktionen und geometrische Figuren einzuzeichnen

Zuerst schaust Du Dir den \(x\)-Wert des Punktes \(P\) an und gehst auf der \(x\)-Achse zu dem Punkt. Danach schaust Du Dir den \(y\)-Wert der Punktes \(P\) an und gehst auf der \(x\)-Achse vom \(x\)-Wert aus den Abstand entlang der \(y\)-Achse. Zuletzt markierst Du den Punkt.

Koordinaten werden in einem Punkt angegeben und zuerst wird der x-Wert und dann der y-Wert gegeben.

Karteikarten in Koordinatensystem17 Lerne jetzt

Erkläre, was das kartesische Koordinatensystem ist.

Ein kartesisches Koordinatensystem sind zwei orthogonale Geraden, als Koordinatenachsen \(x\) und \(y\), welche den gleichen konstanten Abstand haben. Wenn das Koordinatensystem im Raum ist, hat es drei Achsen \(x,\, y\) und \(z\).

Nenne, in welchen Formen es das kartesische Koordinatensystem gibt.

Das kartesische Koordinatensystem gibt es in der zweidimensionalen Ebene.

Nenne, wo sich der Ursprung des Koordinatensystems befindet.

Der Ursprung des Koordinatensystems befindet sich in dem Schnittpunkt der Achsen, an dem Punkt \(P(0|0)\).

Nenne, wie viele Quadranten ein zweidimensionales Koordinatensystem hat

Zwei Quadranten

Erkläre, wie Du ein Koordinatensystem zeichnest.

Ein Koordinatensystem kannst Du auch zeichnen. Dafür musst Du folgende Schritte befolgen:

Achsen zeichnen in beliebiger Länge.
Achsen skalieren.
Achsen beschriften mit Zahlen und Buchstaben.

Was sind Polarkoordinaten und was macht sie besonders nützlich?

Polarkoordinaten sind ein Koordinatensystem, in dem ein Ort durch einen Radius und einen Winkel definiert wird. Sie sind besonders nützlich in wissenschaftlichen und mathematischen Anwendungen, wie Physik und Trigonometrie, wo Richtung und Länge wichtig sind.

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Koordinatensystem – Definition

Koordinatensystem – Erklärung

Positives Koordinatensystem - Punkte eintragen

Koordinatensystem x-y

Koordinatensystem zeichnen - Koordinatensystem Beschriftung

Koordinatensystem - Punkte eintragen

Räumliches Koordinatensystem x-y-z

Koordinatensystem – Übung

Koordinatensystem – Das Wichtigste

Nachweise

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Koordinatensystem

Wie zeichne ich ein Koordinatensystem?

Für was braucht man ein Koordinatensystem?

Wie trägst Du Punkte ins Koordinatensystem ein?

In welcher Reihenfolge werden Koordinaten angegeben?

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