Stell Dir vor, Du nimmst einen Schuhkarton in die Hand. Der Schuhkarton ist ein geometrischer Körper. Aber was macht den Schuhkarton zu einem geometrischen Körper?
Geometrischer Körper – Definition
Du kannst den Schuhkarton mit Deinen Händen berühren. Das ist aber noch nicht ausreichend, damit es sich um einen geometrischen Körper handelt. Wichtig ist: Der Schuhkarton hat einen Inhalt. Dazu müssen keine Schuhe im Karton sein. Es ist ausreichend, dass Luft im Schuhkarton sein kann. Mathematisch kannst Du sagen: "Der Schuhkarton ist dreidimensional".
Ein geometrischer Körper ist ein dreidimensionales Gebilde. Er hat einen Rauminhalt. Der geometrische Körper wird durch Flächen begrenzt.
Die Flächen, die den Körper begrenzen, können eben oder gekrümmt sein.
Auch ein Blatt Papier kannst Du in die Hand nehmen und es anfassen. Es ist aber kein geometrischer Körper, denn es hat keinen Inhalt und ist somit nicht dreidimensional.
Ein Saftpäckchen hingegen ist ein geometrischer Körper. Es ist dreidimensional. Sein Inhalt ist meistens Saft.
Aber auch zum Beispiel ein Buch kann ein geometrischer Körper sein.
Geometrische Körper Eigenschaften
Die Eigenschaften eines geometrischen Körpers sind zusammengefasst:
Der geometrische Körper ist dreidimensional.
Der geometrische Körper wird von Flächen begrenzt.
Der geometrische Körper besitzt Kanten (außer die Kugel).
Der geometrische Körper besitzt Ecken. Manche haben eine Spitze.
Die Kanten, Flächen, Ecken sowie die Spitze eines geometrischen Körpers kannst Du in Abbildung 1 erkennen.
Abbildung 1: Flächen, Ecken und Kanten eines geometrischen Körpers
Die einzelnen Flächen eines Körpers zusammen bilden seine Oberfläche. Du kannst die Größe der Oberfläche bestimmen. Sie wird Oberflächeninhalt genannt.
Die Oberfläche eines geometrischen Körpers setzt sich auf der Grund- bzw. Deckfläche und der Mantelfläche zusammen. Die Grundfläche ist der "Boden" des geometrischen Körper, die Deckfläche der "Deckel". Die Seitenflächen bilden den Mantel des Körpers.
Der Inhalt des geometrischen Körpers wird Volumen genannt. Auch das Volumen eines geometrischen Körpers kannst Du berechnen.
Je nach Anzahl und Formen der begrenzenden Flächen, Ecken und Kanten werden verschiedene Körper unterschieden.
Geometrische Körper – Übersicht & Namen mit Formeln
Hier findest Du eine Übersicht über die bekanntesten geometrischen Körper mit speziellen Namen: Quader, Würfel, Zylinder, Kegel, Pyramide, Prisma und Kugel. Wenn Du auf den Namen des Körpers klickst, öffnet sich eine Erklärung mit weiteren Informationen.
Für jeden geometrischen Körper gibt es eine Formel, mit der Du das Volumen \(V\) des Körpers bestimmen kannst. Dabei ist \(G\) stets die Grundfläche des Körpers und \(h\) die Höhe.
| Name | Erklärung | Bild | Formel Volumen |
| Quader | Der Schuhkarton aus dem Beispiel ist ein Quader. Er wird von sechs Rechtecken begrenzt, wobei gegenüberliegende Rechtecke kongruent sind. Jeder Quader hat sechs Flächen, zwölf Kanten und acht Ecken. |  Abbildung 2: Quader | $$V=G·h$$ oder $$V=l·b·h$$ mit l Länge und b Breite |
| Würfel | Sind alle Kanten eines Quaders gleich lang, handelt es sich um einen Würfel. Jeder Würfel ist auch ein Quader. Deswegen hat auch jeder Würfel sechs Flächen, zwölf Kanten und acht Ecken. |  Abbildung 3: Würfel
| $$V=a^3$$mit a Länge einer Kante |
Zylinder | Ein Zylinder ist ein geometrischer Körper mit kongruenten, parallelen Kreisen als Grund- und Deckfläche. Ein Zylinder besteht aus drei Flächen und zwei Kanten. Er besitzt keine Ecken. Die Mantelfläche ist gekrümmt. |  Abbildung 4: Zylinder
| $$V=G·h$$$$G=\pi·r^2$$ |
| Kegel | Ein Kegel besteht aus einer kreisförmigen Grundfläche und einer Spitze. Der Kegel hat zwei Flächen und eine Kante. |  Abbildung 5: Kegel
| $$V=\frac{1}{3}·G·h$$$$G=\pi·r^2$$ |
Pyramide | Ein geometrischer Körper mit einem n-Eck als Grundfläche, Dreiecken als Seitenflächen und einer Spitze heißt Pyramide. Die Anzahl an Ecken, Kanten und Flächen einer Pyramide ist von der Grundfläche abhängig. |  Abbildung 6: Pyramide
| $$V=\frac{1}{3}·G·h$$ |
Prisma | Ein Prisma hat kongruente, parallele Grund- und Deckflächen. Die Seitenflächen sind Rechtecke. Auch Quader, Würfel und Zylinder sind Prismen. Prismen können ganz unterschiedlich aussehen, je nach Anzahl und Formen von Ecken, Kanten und Flächen. |  Abbildung 7: Prisma
| $$V=G·h$$ |
| Kugel | Eine Kugel ist ein völlig runder geometrischer Körper. Alle Punkte auf der Kugel haben denselben Abstand zum Mittelpunkt. |  Abbildung 8: Kugel
| $$V=\frac{4}{3}·\pi ·r^3$$ |
Vergiss nicht, die Erklärungen zu den einzelnen geometrischen Körpern durch Klicken zu öffnen, wenn Du mehr wissen möchtest.
Zusammengesetze Körper
Es gibt auch Körper, die aus mehreren geometrischen Körpern zusammengesetzt sind.
Zusammengesetzte Körper sind zwei oder mehrere geometrische Körper, die miteinander verbunden sind. Diese Körper bilden einen Gesamtkörper.
Durch das Zusammensetzen der Körper ändern sich die Formen. Auch die Anzahl an Ecken, Kanten und Flächen ist nun anders.
In Abbildung 9 wurde aus einem Zylinder und einer Kugel ein zusammengesetzter Körper.
Abbildung 9: Zusammengesetzer Körper
Sieh Dir die Erklärung "Zusammengesetze Körper" an, wenn Du mehr wissen möchtest.
Geometrische Körper zeichnen – Darstellungen
Bestimmt hast Du schon einmal versucht, einen geometrischen Körper auf ein Blatt Papier zu zeichnen. Der geometrische Körper ist dreidimensional. Du kannst ihn umfassen. Das Blatt Papier hingegen ist nur zweidimensional. Es hat keinen Rauminhalt. Der Trick ist nun, den Körper auf dem Papier so aussehen zu lassen, als wäre er dreidimensional.
Schrägbild
Eine Möglichkeit, einen geometrischen Körper darzustellen, ist das Schrägbild.
Ein Schrägbild eines geometrischen Körpers ist eine dreidimensional wirkende Darstellung des Körpers auf einer ebenen, zweidimensionalen Fläche. Die Vorderansicht bleibt unverändert, während die Seiten- und Deckflächen verkürzt gezeichnet werden.
Die Bilder zu den einzelnen Körpern in der Tabelle sind Schrägbilder.
In der Erklärung "Schrägbild" findest Du eine ausführliche Beschreibung und Anleitungen zum Zeichnen.
Körpernetz
Du kannst von einem geometrischen Körper auch ein Körpernetz zeichnen. Stell Dir dazu vor, dass Du den geometrischen Körper aufschneidest und auseinanderklappst. In Abbildung 9 siehst Du ein Körpernetz eines Würfels, auch Würfelnetz genannt. Im Körpernetz eines geometrischen Körpers kannst Du die Formen der Flächen erkennen.
Abbildung 10: ein Körpernetz eines Würfels
Unter "Körpernetze" findest Du eine ausführliche Erklärung. Klicke einfach auf den Namen.
Du kannst auch die Erklärung "Darstellung von Körpern" öffnen, um einen ausführlicheren Überblick über die Darstellungen zu erhalten.
Geometrische Körper in der Umwelt und im Alltag
Bestimmt sind Dir in Deinem Alltag und der Umwelt schon geometrische Körper begegnet. Überleg doch einmal, fällt Dir einer ein?
Zu Beginn hast Du bereits den Schuhkarton als geometrischen Körper kennengelernt. Er ist ein Quader.
Häufig sind Gegenstände in Deinem Alltag keine exakten geometrischen Körper. So wird ein Regal oder ein Kleiderschrank manchmal zu einem Quader, wenn Du die Abschlussseiten an den Kanten und die Griffe gedanklich weglässt.
Abbildung 11: Regal als Quader
Auch in Deiner Umwelt kannst Du geometrische Körper entdecken. Stell Dir zum Beispiel einen Baumstamm ohne Wurzel und Krone vor. Das könnte ein Zylinder sein.
Abbildung 12: Baumstämme als Zylinder
Auch hier ähnelt der Baumstamm nur einem Zylinder und ist nicht exakt einer. Denn vermutlich ist der Baum nicht komplett gerade gewachsen.
Hast Du Dir mal einen Spielwürfel genauer angesehen? Auf den ersten Blick scheint es, ein geometrischer Würfel zu sein. Das liegt beim Namen ja schon nahe. Aber sieh Dir einmal die Ecken an. Sie sind meist abgerundet. Dann ist auch ein Spielwürfel kein exakter geometrischer Würfel, sondern dem nur sehr ähnlich. Es gibt aber auch Spielwürfel mit Ecken.
Dies sind aber nur Beispiele für geometrische Körper in der Umwelt und dem Alltag. Es gibt noch viele weitere. Vielleicht hast Du ja Lust, in den nächsten Stunden nach geometrischen Körpern in Deiner Umgebung Ausschau zu halten?
Geometrische Flächen und Körper – Unterschied
Vermutlich hast Du neben dem Begriff "Körper" auch schon einmal von Flächen gehört. Auch in dieser Erklärung kamen Flächen unter den Eigenschaften von Körpern vor.
Eine Fläche ist im Unterschied zu einem Körper zweidimensional. Sie hat keinen Rauminhalt.
Aber ein geometrischer Körper besitzt Flächen. Sieh Dir noch einmal Abbildung 1 an. Die Seiten eines Körpers sind Flächen.
Merke Dir also: Eine Fläche ist zweidimensional, ein Körper dreidimensional.
Abbildung 13: Unterschied zwischen Körper und Fläche
Geometrische Körper – Aufgaben
Hier findest Du grundlegende Aufgaben zum Thema geometrische Körper. In den Erklärungen zu den einzelnen Körpern sind weitere Aufgaben vorhanden.
Aufgabe 1
Gib die Anzahl an Ecken, Kanten und Flächen von den folgenden Körpern an:
a) eines Quaders
b) eines Zylinders
Lösung
a) Jeder Quader besteht aus genau sechs Flächen. Sie sind alle Rechtecke. Die Anzahl an Ecken ist acht. Er hat zwölf Kanten.
b) Ein Zylinder besteht aus drei Flächen: Grundfläche, Deckfläche und Mantelfläche. Er hat zwei Kanten und keine Ecken.
Aufgabe 2
Gib den Namen des geometrischen Körpers in Abbildung 14 an und begründe Deine Entscheidung.
Abbildung 14: geometrischer Körper
Lösung
Der geometrische Körper in Abbildung 14 ist ein Prisma. Die Grundfläche und die Deckfläche (Boden und Deckel) sind kongruent und parallel. Dadurch sind alle Seitenflächen Rechtecke.
Bei einem Prisma ist die Form der Grund- und Deckfläche nicht von Bedeutung. Wichtig ist, dass sie identisch sind.
Geometrische Körper – Das Wichtigste
- Ein geometrischer Körper ist ein dreidimensionales Gebilde.
- Geometrische Körper haben einen Rauminhalt.
- Der geometrische Körper besitzt Flächen, Ecken und Kanten.
- Wichtige geometrische Körper sind:
- Kegel, Kugel, Prisma, Pyramide, Quader, Würfel, Zylinder
- Du kannst den geometrischen Körper als Schrägbild zeichnen.
Nachweise
- Becker et al. (2016). Formelsammlung bis zum Abitur - Mathematik - Physik - Astronomie - Chemie - Biologie - Informatik. Duden Schulbuchverlag.
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