Abstand paralleler Ebenen

Stell Dir vor Du bist in Deinem Zimmer und möchtest wissen, wie hoch dieser Raum ist. Dann misst Du vermutlich von einem beliebigen Punkt auf dem Fußboden senkrecht nach oben bis zur Decke. Das Messergebnis ist dann der Abstand vom Boden zur Decke.

Mathematisch kannst Du Dir nun vorstellen, dass der Fußboden in einer Ebene liegt. Parallel dazu liegt die Decke in einer zweiten Ebene. Dein gemessener Abstand ist genau der Abstand dieser parallelen Ebenen.

Jetzt ist es leider nicht möglich, immer den Abstand zwischen zwei Ebenen zum Beispiel mit einem Maßband auszumessen. Deswegen gibt es Rechenverfahren, mit denen Du den Abstand zwischen zwei parallelen Ebenen berechnen kannst.

Abstand paralleler Ebenen – Ebenengleichungen: Parameterform, Normalenform, Koordinatenform

Bevor Du mit den Rechenverfahren zur Abstandsberechnung starten kannst, solltest Du ein paar Grundbegriffe und Rechnungen kennen. Diese werden in diesem Abschnitt kurz wiederholt. Wenn Du dich hier schon gut auskennt, kannst Du auch gleich zum nächsten Abschnitt springen.

Aus Sicht der Mathematik ist eine Ebene eine gerade Fläche, die unbegrenzt ist. Eine Ebene ist durch drei Punkte eindeutig bestimmt. Stell Dir zum Beispiel ein Blatt Papier vor, das unendlich groß ist. Dann hast Du eine Ebene. Wenn Du jetzt drei Punkte des Blattes kennst, weißt Du genau, wie das unendliche Blatt im Raum liegt.

Angenommen eine Ebene geht durch die Punkte $A,B$ und $C$. Dann kannst Du mithilfe der Ortsvektoren dieser Punkte eine Ebenengleichung angeben. Dabei ist ein Ortsvektor der Stützvektor der Ebene. Mit den anderen Ortvektoren berechnest du die Richtungsvektoren und erhältst eine Ebenengleichung in Parameterform.

Wenn Du also drei Punkte einer Ebene hast, kannst du die Ebenengleichung in Parameterform berechnen.

Eventuell ist Dir bereits aufgefallen, dass die Ebenengleichungen nicht immer so aussehen wie in diesem Beispiel. Das liegt daran, dass es noch weitere Formen der Ebenengleichungen gibt.

Um den Abstand von parallelen Ebenen zu berechnen, benötigst Du auch die Normalenform sowie die Koordinatenform.

Um die Normalenform einer Ebene aufzustellen, berechnest Du einen Normalenvektor. Das ist ein Vektor der senkrecht zur Ebene steht. Dazu verwendest Du das Kreuzprodukt aus den beiden Richtungsvektoren.

Wenn du den Normalenvektor hast, kannst du die Ebenengleichung in Normalenform aufstellen.

Mit dieser Definition kannst Du nun eine Ebenengleichung für das Beispiel aufstellen.

Von der Normalenform einer Ebenengleichung kannst du durch Ausrechnen des Skalarprodukt die Koordinatenform einer Ebenengleichung erhalten.

Wie sieht also die Koordinatenform der Ebene aus dem Beispiel aus?

Diese Formen der Ebenengleichungen benötigst Du, um den Abstand zwischen parallelen Ebenen zu berechnen.

Abstand paralleler Ebenen – bestimmen

Aber wann sind Ebenen überhaupt parallel? Und wieso wird nur der Abstand von parallelen Ebenen berechnet?

Erinnere Dich an das Beispiel mit dem Fußboden und der Zimmerdecke aus dem Einstieg. Augenscheinlich kannst Du sagen, dass die Bodenebene und die Deckenebene parallel sind. Doch wie lässt sich das mathematisch überprüfen?

Um zu bestimmen, ob zwei Ebenen parallel sind, benötigst du die Ebenengleichungen am besten in Normalenform oder in Koordinatenform. Dann kannst Du den Normalenvektor direkt ablesen und überprüfen, ob sie kollinear, also voneinander abhängig, sind.

Du kannst also mithilfe der Normalenvektoren überprüfen, ob zwei Ebenen parallel sind.

Aber wieso jetzt eigentlich das Ganze?

Nur wenn zwei Ebenen parallel sind, ergibt es überhaupt Sinn, den Abstand der Ebenen zu berechnen.

Stell Dir vor Deine Zimmerdecke ist nicht parallel zu deinem Zimmerboden, zum Beispiel, weil Du eine Dachschräge hast. An welcher Stelle misst Du dann überhaupt den Abstand? Er wäre ja überall unterschiedlich. Du könntest dann nicht sagen: "Mein Zimmer ist 2,20 m hoch". Denn es ist ja überall unterschiedlich hoch.

Deswegen wird ein Abstand zwischen Ebenen nur dann berechnet, wenn die Ebenen parallel sind. Bevor Du also den Abstand zweier Ebenen berechnest, solltest Du die Lagebeziehung der Ebenen überprüfen.

Abstand paralleler Ebenen – Abstand zweier paralleler Ebenen berechnen

Benötigt wird jetzt ein Rechenweg, mit dem der Abstand zwischen zwei parallelen Ebenen berechnet werden kann.

In deinem Zimmer langt es dafür aus, von einem Punkt auf dem Boden senkrecht nach oben zu messen. Ähnlich ist es in der Mathematik.

Wichtig dabei zu verstehen ist, dass Du nicht zwei beliebige Punkte in den Ebenen wählen kannst und dann deren Abstand bestimmst. Das wäre so, als wenn du in deinem Zimmer nicht senkrecht nach oben misst, sondern quer zu irgendeinem anderen Punkt an der Decke.

Deswegen kannst du dir das "Messen" mathematisch so wie in Abbildung 2 vorstellen: Du wählst einen beliebigen Punkt $P_1$ in einer der Ebenen. Von diesem Punkt musst Du nun aber genau senkrecht zur anderen Ebene "messen". Da Du nicht einfach mit einem Geodreieck nachmessen kannst, muss dieser Abstand berechnet werden.

Es gibt zwei unterschiedliche Möglichkeiten diesen Abstand zu berechnen: mit der Hesseschen Normalform oder mit einer Hilfsgeraden

Abstand von Ebene zu Ebene mit der Hesseschen Normalform

Die Hessesche Normalform ist eine Sonderform der Ebenengleichungen. Der Normalenvektor wird normiert, das bedeutet, dass seine Länge 1 ist.

Du kannst die Hessesche Normalform analog zur Koordinatenform angegeben.

Du stellst die Hessesche Normalform also auf, indem du die Koordinatengleichung einer Ebene $E$ durch die Länge des Normalenvektors $\overrightarrow{n}$ der Ebene teilst. In diese Hessesche Normalform kannst Du jetzt einen beliebigen Punkt der anderen Ebene einsetzen und erhältst als Ergebnis den Abstand der Ebenen. Beachte dabei aber, dass der Abstand stets positiv ist und deswegen der Zähler Betragsstriche bekommt.

Abstand paralleler Ebenen berechnen mit Formel aus Koordinatenform

Zusammengefasst berechnest Du den Abstand zweier paralleler Ebenen mit der Hesseschen Normalform so:

1. Länge des Normalenvektors $\overrightarrow{n}$ der ersten Ebene berechnen.

2. Hessesche Normalenform dieser Ebene aufstellen, indem du die Koordinatenform nach 0 auflöst und durch die Länge des Normalenvektors teilst

3. Punkt $P\left(x_1\right|x_2\left|x_3\right)$ aus der zweiten Ebene bestimmen.

4. Diesen Punkt in die Hessesche Normalenform einsetzen:

Hessesche Normalform aus Normalenform

Eigentlich ist die Hessesche Normalform, wie es der Name schon vermuten lässt, eine Sonderform der Normalenform. Du kannst sie deswegen auch mithilfe der Normalenform aufstellen. Auch hier teilst Du die Normalform durch die Länge des Normalenvektors und es ist:

$HNFE:[\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}]\circ \frac{\overrightarrow{n}}{\left|\begin{array}{c}\overrightarrow{n}\end{array}\right|}=0$

Lass Dich also nicht verwirren, wenn du die eine oder die andere Darstellung aus der Schule kennst. Du kannst die Hessesche Normalform sowohl aus der Koordinatenform als auch aus der Normalform aufstellen. Beide Möglichkeiten sind richtig. Welche Du wählst kann auch davon abhängen, in welcher Form die Ebenengleichung gegeben ist.

Wenn die Ebene in Normalform gegeben ist, bietet es sich an, auch mit dieser die Hessesche Normalform aufzustellen.

Punkt aus Ebenengleichung bestimmen

Um den Abstand zweier paralleler Ebene mit der Hesseschen Normalenform zu berechnen, setzt Du einen Punkt aus der zweiten Ebene ein. Wenn diese Ebene in Normalform oder Parameterform angegeben ist, kannst Du den Punkt aus der Ebenengleichung ablesen. Ist die Ebene aber in Koordinatenform gegeben, bestimmst Du zuerst einen Punkt, der in der Ebene liegt.

Abstand Ebene zu Ebene berechnen mit einer Hilfsgeraden mit Lotfußpunkt

Es gibt noch eine zweite Möglichkeit, um den Abstand von parallelen Ebenen zu bestimmen. Diese verwendet nicht die Hessesche Normalform, sondern eine Hilfsgerade mit Lotfußpunkt.

Gegeben sind zwei parallele Ebenen $E_1,E_2$. Um den Abstand dieser Ebenen zu berechnen, stellst Du eine Hilfsgerade auf, die senkrecht zu den Ebenen steht. Dazu verwendest du den Normalenvektor $\overrightarrow{n_1}$ der Ebene $E_1$. Aus der anderen Ebene $E_2$ wählst du einen Punkt $P_2$ und verwendest diesen als Stützpunkt der Hilfsgeraden. Die Gerade verläuft dann also senkrecht zur Ebene und durch diesen Punkt. Deswegen wird dieser Punkt auch Lotfußpunkt genannt. Die Gerade durch den Punkt $P_2$ kannst du in Abbildung 3 finden.

Die Geradengleichung der Hilfsgeraden ist:

$g:\hspace{0.17em}\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p_2}+r·\overrightarrow{n_1}$

Abbildung 5: Hilfsgerade g durch den Punkt P₂ senkrecht zu den parallelen Ebenen

Wenn Du die Hilfsgerade aufgestellt hast, berechnest Du als nächstes den Schnittpunkt dieser Hilfsgeraden mit der Ebene $E_1$ (also mit der Ebene, die nicht den Stützpunkt der Geraden enthält).

Gesucht ist jetzt also der Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene. Dazu berechnest Du zuerst die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Hilfsgeraden, indem du die einzelnen Zeilen der Geradengleichung ausrechnest.

$g:\hspace{0.17em}\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}{p}_{2_1}\\ p_{2_2}\\ p_{2_3}\end{array}\right)+r·\left(\begin{array}{c}{n}_{1_1}\\ n_{1_2}\\ n_{1_3}\end{array}\right)$

Dann ist $x_1={p_2}_1+r·{n_1}_1$, $x_2={p_2}_2+r·{n_1}_2$, $x_3=p_{2_3}+r·n_{1_3}$. Lass dich nicht von den viele Indizes verwirren. Das sieht nur so aus, da die Vektoren selber schon Indizes hatten. Aus der Schule kennst du es vielleicht mit anderen Beschriftungen.

Diese Werte für $x_1,x_2,x_3$ setzt Du nun in die Ebenengleichung der Ebene $E_1$ ein. Am einfachsten ist dies, wenn Du die Ebenengleichung in Koordinatenform hast. Dann erhältst du die Gleichung:

$a·({p_2}_1+r·{n_1}_1)+b·({p_2}_2+r·{n_1}_2)+c·({p_2}_3+r·{n_1}_3)+d=0$

Die Gleichung vereinfachst Du und löst nach $r$ auf. Dann setzt Du den Wert für $r$ in die Geradengleichung ein und berechnest den Schnittpunkt $S$.

Jetzt kennst Du den Schnittpunkt $S$ der Hilfsgeraden $g$ mit der Ebene $E_1$ und den Lotfußpunkt $P_2$ der Geraden $g$ in $E_2$.

Als letzten Schritt berechnest Du den Abstand der Punkte $S$ und $P_2$. Der Abstand dieser Punkte entspricht genau dem Abstand der beiden Ebenen.

$d_{E_1,E_2}=d_{S,P_2}=\left|\overrightarrow{SP}\right|$

Zusammengefasst kannst Du so vorgehen, um den Abstand zweier paralleler Geraden mit einer Hilfsgeraden mit Lotfußpunkt zu bestimmen:

1. Hilfsgerade $g$ senkrecht zur Ebene (Normalenvektor als Richtungsvektor) und durch Lotfußpunkt $P$ in $E_2$aufstellen
2. Schnittpunkt $S$ der Geraden mit der Ebene $E_1$ berechnen
3. Abstand der Punkte $P,S$ bestimmen

Jetzt kennst Du zwei Möglichkeiten, um den Abstand paralleler Ebenen zu berechnen. Ob Du die Hessesche Normalform oder die Hilfsgerade verwendest, hängt zum einen davon ab, welchen Weg Du lieber magst, zum anderen aber auch davon, ob die Aufgaben einen Weg vorgibt. Wenn kein Weg vorgegeben ist, kannst Du das wählen, was Dir leichter erscheint.

Abstand paralleler Ebenen – Aufgaben mit Lösungen

Mit diesen Aufgaben kannst Du üben, den Abstand zwischen parallelen Ebenen zu berechnen.