Winkelhalbierende

Stochastik

INHALTSANGABE :

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Rechts oder links lang? Warum nicht einfach durch die Mitte?

Und der Weg, der zwischen zwei Schenkeln genau der mittlere ist, heißt Winkelhalbierende.

Wie Du diese konstruierst und was sie für Eigenschaften hat, kannst Du in dieser Erklärung nachlesen.

Winkelhalbierende Definition

Die Winkelhalbierende ist genauso wie die Kreislinie, die Mittelsenkrechte, ein Parallelenpaar und die Mittelparallele ein geometrischer Ort.

Zur Erinnerung: Ein geometrischer Ort ist eine Menge von Punkten, die eine gewisse Bedingung erfüllen.

Die Winkelhalbierende halbiert gemäß ihres Namens einen Winkel in zwei gleich große – also kongruente – Winkel.

Etwas formaler kann man die Winkelhalbierende wie folgt definieren:

Die Winkelhalbierende \( w_\alpha \) ist diejenige Gerade zum Winkel \( \alpha \), die durch den Scheitelpunkt S des Winkels geht und diesen in zwei kongruente Winkelfelder - also in zwei gleich große Winkel - teilt.

Beide dabei entstehende Winkel entsprechen dem Wert \(\frac {\alpha}{2}\).

Winkelhalbierende Geraden mit Winkelhalbierender StudySmarter

Abb.1: Geraden g und h mit Winkelhalbierender \( w_\alpha \)

Winkelhalbierende Eigenschaften

Insgesamt gibt es vier verschiedene Eigenschaften, die eine Winkelhalbierende als geometrisches Objekt definieren.

Winkelhalbierende sind Geraden

Winkelhalbierende sind Geraden, haben also keinen Anfangspunkt und keinen Endpunkt. Häufig werden Winkelhalbierende als Halbgeraden oder sogar als Strecken gezeichnet. Der Übersicht halber ist das in Ordnung, Du solltest aber wissen, dass es sich eigentlich um Geraden handelt!

Die Winkelhalbierende als Symmetrieachse des Winkels

Da die Winkelhalbierende einen Winkel in zwei exakt gleich große Winkel teilt, ist sie die Symmetrieachse des Winkels.

Es ist also möglich, den geteilten Winkel durch eine Spiegelung an der Achse auf die andere Seite zu projizieren.

Abstand eines Punktes auf der Winkelhalbierenden und den Schenkeln des Winkels

Liegt ein Punkt P auf der Winkelhalbierenden, so ist sein Abstand zu beiden Schenkeln (g und h) des Winkels \( \alpha \) gleich groß.

Winkelhalbierende, Winkelhalbierende Gerade mit WInkelhalbierender und Abstände StudySmarter

Abb.2: Geraden mit Winkelhalbierender und Abstände

Zur Erinnerung: Der Abstand wird immer mithilfe eines Lotes ermittelt.

Diese Eigenschaft kann man auch andersherum formulieren: hat ein Punkt P denselben Abstand zu den Schenkeln eines Winkels, dann liegt er auf der Winkelhalbierenden.

Auf der Winkelhalbierenden liegen also alle Punkte, die zu beiden Schenkeln des Winkels den gleichen Abstand haben.

Abstand eines Punktes auf dem Schenkel des Winkels und der Winkelhalbierenden

Daraus ergibt sich noch eine weitere Eigenschaft: zu jedem Punkt E auf dem Schenkel g des Winkels gibt es einen Punkt F auf dem anderen Schenkel h des Winkels, der denselben Abstand zur Winkelhalbierenden hat.

Winkelhalbierende, Winkelhalbierende Geraden mit Winkelhalbierende und Abstände StudySmarter

Abb.3: Geraden mit Winkelhalbierende und Abstände

Hier wird auch der Abstand ermittelt, das Lot aber auf den jeweiligen Schenkel gefällt.

Winkelhalbierende konstruieren

Wenn Du ohne Länge oder Winkel nachzumessen, konkret nachzumessen, also nur mit Zirkel und Lineal die Winkelhalbierende konstruieren möchtest, dann lernst Du in diesem Kapitel, wie das geht.

Winkelhalbierende Dreieck

Im Dreieck können mindestens zwei Winkelhalbierende interessante Eigenschaften sichtbar machen. Dafür musst Du sie nur für den Winkel jeder Ecke konstruieren.

Winkelhalbierende Dreieck Schnittpunkt

In diesem Bild siehst Du die Winkelhalbierenden eines Dreiecks (Winkelhalbierende sind ja Geraden, haben also eigentlich keinen Anfangspunkt und keinen Endpunkt!). Alle drei gelben Winkelhalbierenden schneiden sich immer im gleichen Punkt. Hier ist dieser Schnittpunkt violett markiert.

Zur Erinnerung: An jedem Eckpunkt des Dreiecks befindet sich der zugehörige Innenwinkel: \( A(\alpha), B(\beta),C(\gamma) \) 6.

Winkelhalbierende Winkelhalbierende eines Dreiecks StudySmarter Abb.4: Winkelhalbierende in einem Dreieck

Allein diese Eigenschaft der Winkelhalbierenden ist faszinierend. Und es kommt noch mehr! Der Schnittpunkt dieser drei Ortslinien, der im Folgenden S genannt wird, hat auch eine wichtige Eigenschaft: Er ist der Mittelpunkt des Inkreises!

Winkelhalbierende - Das Wichtigste

Die Winkelhalbierende ist diejenige Gerade zum Winkel, die durch den Scheitel S des Winkels geht und diesen in zwei kongruente Winkelfelder teilt.
Die Winkelhalbierende eines Winkels ist die Symmetrieachse des Winkels.
Auf der Winkelhalbierenden liegen alle Punkte, die zu beiden Schenkeln des Winkels den gleichen Abstand haben.
Zu jedem Punkt auf dem einen Schenkel des Winkels gibt es einen Punkt auf dem anderen Schenkel des Winkels, der denselben Abstand zur Winkelhalbierenden hat.
In jedem Dreieck schneiden sich die Winkelhalbierenden der Innenwinkel in einem Punkt, der der Mittelpunkt des Inkreises ist.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Winkelhalbierende

Eine Winkelhalbierende ist eine Gerade, die durch den Scheitel eines Winkels verläuft und den Winkel in zwei gleich große Winkel teilt.

Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden im Dreieck ist zum Beispiel der Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks. Möchtest du den Inkreis konstruieren, dann brauchst du die Winkelhalbierende.

Möchtest du bestimmte Winkel konstruieren, also mit Zirkel und ohne Geodreieck, dann brauchst du die Winkelhalbierende auch.

Zunächst teilt die Winkelhalbierende eines Innenwinkels des Dreiecks diesen Winkel in zwei gleichgroße Winkel.

Außerdem ist jede Winkelhalbierende in einem gleichseitigen Dreieck eine Symmetrieachse.

Die drei Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt. Dieser ist der Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks.

Die Winkelhalbierende eines Innenwinkels teilt zudem die gegenüberliegende Seite des Dreiecks im Verhältnis der beiden anliegenden Seiten.

Die Winkelhalbierende kann man konstruieren. Dafür sticht man zuerst mit dem Zirkel in den Scheitels des Winkels ein und markiert mit demselben Radius jeweils einen Punkt auf den beiden Schenkeln des Winkels. Dann sticht man mit dem Zirkel zuerst in den Punkt auf dem einen Schenkel und zeichnet im inneren des Winkelfelds einen Halbkreis, dann sticht man in den Punkt auf dem anderen Schenkel und zeichnet mit demselben Radius ebenfalls einen solchen Halbkreis. Die beiden Halbkreise sollten sich in zwei Punkten schneiden (ist das nicht der Fall, war der Radius zu klein gewählt). Wenn diese beiden Punkte nun mit dem Scheitel des Winkels verbunden werden, ist die Winkelhalbierende fertig.

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Welche Aussage trifft zu?

Die Winkelhalbierende ist...

...eine Gerade

Bei welcher der folgenden Vierecksarten schneiden sich die vier Winkelhalbierenden in einem Punkt?

Quadrat

Überlege, welche Eigenschaften der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden im Quadrat hat.

er liegt auf allen vier Winkelhalbierenden
er hat denselben Abstand zu den Seiten des Quadrats
dadurch ist er Mittelpunkt des Inkreises des Quadrats
er hat zudem denselben Abstand zu den Eckpunkten des Quadrats
dadurch ist er auch Mittelpunkt des Umkreises des Quadrats
im Übrigen schneiden sich die Winkelhalbierenden senkrecht, also im rechten Winkel!

Nenne den passenden Begriff für die folgende Lücke:

„In einem Dreieck können bei den drei Innenwinkeln drei Winkelhalbierende gezogen werden.

Der Schnittpunkt der Linien ist der Mittelpunkt des .........................“

Inkreises

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