Wechselwinkel

Winkel spielen in der Geometrie eine große Rolle. Oft wirst Du Winkel messen sollen und das möglichst genau. Damit Du nicht immer alle Winkel messen musst, gibt es ein paar Zusammenhänge zwischen den einzelnen Winkeln, der Nebenwinkel und der Scheitelwinkel zum Beispiel. Aber auch der Wechselwinkel, um welchen es hier gehen soll, kann helfen, Winkel nur einmal messen zu müssen.

Wechselwinkel – Paare & Grundlagenwissen

Es gibt vier für Dich wichtige Winkelsätze. Diese bauen teilweise aufeinander auf und werden auch in anderen Bereichen der Geometrie häufig gebraucht.

Besonders wichtig sind die Sätze des Nebenwinkels und Scheitelwinkels. Auf diesen beiden Sätzen bauen der Wechselwinkel und Stufenwinkel auf.

Nebenwinkelsatz

Zwei Winkel sind Nebenwinkel voneinander, wenn sie an einer Geradenkreuzung nebeneinander liegen.

Die beiden Geraden schneiden sich und es entstehen vier Winkelfelder. Die beiden Winkel $\alpha$ und $\beta$ sowie $\gamma$ und $\delta$bilden zusammen Winkelpaare, welche 180° ergeben. Auch $\alpha$ und $\delta$ sowie $\beta$ und $\gamma$ bilden Winkelpaare, welche zusammen 180° ergeben.

Abbildung 1: Nebenwinkel

Scheitelwinkelsatz

Zwei Winkel sind Scheitelwinkel, wenn sie an einer Geradenkreuzung gegenüber voneinander liegen.

Die beiden Geraden schneiden sich und es entstehen vier Winkelfelder. Die beiden Winkel $\alpha$ und $\gamma$ sind gleich groß. Auch $\beta$ und $\delta$ sind gleich groß.

Abbildung 2: Scheitelwinkel

Stufenwinkelsatz

Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind immer gleich groß.

Abbildung 3: Stufenwinkel

Du kannst Dir das auch so vorstellen, als würden die Geraden mit den Winkeln den Buchstaben F bilden. Die Stufenwinkel sind dann jeweils an den Schnittpunkten der Striche. Aufgrund dessen werden Stufenwinkel manchmal auch als "F-Winkel" bezeichnet.

Abbildung 4: F-Winkel

Wechselwinkelsatz – Definition & Beispiel

In den Winkelsätzen vom Scheitelwinkel und Nebenwinkel schneiden sich zwei Geraden. Dagegen werden beim Stufenwinkel zwei parallele Geraden von einer dritten Geraden geschnitten. Auch beim Wechselwinkel geht es um parallele Geraden, die von einer Dritten geschnitten werden.

Anschaulich kannst Du Dir das auch vorstellen, als würden die Geraden zusammen ein Z bilden. Die Wechselwinkel liegen dann genau in den Nischen des Z. Deshalb werden sie auch manchmal "Z-Winkel" genannt.

Abbildung 5: Z-Winkel

Die Voraussetzung in dieser Definition ist es, dass die Geraden parallel sind. Hier kannst Du auch die Umkehrung des Satzes anwenden.

Abbildung 6: Wechselwinkel

Nur bei Parallelen darfst Du den Wechselwinkelsatz anwenden.

Abbildung 8: alle Wechselwinkel

Anwendung Wechselwinkel – Parallelogramm

Wechselwinkel findest Du auch in vielen geometrischen Figuren. Über die Winkelsätze lassen sich dort bestimmte Eigenschaften der Winkel beweisen, so auch beim Parallelogramm.

Zusammenhang zwischen Stufen- und Wechselwinkel

Der Wechselwinkelsatz und der Stufenwinkelsatz haben die Gemeinsamkeit, dass sie beide an parallelen Geraden liegen. Durch diesen Zusammenhang kannst Du den Wechselwinkelsatz mithilfe des Stufenwinkelsatzes herleiten.

Dafür nimmst Du als Grundlage den Stufenwinkel. Für diesen gilt $\alpha =\alpha \text{'}$, wenn g und h parallel sind.

Abbildung 12: Wechselwinkelsatz Herleitung

Der Wechselwinkel von $\alpha$ ist der Scheitelwinkel von $\alpha \text{'}$. Dementsprechend wendest Du den Scheitelwinkelsatz auf $\alpha \text{'}$ an und erhältst $\alpha \text{'}\text{'}$. Dieser ist genauso groß wie $\alpha \text{'}$ und demzufolge auch wie $\alpha$. Für die Schlussfolgerung bedeutet dies, dass der Wechselwinkel an parallelen Geraden gleich groß sein muss mit dem Ausgangswinkel $\alpha$.

Abbildung 13: Wechselwinkelsatz Herleitung

Wechselwinkel berechnen – Aufgaben zum Üben

In den folgenden Aufgaben kannst Du Dein eben erlerntes Wissen testen.