Unregelmäßiges Dreieck

Stochastik

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Ein Dreieck ist eine geschlossene Figur in der Geometrie, die drei Seiten, drei Winkel und drei Ecken aufweist und daher den Namen Dreieck trägt.

Unregelmäßiges Dreieck – Grundlagenwissen

Unregelmäßiges Dreieck Allgemeines Dreieck StudySmarter Abbildung 1: Das allgemeine Dreieck

Solltest du bei Hausübungen ein Dreieck zeichnen müssen, dann musst du dich bei der Beschriftung an folgende wichtige Regeln halten:

Die Eckpunkte werden entgegen dem Uhrzeigersinn mit Großbuchstaben (beginnend bei A in der linken Ecke) beschriftet.
Die Seiten des Dreiecks werden wie ihr gegenüberliegender Eckpunkt bezeichnet, jedoch als Kleinbuchstaben.
- Die Seite a befindet sich somit, wie in Abbildung 1 dargestellt, gegenüber vom Eckpunkt A.
Die Winkel werden wie die Eckpunkte entgegen dem Uhrzeigersinn beschriftet, jedoch mit griechischen Buchstaben aus dem griechischen Alphabet, beginnend bei Alpha. Das heißt, der Winkel Alpha ist dort, wo der Eckpunkt A ist.

Hier findest du eine kurze Übersicht über die Zusammenhänge der Bezeichnung der Eckpunkte, der Seiten und deren Winkel:

Eckpunkte	Winkel	Seiten
A	$α$	a
B	$β$	b
C	$γ$	c

Die drei Winkel ergeben zusammen im Dreieck immer eine Summe von $180 °$ . Dies wird auch als Winkelsumme bezeichnet.

Im nächsten Unterpunkt erfährst du alles Wissenswerte über die verschiedenen Dreiecksarten.

Dreiecksarten

Die folgende Übersicht wird dir helfen, in Zukunft jedes Dreieck seiner Art perfekt zuordnen zu können. Dreiecke werden nach zwei verschiedenen Merkmalen kategorisiert:

Der Seitenlänge
Dem größten Winkel

In der folgenden Tabelle findest du verschiedenen Arten der Dreiecke:

Dreiecksarten nach Seitenlänge

Unregelmäßiges Dreieck Dreiecksarten Allgemeines Dreieck StudySmarter Abbildung 2: Allgemeines Dreieck

$a \neq b \neq c$

Unregelmäßiges Dreieck Dreiecksarten Gleichseitiges Dreieck StudySmarter Abbildung 3: Gleichseitiges Dreieck

$a = b = c$

Unregelmäßiges Dreieck Dreiecksarten Gleichschenkliges Dreieck StudySmarter Abbildung 4: Gleichschenkliges Dreieck

$a = b \neq c$

Wenn mehrere Seitenlängen mit dem gleichen Buchstaben beschriftet werden, dann handelt es sich hierbei um gleich lange Seiten. Dies ist ein schneller Weg, um herauszufinden, wie viele Seiten eines Dreiecks gleich lang sind.

Dreiecksarten nach Winkel

Unregelmäßiges Dreieck Dreiecksarten Spitzwinkliges Dreieck StudySmarter Abbildung 5: Spitzwinkliges Dreieck

$α, β, γ < 90 °$

Unregelmäßiges Dreieck Dreiecksarten Rechtwinkliges Dreieck StudySmarter Abbildung 6: Rechtwinkliges Dreieck

$β = 90 °$

Unregelmäßiges Dreieck Dreiecksarten Stumpfwinkliges Dreieck StudySmarter Abbildung 7: Stumpfwinkliges Dreieck

$β > 90 °$

Diese Dreiecke werden nach ihren größten Winkeln benannt. Folgende Übersicht zeigt dir, um welche Art von Winkel es sich handelt.

Spitzwinkliges Dreieck
- Unter diese Kategorie fallen alle Dreiecke, bei denen alle Winkel im Dreieck kleiner als $90 °$ sind.
Rechtwinkliges Dreieck
- Diese Dreiecksart besitzt genau einen Winkel mit einem Wert von $90 °$ , also einem rechten Winkel.
Stumpfwinkliges Dreieck
- Unter diese Kategorie fallen alle Dreiecke, die einen Winkel besitzen, welcher größer als $90 °$ ist.

Übrigens: Die Größe eines Winkels wird in Grad angegeben und kann mit einem Geodreieck bzw. Winkelmesser gemessen werden. Je größer der Winkel, umso größer die "Öffnung" des Winkels.

Unregelmäßiges Dreieck – Definition und Eigenschaften

Unter einem unregelmäßigen Dreieck (allgemeinen Dreieck) versteht man alle Dreiecke, bei welchen alle Seiten unterschiedlich lang sind und alle Winkel unterschiedlich groß. Es gilt:

$a \neq b \neq c α \neq β \neq γ$

Es weist daher keine Besonderheit auf, wie unter anderem ein gleichseitiges Dreieck, bei dem alle drei Seiten gleich lang sind.

Wie ein unregelmäßiges Dreieck aussieht, zeigt dir folgende Abbildung:

$α = 50, 3 ° β = 56 ° γ = 73, 7 °$

Unregelmäßiges Dreieck Definition Eigenschaften StudySmarter Abbildung 8: Unregelmäßiges Dreieck

Jede der Seiten a, b und c hat eine andere Seitenlänge und jeder Winkel ist unterschiedlich groß.

Unregelmäßigen Dreieck – Eigenschaften

In den folgenden Abschnitten lernst du die wichtigsten Eigenschaften des unregelmäßigen Dreiecks kennen und im Anschluss daran kannst du mithilfe von Übungsbeispielen dein erlerntes Wissen vertiefen.

Winkel

Unter einem Winkel versteht man einen Teil der Ebene, welche durch zwei sich kreuzenden Strahlen eingegrenzt wird.

Das unregelmäßige Dreieck kann sowohl spitzwinklig, rechtwinklig als auch stumpfwinklig sein, was bedeutet, dass die Winkel beliebig groß sein können.

Unregelmäßiges Dreieck Eigenschaften Spitzwinkliges unregelmäßiges Dreieck StudySmarter Abbildung 9: Das spitzwinklige unregelmäßige Dreieck

Unregelmäßiges Dreieck Eigenschaften Rechtwinkliges unregelmäßiges Dreieck StudySmarter Abbildung 10: Das rechtwinklige unregelmäßige Dreieck

Unregelmäßiges Dreieck Eigenschaften stumpfwinkliges unregelmäßiges Dreieck StudySmarterUnregelmäßiges Dreieck rechtwinkliges unregelmäßiges Dreieck StudySmarter Abbildung 11: Das stumpfwinklige unregelmäßige Dreieck

Höhe

Unter der Höhe versteht man in einem Dreieck eine Senkrechte auf die Grundlinie, welche zum gegenüberliegenden Eckpunkt verläuft.

Das unregelmäßige Dreieck hat je nach Seitenlängen bzw. Dreiecksart eine unterschiedliche Anzahl an Höhen. Folgende Abbildung soll dir dies verdeutlichen.

Unregelmäßiges Dreieck Eigenschaften Höhen spitzwinkliges Dreieck StudySmarter

Abbildung 12: Höhen spitzwinkliges Dreieck

Im spitzwinkligen Dreieck sind alle Höhen unterschiedlich lang, da dieses auch unterschiedlich lange Seiten hat.

Unregelmäßiges Dreieck Eigenschaften Höhen rechtwinkliges Dreieck StudySmarter

Abbildung 13: Höhen rechtwinkliges Dreieck

Das rechtwinklige Dreieck ist in jener Hinsicht besonders, da die beiden Katheten, in unserem Falle die Seiten a und c, immer zugleich die Höhen des Dreiecks darstellen. Lediglich die Höhe auf der Hypotenuse befindet sich auf keiner Seitenlinie.

Unregelmäßiges Dreieck Eigenschaften Höhen stumpfwinkliges Dreieck StudySmarter Abbildung 14: Höhen stumpfwinkliges Dreieck

Im stumpfwinkligen Dreieck befindet sich im Gegensatz zu den zwei anderen Ausprägungsformen der Schnittpunkt der Höhen immer außerhalb des Dreiecks und wird mit M bezeichnet.

Die hier dargestellten Ausprägungsformen eines Dreiecks sind immer unregelmäßig, insofern sie nicht gleichseitig oder gleichschenklig sind.

Das spitzwinklige Dreieck hat insgesamt drei Höhen, eine auf jeder Seite.

Doch wofür wird die Höhe benötigt? An folgendem Beispiel siehst du die Verwendung der Höhen.

Aufgabe

Zwei Häuser stehen $25 m$ voneinander entfernt. Zwischen den Häusern, genauer gesagt, $6 m$ von Haus A entfernt, soll ein Mast aufgestellt werden, welcher ein langes Stromkabel tragen soll. Dieses soll die Erdgeschosse der beiden Häuser verbinden.

Wie hoch muss der Mast sein, damit das Kabel zur Gänze gespannt ist und zwischen der Mastspitze und Haus B genau $26 m$ lang ist?

Lösung

Als ersten Schritt fertigst du dir eine Skizze des Sachverhaltes an, welche beispielsweise wie folgt aussieht.

Unregelmäßiges Dreieck Skizze StudySmarter Abbildung 15: Skizze

Hier kannst du erkennen, dass die Höhe bzw. der Mast (hier türkis dargestellt) das unregelmäßige Dreieck in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke unterteilt. Wie im hier verlinkten Beitrag zum rechtwinkligen Dreieck erläutert wird, kannst du im rechtwinkligen Dreieck, insofern zwei Seiten gegeben sind, die dritte mithilfe des Lehrsatzes nach Pythagoras berechnen. Da in diesem Beispiel die gesuchte Seite bzw. die Höhe eine Kathete darstellt, musst du die Formel nach Pythagoras umstellen. Das sieht dann so aus:

$K 1^{2} + K 2^{2} = H^{2} K 1^{2} = H^{2} - K 2^{2} K 1 = \sqrt{H^{2} - K 2^{2}}$

Beim rechtwinkligen Dreieck werden die beiden kurzen Seiten bzw. die Seiten, welche direkt an der rechten Winkel grenzen, als Katheten, und die gegenüberliegende Seite des rechten Winkels als Hypotenuse bezeichnet.

Als Nächstes weist du die Werte aus der Aufgabenstellung den entsprechenden Unbekannten zu.

$K 1 = H ö h e = ? m K 2 = 19 m H = 26 m$

Um auf den Wert von $19 m$ bezüglich der Kathete 2 zu gelangen, musst du vom Abstand zwischen den Häusern, nämlich den $25 m$ , die $6 m$ abziehen, welche zwischen Haus A und dem Mast liegen.

Setzt du nun die Werte in die für K1 freigestellte Gleichung ein, erhältst du folgenden Rechenweg.

$K 1 = \sqrt{H^{2} - K 2^{2}} h = \sqrt{{(26 m)}^{2} - {(19 m)}^{2}} h = \sqrt{676 m^{2} - 361 m^{2}} h = \sqrt{315 m^{2}} h = 17, 75 m$

Somit ist der Mast insgesamt $17, 75 m$ hoch.

Symmetrie

Der Begriff Symmetrie sagt aus, dass sich eine Figur an einem bestimmten Punkt oder einer Linie spiegelt. Diese Linie wird auch als Symmetrieachse bezeichnet.

Unregelmäßiges Dreieck Symmetrie Eigenschaften StudySmarter Abbildung 16: Symmetrie

Wenn du dir Abbildung 16 anschaust, stellst du fest, dass es keine Linie oder keinen Punkt im unregelmäßigen Dreieck gibt, an welchem dieses gespiegelt werden kann, bzw. symmetrisch ist.

Seitenhalbierende

Die Seitenhalbierende ist die Strecke vom Mittelpunkt einer Seite zur gegenüberliegenden Ecke. Der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden P ergibt den Schwerpunkt des Dreiecks.

Unregelmäßiges Dreieck Seitenhablierende Eigenschaften StudySmarter Abbildung 17: Seitenhalbierende

Die Seitenhalbierende werden mit dem Buchstaben S bezeichnet, gefolgt von der Beschriftung der Seiten im Index.

Winkelhalbierende

Unter dem Begriff der Winkelhalbierenden versteht man einen Strahl, welcher in den Eckpunkten entspringt und den Winkel in zwei gleich große Teile teilt. Der Schnittpunkt stellt zugleich den Mittelpunkt M des Inkreises dar.

Unregelmäßiges Dreieck Winkelhalbierende Eigenschaften StudySmarter Abbildung 18: Die Winkelhalbierenden

Die Winkelhalbierenden werden mit dem Buchstaben W, gefolgt von der Beschriftung der Winkel im Index, bezeichnet.

Der Inkreis

Der Inkreis ist der größtmögliche Kreis innerhalb der Figur, welcher alle Seiten der Figur berührt. Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ergibt den Mittelpunkt des Inkreises.

Inkreisradius:

$r = \sqrt{\frac{(s - a) (s - b) (s - c)}{s}} s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{U}{2}$

Die Alternativformel für den Inkreisradius lautet:

$r = \frac{a}{c o t (\frac{β}{2}) + c o t (\frac{γ}{2})} = \frac{b}{c o t (\frac{α}{2}) + c o t (\frac{γ}{2})} = \frac{c}{c o t (\frac{α}{2}) + c o t (\frac{β}{2})}$

Zeichnest du nun den Inkreis mithilfe der Winkelhalbierenden in unregelmäßigen Dreieck ein, so ergibt sich folgendes Bild.

Unregelmäßiges Dreieck Inkreis StudySmarter Abbildung 19: Der Inkreis

Um den Inkreis einzeichnen zu können, benötigst du den Mittelpunkt dessen, welcher den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden darstellt und hier mit "M" bezeichnet wird. Als Nächstes ziehst du eine Senkrechte auf eine der Seiten, welche vom Mittelpunkt ausgeht und schon hast du den Radius des Kreises. Zeichne nun mithilfe des gefundenen Radius' und eines Zirkels einen Kreis, welcher alle drei Seiten leicht berührt.

Unter dem Radius versteht man die Hälfte der Breite eines Kreises.

Der Umkreis

Der Umkreis stellt einen Kreis dar, welcher die Figur umschließt und dabei alle Eckpunkte berührt. Der Umkreisradius kann mit folgenden Formeln berechnet werden.

$R = \frac{a}{2 \cdot \sin α} = \frac{b}{2 \cdot \sin β} = \frac{c}{2 \cdot \sin γ} o d e r R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot A}$

Je nach Ausprägungsform des unregelmäßigen Dreiecks kann der Mittelpunkt des Umkreises innerhalb oder außerhalb des Dreiecks liegen.

Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten stellt zugleich den Mittelpunkt des Umkreises dar.

Unregelmäßiges Dreieck Umkreis StudySmarter Abbildung 20: Der Umkreis

Fläche

Eine Fläche gibt an, wie groß etwas im zweidimensionalen Raum ist. Die Formel für die Berechnung der Fläche des unregelmäßigen Dreiecks lautet:

$A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{a} o d e r A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_{b} o d e r A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_{c}$

Diese Definition soll in Abbildung 21 verdeutlicht werden.

Unregelmäßiges Dreieck Fläche StudySmarter Abbildung 21: Die Fläche

Die in dieser Abbildung hellblau markierte Größe, auch Fläche genannt, hilft dir, mehrere Figuren auf ihre Größe zu vergleichen. Du siehst, dass das hier dargestellte Rechteck größer als das Dreieck ist, es hat also eine größere Fläche als das Dreieck.

Die Fläche wird immer mit einem großen A gekennzeichnet.

Um bei Dreiecken allgemein die Fläche ausrechnen zu können, benötigst du meistens die senkrechte Linie auf die Grundlinie, auch Höhe genannt. Wenn du nun die Grundlinie bzw. die Seite c mit der Höhe, welche hier mit der Seite a ident ist, multiplizierst, also genau wie die erste Formel vorschreibt, erhältst du folgende Figur:

Unregelmäßiges Dreieck Rechteck vs Dreieck StudySmarter Abbildung 22: Dreieck vs. Rechteck

Bei genauerem Hinsehen wirst du merken, dass das Rechteck genau doppelt so groß ist wie das Dreieck. Dies bestätigt die Aussage, dass die Formel für die Fläche jeder Dreiecksart ein halbes Rechteck darstellt, nämlich auf dieses Beispiel bezogen:

$A_{R e c h t e c k} = c \cdot a A_{D r e i e c k} = \frac{c \cdot h_{c}}{2}$

Umfang

Unter dem Umfang versteht man die Summe aller Seitenlängen, welche die Figur begrenzen. Die Umfangsformel für das unregelmäßige Dreieck lautet:

$U = a + b + c$

Unregelmäßiges Dreieck Umfang StudySmarter Abbildung 23: Der Umfang

Den Umfang benötigst du im täglichen Leben öfter, als du vielleicht denkst. Stell dir vor, du musst deine Wiese einzäunen und möchtest wissen, wie viel Meter Zaun du insgesamt benötigst. Genau hier kommt der Umfang ins Spiel.

Übungsaufgaben zum unregelmäßigen Dreieck

Aufgabe 1

Folgende Seiten eines unregelmäßigen Dreiecks sind gegeben:

$a = 7 c m b = 5 c m c = 4 c m h_{c} = 3 c m$

Berechne den Umfang und die Fläche.

Unregelmäßiges Dreieck Skizze StudySmarter Abbildung 24: Skizze

Lösung

Berechnung des Umfangs

Um den Umfang des Dreiecks auszurechnen, nutzt du folgende Formel $U = a + b + c$ .

Auf das Beispiel bezogen, sieht dies wie folgt aus:

$U = a + b + c U = 7 c m + 5 c m + 4 c m U = 16 c m$

Somit beträgt der Umfang des Dreiecks $16 c m$ .

Berechnung der Fläche

Für die Berechnung der Fläche verwendest du die folgende Formel:

$A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_{c} A = \frac{1}{2} \cdot 4 c m \cdot 3 c m A = \frac{1}{2} \cdot 12 c m^{2} A = 6 c m^{2}$

Die Fläche des Dreiecks beträgt somit $6 c m^{2}$ .

Beachte, dass die Einheit der Fläche immer mit hoch 2 versehen wird, da du dich nun im Zweidimensionalen befindest.

Aufgabe 2

Folgende Seiten eines unregelmäßigen Dreiecks sind gegeben:

$a = 4 c m b = 5 c m c = 6 c m h_{c} = 3 c m$

Berechne die Fläche und den Umfang.

Unregelmäßiges Dreieck Skizze StudySmarter Abbildung 25: Skizze

Lösung

Berechnung des Umfangs

Für die Berechnung des Umfangs zählst du alle Seiten, welche die Figur begrenzen, zusammen.

$U = a + b + c U = 4 c m + 5 c m + 6 c m U = 15 c m$

Der Umfang beträgt somit für dieses Beispiel $15 c m$ .

Berechnung der Fläche

Für die Berechnung der Fläche verwendest du die Flächenformel, welche in jedem Dreieck angewandt werden kann.

$A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_{c} A = \frac{1}{2} \cdot 6 c m \cdot 3 c m A = \frac{1}{2} \cdot 18 c m^{2} A = 9 c m^{2}$

Die Fläche des Dreiecks beträgt folglich $9 c m^{2}$ .

Unregelmäßiges Dreieck - Das Wichtigste

Alle drei Seiten und alle drei Winkel sind unterschiedlich lang: $a \neq b \neq c und α \neq β \neq γ$ .
Es gibt drei Ausprägungsformen: spitzwinkliges-, rechtwinkliges- und stumpfwinkliges unregelmäßiges Dreieck.
Es gibt im unregelmäßigen Dreieck keine Symmetrieachse.
Die Umfangsformel lautet: $U = a + b + c$ .
Die Flächenformel lautet: ⁣ $A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_{c}$ . $r = \sqrt{\frac{(s - a) (s - b) (s - c)}{s}}$ .
Der Umkreisradius wird berechnet durch:
- $R = \frac{a}{2 \cdot \sin α} = \frac{b}{2 \cdot \sin β} = \frac{c}{2 \cdot \sin γ} o d e r R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot A}$ .

Häufig gestellte Fragen zum Thema Unregelmäßiges Dreieck

Nein, denn es gibt auch die Ausprägungsform gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck.

Die Fläche berechnet man, indem man die Grundlinie mit der Höhe multipliziert und das Ergebnis dann durch zwei dividiert. Den Umfang hingegen erhält man, indem man alle Seiten, welche die Figur begrenzen, addiert. Einfach ausgedrückt: U = a + b + c.

Unter einem unregelmäßigen Dreieck (allgemeinen Dreieck) versteht man alle Dreiecke, bei welchen alle Seiten unterschiedlich lang und alle Winkel unterschiedlich groß sind. Es gilt: : a ≠ b ≠ c und α ≠ β ≠ γ.

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