In der Geometrie hast Du vielleicht schon das Haus der Vierecke kennengelernt. Dort kannst Du viele verschiedene Vierecke wiederfinden, unter anderem auch das Trapez. Welche Eigenschaften ein Trapez hat, und wie Du die Höhe, die Fläche und den Umfang von dieser geometrischen Figur berechnen kannst, erfährst Du in dieser Erklärung.
Trapez – Definition
Jedes Rechteck oder Quadrat ist ein Trapez, aber nicht jedes Trapez ist ein Rechteck oder Quadrat. Warum ist das so?
Ein Trapez ist ein spezielles Viereck, bei dem mindestens zwei gegenüberliegende Seiten parallel zueinander sind. Die parallelen Seiten heißen bei einem Trapez Grundseiten, wobei die längere Seite davon Basis genannt wird. Die zwei anderen Seiten sind die Schenkel.
Es gilt:
\[a\parallel c\]
Da bei einem Quadrat und einem Rechteck sogar alle jeweils gegenüberliegenden Seiten parallel sind, erfüllen diese Figuren auch die Eigenschaften eines Trapezes.
Die Beschriftung eines Trapezes ist immer gleich:
- Die Beschriftung der 4 Eckpunkten erfolgt mit Großbuchstaben gegen den Uhrzeigersinn: \(A,\,B,\,C,\,D\)
- Die Beschriftung der 4 Seiten erfolgt mit Kleinbuchstaben: \(a,\,b,\,c,\,d\)
- Ein Trapez hat 4 Winkel, welche mit griechischen Kleinbuchstaben beschriftet werden: \(\alpha,\,\beta,\,\gamma,\,\delta\)
- Die beiden Diagonalen werden mit \(e,\,f\) beschriftet.
- Weitere Strecken im Trapez sind die Höhe \(h\) und die Mittelparallele \(m\).
Abb. 2 - Trapez Definition
Trapez – Eigenschaften
Um ein Trapez analysieren zu können, musst Du einige Eigenschaften des Trapezes kennen.
Die Innenwinkelsumme eines Trapezes beträgt \(360^\circ\) und berechnet sich aus den aufsummierten Winkeln des Trapezes.
Es gilt:
\[\alpha+\beta+\gamma+\delta=360^\circ\]
Die Winkel eines Trapezes können unterschiedlich groß sein, solange sie aufsummiert gleich 360° ergeben. Die Diagonalen eines Trapezes weisen ebenfalls Besonderheiten auf. Während bei anderen Vierecken wie dem Parallelogramm die beiden Diagonalen gleich lang sind, können die beiden Diagonalen hier unterschiedlich lang sein.
Die beiden Diagonalen eines Trapezes \(e\) und \(f\) lassen sich mithilfe folgender Formel berechnen:
\begin {align}e&=\sqrt {\frac {{\color{#1478c8}a}\cdot {\color{#8363e2}d}^{2}+{\color{#1478c8}a}^{2}\cdot {\color{#fa3273}c}-{\color{#1478c8}a}\cdot {\color{#fa3273}c}^{2}-{\color{#fa3273}c}\cdot {\color{#00dcb4}b}^{2}}{{\color{#1478c8}a}-{\color{#fa3273}c}}}\hspace{0.5cm} (\text{für}\, a\neq c) \\[0.2cm]f&=\sqrt {\frac {{\color{#1478c8}a}\cdot {\color{#00dcb4}b}^{2}+{\color{#1478c8}a}^{2}\cdot {\color{#fa3273}c}-{\color{#1478c8}a}\cdot {\color{#fa3273}c}^{2}-{\color{#fa3273}c}\cdot {\color{#8363e2}d}^{2}}{{\color{#1478c8}a}-{\color{#fa3273}c}}}\hspace{0.5cm} (\text{für}\, a\neq c)\end{align}
Abb. 3 - Trapez Eigenschaften - Diagonale
Bevor Du die Berechnung der Diagonalen beginnst, solltest Du immer überprüfen, welche der Seiten parallel und damit die Grundseiten sind. Anschließend musst Du überprüfen, ob die Grundseiten gleichlang sind.
Wie Du bei gleichlangen Grundseiten die Diagonale berechnest, erfährst Du in der Erklärung „Diagonale Rechteck“.
Trapez – Aufgabe 1
Berechne die beiden Diagonalen des Trapezes mit den Seitenlängen \(a=9\, cm,\,b=5\, cm,\,c=1\, cm\,\, \text{und}\,\, d=\text{6,4}\, cm\).
Lösung
Du solltest die Diagonalen nacheinander berechnen.
Zunächst berechnest Du die Diagonale \(e\). Dafür setzt Du die Werte in die Formel für die Diagonale \(e\) ein und berechnest diese dann.
Die Diagonale \(e\) verbindet immer die Eckpunkte \(A\) und \(C\) und die Diagonale \(f\) immer die Eckpunkte \(B\) und \(D\).
\begin {align}e&=\sqrt {\frac {a\cdot d^{2}+a^{2}\cdot c-a\cdot c^{2}-c\cdot b^{2}}{a-c}} \\[0.2 cm]e&=\sqrt {\frac {9\cdot \text{6,4}^{2}+9^{2}\cdot 1-9\cdot 1^{2}-1\cdot 5^{2}}{9-1}} \\[0.2 cm]e&=\sqrt {\frac {\text{368,64}+81-9-25}{8}} \\[0.2 cm]e&=\sqrt {\frac {\text{415,64}}{8}}\\[0.2cm]e&\approx\text{7,208}\,[cm]\end{align}
Nachdem Du die Diagonale \(e\) berechnet hast, kannst Du nun die Diagonale \(f\) berechnen. Setze die Dir gegebenen Werte in die Formel für die Diagonale \(f\) ein und berechne diese.
\begin{align}f&=\sqrt {\frac {a\cdot b^{2}+a^{2}\cdot c-a\cdot c^{2}-c\cdot d^{2}}{a-c}} \\[0.2 cm]f&=\sqrt {\frac {9\cdot 5^{2}+9^{2}\cdot 1-9\cdot 1^{2}-1\cdot \text{6,4}^{2}}{9-1}} \\[0.2 cm]f&=\sqrt {\frac {225+81-9- \text{40,96}}{8}} \\[0.2 cm]f&=\sqrt{\frac{\text{256,04}}{8}}\\[0.2cm]f&\approx\text{5,657}\, [cm]\end{align}
Die Diagonale \(e\) ist rund \(\text{7,208}\, cm\) lang und die Diagonale \(f\) rund \(\text{5,657}\, cm\) lang.
Trapez – Arten
Von Trapezen gibt es unterschiedliche Arten. Wie beim Dreieck gibt es das unregelmäßige bzw. ungleichschenklige Trapez, das gleichschenklige Trapez und das rechtwinklige Trapez.
| ungleichschenkliges Trapez | gleichschenkliges Trapez | rechtwinkliges Trapez |
| Bei einem ungleichmäßigen Trapez sind die Schenkel unterschiedlich lang und die Winkel im Trapez alle unterschiedlich groß. | Ein gleichschenkliges Trapez besitzt zwei gleich lange Schenkel und mindestens zwei gleich große Winkel. | Das rechtwinklige Trapez besitzt mindestens zwei rechte Winkel. Die Besonderheit dieses Trapezes ist, dass die Höhe gleich der Seite \(b\) ist, also \(h=b\). |
 Abb. 4 - ungleichschenkliges Trapez
|  Abb. 5 - gleichschenkliges Trapez
|  Abb. 6 - rechtwinkliges Trapez
|
Ein Blick auf das Haus der Vierecke verrät Dir noch weitere spezielle Trapeze. Das Quadrat, das Rechteck, das
Parallelogramm und die
Raute zählen zu diesen speziellen Trapezen. Sie alle besitzen mindestens ein Paar parallele Seiten und erfüllen somit die Definition des Trapezes.
Trapez – Berechnungen
Du kannst in einem Trapez verschiedene Berechnungen durchführen. Wichtig ist, dass Du weißt, wie Du den Umfang und den Flächeninhalt eines Trapezes berechnest. Des Weiteren wirst Du häufig die Höhe des Trapezes bestimmen müssen.
Trapez Umfang berechnen
Jede geometrische Figur besitzt einen Umfang. Diese lässt sich häufig durch das Aufsummieren der Seiten der Figur berechnen.
Der Umfang \(U\) eines Trapezes berechnet sich aus der Summe der Seitenlängen des Trapezes.
Es gilt:
\[U=a+b+c+d\]
Für den Umfang eines Trapezes gibt es also keine speziellere Formel. Du nutzt die allgemeine Formel zur Berechnung des Umfangs.
Mehr zum Umfang eines Trapezes erfährst Du in der Erklärung „Umfang Trapez“.
Trapez Fläche berechnen
Auch einen Flächeninhalt besitzt jede geometrische Figur. Wie Du die Flächenberechnung eines Trapezes durchführst, erfährst Du jetzt.
Der Flächeninhalt \(A\) eines Trapezes mit der Höhe \(h\) und den parallelen Grundseiten \(a\) und \(c\) kannst Du mit folgender Formel berechnen:
\begin{align}A&=\frac{1}{2}\cdot h\cdot (a+c)\\[0.1cm] &=m\cdot h\end{align}
Außerdem kannst Du den Flächeninhalt eines Trapezes über das Produkt der Mittelparallele \(m\) und der Höhe \(h\) berechnen.
In der Erklärung „Flächeninhalt Trapez“ wird Dir erklärt, wie Du diese Formel anwendest und herleitest.
Um den Flächeninhalt eines Trapezes zu berechnen, benötigst Du die Höhe des Trapezes. Wie Du diese berechnest, erfährst Du jetzt.
Trapez Höhe berechnen
Die Höhe eines Trapezes steht immer senkrecht zu den beiden Grundseiten \(a\) und \(c\).
Du kannst die Höhe \(h\) eines Trapezes über verschiedene Formeln berechnen.
- Mithilfe der heronischen Formel kannst Du die Höhe berechnen.\begin{align} h&=\frac {2}{|a-c|}\cdot \sqrt {s\cdot (s-|a-c|)\cdot (s-b)\cdot (s-d)}\hspace{0.5cm} (\text{für}\, a\neq c) \\[0.3cm]\text{mit}\, s&=\frac {|a-c|+b+d}{2}\end{align}
- Du kannst die Formel des Flächeninhaltes \(A\) nach \(h\) umstellen und erhältst \[h=\frac {2\cdot A}{a+c}\]
- Die Höhe eines Trapezes kannst Du auch über das Produkt eines Schenkels mit einem der anliegenden Winkel berechnen. \[h=b\cdot \sin(\beta )=b\cdot \sin(\gamma )=d\cdot \sin(\delta )=d\cdot \sin(\alpha )\]
Welche Formel Du für die Berechnung der Höhe jetzt benutzt, ist abhängig von der Aufgabe und den gegebenen Werten. Wenn Du den Flächeninhalt berechnen sollst und vorher die Höhe benötigst, ist es nicht zielführend die Formel mit dem Flächeninhalt zu nutzen.
Trapez – Aufgabe 2
Berechne die Höhe \(h\) des Trapezes \(ABCD\) mit den Seitenlängen \(a=8\,cm,\, b=5\,cm,\, c=5\,cm\) und \(d=4\,cm\) und den rechten Winkeln an dem Schenkel \(d\).
Abb. 7 - Berechnung der Höhe eines Trapez Aufgabe
Lösung
Du kannst die Höhe hier über zwei Wege berechnen.
1. Variante: heronische Formel
Zu Beginn berechnest Du erst einmal das \(s\) mit der Formel \(s=\frac {|a-c|+b+d}{2}\).
\begin{align}s&=\frac {|a-c|+b+d}{2}\\[0.2cm]s&=\frac {|8-5|+5+4}{2} \\[0.2cm]s&=\frac{12}{2}\\[0.2cm]s&=6\end{align}
Danach setzt Du das \(s\) und alle anderen Werte in die Formel zur Berechnung der Höhe \(h\) ein.
\begin{align}h&=\frac {2}{|a-c|}\cdot \sqrt {s\cdot (s-|a-c|)\cdot (s-b)\cdot (s-d)} \\h&=\frac {2}{|8-5|}\cdot \sqrt {6\cdot (6-|8-5|)\cdot (6-5)\cdot (6-4)} \\h&=\frac {2}{3}\cdot \sqrt {6\cdot 3\cdot 1 \cdot 2} \\h&=\frac{2}{3}\cdot\sqrt{36} \\h&=4\,[cm]\end{align}
2. Variante: Winkel
Zuerst suchst Du Dir den Schenkel raus, für welchen Du einen anliegenden Winkel gegeben hast. In dieser Aufgabe ist Dir ein rechter Winkel an dem Schenkel \(d\) gegeben. Dann setzt Du diese Werte in die Formel ein und berechnest die Höhe \(h\).
\begin{align}h&=d\cdot \sin(\alpha ) \\h&=4\cdot \sin{(90^{\circ})} \\h&=4\,[cm]\end{align}
Die Höhe des Trapezes beträgt \(4\, cm\).
Trapez – Das Wichtigste
- Das Trapez ist ein spezielles Viereck, bei dem mindestens zwei gegenüberliegende Seiten parallel zueinander sind. Die parallelen Seiten werden bei einem Trapez Grundseiten genannt, die zwei anderen Seiten sind die Schenkel.Es gilt:\[a\parallel c\]
- Die Innenwinkelsumme eines Trapezes beträgt \(360^\circ\) und berechnet sich aus den aufsummierten Winkeln des Trapezes.
Es gilt:
\[\alpha+\beta+\gamma+\delta=360^{\circ}\]
Die beiden Diagonalen eines Trapezes e und f lassen sich mithilfe folgender Formel berechnen:
\begin {align}e&=\sqrt {\frac {a\cdot d^{2}+a^{2}\cdot c-a\cdot c^{2}-c\cdot b^{2}}{a-c}}\hspace{0.5cm} (\text{für}\, a\neq c) \\[0.2cm]f&=\sqrt {\frac {a\cdot b^{2}+a^{2}\cdot c-a\cdot c^{2}-c\cdot d^{2}}{a-c}}\hspace{0.5cm} (\text{für}\, a\neq c)\end{align}
Es existieren drei Arten von Trapezen, das ungleichschenklige Trapez, das gleichschenklige Trapez und das rechtwinklige Trapez. Besondere Trapeze sind das Quadrat, das Rechteck, das Parallelogramm und die Raute.
Der Umfang eines Trapezes berechnet sich aus der Summe der Länge der Seiten des Trapezes.
Es gilt:
\[U=a+b+c+d\]
Der Flächeninhalt eines Trapezes mit Höhe \(h\) und den parallelen Seiten \(a\) und \(c\) lässt sich mit folgender Formel berechnen:
\[A=\frac{1}{2}\cdot h\cdot (a+c)=m\cdot h\]
Die Höhe eines Trapezes kannst Du über verschiedene Formeln berechnen. Eine davon ist es die Höhe eines Trapezes über das Produkt eines Schenkels mit einem der anliegenden Winkel zu berechnen. \[h=b\cdot \sin(\beta )=b\cdot \sin(\gamma )=d\cdot \sin(\delta )=d\cdot \sin(\alpha )\]
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