Stell Dir vor, Du besteigst eine Aussichtsplattform und möchtest nach dem Abstieg wissen, wie hoch diese Plattform war. Jedoch steht nirgendwo ein Schild, welches Dir Deine Frage beantworten könnte. Jetzt kannst Du aber den Strahlensatz anwenden, da die Aussichtsplattform einen Schatten auf den Boden wirft und dieser Dir bei der Berechnung helfen kann. Wie genau Du den Strahlensatz hier anwendest, erfährst Du in dieser Erklärung.
Strahlensätze Erklärung
Es existieren mehrere Strahlensätze – genauer gesagt zwei. Beide Strahlensätze beschäftigen sich mit den Verhältnissen von Teilstrecken an einer Strahlensatzfigur.
Eine Strahlensatzfigur ist eine Figur aus zwei sich treffenden Strahlen (mit einem Zentrum \(Z\)) und zwei Parallelen, die die Strahlen schneiden.
Was ist jedoch der Unterschied zwischen beiden Sätzen?
Strahlensätze Formeln – 1. Strahlensatz
Um den ersten Strahlensatz anzuwenden, muss Deine Strahlensatzfigur zwei Voraussetzungen erfüllen:
- Es existieren zwei Strahlen oder Geraden, die sich in einem Punkt \(Z\) (dem Zentrum) schneiden.
- Die zwei Strahlen werden von zwei parallelen Geraden geschnitten, wobei keine durch den Punkt \(Z\) verläuft.
Wenn zwei Strahlen durch den Punkt \(Z\) verlaufen und von zwei weiteren parallel verlaufenden Geraden \(g\) und \(h\) in den Punkten \(A,\, A',\, B\) und \(B'\) geschnitten werden, so ergibt sich folgendes Verhältnis zwischen den Strecken:
\[\frac{\color{#00dcb4}a}{\color{#00dcb4}b}=\frac{{\color{#00dcb4}a}+{\color{#fa3273}a'}}{{\color{#00dcb4}b}+{\color{#fa3273}b'}}\]
Das heißt, das Verhältnis zwischen den beiden Strecken \(a\) und \(b\) ist gleich dem Verhältnis zwischen den beiden Strecken \(a+a'\) und \(b+b'\).
In der Abbildung siehst Du die Einteilungen der Strecken an einer Strahlensatzfigur.
Abb. 1 -Erster Strahlensatz.
Der erste Strahlensatz besitzt auch eine Umkehrung. Bei dieser wird die Voraussetzung zur Behauptung.
Die Umkehrung des ersten Strahlensatzes lautet:
Wenn zwei Strahlen durch den Punkt \(Z\) verlaufen und von zwei Geraden \(g\) und \(h\) in folgendem Verhältnis \[\frac{a}{b}=\frac{a+a'}{b+b'}\] geschnitten werden, dann sind die beiden Geraden \(g\) und \(h\) parallel.
Mehr zum ersten Strahlensatz und seiner Umkehrung erfährst Du in der Erklärung „Erster Strahlensatz“.
Strahlensätze Beispiele – 1. Strahlensatz anwenden
Zu Beginn der Erklärung wolltest Du wissen, wie hoch die Aussichtsplattform ist. Dafür hast Du den Schatten der Aussichtsplattform und Deinen eignen Schatten gemessen.
Aufgabe 1
Berechne die Höhe der Aussichtsplattform. Gehe davon aus, dass Du \(1{,}8\, m\) groß bist und Dein Schatten \(1{,}2\, m\) lang war. Für die Schattenlänge der Aussichtsplattform hast Du \(15\, m\) gemessen.
Abb. 2 - Erster Strahlensatz anwenden.
Lösung
Wenn Du jetzt auf die Abbildung von oben schaust, solltest Du einordnen können, an welcher Stelle Du die Zahlen in die Gleichung einordnest. Nachdem Du die Gleichung aufgestellt hast, stellst Du sie nach der gesuchten Größe um.
Du kannst Dir die Gleichung bereits so aufstellen, dass das Umstellen der Gleichung nicht so schwer ist. Achte darauf, dass die gesuchte Größe im Zähler steht.
\begin{align}\frac{a}{b}&=\frac{a+a'}{b+b'} \\[0.2cm]\frac{\text{1,8}\,m}{\text{1,2}\,m}&=\frac{\overline{ZA}}{15\,m} &|&\cdot 15\,m\\[0.2cm] \overline{ZA}&=\frac{15\,m\cdot \text{1,8}\,m}{\text{1,2}\,m} \\[0.2cm] \overline{ZA}&=\text{22,5}\,m\end{align}
Die Plattform ist in einer Höhe von ungefähr \(22,5\, m\).
Strahlensätze Formeln – 2. Strahlensatz
Auch beim zweiten Strahlensatz gelten dieselben Voraussetzungen wie beim ersten Strahlensatz.
- Es existieren zwei Strahlen oder Geraden, die sich in einem Punkt \(Z\) dem Zentrum schneiden.
- Die zwei Strahlen werden von zwei parallelen Geraden geschnitten, wobei keine durch den Punkt \(Z\) verläuft.
Wenn zwei Strahlen durch den Punkt \(Z\) verlaufen und von zwei weiteren parallel verlaufenden Geraden \(g\) und \(h\) in den Punkten \(A,\, A',\, B\) und \(B'\) geschnitten werden, so ergibt sich folgendes Verhältnis zwischen den Strecken:
\[\frac{\color{#00dcb4}a}{\color{#8363e2}x}=\frac{{\color{#00dcb4}a}+\color{#fa3273}a'}{\color{#8363e2}y}\hspace{0.4cm}\text{und}\hspace{0.4cm}\frac{\color{#00dcb4}b}{\color{#8363e2}x}=\frac{{\color{#00dcb4}b}+\color{#fa3273}b'}{\color{#8363e2}y}\]
Das heißt, das Verhältnis zwischen der kurzen Strahlstrecke und der kurzen Parallelstrecke ist gleich dem Verhältnis der langen Strahlstrecke auf demselben Strahl und der langen Parallelstrecke.
In der Abbildung siehst Du die Einteilungen der Strecken an einer Strahlensatzfigur.
Abb. 3 - Zweiter Strahlensatz.
Im Gegensatz zum ersten Strahlensatz besitzt der zweite Strahlensatz keine Umkehrung. Bei der Konstruktion der Umkehrung des zweiten Strahlensatzes gibt es keine Eindeutigkeit, denn es entstehen zwei Punkte, welche die Umkehrung des zweiten Strahlensatzes erfüllen würden.
Mehr zum ersten Strahlensatz und warum die Umkehrung nicht existiert, erfährst Du in der Erklärung „Zweiter Strahlensatz“.
Strahlensätze Beispiele – 2. Strahlensatz anwenden
Nachdem Du bereits beim ersten Strahlensatz die Höhe der Plattform vom Anfang berechnet hast, soll diese nun geschmückt werden. Dabei soll vom Geländer der Plattform eine Girlande am Ende des Schattens angebracht werden.
Aufgabe 2
Berechne die Länge der Girlande von der Plattform bis zum Ende des Schattens (Länge Schatten: \(15\, m\)), wenn die Girlande von Deinem Kopf bis zum Ende Deines Schattens (Länge Deines Schattens: \(1{,}2\, m\)) rund \(2{,}163\, m\) lang ist.
Abb. 4 - Zweiter Strahlensatz anwenden.
Lösung
Stelle den Strahlensatz nach den gegebenen Größen auf und berechne anschließend die Länge der Teilstrecke \(y\).
\begin{align}\frac{b}{x}&=\frac{b+b'}{y} \\[0.2cm]\frac{x}{b}&=\frac{y}{b+b'} \\[0.2cm]\frac{\text{2,163}\,m}{\text{1,2}\,m}&=\frac{y}{15\,m} &|&\cdot 15\,m\\[0.2cm]\frac{\text{2,163}\,m\cdot 15\,m}{\text{1,2}\,m}&=y \\[0.2cm]\text{27,038}\,m&=y\end{align}
Die Girlande muss \(27{,}038\, m\) lang sein.
Wodurch ergibt sich eigentlich der Zusammenhang zwischen den verschiedenen Strecken? Eine Antwort darauf liefert die Ähnlichkeit.
Ähnlichkeit und Strahlensätze – Strahlensätze Beweis
Den ersten und den zweiten Strahlensatz beweist Du über das Prinzip der Ähnlichkeit.
Abb. 5 - Strahlensätze Beweis.
Der erste Strahlensatz lautet: \[\frac{a}{b}=\frac{a+a'}{b+b'}\]
Der zweite Strahlensatz lautet: \[\frac{a}{x}=\frac{a+a'}{y}\hspace{0.4cm}\text{und}\hspace{0.4cm}\frac{b}{x}=\frac{b+b'}{y}\]
In der Abbildung siehst Du zwei Dreiecke \(ZAB\) und \(ZA'B'\). Bei diesen Dreiecken handelt es sich um ähnliche Dreiecke nach den Ähnlichkeitssätzen.
Welche Ähnlichkeitssätze es gibt und wie Du sie anwendest, erfährst Du in der Erklärung „Ähnlichkeit Dreiecke“.
Bei ähnlichen Dreiecken stimmen die Seitenverhältnisse der beiden Dreiecke überein. Aus dieser Aussage kannst Du den 1. und den 2. Strahlensatz herleiten.
Wie Du die beiden Strahlensätze genau herleitest, kannst Du in der Erklärung „erster Strahlensatz“ und „zweiter Strahlensatz“ nachlesen.
Ein weiteres Teilungsverhältnis bei Strecken stellt der sogenannte Goldene Schnitt dar. Aber was genau ist das?
Strahlensätze – Goldener Schnitt
Den Goldenen Schnitt gibt es nicht nur in der Kunst oder Fotografie, sondern auch in der Mathematik. Umgangssprachlich wird gesagt, dass der Goldene Schnitt ein Bild in \(\frac{1}{3}\) zu \(\frac{2}{3}\) teilen sollte. In der Mathematik verhält sich das etwas anders.
Wenn ein Punkt eine Strecke so teilt, dass das Verhältnis vom größeren Teil zur ganzen Strecke das gleiche ist, wie das vom kleineren Teil zum größeren Teil, so teilt der Punkt die Strecke im Goldenen Schnitt.
Es gilt: \[\frac{a}{a+b}=\frac{b}{a}\hspace{0.4cm}\text{oder}\hspace{0.4cm}\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}\]
Dabei wird die längere Strecke Major und die kürzere Strecke Minor genannt.
Abb. 6 - Goldener Schnitt.
Mehr zum Goldenen Schnitt erfährst Du in der Erklärung „Goldener Schnitt Mathe“.
Strahlensätze Aufgaben
Hier kannst Du Dein eben erlerntes Wissen testen.
Aufgabe 3
Berechne die Länge der Teilstrecke \(a'\) in Längeneinheiten. Die anderen Teilstrecken sind folgendermaßen lang: \(b'=\text{8,4};\, a=5;\, b=7\).
Abb. 7 - Strahlensätze Aufgaben.
Lösung
Stelle die passende Gleichung auf und stelle anschließend nach der gesuchten Größe um.
\begin{align}\frac{a}{b}&=\frac{a'}{b'} \\[0.2cm]\frac{5}{7}&=\frac{a'}{\text{8,4}} &|&\cdot \text{8,4}\\[0.2cm]a'&=\frac{5\cdot \text{8,4}}{7} \\[0.2cm]a'&=6\end{align}
Die Teilstrecke \(a'\) ist \(6\) Längeneinheiten lang.
Aufgabe 4
Berechne die Teilstrecke \(y\). Die anderen Teilstrecken sind folgendermaßen lang: \(a'=3;\, a=5;\, x=\text{2,02}\).
Abb. 8 - Strahlensätze Aufgaben.
Lösung
Stelle die passende Gleichung auf und stelle anschließend nach der gesuchten Größe um.
\begin{align}\frac{a}{x}&=\frac{a'}{y} \\[0.2cm]\frac{x}{a}&=\frac{y}{a'} \\[0.2cm]\frac{\text{2,02}}{5}&=\frac{y}{3} &|&\cdot 3\\[0.2cm]\frac{\text{2,02}\cdot 3}{5}&=y \\[0.2cm]\text{1,212}&=y\end{align}
Die Teilstrecke \(y\) ist \(1{,}212\) Längeneinheiten lang.
Strahlensätze – Das Wichtigste
Abb. 9 - Strahlensätze Überblick.
Nachweise
- Scheid, Schwarz (2017). Elemente der Geometrie. Springer Verlag. Berlin Heidelberg.
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