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Jetzt kostenlos anmeldenDu benötigst Deine Bastelschere, um Einladungskarten für Deine Geburtstagsfeier zu gestalten. Wenn Du die Schere jetzt öffnest, entstehen verschiedene Winkel.
Die beiden Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) stellen sogenannte Scheitelwinkel dar. Was das genau bedeutet, erfährst Du in dieser Erklärung.
Wenn sich zwei Geraden schneiden, entstehen am Schnittpunkt zwischen den Geraden vier verschiedene Winkel.
Der Ort, an dem sich die beiden Geraden g und h treffen, heißt Geradenkreuzung.
Die beiden Geraden g und h schneiden sich hier im Punkt S und spannen dabei die vier Winkel \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\) auf.
Neben dem Scheitelwinkel entstehen an Geradenkreuzungen auch noch andere Arten von Winkeln: Nebenwinkel, Stufenwinkel und Wechselwinkel. Sieh Dir dazu auch gerne die zugehörigen Artikel an.
Du öffnest eine Schere und hast laut Definition direkt zwei Scheitelwinkel vor Dir:
Als Scheitelwinkel werden zwei Winkel bezeichnet, die sich an einer Geradenkreuzung gegenüberliegen.
Doch ebenso die Winkel \(\beta\) und \(\delta\) sind gegenüberliegende Winkel an der Geradenkreuzung, auch sie sind demnach Scheitelwinkel.
Nachdem ein Scheitelwinkel immer aus zwei Winkeln besteht, werden diese beiden Winkel auch als Scheitelwinkelpaar bezeichnet.An einer Geradenkreuzung gibt es immer zwei Scheitelwinkelpaare (\(\alpha\) und \(\gamma\), \(\beta\) und \(\delta\)).
Diese gegenüberliegenden Winkel weisen mathematisch eine Besonderheit auf.
Scheitelwinkelsatz
Scheitelwinkel an zwei sich schneidenden Geraden g und h sind genau gleich groß.
\begin{align}{\color{#fa3273}\alpha = \gamma} \\ {\color{#00dcb4}\beta = \delta} \end{align}
Im Beispiel von oben ergeben sich für die Winkel also folgende Größen.
Wenn Du nun herausfinden möchtest, bis zu welchem Winkel Deine Bastelschere geöffnet werden kann, helfen Dir die folgenden Abschnitte weiter.
Um Scheitelwinkel zu erkennen, solltest Du Dir zunächst klarmachen, dass diese immer an Geradenkreuzungen liegen.
Dort gibst Du dann jeweils die gegenüberliegenden Winkel als Scheitelwinkel an.
Merke: An jeder Geradenkreuzung gibt es zwei Scheitelwinkelpaare.
Aufgabe 1
Die Geraden g und h schneiden sich im Punkt S. Gib die beiden Scheitelwinkelpaare an!
Lösung
Ein Scheitelwinkel besteht immer aus den gegenüberliegenden Winkeln an einer Geradenkreuzung. An der Geradenkreuzung von g und h ergeben sich also diese zwei Scheitelwinkel.
1. Scheitelwinkelpaar: \(\alpha = \gamma\)
2. Scheitelwinkelpaar: \(\beta = \delta\)
Um Rechenaufgaben zum Scheitelwinkel zu lösen, werden oft auch die Grundlagen zum Nebenwinkel benötigt.
Auch Nebenwinkel stellen ein Winkelpaar dar, welches sich an einer Geradenkreuzung zweier Geraden g und h befindet.
Es gibt insgesamt 4 Nebenwinkelpaare an einer Geradenkreuzung.
Ein Nebenwinkel besteht aus zwei nebeneinander liegenden Winkeln an einer Geradenkreuzung.
Der Nebenwinkelsatz besagt, dass sich ein Nebenwinkelpaar zu genau \(180^\circ\) ergänzt.
\begin{align} {\color{#fa3273}\alpha + \beta} = 180^\circ \\ {\color {#00dcb4}\gamma + \delta} = 180^\circ \\ \\ {\color{#fa3273}\alpha + \delta} = 180^\circ \\ {\color{#00dcb4}\beta + \gamma} = 180^\circ\end{align}
Zwei benachbarte Winkel ergeben also zusammen einen gestreckten Winkel (\(180^\circ\)). Hier sind die Nebenwinkelpaare \({\color {#fa3273} \alpha + \beta} = 180^\circ\) und \({\color {#00dcb4} \gamma + \delta} = 180^\circ\) .
Es ergeben sich jedoch insgesamt vier verschiedene Möglichkeiten für Nebenwinkel. Denn auch \({\color{#fa3273}\alpha + \delta} = 180^\circ\) und \({\color{#00dcb4}\beta + \gamma} = 180^\circ\) sind Nebenwinkel.
Mit diesem Wissen kannst Du jetzt Aufgaben zum Scheitelwinkel lösen.
Aufgabe 2
Gib an, wie groß der Winkel \(\beta\) ist.
Lösung
Da es sich bei \(\beta\) und \(\delta\) um Scheitelwinkel handelt, gilt der Scheitelwinkelsatz. \(\beta\) ist also genauso groß wie \(\delta\).
\[\beta = \delta = 165^\circ\]
Wenn jetzt aber wirkliche Berechnungen des Scheitelwinkels gefragt sind, kommt der Nebenwinkel ins Spiel.
Aufgabe 3
Berechne den Winkel \(\alpha\).
Lösung
Für diese Aufgabe benötigst Du den Nebenwinkel.
Du kannst das Ganze entweder direkt über den Nebenwinkel lösen, oder mithilfe des Nebenwinkels erst einmal den Scheitelwinkel von \(\alpha\) bestimmen.
Für Nebenwinkel gilt, dass sie zusammen \(180^\circ\) ergeben.
\[{\color{#8363e2}\delta} + {\color{#8363e2}\gamma} = 180^\circ\]
Mithilfe der Angabe \(\delta = 165^\circ\) kannst Du jetzt \(\gamma\) bestimmen.
\begin{align} {\color{#8363e2}165 ^\circ} + {\color{#8363e2}\gamma} &= 180^\circ \\ \gamma &= 180^\circ - 165^\circ \\ \gamma &= 15^\circ \end{align}
Da es sich bei \(\alpha\) und \(\gamma\) um Scheitelwinkel handelt, ist \(\alpha\) ebenso groß.
\({\color{#00dcb4}\alpha} = \gamma = {\color{#00dcb4}15^\circ}\)
Versuche jetzt einmal selbst Aufgaben zum Scheitelwinkel zu lösen.
Aufgabe 4
Du willst nun tatsächlich herauszufinden, wie weit Du Deine Bastelschere zum Schneiden öffnen kannst. Daumen und Zeigefinger kannst Du um circa \({\color{#00dcb4}\alpha = 100^\circ}\) spreizen, wie groß ist dann der Winkel \(\beta\) ?
Lösung
Da es sich bei \(\alpha\) und \(\beta\) um Scheitelwinkel handelt, sind beide anhand des Scheitelwinkelsatzes gleich groß.
\({\color{#fa3273}\beta} = {\color{#00dcb4}\alpha} = 100^\circ\)
Du kannst die Bastelschere also um \(100^\circ\) öffnen.
Aufgabe 5
Es sind die folgenden Werte gegeben: \(\gamma = 143^\circ\) und \(\epsilon = 45^\circ\).
Berechne die Winkel \(\beta\) und \(\eta\).
Lösung
Beide Winkel liegen an zwei verschiedenen Geradenkreuzungen und können mithilfe des Scheitelwinkels und Nebenwinkels berechnet werden.
Zu \(\beta\): Der Winkel \(\beta\) ist Scheitelwinkel von \(\gamma\) und hat damit den gleichen Wert.
\({\color{#fa3273}\beta} = {\color{#fa3273}\gamma} = 143^\circ\)
Zu \(\eta\): Um \(\eta\) zu berechnen, muss erst der Nebenwinkel von \(\epsilon\) bestimmt werden.
Zur Erinnerung: Für Nebenwinkel gilt \(\alpha + \beta = 180^\circ\).
\begin{align} {\color{#ffcd00}\epsilon} + {\color{#8363e2}\theta} &= 180^\circ \\ \theta &= 180^\circ - \epsilon \\ \theta &= 180^\circ - 45^\circ \\ \theta&= 135^\circ \end{align}
\(\theta\) und der gesuchte Winkel \(\eta\) sind Scheitelwinkel und haben daher den gleichen Wert.
\({\color{#8363e2}\eta} = {\color{#8363e2}\theta} = 135^\circ\)
Natürlich kannst Du \(\eta\) auch direkt als Nebenwinkel von \(\epsilon\) berechnen.
Als Scheitelwinkel werden zwei Winkel bezeichnet, die sich an einer Geradenkreuzung gegenüberliegen.
Scheitelwinkel kannst Du daran erkennen, dass sie sich an Geradenkreuzungen direkt gegenüberliegen.
Als Scheitelwinkel werden zwei Winkel bezeichnet, die sich an einer Geradenkreuzung gegenüberliegen.
Ein Nebenwinkel besteht aus zwei nebeneinander liegenden Winkeln an einer Geradenkreuzung.
Ein Scheitelwinkel besteht immer aus zwei gleich großen, sich gegenüberliegenden Winkeln. Diese zwei Winkel werden auch als Scheitelwinkelpaar bezeichnet.
Beschreibe, wann Scheitelwinkel entstehen.
Scheitelwinkel entstehen, wenn sich mindestens zwei Geraden an einem Punkt schneiden.
Ist ein Winkel ein Scheitelwinkel von einem anderen Winkel, so sind die beiden Winkel gleich groß.
Es entstehen vier Scheitelwinkelpaare.
Entscheide, ob es sich beim Winkel δ um einen Scheitelwinkel vom Winkel α handelt.
Ja, der Winkel δ ist ein Scheitelwinkel vom Winkel α. Die beiden Winkel liegen genau gegenüber voneinander.
Fasse die wichtigsten Punkte zum Thema Scheitelwinkel zusammen.
Welche Winkelart baut auf dem Prinzip der Scheitelwinkel auf?
Die Wechselwinkel
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