Kreisbogen

Was ein Kreis ist, weißt du sicherlich schon lange. Aber was hat es mit einem Kreisbogen auf sich? Wenn du mehr über den Kreisbogen wissen möchtest, bist du hier genau richtig!

Was genau es mit dieser Definition auf sich hat, erklären wir dir in den nächsten Kapiteln des Artikels.

Kreisbogen – Erklärung

Bevor du lernst, wie man die Länge eines Kreisbogens berechnet, lernst du in diesem Abschnitt erst einmal die Grundlagen zum Kreisbogen und seine Herleitung kennen.

Kreisbogen – Grundlagen

Der Kreisbogen gehört zu den Kreisteilen. Zu dem Thema Kreisteile haben wir bereits einen eigenen Artikel verfasst. Wenn du dich also auch für die anderen Teile eines Kreises außer dem Kreisbogen interessierst, solltest du in diesem Artikel unbedingt vorbeischauen.

Der Kreisbogen wird in der Mathematik mit einem b bezeichnet. Das hast du bereits oben in der Definition gesehen.

Ein Kreisbogen entsteht, indem zwei Punkte, die auf einem Kreis k liegen, entlang des Verlaufs des Kreises miteinander verbunden werden. Der Kreisbogen liegt also auf der Kreislinie des Kreises.

Damit unterscheidet sich der Kreisbogen von der Kreissehne s. Die Kreissehne verbindet die beiden Punkte auf dem Kreis auf direktem Weg miteinander. Die Kreissehne liegt daher nicht auf der Kreislinie.

Der Unterschied zwischen dem Kreisbogen b und der Kreissehne s wird in der folgenden Abbildung 2 noch einmal verdeutlicht:

Der Kreisbogen b kann auch mit bezeichnet werden, die Kreissehne s auch mit .

Kreisbogen – Herleitung

Wie du gelernt hast, ist der Kreisbogen b ein Anteil des Umfangs vom gesamten Kreis. Die Herleitung der Formel für den Kreisbogen baut daher auf der Formel für den Gesamtumfang U für den Kreis auf.

Die Formel für den Kreisbogen b erweitert die oben genannte Formel für den Umfang vom Kreis lediglich um den Faktor :

Das liegt daran, dass durch den Faktor angegeben wird, welchen Anteil der Kreisbogen b am Gesamtumfang U vom Kreis hat. Der Winkel gibt an, wie groß der Mittelpunktswinkel ist.

Kreisbogen – Formel

Es gibt zwei Formeln für den Kreisbogen, die dir helfen ihn zu berechnen. Eine der Formeln berechnet den Kreisbogen b auf Basis des Radius r des Kreises, die andere Formel verwendet den Durchmesser d des Kreises zur Berechnung des Kreisbogens.

Es reicht eigentlich, wenn du dir eine der beiden Formeln für den Kreisbogen merkst, da du den Radius leicht ermitteln kannst, wenn der Durchmesser vom Kreis gegeben ist und umgekehrt.

Falls du den Mittelpunktswinkel nicht im Gradmaß, sondern im Bogenmaß gegeben hast, musst du den Winkel zunächst in die Einheit Gradmaß umrechnen.

Wenn du mehr zum Gradmaß und Bogenmaß wissen möchtest, solltest du einen Blick in unsere dazugehörigen Artikel werfen!

Kreisbogen berechnen – Formel umstellen

Die Formel für den Kreisbogen kannst du auch verwenden, um den Radius r, den Durchmesser d oder den Mittelpunktswinkel des Kreises zu bestimmen. Dafür ist es nötig, die Formel für den Kreisbogen umzustellen. Wie das funktioniert, lernst du im folgenden Abschnitt.

Formel für den Kreisbogen nach dem Radius auflösen

Zuerst soll die Formel für den Kreisbogen b nach dem Radius r des Kreises aufgelöst werden.

Die Ausgangsformel sieht folgendermaßen aus:

Um die Formel nach dem Radius r aufzulösen, wird sie mit multipliziert und durch dividiert. Dadurch ergibt sich für den Radius r die folgende Definition.

Die Formel für den Radius r lautet:

Formel für den Kreisbogen nach dem Durchmesser auflösen

Als Nächstes soll die Formel für den Kreisbogen b nach dem Durchmesser d vom Kreis aufgelöst werden.

Die Ausgangsformel sieht folgendermaßen aus:

Um die Formel nach dem Durchmesser d aufzulösen, wird sie mit multipliziert und durch dividiert.

Dadurch ergibt sich für den Durchmesser d die folgende Definition.

Die Formel für den Durchmesser d lautet:

Formel für den Kreisbogen nach dem Mittelpunktswinkel auflösen

Zum Schluss soll die Formel für den Kreisbogen b nach dem Mittelpunktswinkel vom Kreis aufgelöst werden.

Die Ausgangsformel sieht wieder folgendermaßen aus:

Um die Formel nach dem Mittelpunktswinkel vom Kreis aufzulösen, wird sie erneut mit multipliziert, diesmal aber durch dividiert.

Dadurch ergibt sich für den Mittelpunktswinkel die folgende Definition.

Die Formel für den Mittelpunktswinkel lautet:

Kreisbogen berechnen – Beispiel

Da du nun die Formel zur Berechnung des Kreisbogens kennst, fällt es dir sicher leicht, das folgende Beispiel nachzuvollziehen.

Kreisbogen – Übungsaufgaben

Super! Du hast jetzt alles, was du über Kreisbögen wissen musst gelernt!

In den vier abschließenden Übungsaufgaben kannst du nun dein Wissen zum Thema Kreisbogen überprüfen.