Kegelstumpf

Aufgabe

Berechne das Volumen V eines Kegelstumpfes mit \(h = 5\, cm\), \(R = 8 \, cm\) und \(r = 6\, cm\).

Lösung

Als Erstes notierst Du die Formel zur Berechnung des Volumens V eines Kegelstumpfes:\[ V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot h \cdot (R^2 + R\cdot r +r^2)\]

Dann setzt Du die gegebenen Werte in die Formel ein. Achte dabei darauf, dass Du R und r nicht verwechselst und auch die Klammern nicht vergisst:

\[ V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 5\, cm \cdot ((8\,cm)^2 + 8\,cm\cdot 6\, cm +(6\, cm)^2)\] Zum Schluss berechnest Du noch das Ergebnis mit dem Taschenrechner:\begin{align} V&=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 5\, cm\cdot (64\, cm^2 + 48\, cm^2 + 36\, cm^2)\\ &=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 5\, cm \cdot 148\,cm^2\\ &=\frac{1}{3}\pi\cdot 740 cm^3\\&\approx 774{,}9\,cm^3 \end{align}

Das Volumen des Kegelstumpfes beträgt ungefähr \(775{,}9\,cm^3\).

Aufgabe

Berechne die Mantelfläche M eines Kegelstumpfes mit $s=4cm$, $R=2cm$ und $r=1cm$.

Lösung

Als Erstes schreibst Du Dir die Formel zur Berechnung der Mantelfläche M auf.

$\mathrm{M}=\mathrm{\pi }·\mathrm{s}·(\mathrm{R}+\mathrm{r})$

Als Nächstes setzt Du die gegebenen Werte in die Formel ein.

$\mathrm{M}=\mathrm{\pi }·4\mathrm{cm}·(2\mathrm{cm}+1\mathrm{cm})$

Als Letztes rechnest Du das Ergebnis mit dem Taschenrechner aus.

$\mathrm{M}=\mathrm{\pi }·4\mathrm{cm}·3\mathrm{cm}\mathrm{M}=\mathrm{\pi }·12{\mathrm{cm}}^2\mathrm{M}\approx 37,7{\mathrm{cm}}^2$

Die Mantelfläche des Kegelstumpfes ist ungefähr $37,7c{m}^2$ groß.

Aufgabe

Berechne den Oberflächeninhalt O eines Kegelstumpfes mit R = 6 cm, r = 3 cm und s = 4 cm.

Lösung

Als Erstes notierst Du Dir die Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts O eines Kegelstumpfes:

$\mathrm{O}=\mathrm{\pi }·{\mathrm{R}}^2+\mathrm{\pi }·{\mathrm{r}}^2+(\mathrm{R}+\mathrm{r})·\mathrm{\pi }·\mathrm{s}$

Als Nächstes setzt Du die bekannten Werte von oben in die Formel ein:

$\mathrm{O}=\mathrm{\pi }·{(6\mathrm{cm})}^2+\mathrm{\pi }·{\left(3\mathrm{cm}\right)}^2+(6\mathrm{cm}+3\mathrm{cm})·\mathrm{\pi }·4\mathrm{cm}$

Zum Schluss rechnest Du das Ergebnis mit dem Taschenrechner aus. Beachte dabei die Punkt-vor-Strich-Regel:

$\mathrm{O}=\mathrm{\pi }·36{\mathrm{cm}}^2+\mathrm{\pi }·9{\mathrm{cm}}^2+9\mathrm{cm}·\mathrm{\pi }·4\mathrm{cm}\mathrm{O}=\mathrm{\pi }·36{\mathrm{cm}}^2+\mathrm{\pi }·9{\mathrm{cm}}^2+\mathrm{\pi }·36{\mathrm{cm}}^2\mathrm{O}=\mathrm{\pi }·(36{\mathrm{cm}}^2+9{\mathrm{cm}}^2+36{\mathrm{cm}}^2)\mathrm{O}=\mathrm{\pi }·81{\mathrm{cm}}^2\mathrm{O}\approx 254,5{\mathrm{cm}}^2$

Der Oberflächeninhalt des Kegelstumpfes beträgt ungefähr $245,5c{m}^2$.

Aufgabe

1. Berechne die Mantellinie s eines Kegelstumpfes mit $M=40m^2$, $r=2m$ und $R=3m$.

2. Berechne die Höhe h eines Kegelstumpfes mit $V=800c{m}^3$, $r=3cm$ und $R=7cm$.

3. Berechne den Oberflächeninhalt O mit $s=5cm$, $r=4cm$ und $R=6cm$.

Lösung

Zu 1.

Da Du die Mantelfläche gegeben hast und auch alle Werte für diese Formel vorhanden sind, kannst Du die entsprechende Formel wählen:

$M=\pi ·s·(R+r)$

Da in der Aufgabenstellung aber nach der Mantellinie s und nicht nach der Mantelfläche M gefragt ist, kannst Du die Formel nach s umstellen:

$\begin{array}{rcl}M& =& \pi ·s·(R+r)|÷(\pi ·(R+r))\\ s& =& \frac{M}{\pi ·(R+r)}\end{array}$

Im nächsten Schritt setzt Du dann die bekannten Werte in die Formel ein:

$s=\frac{40m^2}{\pi ·(3m+2m)}$

Zum Schluss rechnest Du das Ergebnis mit dem Taschenrechner aus:

$s=\frac{40m^2}{\pi ·5m}s=\frac{8m}{\pi }s\approx 25,5m$

Die Mantellinie s hat eine Länge von 25,5 m.

Zu 2.

Da Du in dieser Aufgabenstellung das Volumen gegeben hast, kannst Du die Volumenformel des Kegels wählen:

$V=\frac{1}{3}·\pi ·h·(R^2+R·r+r^2)$

Da in der Aufgabenstellung aber nach der Höhe h und nicht nach dem Volumen V gefragt ist, musst Du die Formel nach h umstellen:

$\begin{array}{rcl}V& =& \frac{1}{3}·\pi ·h·(R^2+R·r+r^2)|÷(\pi ·(R^2+R·r+r^2))\\ \frac{1}{3}·h& =& \frac{V}{\pi ·(R^2+R·r+r^2)}|·3\\ h& =& \frac{3·V}{\pi ·(R^2+R·r+r^2)}\end{array}$

Im nächsten Schritt kannst Du die bekannten Werte in die Formel einsetzen:

$h=\frac{3·800c{m}^3}{\pi ·({(7cm)}^2+7cm·3cm+{(3cm)}^2)}$

Zum Schluss rechnest Du das Ergebnis mit dem Taschenrechner aus:

$h=\frac{2400c{m}^3}{\pi ·(48c{m}^2+21c{m}^2+9c{m}^2)}h=\frac{2400c{m}^3}{\pi ·78c{m}^2}h\approx 9,8cm$

Die Höhe des Kegelstumpfes beträgt knapp 10 cm.

Zu 3.

Notiere die Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts eines Kegelstumpfes:

$O=\pi ·s·(R+r)+\pi ·R^2+\pi ·r^2$

Als Nächstes schreibst Du die oben gegebenen Werte auf:

$O=\pi ·5cm·(6cm+4cm)+\pi ·{(6cm)}^2+\pi ·{(4cm)}^2$

Zum Schluss kannst Du das Ergebnis mit dem Taschenrechner ausrechnen:

$O=\pi ·5cm·10cm+\pi ·36c{m}^2+\pi ·16c{m}^{2}O=\pi ·50c{m}^2+\pi ·36c{m}^2+\pi ·16c{m}^{2}O=\pi ·(50c{m}^2+36c{m}^2+16c{m}^2)O=\pi ·102c{m}^{2}O\approx 320,4c{m}^2$

Der Oberflächeninhalt O des Kegelstumpfes beträgt ungefähr $320,4c{m}^2$.