Hypotenuse

Im Zusammenhang mit rechtwinkligen Dreiecken hast du sicherlich schon oft von der Hypotenuse des Dreiecks gehört. Die Hypotenuse ist dabei eine besondere Seite des Dreiecks.

Es ist wichtig für dich, dass du beim Blick auf ein Dreieck schnell erkennen kannst, welche Dreiecksseite die Hypotenuse ist oder ob ein Dreieck überhaupt eine Hypotenuse hat.

In diesem Artikel sollen so alle deine potenziellen Fragezeichen im Zusammenhang mit der Hypotenuse eines Dreiecks geklärt werden. Außerdem lernst du zwei Möglichkeiten kennen, die Hypotenuse zu berechnen.

Trigonometrie Hypotenuse berechnen

Die Hypotenuse ist eine Bezeichnung für eine Dreiecksseite speziell im rechtwinkligen Dreieck. Wenn ein Dreieck also keinen rechten Winkel hat, dann hat es auch keine Hypotenuse!

Dreieck Hypothenuse

Im rechtwinkligen Dreieck haben die Dreiecksseiten besondere Namen.

Die anderen beiden Seien des Dreiecks heißen Katheten. Man sagt, dass sie an den rechten Winkel anliegen oder den rechten Winkel einschließen.

In diesem rechtwinkligen Dreieck ABC ist die Seite c die Hypotenuse des Dreiecks, weil sie dem rechten Winkel gegenüberliegt. Die Seiten a und b, die am rechten Winkel anliegen, sind die Katheten des Dreiecks.

Abbildung 1: rechwinkliges Dreieck ABC mit der Hypotenuse c

Hypothenuse als längste Seite im Dreieck

Vielleicht hast du schon einmal davon gehört, dass die Hypotenuse die längste Seite im Dreieck ist. Aber warum ist das so?

In einem Dreieck gilt, dass die längste Seite dem größten Winkel gegenüberliegt. Wegen der Innenwinkelsumme im Dreieck wissen wir außerdem, dass alle drei Winkel addiert 180° ergeben. Damit ist der rechte Winkel mit 90° der größte der drei Winkel im Dreieck (wäre nämlich ein zweiter Winkel größer als 90°, wäre die Summe dieser beider Winkel größer als 180°).

Wenn dir das Argument mit der Innenwinkelsumme nicht ganz klar ist, lies doch in unserem Artikel "Innenwinkelsumme Dreieck" noch einmal nach.

Daraus folgt nun, dass die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, die längste Seite im Dreieck ist. Und das ist nach der Definition auch genau unsere Hypotenuse!

Abbildung 1: Grafik zur Veranschaulichung der Hypotenuse als längste Dreiecksseite

Man kann jedes Dreieck mit rechtem Winkel so drehen wie das obige Dreieck.

An dieser Darstellung lässt sich direkt erkennen, dass die Seite b – die Hypotenuse – länger ist als die Seiten a und c. Warum?

Der Halbkreis$K_1$entsteht, wenn man einen Kreis mit Radius b um den Punkt C zeichnet. Die Strecke s gibt somit an, um wie viel die Dreiecksseite b länger ist als die Dreiecksseite a.

Analog funktioniert das für den Kreis$K_2$, den Kreis um den Punkt A mit Radius b. Hier sieht man an der Strecke t, dass die Seite b länger ist als die Seite c.

Hypothenuse Formel - Satz des Pythagoras

Je nach den gegebenen Größen des Dreiecks gibt es mehrere Wege, die Länge der Hypotenuse zu berechnen oder bei gegebener Hypotenuse andere Größen (Längen oder Winkel) des Dreiecks auszurechnen.

Eine dieser Methoden ist die Berechnung mit dem Satz des Pythagoras.

Satz des Pythagoras Grundlagenwissen

Zur Erinnerung noch einmal die Formulierung des Satz des Pythagoras:

Wenn der rechte Winkel nicht der Seite c gegenüber liegt, müssen die Variablen in der Formel entsprechend angepasst werden. Beispielsweise gilt in einem Dreieck mit$\beta =90°$die Formel $a^2+c^2=b^2$.

Abbildung 3: rechtwinkliges Dreieck mit angepasster Pythagoras-Formel (rechter Winkel im Punkt B)

Berechnung mit dem Satz des Pythagoras

Wenn die beiden Katheten a und b des rechtwinkligen Dreiecks gegeben sind, kann mithilfe von Pythagoras die Länge der Hypotenuse berechnet werden:

$c^2=a^2+b^2\Rightarrow c=\sqrt{a^2+b^2}$

Sinus Hypotenuse

In vielen Fällen ist jedoch nur eine Kathete des rechtwinkligen Dreiecks angegeben. Ist zusätzlich die Größe eines vom rechten Winkel verschiedenen Innenwinkel (oft sagt man auch einen spitzen Innenwinkel) gegeben, so lässt sich die Länge der Hypotenuse mit Sinus und Cosinus berechnen.

Sinus und Kosinus Grundlagenwissen

Sinus und Kosinus geben Längenverhältnisse in einem rechtwinkligen Dreieck an. Ganz genau definieren kann man sie wie folgt:

Dabei ist die Ankathete von$\alpha$diejenige der beiden Katheten, die am Winkel$\alpha$anliegt.

Abbildung 4: Ankathete und Gegenkathete eines Winkels

Hier gilt beispielsweise:

$\sin \left(\alpha \right)=\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}=\frac{a}{c}$

Wenn dir die Bedeutung von Sinus und Kosinus am rechtwinkligen Dreieck nicht mehr ganz klar ist, lies gerne im Artikel Sinus und Kosinus am rechtwinkligen Dreieck noch einmal nach.

Berechnung mit Sinus und Kosinus

Die Formeln für Sinus und Kosinus können umgestellt werden, um die Hypotenuse zu berechnen.

Aus

$\sin \left(\alpha \right)=\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$

und

$\cos \left(\alpha \right)=\frac{Ankathete}{Hypotenuse}$

folgt durch Termumstellung:

$Hypotenuse=\frac{Gegenkathete}{\sin \left(\alpha \right)}=\frac{Ankathete}{\cos \left(\alpha \right)}$

Je nachdem, welcher Winkel und welche Kathete gegeben ist, muss die passende der beiden Formeln ausgewählt werden.