Flächeninhalt Kreisring

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Vielleicht hast Du schon einmal Baustellen an einem Kreisel beobachtet. Wenn die Arbeiten beendet sind, müssen die Bauarbeiter*innen immer noch die Straße säubern und kehren, bevor sie wieder befahrbar ist. Um herauszufinden, wie viel Fläche gekehrt werden muss, kannst Du die Formel für den Flächeninhalt eines Kreisrings verwenden.

Flächeninhalt Kreisring Kreisel StudySmarter

Kreisring – Definition und Erklärung

Im Alltag haben verschiedene Objekte die Form eines Kreisrings: der Verkehrskreisel, ein von oben betrachteter Donut oder ein dicker Gummi.

Objekte sind im Alltag dreidimensional. Aus manchen Blickwinkeln sehen sie jedoch zweidimensional aus. Ein Kreisring ist immer eine zweidimensionale Form.

Ein Kreisring besteht aus einer großen Kreisfläche, aus der eine kleinere Kreisfläche ausgeschnitten wurde.

Ein Kreisring ist die Fläche A, doe zwischen zwei konzentrischen, unterschiedlich großen Kreislinien mit den Radien $r_{g}$ (großer Kreis) und $r_{k}$ (kleiner Kreis) liegt. Beide Kreise weisen daher denselben Mittelpunkt M auf.

Ein Kreisring könnte beispielsweise wie in Abbildung 1 aussehen. Es gibt eine äußere Kreislinie mit dem Radius $r_{g}$ sowie eine innere Kreislinie mit dem Radius $r_{k}$ . Die Fläche zwischen diesen beiden Kreislinien zeigt die Fläche des Kreisrings.

Flächeninhalt Kreisring Kreisring StudySmarter Abbildung 1: Kreisring

Flächeninhalt eines Kreises

Der Flächeninhalt A gibt an, wie groß die Fläche einer zweidimensionalen Form ist. Der Flächeninhalt A einer Kreisfläche ist das Maß für die Größe der Fläche. Die Fläche ist abhängig vom Radius r bzw. dem Durchmesser d des Kreises und der Kreiszahl $π$ .

$A_{○} = π \cdot r^{2} = π \cdot {(\frac{d}{2})}^{2}$

Der Flächeninhalt wird mit dem Großbuchstaben A abgekürzt und beispielsweise in $m m^{2}$ (Quadratmillimeter), $c m^{2}$ (Quadratzentimeter), $m^{2}$ (Quadratmeter) oder $k m^{2}$ (Quadratkilometer) angegeben.

Mehr zur Kreisfläche und deren Flächeninhalt findest Du in den Artikeln "Kreis" und "Flächeninhalt eines Kreises".

Flächeninhalt Kreisring Formel – Herleitung und umstellen

Um jetzt die Formel für den Flächeninhalt eines Kreisrings zu erhalten, brauchst Du:

die Formel für den Flächeninhalt A eines Kreises
die Definition des Kreisrings

Die Definition eines Kreisrings beschreibt, dass ein Kreisring von zwei Kreislinien begrenzt wird, die denselben Mittelpunkt M besitzen. Um diese Fläche mathematisch zu berechnen, können die jeweiligen Kreisflächen ausgerechnet und voneinander abgezogen werden.

Du berechnest also den Flächeninhalt der großen Kreisfläche und ziehst dann den Flächeninhalt der kleinen Kreisfläche ab. So erhältst Du den Flächeninhalt des Kreisrings.

Flächeninhalt Kreisring Herleitung Fläche Kreisring StudySmarter Abbildung 2: Herleitung Kreisring

Die jeweiligen Kreisflächen kannst Du anhand des Radius r oder des Durchmessers d berechnen. Sowohl für die kleine als auch die große Kreisfläche gilt:

$A_{○} = π \cdot r^{2}$

Durch Einsetzen des richtigen Radius $r_{g}$ (großer Radius) und $r_{k}$ (kleiner Radius) in die Formel, lassen sich beide Kreisflächen $A_{g}$ (großer Kreis) und $A_{k}$ (kleiner Kreis) bestimmen:

$A_{g} = π \cdot {r_{g}}^{2} und A_{k} = π \cdot {r_{k}}^{2}$

Flächeninhalt Kreisring Kreisring mit Radien StudySmarter Abbildung 3: Kreisring mit Radien

Die Formel für den Flächeninhalt A des Kreisrings ergibt sich aus der Subtraktion von beiden Kreisflächen.

$A = A_{g} - A_{k} A = π \cdot {r_{g}}^{2} - π \cdot {r_{k}}^{2} A = π \cdot ({r_{g}}^{2} - {r_{k}}^{2})$

Für den Flächeninhalt $A$ eines Kreisrings mit dem Außenradius $r_{g}$ und dem Innenradius $r_{k}$ gilt:

$A = π \cdot ({r_{g}}^{2} - {r_{k}}^{2})$

mit Index g (großer Kreis) und Index k (kleiner Kreis).

Mit dieser Formel kannst Du auch noch den Durchmesser angeben:

$\begin{array}{rcl} 2 \cdot r & = & d \\ \Rightarrow & r = \frac{d}{2} \end{array}$

In Abbildung 4 werden anstatt der Radien für die Berechnung des Flächeninhalts die Durchmesser der beiden Kreisflächen genutzt:

Flächeninhalt Kreisring Kreisring mit Durchmesser StudySmarter Abbildung 4: Kreisring mit Durchmesser

In der Formel für den Flächeninhalt A des Kreisrings wird der Radius r durch den Ausdruck $\frac{d}{2}$ ersetzt:

$A = A_{g} - A_{k} A = π \cdot {(\frac{d_{g}}{2})}^{2} - π \cdot {(\frac{d_{k}}{2})}^{2} A = π \cdot \frac{{d_{g}}^{2}}{4} - π \cdot \frac{{d_{k}}^{2}}{4} A = π \cdot \frac{1}{4} \cdot {d_{g}}^{2} - π \cdot \frac{1}{4} \cdot {d_{k}}^{2} A = \frac{π}{4} \cdot ({d_{g}}^{2} - {d_{k}}^{2})$

Für den Flächeninhalt $A$ eines Kreisrings mit dem Außendurchmesser $d_{g}$ und dem Innendurchmesser $d_{k}$ gilt:

$A = \frac{π}{4} \cdot ({d_{g}}^{2} - {d_{k}}^{2})$

mit Index g (großer Kreis) und Index k (kleiner Kreis).

Mit diesen Formeln kannst Du nun den Flächeninhalt eines Kreisrings auf unterschiedliche Weise berechnen.

Flächeninhalt Kreisring berechnen

Je nachdem, welche Angaben in der Aufgabe gegeben sind, wird die entsprechende Formel gewählt. So können beispielsweise

Radien
Durchmesser
Teilumfänge

gegeben sein.

Flächeninhalt eines Kreisrings mit dem Radius berechnen – Beispiel

Sind in der Aufgabenstellung die Radien des äußeren und inneren Kreises gegeben, kannst Du diese entsprechend in die Formel für den Flächeninhalt eines Kreisrings mit dem Radius einsetzen.

Aufgabe 1

Berechne den Flächeninhalt A eines Kreisrings mit den Radien $r_{g} = 5 c m u n d r_{k} = 2 c m$ .

Lösung

Schreibe als Erstes die Formel auf. In diesen Fall ist der Radius gegeben, daher wählst Du:

$A = π \cdot ({r_{g}}^{2} - {r_{k}}^{2})$

Als Nächstes setzt Du die Werte für $r_{g}$ und $r_{k}$ ein:

$A = π \cdot ({(5 c m)}^{2} - {(2 c m)}^{2})$

Zuletzt berechnest Du das Ergebnis:

$A = π \cdot (25 c m^{2} - 4 c m^{2}) A = π \cdot 21 c m^{2} \approx 65, 97 c m^{2}$

Auf den meisten Taschenrechnern gibt es eine Taste, um Pi einzusetzen. Besonders bei Berechnungen ohne Taschenrechner wird vereinfacht auf den gerundeten Wert von 3,14 zurückgegriffen.

Der Kreisring hat also einen Flächeninhalt von ungefähr $65, 97 c m^{2}$ .

Diese Berechnungsart besteht also aus drei Schritten:

Formel aufschreiben
Werte einsetzen
Ergebnis ausrechnen

Flächeninhalt eines Kreisrings mit dem Durchmesser berechnen – Beispiel

In diesem Beispiel wird der Flächeninhalt eines Kreisrings mit dem Durchmesser und der dazu passenden Formel berechnet.

Aufgabe 2

Berechne den Flächeninhalt A eines Kreisrings mit den Durchmessern $d_{g} = 4 c m$ und $d_{k} = 1 c m$ .

Lösung

Da der Durchmesser gegeben ist, wählst Du folgende Formel:

$A = \frac{π}{4} \cdot ({d_{g}}^{2} - {d_{k}}^{2})$

Im nächsten Schritt werden die gegebenen Werte, also $d_{g} = 4 c m u n d d_{k} = 1 c m$ , in die Formel eingesetzt:

$A = \frac{π}{4} \cdot ({(4 c m)}^{2} - {(1 c m)}^{2})$

Zum Schluss kannst Du das Ergebnis wieder mit dem Taschenrechner oder im Kopf ausrechnen.

$A = \frac{π}{4} \cdot (16 c m^{2} - 1 c m^{2}) A = \frac{π}{4} \cdot 15 c m^{2} A \approx 11, 78 c m^{2}$

Mit der Kreiszahl erhältst Du als Ergebnis eine Kommazahl mit sehr vielen Nachkommastellen. Hier wurde sie auf zwei Nachkommastellen gerundet.

Der Flächeninhalt A des Kreisrings beträgt gerundet

11, 78 c m^{2}

Diese Berechnungsart besteht aus drei Schritten:

Formel aufschreiben
Werte einsetzen
Ergebnis ausrechnen

Flächeninhalt eines Kreisrings mit dem Umfang berechnen – Beispiel

Um den Flächeninhalt eines Kreisrings ohne die Angabe von Radius und Durchmesser ermitteln zu können, müssen in der Aufgabenstellung die Kreisumfänge des großen und kleinen Kreises gegeben sein.

Aufgabe 3

Berechne den Flächeninhalt A eines Kreisrings mit den Umfängen $U_{g} = 15 c m$ und $U_{k} = 9 c m$ .

Lösung

Zuerst notierst Du die Formel für den Umfang eines Kreises:

$U = 2 \cdot π \cdot r$

Wenn Du mehr über den Umfang eines Kreises lernen willst, dann lies dir doch unseren Artikel zum Thema Umfang eines Kreises durch.

Als Nächstes stellst Du die Formel um, sodass der Radius r ausgerechnet werden kann:

$\begin{array}{rcl} U & = & 2 \cdot π \cdot r : (2 \cdot π) \\ r & = & \frac{U}{2 \cdot π} \end{array}$

Durch diese Umformung können sowohl für den großen Kreis als auch für den kleinen Kreis die Radien ermittelt werden. Jetzt kannst Du die Formel für die Berechnung des Flächeninhalts eines Kreisrings mit dem Radius verwenden und den Radius durch die obige Formel ersetzen.

$A = π \cdot {r_{g}}^{2} - π \cdot {r_{k}}^{2}$

Da die Formel des Umfangs oben umgestellt wurde, setzt Du nun die umgestellte Formel in die Formel des Flächeninhalts ein:

$A = π \cdot {(\frac{U_{g}}{2 \cdot π})}^{2} - π \cdot {(\frac{U_{k}}{2 \cdot π})}^{2}$

Als Letztes kannst Du die gegebenen Werte von $U_{g} = 15 c m$ und $U_{k} = 9 c m$ für die Umfänge einsetzen und das Ergebnis ausrechnen:

$A = π \cdot {(\frac{15 c m}{2 \cdot π})}^{2} - π \cdot {(\frac{9 c m}{2 \cdot π})}^{2} A \approx 11, 46 c m^{2}$

Der Flächeninhalt A des Kreisrings beträgt ungefähr $11, 46 c m^{2}$ .

Diese Berechnungsart besteht aus sechs Schritten:

Formel für den Umfang U aufschreiben
Formel nach dem Radius r umstellen
Formel für Flächeninhalt A mit dem Radius r aufschreiben
Radius r aus der umgestellten Formel in den Radius r der Formel des Flächeninhalts A einsetzen
Werte einsetzen
Ergebnis ausrechnen

Stattdessen kannst Du auch die nachfolgende Formel verwenden, bei der die Kreisumfänge bereits enthalten sind.

Für den Flächeninhalt $A$ eines Kreisrings mit dem Außenumfang $U_{g}$ und dem Innenumfang $U_{k}$ gilt:

$A = π \cdot {(\frac{U_{g}}{2 \cdot π})}^{2} - π \cdot {(\frac{U_{k}}{2 \cdot π})}^{2} A = π \cdot ({(\frac{U_{g}}{2 \cdot π})}^{2} - {(\frac{U_{k}}{2 \cdot π})}^{2})$

mit Index g (großer Kreis) und Index k (kleiner Kreis).

Umfang eines Kreisrings

Du kannst auch den Gesamtumfang U des Kreisrings berechnen. Es gibt zwei verschiedene Umfänge:

Der Umfang $U_{k}$ des inneren, kleinen Kreises.
Der Umfang $U_{g}$ der äußeren, großen Kreises.

Um den Gesamtumfang U eines Kreisrings zu erhalten, müssen diese beiden Teilumfänge addiert werden.

Flächeninhalt Kreisring Umfang Kreisring StudySmarter Abbildung 5: Umfang Kreisring

Für den Umfang $U$ eines Kreisrings mit dem Außenradius $r_{g}$ und dem Innenradius $r_{k}$ beziehungsweise dem Außendurchmesser $d_{g}$ und dem Innendurchmesser $d_{k}$ gilt:

$U = 2 \cdot π \cdot (r_{g} + r_{k})$

oder

$U = 2 \cdot π \cdot (\frac{d_{g}}{2} + \frac{d_{k}}{2})$

mit Index g (großer Kreis) und Index k (kleiner Kreis).

Mehr zu den verschiedenen Elementen eines Kreisrings und deren Berechnung findest Du im Artikel "Kreisring".

Flächeninhalt eines Kreisrings – Übungsaufgaben

Im Folgenden findest Du Übungsaufgaben zur Berechnung von Flächeninhalten von Kreisringen sowie die dazugehörigen Lösungen.

Aufgabe 4

In einer Bäckerei gibt es verschiedene Gebäckstücke, darunter auch unterschiedliche rundliche Hefegebäcke mit einem Loch in der Mitte. Zum Füllen werden diese waagrecht mittig durchgeschnitten und beispielsweise mit Butter oder Marmelade bestrichen.

Flächeninhalt Kreisring Flaticon Bagel StudySmarter

Welche Fläche kann bei den Gebäckstücken belegt werden, wenn …

a) … es Hefebrötchen mit einem Innenradius von $r_{k} = 2 c m$ und einem Außenradius von $r_{g} = 6 c m$ sind?

b) … die mittelgroßen Gebäcke Durchmesser von $d_{k} = 7 c m$ und $d_{g} = 10 c m$ haben?

c) … die kleinen gebackenen Teiglinge einen Umfang von $U_{k} = 17 c m$ und $U_{g} = 25 c m$ haben?

Hinweis: Es wird lediglich die Fläche einer Gebäckhälfte gesucht.

Lösung

Durch das Durchschneiden der Gebäckstückchen, kann die zu belegende Fläche annähernd als Fläche eines Kreisrings beschrieben werden.

a) Hier sind die Radien $r_{k}$ und $r_{g}$ des durchgeschnittenen Gebäcks gegeben. Um die Fläche zu berechnen, benötigst Du die Formel für den Flächeninhalt eines Kreisrings mit den Radien. Durch Einsetzen der Werte ergibt sich:

$A_{1} = π \cdot ({r_{g}}^{2} - {r_{k}}^{2}) A_{1} = π \cdot ({(6 c m)}^{2} - {(2 c m)}^{2}) A_{1} = π \cdot (36 c m^{2} - 4 c m^{2}) A_{1} = π \cdot 32 c m^{2} \approx 100, 53 c m^{2}$

b) In diesem Fall kannst Du Dir die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreisrings mit den Durchmessern notieren:

$A_{2} = π \cdot {(\frac{d_{g}}{2})}^{2} - π \cdot {(\frac{d_{k}}{2})}^{2}$

Als Nächstes kannst Du die Werte von d in die Formel einsetzen und dann das Ergebnis berechnen:

$A_{2} = π \cdot {(\frac{10 c m}{2})}^{2} - π \cdot {(\frac{7 c m}{2})}^{2} A_{2} = π \cdot {(5 c m)}^{2} - π \cdot {(3, 5 c m)}^{2} A_{2} = π \cdot 25 c m^{2} - π \cdot 12, 25 c m^{2} A_{2} \approx 40, 06 c m^{2}$

c) Hier benötigst Du bei gegebenen Teilumfängen die folgende Formel:

\begin{array}{rcl} A_{3} & = & π \cdot ({(\frac{U_{g}}{2 \cdot π})}^{2} - {(\frac{U_{k}}{2 \cdot π})}^{2}) \end{array}

Im nächsten Schritt kannst Du die Werte einsetzen und das Ergebnis ausrechnen:

A_{3} = π \cdot ({(\frac{25 c m}{2 \cdot π})}^{2} - {(\frac{17 c m}{2 \cdot π})}^{2}) A_{3} \approx 26, 74 c m^{2}

Aufgabe 5

Bei Bauarbeiten soll ein Kreisel gebaut werden, der insgesamt einen Außenradius von $r = 20 m$ hat. Die Insel in der Mitte wird mit Blumen bepflanzt, wobei der Durchmesser dieser Insel $d = 22 m$ beträgt.

Wie viel Liter Teer muss mindestens bestellt werden, damit er für die Fahrbahn des Kreisels ausreicht, wenn diese $8 c m$ dick sein soll und der Teer damit einem flachen Hohlzylinder entspricht? (Auffahrten, Bordsteine und Ähnliches ausgenommen).

Hinweis: 1 m³ entspricht 1 000 Liter.

Lösung

Als Erstes kannst Du eine Zeichnung der Situation erstellen. Der Verkehrskreisel hat eine Grundfläche in der Form eines Kreisrings mit den Angaben $r_{g}$ des äußeren Kreises und $d_{k}$ des inneren Kreises. Diese Fläche muss geteert werden. Um die benötige Menge in Litern berechnen zu können, musst aber noch die Dicke bzw. Höhe des Teers einberechnet werden.

Flächeninhalt Kreisring Abbildung 6: Geteerte Verkehrsinsel

Da sowohl ein Radius als auch ein Durchmesser angegeben sind, sollte hier zunächst eine Umformung stattfinden. In diesem Fall werden beide Angaben als Radius dargestellt und damit der Durchmesser $d_{k}$ umgeformt:

$\begin{array}{rcl} r_{k} & = & \frac{d_{k}}{2} \\ r_{k} & = & \frac{22 m}{2} \\ r_{k} & = & 11 m \end{array}$

Als Nächstes kannst Du die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreisrings mit dem Radius aufschreiben. Dann kannst Du die Werte einsetzen und das Ergebnis berechnen:

$A = π \cdot ({r_{g}}^{2} - {r_{k}}^{2}) A = π \cdot ({(20 m)}^{2} - {(11 m)}^{2}) A = π \cdot (400 m^{2} - 121 m^{2}) A = π \cdot 279 m^{2} \approx 876, 50 m^{2}$

Damit hast Du die Grundfläche des Kreises berechnet. Um die Menge des Teers zu berechnen, musst Du noch das Volumen dafür berechnen.

Das Volumen berechnet sich hier aus der Multiplikation von Grundfläche mal Höhe. $V = A \cdot h$

Da der Teer $8 c m$ dick aufgetragen werden soll, muss die ausgerechnete Fläche mit der Dicke multipliziert werden:

$V = A \cdot h V = 876, 50 m^{2} \cdot 0, 08 m V = 70, 12 m^{3}$

Jetzt fehlt nur noch die Menge in Litern. Dazu kannst Du den Dreisatz verwenden:

$1 m^{3} = 1 000 l 70, 12 m^{3} = 70 120 l$

Es müssen also mindestens $70 120 l$ Teer bestellt werden.

Flächeninhalt eines Kreisrings – Das Wichtigste auf einen Blick

Der Flächeninhalt A eines Kreisrings ist abhängig von seinem Außenradius $r_{g}$ und seinem Innenradius $r_{k}$ bzw. seinem Außendurchmesser $d_{g}$ und seinem Innendurchmesser $d_{k}$ .
Für den Flächeninhalt A eines Kreisrings mit dem Radius r gilt: $A = π \cdot ({r_{g}}^{2} - {r_{k}}^{2})$
Für den Flächeninhalt A eines Kreisrings mit dem Durchmesser d gilt: $A = \frac{π}{4} \cdot ({d_{g}}^{2} - {d_{k}}^{2})$
Für einen Kreisring mit dem Flächeninhalt A und den Teilumfängen $U_{g}$ und $U_{k}$ gilt: $A = π \cdot ({(\frac{U_{g}}{2 π})}^{2} - {(\frac{U_{k}}{2 π})}^{2})$
Für den Umfang eines Kreisrings gilt: $U = 2 π \cdot (r_{g} + r_{k})$

Häufig gestellte Fragen zum Thema Flächeninhalt Kreisring

Um den Flächeninhalt eines Kreisrings zu berechnen, können folgende Formeln genutzt werden:

A = π · r_g² - π · r_k²

oder

A = π · (d_g/2)² - π · (d_k/2)²

Der Flächeninhalt eines Kreises kann mit einer der folgenden Formeln berechnet werden:

A = π · r²

oder

A = π · (d/2)²

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Was ist der Flächeninhalt?

Der Flächeninhalt ist ein Maß für die Größe seiner Fläche. Er ist abhängig vom Radius r beziehungsweise dem Durchmesser d.

In welcher Einheit wird der Flächeninhalt angegeben?

Der Flächeninhalt wird in der Regel in mm², cm², m² oder km² angegeben.

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