Additionstheoreme werden in der Analysis im Zusammenhang mit Sinus, Cosinus oder Tangens verwendet. Sie können Dir bei der Berechnung von Summen und Differenzen von Winkeln in der Trigonometrie behilflich sein. Welche Additionstheoreme es gibt und wie sie definiert werden, lernst Du in der folgenden Erklärung kennen.
Additionstheoreme Trigonometrie – Einfach erklärt
Additionstheoreme sind in der Mathematik bestimmte Formeln, die bei Sinus, Cosinus und Tangens angewandt werden.
In der Trigonometrie werden die Additionstheoreme definiert als Formeln zur Vereinfachung von Winkelfunktionen der Form:
\[\sin(\alpha\pm\beta)\]
\[\cos(\alpha\pm\beta)\]
\[\tan(\alpha\pm\beta)\]
Die zwei Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) werden dabei als Variablen betrachtet.
Statt den Winkeln \(\alpha\) und \(\beta\) können zum Beispiel auch \(x\) und \(y\) eingesetzt werden, also beispielsweise \(\sin(x\pm y)\). Das Prinzip bleibt jedoch gleich.
Je nachdem, ob es sich bei der Winkelfunktion um eine Sinus-, Cosinus- oder eine Tangensfunktion handelt, gibt es verschiedene Additionstheoreme.
Additionstheoreme Sinus
Für die Sinusfunktion gibt es mehrere Additionstheoreme, die Du im Folgenden kennenlernst.
Die Additionstheoreme für die Sinusfunktion lauten:
\begin{align}\sin(\alpha+\beta )&=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)\\ \\\sin(\alpha-\beta )&=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)-\cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)\end{align}
Die zwei Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) werden dabei als Variablen betrachtet.
Die Anwendung der Additionstheoreme des Sinus kannst Du Dir anhand eines Beispiels ansehen.
Gegeben ist \(\alpha=30°\) und \(\beta=90°\). Gesucht ist der Sinus der Summe der beiden Winkel:
$$\sin(30° + 90°)=?$$
Die Winkel werden hier bewusst nicht direkt zusammengerechnet. Sie sollen lediglich die Anwendung des Additionstheorems zeigen.
Um dies zu berechnen, kannst Du folgendes Additionstheorem anwenden:$$\sin(\alpha+\beta )=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)$$
Setze dazu die gegebenen Winkel anstelle von \(\alpha\) und \(\beta\) ein.$$\sin(30°+90°)=\sin(30°)\cdot \cos(90°)+\cos(30°)\cdot \sin(90°)$$
Die Funktionswerte der trigonometrischen Funktionen einzelner Winkel kannst Du der Trigonometrie-Tabelle entnehmen:
| \(\alpha\) | \(30°\) | \(90°\) |
\(\sin(\alpha)\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(1\) |
\(\cos(\alpha)\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(0\) |
Du kannst diese Werte auch mit dem Taschenrechner ausrechnen, anstatt die Tabelle zu nutzen. Achte darauf, die Winkel im Gradmaß („DEG“ im Taschenrechner) zu berechnen.
Nun kannst Du diese Werte in Deine Formel einsetzen:
\begin{align}\sin(30°+90°)&=\sin(30°)\cdot \cos(90°)+\cos(30°)\cdot \sin(90°)\\[0.2cm] &=\frac{1}{2} \cdot 0+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1 \\[0.2cm] &=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{align}
Somit konntest Du den Sinus der Summe der beiden Winkel \(\sin(30° + 90°)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) mithilfe eines Additionstheorems berechnen.
Additionstheoreme Cosinus
Auch für die Cosinusfunktion gibt es Additionstheoreme. Diese lernst Du in diesem Abschnitt kennen.
Die Additionstheoreme für die Cosinusfunktion lauten:
\begin{align}\cos(\alpha+\beta )&=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)-\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)\\ \\\cos(\alpha-\beta )&=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)+\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)\end{align}
Die zwei Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) werden dabei als Variablen betrachtet.
Die Anwendung der Additionstheoreme des Cosinus kannst Du Dir anhand eines Beispiels ansehen.
Gegeben ist \(\alpha=45°\) und \(\beta=60°\). Gesucht ist der Cosinus der Differenz der beiden Winkel: $$\cos(45°-60°)=?$$
Um dies zu berechnen, kannst Du folgendes Additionstheorem anwenden:$$\cos(\alpha-\beta )=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)+\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$$
In diese Formel kannst Du Deine Zahlenwerte für \(\alpha\) und \(\beta\) einsetzen:$$\cos(45°-60° )=\cos(45°)\cdot \cos(60°)+\sin(45°)\cdot \sin(60°)$$
Die Funktionswerte der trigonometrischen Funktionen der einzelnen Winkel kannst Du der Trigonometrie-Tabelle entnehmen:
| \(\alpha\) | \(45°\) | \(60°\) |
\(\sin(\alpha)\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) |
\(\cos(\alpha)\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ \) | \(\dfrac{1}{2} \) |
Nun kannst Du diese Werte in Deine Formel einsetzen:
\begin{align} \cos(45°-60° )&=\cos(45°)\cdot \cos(60°)+\sin(45°)\cdot \sin(60° ) \\[0.2cm] &=\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} +\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\[0.2cm] &=\frac{\sqrt{2}}{4} +\frac{\sqrt{6}}{4} \\[0.2cm] &=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \end{align}
Additionstheoreme Tangens
Die Additionstheoreme der Tangensfunktion unterscheiden sich vom Aufbau ein wenig von den Additionstheoremen für Sinus und Cosinus.
Die Additionstheoreme für die Tangensfunktion lauten:
\begin{align}\tan(\alpha+\beta )&=\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\cdot \tan(\beta)}\\ \\\tan(\alpha-\beta )&=\frac{\tan(\alpha)-\tan(\beta)}{1+\tan(\alpha)\cdot \tan(\beta)}\end{align}
Die zwei Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) werden dabei als variable Winkel betrachtet.
Die Anwendung der Additionstheoreme des Tangens kannst Du Dir anhand eines Beispiels ansehen.
Gegeben ist \(\alpha=30°\) und \(\beta=45°\). Gesucht ist der Tangens der Summe der beiden Winkel: $$\tan(30°+45°)=?$$
Um dies zu berechnen, kannst Du folgendes Additionstheorem anwenden:$$\tan(\alpha+\beta )=\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\cdot \tan(\beta)}$$
In diese Formel kannst Du Deinen Zahlenwert für \(\alpha\) und \(\beta\) einsetzen:
$$\tan(30°+45°)=\frac{\tan(30°)+\tan(45°)}{1-\tan(30°)\cdot \tan(45°)}$$
Die Funktionswerte der trigonometrischen Funktionen der einzelnen Winkel kannst Du der Trigonometrie-Tabelle entnehmen:
| \(\alpha\) | \(30°\) | \(45°\) |
\(\tan(\alpha)\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) | \(1\) |
Nun kannst Du diese Werte in Deine Formel einsetzen:\begin{align} \tan(30°+45°)&=\frac{\dfrac{\sqrt{3}}{3}+1}{1-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\ \cdot 1}\\[0.3cm]&=2+\sqrt{3}\end{align}
Aus den Additionstheoremen von Sinus, Cosinus und Tangens ergeben sich auch die Doppelwinkelfunktion. Sieh Dir dazu die folgende Vertiefung an.
Doppelwinkelfunktionen
Die Doppelwinkelfunktionen des Sinus und Cosinus kannst Du der Tabelle entnehmen.
| Formel |
| \(\sin(2\cdot \alpha)=2\cdot \sin(\alpha)\cdot \cos(\alpha)\) |
\(\cos(2\cdot \alpha)=\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)\) |
Woher stammen die Additionstheoreme eigentlich? Interessiert Dich die Herleitung der Additionstheoreme? Dann auf zum nächsten Abschnitt.
Möchtest Du direkt Übungsaufgaben zu den Additionstheoremen lösen, dann überspring einfach das folgende Kapitel.
Additionstheoreme Herleitung
Bei der Herleitung der Additionstheoreme muss wieder zwischen Sinus-, Cosinus- oder Tangens unterschieden werden.
Additionstheoreme Beweis – Sinus Cosinus
Den Beweis der Additionstheoreme des Sinus und Cosinus kannst Du Dir mithilfe des Einheitskreises mit dem Radius \(r=1\) ansehen (Abbildung 1).
Abb 1. - Additionstheoreme Herleitung Sinus Cosinus
Gegeben sind die Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) innerhalb des Einheitskreises. Die Strecke \(\overline{OB}\) hat die Länge 1 und die Dreiecke \(\bigtriangleup OAB\), \(\bigtriangleup ODB\), \(\bigtriangleup OCD\) und \(\bigtriangleup EDB\) sind rechtwinklig.
Additionstheorem Sinus – Summe von zwei Winkeln
Als Erstes kannst Du Dir den Beweis für \(\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\sin(\beta)\cdot\cos(\alpha)\) ansehen.
Zur Erinnerung: \(\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypothenuse}}\) und \(\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypothenuse}}\)
Im rechtwinkligen Dreieck \(\bigtriangleup OAB\) gilt für die Strecke \(\overline{AB}\):$$\text{I.} \quad \sin(\alpha+\beta)=\frac{\overline{AB}}{1}=\overline{AB}$$
Zusätzlich gilt: $$ \text{II.} \quad \overline{AB}=\overline{CD}+\overline{BE} $$
Im rechtwinkligen Dreieck \(\bigtriangleup ODB\) gilt:\begin{align} \text{III.} \quad \sin(\beta)=\frac{\overline{BD}}{1}=\overline{BD}\\[0.2cm]\text{IV.} \quad \cos(\beta)=\frac{\overline{OD}}{1}=\overline{OD}\\ \end{align}
Zur Erinnerung: Die Hypotenuse ist hier \(1\), da es sich um einen Einheitskreis handelt.
Im rechtwinkligen Dreieck \(\bigtriangleup OCD\) gilt:$$\text{V.} \quad \sin(\alpha)=\frac{\overline{CD}}{\overline{OD}}$$
\(\text{IV.}\) in \(\text{V.}\) eingesetzt:\begin{align} \sin(\alpha)&=\frac{\overline{CD}}{\cos(\beta)} \hspace{1cm} |\cdot(\cos(\beta)\\ \\ \text{V.a} \hspace{1cm}\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)&=\overline{CD} \end{align}
Im rechtwinkligen Dreieck \(\bigtriangleup EDB\) gilt:$$\text{VI.} \quad \cos(\alpha)=\frac{\overline{BE}}{\overline{BD}}$$
\(\text{III.}\) in \(\text{VI.}\) eingesetzt:\begin{align}\cos(\alpha)&=\frac{\overline{BE}}{\sin(\beta)} \hspace{1cm} |\cdot \sin(\beta)\\ \\ \text{VI.a} \quad \sin(\beta)\cdot \cos(\alpha)&=\overline{BE} \end{align}
\(\text{V.a}\) und \(\text{VI.a}\) in \(\text{II.}\) eingesetzt:$$\text{II.a} \quad \overline{AB}=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\sin(\beta)\cdot\cos(\alpha)$$
\(\text{II.a}\) in \(\text{I.}\) eingesetzt:$$\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\sin(\beta)\cdot\cos(\alpha)$$
Somit konntest Du das erste Theorem des Sinus herleiten und beweisen.
Additionstheorem Sinus – Differenz von zwei Winkeln
Um \(\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)-\sin(\beta)\cdot\cos(\alpha)\) zu beweisen gehst Du davon aus das \(\beta\) negativ ist:
\begin{align} \sin(\alpha-\beta)&=\sin(\alpha)\cdot\cos(-\beta)+\sin(-\beta)\cdot\cos(\alpha) \\[0.2cm] &=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)-\sin(\beta)\cdot\cos(\alpha) \end{align}
Zur Erinnerung: \(\cos(-\beta)=\cos(\beta) \quad \text{und} \quad \sin(-\beta)=-\sin(\beta)\)
Somit konntest Du die Additionstheoreme des Sinus herleiten und beweisen. Der Beweis der Additionstheoreme des Cosinus funktioniert nach demselben Prinzip.
Additionstheoreme Beweis – Tangens
Die Additionstheoreme des Tangens lassen sich mittels der Additionstheoreme von Sinus und Cosinus, sowie den Eigenschaften des Tangens herleiten.
Für den Tangens gilt: $$\text{I.} \quad \tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$$
Die relevanten Additionstheoreme des Sinus und Cosinus für die Herleitung und den Beweis der Additionstheoreme des Tangens sind:\begin{align} \text{II.} \quad \sin(\alpha\pm \beta )&=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) \pm \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta) \\ \text{III.} \quad \cos(\alpha \pm \beta)&=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) \mp \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta) \end{align}
Für die Herleitung kannst Du als Erstes die Gleichung \(\text{I.}\) anwenden und erhältst damit den ersten Teil des Additionstheorems des Tangens: $$\tan(\alpha\pm\beta )=\frac{\sin(\alpha\pm\beta)}{\cos(\alpha\pm\beta)} $$
Nun kannst Du Gleichung \(\text{II.}\) und \(\text{III.}\) in die eben erhaltene Gleichung einsetzen:\begin{align} \tan(\alpha\pm\beta )=\frac{\sin(\alpha\pm\beta)}{\cos(\alpha\pm\beta)}=\frac{\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) \pm \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta) }{\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) \mp \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta) } \end{align}
Teilst Du jetzt alle Elemente der Gleichung durch \(\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)\), ergibt sich:
\begin{align} \tan(\alpha\pm\beta )=\frac{\sin(\alpha\pm\beta)}{\cos(\alpha\pm\beta)}&=\frac{\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) \pm \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta) }{\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) \mp \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta) } \\ \\&=\frac{\frac{\sin(\alpha)\cdot \cancel{\cos(\beta)}}{\cos(\alpha)\cdot \cancel{\cos(\beta)}} \pm \frac{\cancel{\cos(\alpha)}\cdot \sin(\beta) }{\cancel{\cos(\alpha)}\cdot \cos(\beta)}}{\frac{\cancel{\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)}}{\cancel{\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)}} \mp \frac{\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)} } \\ \\&=\frac{\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \pm \frac{\sin(\beta) }{\cos(\beta)}}{1 \mp \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \cdot \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}} \\ \\&=\frac{\tan(\alpha)\pm\tan(\beta)}{1\mp\tan(\alpha)\cdot \tan(\beta)} \end{align}Damit konntest Du die Additionstheoreme des Tangens der Summe und Differenz von zwei Winkeln herleiten.
Additionstheoreme Sinus Cosinus Tangens – Tabelle
Um einen Gesamtüberblick über die Additionstheoreme von Sinus, Cosinus und Tangens zu erhalten findest Du im Folgenden eine Tabelle zur Übersicht.
| Trigonometrische Funktion | Additionstheoreme |
| Sinus | \(\sin(\alpha\pm \beta )=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)\pm \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)\) |
| Cosinus | \(\cos(\alpha \pm \beta )=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) \mp \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)\) |
| Tangens | \(\tan(\alpha\pm\beta )=\dfrac{\sin(\alpha\pm\beta)}{\cos(\alpha\pm\beta)}=\dfrac{\tan(\alpha)\pm\tan(\beta)}{1\mp\tan(\alpha)\cdot \tan(\beta)}\) |
Additionstheoreme – Aufgaben
Im Folgenden findest Du eine Übungsaufgabe, mit der Du die Anwendung der Additionstheoreme üben kannst.
Aufgabe 1
Gegeben ist \(\alpha=15°\) und \(\beta=90°\). Gesucht ist der Cosinus der Summe der beiden Winkel: $$\cos(15°+90°)=?$$
Lösung
Um die Aufgabe zu lösen, kannst Du folgendes Additionstheorem anwenden:$$\cos(\alpha+\beta )=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)-\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$$
In diese Formel kannst Du Deine Zahlenwerte für \(\alpha\) und \(\beta\) einsetzen:$$\cos(15°+90° )=\cos(15°)\cdot \cos(90°)-\sin(15°)\cdot \sin(90°)$$
Die Werte für die Funktionswerte der trigonometrischen Funktionen einzelner Winkel kannst Du der Trigonometrie-Tabelle entnehmen:
| \(\alpha\) | \(15°\) | \(90°\) |
\(\sin(\alpha)\) | \(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\) | \(1\) |
\(\cos(\alpha)\) | \(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \) | \(0\) |
Nun kannst Du diese Werte in Deine Formel einsetzen:
\begin{align} \cos(15°+90°) &=\cos(15°)\cdot \cos(90°)-\sin(15°)\cdot \sin(90°) \\[0.2cm] &=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \cdot 0 -\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \cdot 1\\[0.2cm] &=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \end{align}
Noch mehr Übungsaufgaben findest Du in den Karteikarten zu den Additionstheoremen.
Additionstheoreme – Das Wichtigste
- Additionstheoreme sind Formeln zur Vereinfachung von Winkelfunktionen der Form: \(\sin(\alpha\pm\beta)\), \(\cos(\alpha\pm\beta)\) und \(\tan(\alpha\pm\beta)\).
- Die Additionstheoreme des Sinus lauten:\[\sin(\alpha\pm\beta )=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)\pm\cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)\]
- Die Additionstheoreme des Cosinus lauten:\[\cos(\alpha\pm\beta )=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)\mp\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)\]
- Die Additionstheoreme für den Tangens lauten:\[\tan(\alpha\pm\beta )=\frac{\tan(\alpha)\pm\tan(\beta)}{1\mp\tan(\alpha)\cdot \tan(\beta)}\]
Nachweise
- Papula (2017). Mathematische Formelsammlung. Springer Vieweg Wiesbaden.
- Korntreff (2017). Didaktische Herausforderungen der Trigonometrie: Bogenmaß, Additionstheoreme und die Ableitungen der Sinus- und Kosinusfunktion. Springer Spektrum.
Schüler*innen Geprüfte Erklärungen zu allen Themen in der Schule
Studierende Alles was du brauchst für ein erfolgreiches Studium
Auszubildende Lernmaterialien für bessere Noten in der Berufsschule
Magazine Die besten Lifehacks, Tipps und Infos
