In einem Fast-Food-Restaurant werden alle Bestellungen der Reihe nach abgearbeitet. Du hast die Bestellnummer 13, während eine Person aus deinem Freundeskreis die Nummer 9 hat. Doch wer von euch bekommt nun zuerst seine Bestellung?
Das kannst Du mit dem Zahlen Ordnen herausfinden. Wie Du vielleicht weißt, kannst Du Zahlen der Größe nach ordnen und vergleichen. Dabei gibt es verschiedene Arten von Zahlen und Dinge, die Du beachten solltest.
In dieser Erklärung erfährst Du unter anderem alles Wichtige über das Zahlen Sortieren und wie Du rationale Zahlen vergleichen und ordnen kannst, aber auch wie Du z. B. natürliche oder ganze Zahlen ordnen kannst und wie Du Zahlen nach Betrag ordnen solltest.
Zahlen ordnen – Grundwissen
Damit Du in der folgenden Erklärung keine Schwierigkeiten mit einzelnen Bezeichnungen bekommst, solltest Du Grundwissen über die folgenden Themen mitbringen.
Wiederholung Zahlenmengen
Folgende Zahlenmengen spielen eine Rolle beim Zahlen Ordnen:
Natürliche Zahlen \(\mathbb{N}\): Alle positiven ganzen Zahlen \(>0\)
Ganze Zahlen \(\mathbb{Z}\): Alle positiven und negativen ganzen Zahlen und die 0
Rationale Zahlen \(\mathbb{Q}\): Alle Zahlen, die sich als Bruch von zwei ganzen Zahlen oder als Dezimalzahl mit endlich vielen Nachkommastellen schreiben lassen
Lies dich gerne in den einzelnen Erklärungen genauer dazu ein.
Wiederholung Zahlenstrahl und Zahlengerade
Außerdem solltest Du wissen, wie was ein Zahlenstrahl oder einer Zahlengerade ist und wie Du Zahlen dort einträgst und abliest.
Ein Zahlenstrahl ist eine gerade Linie, auf der positive Zahlen nacheinander angeordnet werden. Der Abstand zwischen zwei benachbarten Zahlen ist dabei immer gleich groß und die kleinste Zahl ist die 0.
Eine Zahlengerade dagegen ist eine Gerade, die in der Mathematik als Veranschaulichung der reellen Zahlen verwendet wird. Auch hier ist der Abstand zwischen den benachbarten Zahlen immer gleich groß. Eine Zahlengerade besitzt im Gegensatz zum Zahlenstrahl sowohl positive als auch negative Zahlen.
Du kannst sowohl auf der Zahlengeraden als auch auf dem Zahlenstrahl Zahlen eintragen, indem Du Dich an der 0 oder anderen bereits eingetragenen Zahlen orientierst und Schritte in die jeweilige Richtung abzählst. Dabei solltest Du die Schrittweite beachten: Sie kann 1 betragen, aber z. B. auch 10 oder 0,5.
Mehr zu diesen beiden Themen findest Du in den Erklärungen Zahlenstrahl und Zahlengerade.
Zahlen ordnen – Zahlen der Größe nach ordnen
Im Allgemeinen werden Zahlen immer von links nach rechts sortiert. Dabei spielt der Startpunkt eine Rolle.
Sollst Du Zahlen der Größe nach ordnen, orientierst Du Dich meist an der \(0\). Diese ist bei natürlichen Zahlen die niedrigste Zahl und somit der Startpunkt. Bei ganzen Zahlen ist sie das nicht, da es auch negative Zahlen gibt, die kleiner als \(0\) sind.
Eine Anordnung von Zahlen findet meist von links nach rechts statt. Zahlen können nach unterschiedlichen Kriterien sortiert werden. Ein wichtiges Kriterium ist ihre Größe. Dabei stehen links die niedrigeren Zahlen und rechts die höheren Zahlen. Bei der Sortierung kannst Du Dich an der Zahlengerade orientieren:
Abb. 1 – Zahlengerade
Um zu beschreiben, dass eine Zahl größer ist als die vorige, nutzt Du das Zeichen \(>\). Wenn die Zahl kleiner ist als die davor stehende, nutze das Zeichen \(<\).
Du kannst Zahlen allerdings auch andersherum sortieren.
Es ist möglich, Zahlen beginnend bei der Größten bis hin zur kleinsten Zahl zu sortieren. Dabei stehen links die höheren Zahlen und rechts die niedrigeren Zahlen.
Diese Ordnung gilt nur dann, wenn sie speziell in einer Aufgabe verlangt wird oder in einer Alltagssituation mehr Sinn ergibt.
Natürliche Zahlen ordnen und vergleichen
Wie Du bereits lesen konntest, gibt es unterschiedliche Zahlenarten bzw. Zahlenmengen. In diesen gibt es unterschiedliche Dinge zu beachten, wenn es um das Sortieren von Zahlen geht.
Die natürliche Zahlen orientieren sich dabei an der \(0\) als Startpunkt.
Je näher eine natürliche Zahl auf dem Zahlenstrahl an der \(0\) liegt, desto kleiner ist sie. Der Zahlenstrahl beginnt mit der \(0\).
Abb. 2 – Zahlenstrahl natürlicher Zahlen
Erinnerst Du Dich an die Warteliste im Restaurant? Diese startet stets bei der \(1\) und es werden nur natürliche Zahlen als Bestellnummern ausgegeben. Wer von euch bekommt also zuerst sein Essen?
Du hast die Nummer \(13\), die andere Person die Nummer \(9\). Da die Zahl \(9\) kleiner ist als die Zahl \(13\), steht sie weiter links und ist näher am Startpunkt \(0\): \[9<13\] Das siehst Du auch am Zahlenstrahl:
Abb. 3 – Zahlen ordnen
Du beginnst also bei der \(0\) und gehst einmal \(9\) Schritte nach rechts und einmal \(13\) Schritte nach rechts. Für die \(13\) musst Du weiter gehen, sie ist also größer.
Somit bekommt die andere Person ihr Essen vor Dir.
Zahlen ordnen bis 100
Die natürlichen Zahlen umfassen unendlich viele Zahlen. Daher wird mit dem Sortieren oft im Zahlenraum von \(0\) bis \(100\) gestartet.
Auch hier vergleichst Du die Zahlen ihrer Größe nach und ordnest sie von links nach rechts, beginnend mit der kleinsten Zahl.
Ordne die Zahlen \(29\); \(45\); \(12\) und \(99\) der Größe nach.
Wählst Du einen Zahlenstrahl, der von 0 bis 100 läuft, kannst Du die Zahlen auch dort anordnen. Dies musst Du natürlich nicht aufzeichnen, manchmal hilft dies aber bei der Sortierung.
Abb. 4 – Zahlen bis 100 ordnen
Also gilt: \[12<29<45<99\]
Ganze Zahlen ordnen und vergleichen
Die ganzen Zahlen umfassen auch negative Zahlen, daher solltest Du bei der Sortierung ganzer Zahlen etwas anders vorgehen.
Bei negativen Zahlen ist die kleinste Zahl immer die, die auf der Zahlengerade am weitesten links von der \(0\) steht.
Die negativen Zahlen mit größerem Wert sind dabei kleiner als die negativen Zahlen mit kleinerem Wert.
Hierzu ein kleines Beispiel:
Sortiere die Zahlen \(-3\), \(-10\) und \(-4\) der Größe nach, beginnend mit der kleinsten Zahl.
Hier gehst Du die Schritte in negative Richtung und sortierst die Zahlen entsprechend auf der Zahlengeraden. Dabei ist die Zahl, die am weitesten links steht, die kleinste Zahl.
Abb. 5 – negative Zahlen ordnen
Es gilt also \[-10<-4<-3.\]
Beim Sortieren von ganzen Zahlen solltest Du also immer darauf achten, welche Vorzeichen die Zahlen haben. Negative Zahlen sind immer kleiner als positive Zahlen.
Wenn Du mehr über die negativen Zahlen herausfinden möchtest, kannst Du in der Erklärung negative Zahlen nachsehen.
Zahlen nach Betrag ordnen
Es kann vorkommen, dass Du Zahlen nach ihrem Betrag ordnen sollst. Was der Betrag einer Zahl ist, kannst Du in der Erklärung Betragsfunktionen herausfinden.
Der Betrag einer Zahl ist immer positiv, weshalb Du hier nicht auf das Vorzeichen achten musst.
Beim Ordnen von Zahlen nach Betrag beachtest Du nur den Zahlenwert, nicht das Vorzeichen. Du ordnest die Zahlen der Größe ihres Zahlenwerts entsprechend.
Wie genau geht das? Das siehst Du in folgendem Beispiel.
Ordne die Zahlen \(-3\), \(2\), \(7\) und \(-6\) nach der Größe ihres Betrags.
Hier achtest Du also nicht auf die Vorzeichen und verschiebst alle Zahlen in den positiven Bereich der Zahlengerade.
Abb. 6 – Zahlen nach Betrag ordnen
Schreibe also die Zahlen in dieser Reihenfolge auf. Vergiss dabei nicht die Betragsstriche um die einzelnen Zahlen: \[|2|<|-3|<|-6|<|7|\]
Rationale Zahlen vergleichen und ordnen
Rationale Zahlen umfassen auch Brüche und Dezimalzahlen. Auch hier muss beim Ordnen etwas mehr beachtet werden als bei natürlichen Zahlen.
- Wie Du Brüche untereinander ordnest, erfährst Du in der Erklärung Brüche vergleichen und ordnen.
- Wie Du Dezimalzahlen untereinander sortierst, kannst Du in der Erklärung Dezimalzahlen vergleichen nachlesen.
Sollst Du nun ganze Zahlen, Brüche und Dezimalzahlen untereinander ordnen, bietet es sich an, die Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln.
Beim Vergleich rationaler Zahlen bietet es sich an, gegebene Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln, da diese gut mit ganzen Zahlen auf der Zahlengerade angeordnet werden können. Auch hier gilt:
- Je weiter links eine Zahl auf der Zahlengerade steht, umso kleiner ist sie.
- Je weiter rechts eine Zahl auf der Zahlengerade steht, umso größer ist sie.
Einige Brüche können auch gut ohne Umwandlung auf der Zahlengerade markiert werden.
Falls Du nicht genau weißt, wie Du Brüche in Dezimalzahlen umwandelst, sieh dir folgendes an:
Bruch in Dezimalzahl umwandeln
Eine Dezimalzahl ist nichts anderes als ein Bruch in Dezimalschreibweise. Der Bruchstrich steht dabei für eine Division.
Um einen Bruch \(\dfrac{Z}{N}\) in Dezimalschreibweise zu schreiben, teilst Du den Zähler \(Z\) durch den Nenner \(N\): \[Z:N\]
Manchmal bietet es sich dabei an, den Bruch so zu erweitern, dass eine Zehnerpotenz im Nenner steht. Das erleichtert die Division. Du kannst natürlich auch einen Taschenrechner für die Division nutzen.
Im folgenden Beispiel sind unterschiedliche rationale Zahlen gegeben.
Ordne folgende Zahlen der Größe nach. Beginne dabei bei der kleinsten Zahl: \(-3\); \(\dfrac{1}{2}\); \(\text{3,5}\); \(-\text{1,5}\); \(3\)
Um die \(\dfrac{1}{4}\) besser auf der Zahlengerade einsortieren zu können, kannst Du sie in eine Dezimalzahl umwandeln: \(\dfrac{1}{2}=1:2=\text{0,5}\). Da sie aber auf jeden Fall ein Bruchteil der \(1\) ist, weißt Du, dass sie zwischen der \(0\) und der \(1\) liegen muss.
Abb. 7 – rationale Zahlen ordnen
Also gilt die Reihenfolge \[-3<-\text{1,5}<\dfrac{1}{2}<3<\text{3,5}.\]
Zahlen ordnen – Übungen und Aufgaben
In diesen Aufgaben kannst Du üben, verschiedene Zahlen der Größe nach zu sortieren. Dabei umfassen die Aufgaben nicht nur die rationalen Zahlen. Es gibt auch Übungen für ganze und natürliche Zahlen.
Aufgabe 1
Ordne die Zahlen der Größe nach. Beginne mit der kleinsten Zahl.
a) \(13; \, 58; \, 24;\, 96\)
b) \(-432; \, 324; \, -345;\, -34; \, 393\)
c) \(-\text{2,4}; \, \text{8,21}; \, -\text{2,43};\, \text{9,3}; \, \text{8,7}\)
Lösung
a) Hier sind nur natürliche Zahlen bis 100 gegeben. Die Anordnung lautet: \[13<24<58<96\]
b) Hier sind auch Zahlen dabei, die negativ und größer als 100 sind. Achte also beim Sortieren auf das Vorzeichen. Die kleinsten Zahlen sind die negativen Zahlen mit hohem Zahlenwert. Die Reihenfolge ist \[-432<-345<-34<324<393.\]
c) Hier sind sowohl positive als auch negative Dezimalzahlen gegeben. Achte auf die Vorzeichen und die Nachkommastellen der Zahlen. Die \(-\text{2,43}\) ist kleiner als die \(-\text{2,4}\), da ihr Zahlenwert um \(\text{0,03}\) größer ist: \[-\text{2,43}<-\text{2,4}<\text{8,21} <\text{8,7}<\text{9,3}\]
Aufgabe 2
Ordne die folgenden Zahlen nach der Größe ihres Betrags. Beginne bei der kleinsten Zahl: \[-7;\, 15;\, \text{7,9};\, -\text{18,42};\, -199;\, \frac{10}{5}\]
Lösung
Den Bruch kannst Du als Division schreiben und ausrechnen: \(\frac{10}{5}=10:5=2\). Jetzt kannst Du die Zahlen der Größe nach sortieren. Achte dabei darauf, dass die Vorzeichen hier keine Rolle spielen, da Du nach dem Betrag sortieren sollst. Die Reihenfolge lautet dann: \[\left|\frac{10}{5}\right|<|-7|<|\text{7,9}|<|15|<|-\text{18,42}|<|-199|\]
Aufgabe 3
Ordne die folgenden Zahlen der Größe nach. Beginne bei der größten Zahl:
\[1321;\, 5323;\, -95290;\, 8932;\, -4134;\,93939\]
Lösung
Die gegebenen Zahlen sind deutlich größer bzw. kleiner als die bisherigen Beispiele. Achte daher genau auf Hunderter, Tausender und Zehntausender sowie auf die Vorzeichen. Die Anordnung der Zahlen von groß nach klein lautet: \[93939<8932<5323< 1321<-4134<-95290\]
Zahlen ordnen – Das Wichtigste
- Eine Sortierung von Zahlen findet meist von links nach rechts statt. Dabei stehen links die niedrigeren Zahlen und rechts die höheren Zahlen.
- Um zu beschreiben, dass eine Zahl größer ist als die vorige, nutzt Du das Zeichen \(>\). Wenn die Zahl kleiner ist als die davor stehende, nutze das Zeichen \(<\).
- Je näher eine natürliche Zahl auf dem Zahlenstrahl an der \(0\) liegt, desto kleiner ist sie. Der Zahlenstrahl beginnt mit der \(0\).
Beim Sortieren von ganzen Zahlen solltest Du immer auf das Vorzeichen achten. Negative Zahlen sind immer kleiner als positive Zahlen.
Beim Ordnen von Zahlen nach Betrag ordnest Du die Zahlen der Größe ihres Zahlenwerts entsprechend.
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