Stell Dir vor, Du sitzt in der Fahrschule im Theorieunterricht. In der heutigen Stunde geht es um Promillegrenzen beim Autofahren. Doch was ist Promille eigentlich? Promille wird umgangssprachlich auf den Alkoholgehalt im Blut einer Person bezogen. Promille beschreibt also einen Anteil. Doch auch in anderen Situationen findet Promille Verwendung, denn Du kannst Promille, genauso wie Prozent, zur Angabe von Anteilen eines Ganzen verwenden. In dieser Erklärung lernst Du, was Promille ist, was der Unterschied zu Prozent ist, wie Du Promille berechnest und was es für Anwendungsbeispiele gibt.
Wiederholung Prozentrechnung
Prozent kannst Du nutzen, um einen Anteil eines Ganzen zu beschreiben. Wenn Du Dich bereits in der Prozentrechnung auskennst, kannst Du bei der Berechnung von Promille die gleichen Vorgänge und Prinzipien anwenden. Der einzige Unterschied zwischen Promille und Prozent ist die Vergleichszahl. Aus diesem Grund findest Du im Voraus eine kurze Wiederholung zur Prozentrechnung.
Prozent – Definition
Prozent gibt einen bestimmten Anteil eines Ganzen an.
Ein Prozent ist ein Hundertstel eines Ganzen und wird festgelegt durch:
Als Vergleichszahl dient die 100.
Das Prozentzeichen kann auch als Multiplikation mit dem Bruch aufgefasst werden. Das heißt beispielsweise . Hundertstelbrüche können mit der Prozent-Schreibweise dargestellt werden.
Wenn Du das Thema Prozent vertiefen möchtest, kannst Du in der Erklärung "Prozent" vorbeischauen.
Prozent berechnen
Wenn Du mit Prozenten rechnest, gibt es drei relevante Begriffe:
- Prozentwert P
- Prozentsatz
- Grundwert G
Prozentwert P, Prozentsatz und Grundwert G kannst Du über die Grundgleichung der Prozentrechnung berechnen.
Die Grundgleichung der Prozentrechnung ist immer die gleiche, sie wird nur nach dem gesuchten Wert umgestellt:
Wenn zwei Werte gegeben sind, kann der dritte Wert berechnet werden.
Als Merkhilfe gibt es das Dreieck der Prozentrechnung (Abbildung 1).
Abbildung 1: Dreieck der Prozentrechnung
Wenn Du den gesuchten Wert umkreist, bleibt genau Deine gesuchte Formel übrig
Die Grundgleichung der Prozentrechnung kannst Du in der entsprechenden Erklärung nochmal vertiefen.
Promille berechnen
In der Mathematik bietet neben Prozent auch Promille eine Möglichkeit, um Anteile eines Ganzen anzugeben. Was Promille genau ist und wie Du Promillewerte berechnen kannst, lernst Du in dieser Erklärung.
Promille – Zeichen und Definition
Ein Prozent ist ein Hundertstel eines Ganzen:
Du vergleichst also bei Prozent immer mit der Zahl 100.
Ein Promille ist dementgegen ein Tausendstel von einem Ganzen und wird festgelegt durch:
Als Vergleich wird die Zahl 1 000 benutzt.
Das Wort Promille setzt sich zusammen aus den lateinischen Wörtern pro - "im Verhältnis zu" und mille - "tausend". Die Definition von Promille steckt also quasi im Namen schon drinnen.
Ein Promille ist also 10-mal kleiner als ein Prozent. Beim Promillezeichen wird deshalb noch eine Null hinzugefügt.
Das Promillezeichen kann auch als Multiplikation mit dem Bruch aufgefasst werden. Tausendstelbrüche können mit der Promille-Schreibweise dargestellt werden.
Einzelheiten zur richtigen Anwendung von Promille sind sogar in der deutschen Norm DIN 5477 vom Februar 1983 festgelegt. Die Verwendung von Promille ist demnach auf den Gebrauch bei der Angabe von Quotienten von Zahlen oder Größen gleicher Dimension beschränkt. In der internationalen Norm ISO 80000-1 von August 2013 wird Promille als Teil der kohärenten Einheit Eins genutzt. Das Promillezeichen ‰ wird entsprechend wie ein Einheitenzeichen verwendet.
Wie Du Promille in Prozent umrechnest, sowie umgekehrt, lernst Du im weiteren Verlauf der Erklärung.
Prozent in Promille umrechnen
Für die Umrechnung von Prozent in Promille gibt es eine Formel, die Du anwenden kannst.
Um Prozent in Promille umzurechnen, musst Du den Prozentsatz mit dem Faktor 10 multiplizieren, oder falls Du den Prozentsatz in einen Bruch umwandelst, diesen im Nenner und im Zähler je um 10 erweitern:
Für die Umwandlung von Prozent in Promille findest Du im Folgenden ein kurzes Beispiel:
Du willst in Promille umwandeln.
Dafür rechnest Du:
Als kleine Hilfestellung findest Du weitere Beispiele in der nächsten Tabelle:
| Prozent | Promille | Dezimalzahl |
| | 0,01 |
| | 0,05 |
| | 0,25 |
| | 0,50 |
| | 1 |
Auch für die Umrechnung von Promille in Prozent gibt es eine Formel.
Um Promille in Prozent umzurechnen, musst Du den Prozentsatz durch 10 dividieren, oder mit der Dezimalzahl 0,01 multiplizieren. Wenn Du den Promillewert wieder in einen Bruch umwandelst, musst Du je Nenner und im Zähler durch 10 dividieren.
Die Umwandlung von Promille in Prozent kannst Du Dir anhand eines Beispiels ansehen:
Du möchtest in Prozent umwandeln.
Dafür rechnest Du:
Als kleine Hilfestellung findest Du weitere Beispiele in der nächsten Tabelle:
| Promille | Prozent | Dezimalzahl |
| | 0,001 |
| | 0,005 |
| | 0,025 |
| | 0,05 |
| | |
| | | 1 |
Promille berechnen – Formel
Die Berechnung von Promille funktioniert genauso wie die Prozentrechnung, nur mit der Vergleichszahl 1 000 statt 100. Bei der Berechnung von Promille gibt es drei relevanten Begriffe:
- Promillewert P
- Promillesatz
- Grundwert G
Um diese drei Werte zu berechnen, gibt es jeweils Formeln, die Du anwenden kannst. Als Merkhilfe für die Formeln kannst Du bei der Promilleberechnung ebenfalls ein Dreieck der Promillerechnung aufstellen (Abbildung 2).
Abbildung 2: Dreieck der Promillerechnung
Die Formeln zur Berechnung von Promillewert P, Promillesatz sowie Promille Grundwert G und wie Du das Dreieck dabei anwendest, lernst Du im Folgenden kennen.
Promillewert berechnen
Der Promillewert P ist der Wert, der den Anteil angibt.
Ein Beispiel dafür ist, wie viele Schüler in Bayern in einem bestimmten Jahr ein 1,0 Abitur schaffen. Das sind zu diesem Zeitpunkt beispielsweise Schüler.
Es gilt also für den Promillewert P:
Um den Promillewert P zu berechnen, multiplizierst Du den Promillesatz mit dem Grundwert G.
Die Formel für die Berechnung des Promillewertes P lautet:
Wenn Du das Dreieck der Promillerechnung ansiehst und den gesuchten Wert umkreist, dann bleibt genau Deine gesuchte Formel übrig:
Abbildung 3: Dreieck der Promillerechnung - Promillewert P
Du schaust nochmal auf das Beispiel mit den 1,0er Schülern. Insgesamt gibt es Schüler, die zu einem bestimmten Zeitpunkt Abitur gemacht haben. der Schüler haben ein 1,0 Abitur geschafft. Gesucht ist die Anzahl der Schüler mit 1,0 Abitur, also der Promillewert P.
Es gilt:
und
Daraus kannst Du nun den Promillewert P berechnen:
Dein Promillewert P beträgt also . Somit haben Schüler von Schülern in Bayern ein 1,0 Abitur geschrieben.
Zur Kontrolle: Der Promillewert P von 1 265 Schülern ist genau derselbe, wie Du bereits oben im Beispiel kennengelernt hast, somit stimmt Deine Kontrolle.
Promillesatz berechnen
Der Promillesatz ist die Zahl vor dem Promillezeichen.
Zur Veranschaulichung kannst Du das Beispiel mit den Schülern mit 1,0 Abitur weiterführen:
Zu einem bestimmten Zeitpunkt habender Schüler ein 1,0 Abitur geschrieben.
Es gilt also für den Promillesatz :
Für die Berechnung Deines Promillesatzesbrauchst Du, wie bei der Prozentrechnung, deinen Promillewert P und Deinen Grundwert G. Um den Promillesatz zu berechnen dividierst Du den Promillewert P durch den Grundwert G.
Die Formel für die Berechnung des Promillesatzes lautet:
Wenn Du das Dreieck der Promillerechnung ansiehst und den gesuchten Wert umkreist, dann bleibt wieder genau Deine gesuchte Formel übrig:
Abbildung 4: Dreieck der Promillerechnung - Promillesatz p ‰
Bei dem Beispiel mit den 1,0er Schülern haben von insgesamt Schülern ein 1,0 Abitur. Gesucht ist der Promillesatz .
Es gilt:
und
Daraus kannst Du nun den Promillesatz berechnen:
Dein Promillesatz beträgt also .
Promille Grundwert berechnen
Der Grundwert G ist der Wert, dessen Anteil gesucht wird (=).
Du kannst Dir dafür wieder das Beispiel mit den Schülern mit 1,0 Abitur zu einem bestimmten Zeitpunkt ansehen:
Zu einem bestimmten Zeitpunkt haben Schüler ihr Abitur geschrieben.
Es gilt also für den Grundwert G:
Für die Berechnung Deines Grundwertes G brauchst Du, wie bei der Prozentrechnung Deinen Promillewert P und Deinen Promillesatz. Um den Grundwert G zu berechnen dividierst Du den Promillewert P durch den Promillesatz .
Die Formel für die Berechnung des Grundwertes G lautet:
Du umkreist im Dreieck der Promillerechnung wieder Deinen gesuchten Wert und erhältst Deine Formel:
Abbildung 5: Dreieck der Promillerechnung - Grundwert G
Bei dem Beispiel mit den 1,0er Schülern haben Schüler bzw. ein 1,0 Abitur geschafft. Gesucht ist der Grundwert G.
Es gilt:
und
Daraus kannst Du nun den Grundwert G berechnen:
Dein Grundwert G beträgt also Schüler.
Promille berechnen – Anwendungen
Promille ist umgangssprachlich bei der Angabe des Alkoholgehalts im Blut bekannt. Auch für Steigungs- und Gefälleangaben wird oftmals Promille statt Prozent verwendet. Im Folgenden lernst Du ein paar Anwendungsfälle und Beispiele kennen.
Steigung und Gefälle in Promille berechnen
Steigungen und negative Steigungen, also Gefälle, können auf unterschiedliche Weise angegeben werden, beispielsweise als Bruch, in Grad oder in Prozent. Aber auch Promille bietet eine Möglichkeit, Steigungen und Gefälle anzugeben. Große Steigungen und Gefälle, wie bei steilen Straßen oder Wanderwegen, werden meist in Prozent angegeben. Bei der Angabe von kleinen Steigungen und Gefälle, wie die von Eisenbahnstrecken oder Kanälen findet oft Promille Verwendung.
Die Semmeringbahn, eine Teilstrecke der Südbahn in Österreich, hat beispielsweise eine Steigung von . Das heißt, sie gewinnt auf Länge an Höhe, was einer Steigung von entspricht.
Bei einem Gefälle geht es dementgegen um Höhenverlust.
Hätte eine Bahnstrecke ein Gefälle von würde dies bedeuten, dass sie auf Länge an Höhe verliert.
Um Steigungen und Gefälle zu berechnen, kannst Du die Prinzipien anwenden, die Du für die Promillerechnung kennengelernt hast. Die Berechnung von Steigung und Gefälle und Promille kannst Du Dir anhand von Beispielen ansehen.
Ein Kanal verliert auf , Höhe. Gesucht ist das Gefälle in Promille.
ist in diesem Fall der Grundwert G und der Promillewert P. Berechnet werden muss der Promillesatz . Dafür wendest Du die Formel an, die Du oben gelernt hast:
Die Einheiten des Grundwertes G und des Promillewertes können in diesem Fall weggelassen werden, da diese sich wegkürzen. Somit rechnest Du:
Dein Gefälle ist in diesem Fall also .
Ein Beispiel für die Verwendung von Promille bei einer Steigung hast Du im Folgenden:
Eine lange Bahnstrecke hat eine Steigung von . Gesucht ist, wie viel Höhe die Bahnstrecke auf die gesamte Länge gesehen gewinnt.
ist in diesem Fall der Grundwert G und der Promillesatz . Berechnet werden muss der Promillewert P. Dafür wendest Du die Formel an, die Du oben gelernt hast:
Somit rechnest Du:
Die Bahnstrecke gewinnt somit auf den an Höhe.
Alkoholgehalt im Blut in Promille berechnen
Vielleicht ist es Dir schon einmal aufgefallen: der Alkoholgehalt im Blut wird ebenfalls in Promille angegeben. Der Anteil des Alkohols im Blut ist so klein, dass die Angabe des Anteils in Promille sinnvoller ist als in Prozent, denn meist ist von Werten zwischen und die Rede.
Die Berechnung des Alkoholgehalts im Blut kannst Du dir anhand eines Beispiels ansehen:
Eine mittelgroße, erwachsene Frau hat etwa 5 Liter Blut in ihrem Körper. Sie hat am Ende einer Party . Gesucht ist, wie viel Alkohol sich in Ihrem Blut befindet.
Der Grundwert G beträgt in diesem Fall . Der Promillesatz beträgt . Gesucht ist der Promillewert P, für den die Formel lautet:
Somit rechnest Du in diesem Fall:
Die Frau hat somit , also Alkohol im Blut.
Promille berechnen – Aufgaben
Im Folgenden findest Du einige Aufgaben, mit denen Du die Berechnung von Promille üben kannst.
Aufgabe 1
In einer Firma gibt es 439 Mitarbeitende. 13 davon machen jeden Tag Home-Office. Wie groß ist der Promillesatz ?
Lösung
Gegeben sind Grundwert G und Promillewert P:
Zur Berechnung des Promillesatz wendest Du die Formel an, die Du in dieser Erklärung gelernt hast:
Somit rechnest Du:
Ein Anteil von der Mitarbeitenden macht somit Home-Office.
Aufgabe 2
Ein Weitwanderweg hat über seine gesamte Strecke eine Steigung von durchgehend und die Höhenzunahme beträgt . Wie weit ist die Strecke?
Lösung
Gegeben sind Promillesatz und Promillewert P:
Zur Berechnung des Grundwertes G wendest Du die Formel an, die Du in dieser Erklärung gelernt hast:
Somit setzt Du die Werte ein und rechnest:
Die Gesamtstrecke beträgt somit
Aufgabe 3
Ein mittelgroßer, erwachsener Mann hat ca. 6 Liter Blut im Körper. Sie hat am Ende einer Party . Wie viel Alkohol befindet sich nach der Party in seinem Blut?
Lösung
Gegeben sind der Grundwert G und der Promillesatz :
Gesucht ist der Promillewert P, für den die Formel lautet:
Somit rechnest Du in diesem Fall:
Der Mann hat somit , also Alkohol im Blut.
Promille berechnen – Das Wichtigste auf einen Blick
- Promille bietet in der Mathematik die Möglichkeit, Anteile anzugeben
- Ein Promille ist ein Tausendstel von einem Ganzen und wird festgelegt durch:
Wenn Du mit Promille rechnest gibt es drei relevante Begriffe:
- Promillewert P
- Promillesatz
- Promille Grundwert G
- Die Formel um Prozent in Promille umzurechnen lautet:
Die Formel um Promille in Prozent umzurechnen lautet:
Die Formel für die Berechnung des Promillesatzes lautet:
Die Formel für die Berechnung des Promillewertes P:
Die Formel für die Berechnung des Grundwertes G:
Promille wird unter anderem für die Angabe von Steigungen, Gefällen und dem Alkoholgehalt im Blut verwendet.
Nachweise
- Johannes-strommer.com: Rechner für Steigungen & Gefälle. (15.06.2022)
- Henn (2015). Mathematik im Alltag. In: Kaiser et al. (2015). Realitätsbezüge im Mathematikunterricht. Springer Spektrum, Wiesbaden.
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