Die ersten Wochen in der achten Klasse waren zwar noch ziemlich ruhig geblieben, allerdings möchten die Freunde gerne ein klein wenig in den Urlaub fahren. Einige haben bereits abgesagt, allerdings können sich Anna, Lena, Lina, Luna, Philipp und Simon vorstellen, gemeinsam ein paar Tage zu verbringen. Nur was soll es sein? Lena, Lina, Luna und Philipp können sich vorstellen, einen Urlaub in den Bergen mit ausgedehnten Wanderungen zu verbringen. Du kannst sie in die Menge Berge zusammenfassen. Während Anna und Simon lieber ans Meer möchten, kann sich Philipp und Lena auch diesen Urlaub vorstellen. Diese sind also auch Teil der Menge Meer.
Schon befindest Du Dich mitten in einer mathematischen Fragestellung über Mengen und die Symmetrische Differenz. Denn bei der kommenden Abstimmung darf jeweils nur eine Seite gewählt werden. Philipp und Lena sollen sich also noch entscheiden. Was die Symmetrische Differenz aus der Mathematik bedeutet, wirst Du im folgenden Text erfahren. Viel Spaß!
Symmetrische Differenz – Wiederholung
In der Mengenlehre gibt es unter anderem die Schnittmenge, die Differenzmenge oder auch die Vereinigungsmenge. Da die Symmetrische Differenz für Mengen durchaus diese Konzepte aufgreift, sollen sie hierbei nochmals kurz erläutert werden.
Symmetrische Differenz – Mengen
Mengen in der Mathematik stellen eine Zusammenfassung von Objekten zu einem größeren Konstrukt dar. So kannst Du eine Birke, eine Buche und eine Pappel als Menge der Bäume beschreiben. Dabei interessieren Dich oftmals in diesem Zusammenhang, wie die Mengen und deren Elemente zueinander in Beziehung stehen.
So können sich Mengen keine Elemente miteinander teilen. Diese Mengen sind zueinander disjunkt. Dies ist zum Beispiel im Fall von den verschiedenen Klassen aus der Biologie zu erkennen. Eine Eule kann beispielsweise nicht gleichzeitig ein Vogel und ein Reptil sein und umgekehrt eine Schildkröte auch kein Vogel. Diese disjunkten Mengen besitzen also keine Schnittmenge.
Abbildung 1: Disjunkte Mengen für Vögel und Reptilien
Symmetrische Differenz – Komplement und andere Mengenverknüpfungen
Zusätzlich gibt es auch verschiedene Mengenverknüpfungen, die Du in Aufgaben in der Mathematik bearbeiten kannst. Unter anderem gibt es die so genannte Schnittmenge. Dabei befinden sich Elemente, die Du sowohl in der Menge A, als auch in der Menge B finden kannst. Sie ist zentral, da sie für andere Mengenverknüpfungen verwendet wird. Außerdem kannst Du für Mengen auch die Vereinigungsmenge verwenden.
Abbildung 2: Vereinigungsmenge für Mengen A und B
Hast Du zum Beispiel eine Menge A und eine Menge B gegeben, befinden sich in der Vereinigungsmenge alle diese Elemente aus den beiden Mengen. Allerdings ist zusätzlich im Fall einer Schnittmenge der Schnitt nur einmal zu zählen.
Es gibt die Menge A und Menge B für folgende Elemente:
In diesem Fall wirst Du für eine Schnittmenge, den Wert bekommen, der in beiden Mengen enthalten ist. Für die Vereinigungsmenge nimmst Du alle Elemente, allerdings zählst Du die drei nicht doppelt.
Die Schnittmenge ist:
Für die Vereinigungsmenge erhältst Du hiermit:
Ein weiteres mengentheoretisches Konstrukt aus der Mathematik findest Du für eine Differenzmenge, auch Komplement genannt. Dabei beschreibt die Menge, bei der die Elemente einer Menge A verwendet werden, allerdings ohne den Elementen aus B.
Abbildung 3: Differenzmenge für zwei Freundesgruppen
Möchtest Du ein Augenmerk auf die Menge werfen, so betrachtest Du die Menge B und ziehst die Schnittmenge ab. Das Ergebnis ist also: , .
Die Symmetrische Differenz ist nun eine Erweiterung der Differenzmenge, die in folgender Erklärung näher ausgeführt wird.
Nähere Informationen zu den einzelnen Mengenverknüpfungen findest Du unter folgenden Erklärungen:
Symmetrische Differenz – Eigenschaften
Nach den ersten Einführungen zu verschiedenen Mengenverknüpfungen, soll Dir die Thematik der Symmetrischen Differenz an dieser Stelle erläutert werden, damit Du auch diese Aufgaben lösen kannst.
Symmetrische Differenz – Definition
Die Symmetrische Differenz stammt in der Mathematik aus der Algebra.
Die Symmetrische Differenz beschreibt eine Menge für Elemente aus A und B, die in A ODER in B enthalten sind, allerdings nicht in beiden.
Dabei kann die Symmetrische Differenz allgemein definiert werden mit der Formel .
Für die Schnittmenge gilt sowohl das Kommutativgesetz als auch das Assoziativgesetz.
Dabei stehen die Zeichen...
- für die Symmetrische Differenz.
- für die Differenzmenge. Dabei handelt es sich um Objekte der einen Menge ohne denen der anderen.
- für die Vereinigungsmenge.
Symmetrische Differenz – Symbol und Schreibweise
Wiederum kannst Du die Bedingung für die Elemente in der Symmetrischen Differenz mathematisch klar beschreiben.
Schreibweise für eine Vereinigungsmenge mit Informationen zu den Begriffen für die Elemente:
Die Schreibweise bedeutet, dass jedes Element der Symmetrischen Differenz, in der Menge A enthalten sein darf, allerdings ohne den Elementen aus B. Außerdem sind die Elemente aus B enthalten ohne denen aus A. Das Zeichen steht dabei für ein logisches Und, wobei es beschreibt, dass beide Bedingungen gelten sollen. Für das Zeichen soll nur eine der Bedingungen gelten.
Du hast zum Beispiel eine Gruppe die gerne Kuchen isst, die andere gerne Eis. Es gibt aber auch die, die beides gerne essen. Betrachtest Du nur die, welche sich für eines entscheiden, nimmst Du einmal die Leute, die Kuchen aber kein Eis essen. Danach suchst Du die Personen, die gerne Eis, aber keinen Kuchen verspeisen. Zum Schluss kombinierst Du die beiden Mengen, Du bildest die Vereinigung .
Definieren kannst Du die Symmetrische Differenz wie folgt:
Eine Definition für die Symmetrische Differenz ist über die Verwendung der Differenzmenge möglich:
Eine alternative Schreibweise ist auch über die bereits erwähnte Erklärung gegeben. Die Symmetrische Differenz ist nämlich auch darüber definiert, dass von der Vereinigungsmenge zweier Mengen die Schnittmenge abgezogen wird.
Die alternative Definition lautet:
Hierbei werden also von der Vereinigungsmenge zweier oder mehrerer Mengen die Schnittmenge abgezogen.
Symmetrische Differenz zweier oder mehrerer Mengen
Die Symmetrische Differenz kannst Du für verschiedene Mengen unterschiedlich lösen. Die zwei wesentlichen Varianten werden Dir nachfolgend erklärt.
Symmetrische Differenz bestimmen
Grundsätzlich gibt es für die zwei unterschiedlichen Definitionen zwei Methoden. Auf der einen Seite gibt es für den ersten Fall diese Formel...
auf der anderen Seite kannst Du auch die Formel mit der Schnittmenge bearbeiten:
.
Für den ersten Fall gehst Du mit den Elementen wie folgt um:
- Nutze die Differenzmenge für :
- Markiere die Elemente, die in A und in B vorkommen (Schnittmenge).
- Streiche aus der Menge A die markierten Elemente: Das ist Deine Differenzmenge.
- Nutze die Differenzmenge für :
- Markiere die Schnittmenge.
- Streiche aus der Menge B die markierten Elemente.
- Füge die Elemente für beide Differenzmengen zusammen: Das ist Deine Symmetrische Differenz.
Im zweiten Fall gehst Du für die Menge A und Menge B wie folgt vor:
- Nutze die Vereinigungsmenge für :
- Markiere Elemente, die in A und in B vorkommen (Schnittmenge)
- Füge alle Elemente aus A und B ein, wobei Du mehrfach vorkommende Elemente (bzw. die markierten) nur einmal nennst: Das ist Deine Vereinigungsmenge.
- Nutze die Schnittmenge für :
- Markiere die Schnittmenge.
- Führe die Differenzmenge der Vereinigungsmenge und Schnittmenge aus:
- Markiere die Elemente der Schnittmenge.
- Streiche aus der Vereinigungsmenge die Elemente der Schnittmenge: Das ist Deine Symmetrische Differenz.
Symmetrische Differenz Beispiel
Für den zweiten Fall wird Dir nun ein Beispiel verdeutlichen, wie Du dabei vorgehen kannst.
Aufgabe 1
Wie Du bereits aus der Einleitung erfahren hast, möchten Lena, Lina, Luna, Philipp, Anna und Simon gerne in den Urlaub fahren. In einer Menge Berge befinden sich Lena, Lina, Luna und Philipp. In der Menge Meer kannst Du die Elemente Anna und Simon vorfinden. Die nachfolgende Grafik ist Dir gegeben, um Dir vor allem die Schnittmenge zu verdeutlichen.
Und was genau Du aus dieser Grafik ablesen kannst, wird Dir im Folgenden Schritt für Schritt erläutert.
Abbildung 4: Symmetrische Differenz für Beispiel aus dem Urlaub
Erstelle die Symmetrische Differenz über diese Formel:
Lösung
1. Schritt:
Verwende die Vereinigungsmenge für die Menge Berge und Meer. Dazu markierst Du als erstes die Schnittmenge.
Nun fügst Du alle Elemente zusammen, die markierten Elemente darfst Du nur einmal nennen.
2. Schritt:
Füge die bereits markierten Elemente in eine Schnittmenge zusammen:
3. Schritt:
Nun kannst Du die Differenzmenge für die Vereinigung und die Schnittmenge bearbeiten, um die Symmetrische Differenz zu erhalten. Dazu ziehst Du aus der Vereinigungsmenge die Schnittmenge ab.
Symmetrische Differenz – 3 Mengen
Bei der Symmetrischen Differenz mit drei oder mehreren Mengen ist es möglich, erst die Symmetrische Differenz zweier Mengen zu ermitteln und dieses Zwischenergebnis für die nächste Menge zu verwenden.
Bedenke dabei, dass die Symmetrische Differenz die Menge ist, die alle Elemente der Mengen enthält, die in anderen nicht enthalten ist. Also vor allem auf Schnittmengen solltest Du aufpassen.
Aufgabe 3
Gegeben ist folgende Grafik, wobei Du eine Aufgabe dazu bearbeiten kannst.
Abbildung 6: Symmetrische Differenz von drei Mengen
a) Gebe alle drei Mengen an.
b) Erstelle die Symmetrische Differenz zu den drei Mengen.
Lösung
a) Zur Angabe der Mengen kannst Du alle drei Mengen A, B und C in Mengenschreibweise angeben.
b) Die Symmetrische Differenz der drei Mengen kannst Du für alle Elemente bestimmen, die in den drei Mengen enthalten sind, allerdings ohne den Schnittmengen.
Der Reihe nach kannst Du die erste Seite berechnen für die Symmetrische Differenz zu A und B.
Nun kannst Du die Symmetrische Differenz zu dem Teilergebnis und C ermitteln.
Die Symmetrische Differenz für alle drei Mengen ist also:
Symmetrische Differenz – Aufgaben
Nun kannst Du wiederum alles praktisch erproben, indem Du einige Aufgaben bearbeiten kannst.
Aufgabe 4
Dir sind zwei Mengen gegeben:
Bestimme die Symmetrische Differenz.
Lösung
Im Folgenden wird Dir die Symmetrische Differenz mit den Differenzmengen gebildet. Du kannst die Aufgabe aber auch gerne anders lösen.
Nun kannst Du die andere Differenzmenge bilden.
Die Symmetrische Differenz ist weiterhin die Vereinigung dieser Differenzmengen.
Aufgabe 5
Gegeben sind Dir folgende Mengen:
a) Bilde die Symmetrische Differenz zu den Mengen A, B und C.
b) Bilde die Symmetrische Differenz zu den Mengen A, B und D.
Lösung
Zuerst kannst Du die Symmetrische Differenz für die Menge A und die Menge B ermitteln.
Nun bildest Du die Symmetrische Differenz für A, B und C.
b) Bilde die Symmetrische Differenz zu A, B, D.
Da es sich bei dem Element 40 um eine gemeinsame Schnittmenge aller Mengen handelt, sind alle Elemente außer dieser Schnittmenge in der Symmetrischen Differenz enthalten.
Symmetrische Differenz – Das Wichtigste
- Die Symmetrische Differenz ist die Mengenverknüpfung, die Elemente aus der einen und der anderen Menge enthält, aber ohne denen die in beiden zu finden sind.
- Die Symmetrische Differenz lässt sich berechnen, indem die Vereinigung zweier Differenzmengen gebildet wird () oder die Vereinigung ohne der Schnittmenge der Menge A und B ().
- Die Symmetrische Differenz zweier disjunkter Mengen ist die Vereinigung beider Mengen.
- Die Symmetrische Differenz für Teilmengen ergibt sich durch die größere der Mengen ohne der kleineren.
- Für drei Mengen kannst Du erst die Symmetrische Differenz zu zwei davon bilden und danach dieses Zwischenergebnis benutzen.
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