Symmetrische Differenz

Die ersten Wochen in der achten Klasse waren zwar noch ziemlich ruhig geblieben, allerdings möchten die Freunde gerne ein klein wenig in den Urlaub fahren. Einige haben bereits abgesagt, allerdings können sich Anna, Lena, Lina, Luna, Philipp und Simon vorstellen, gemeinsam ein paar Tage zu verbringen. Nur was soll es sein? Lena, Lina, Luna und Philipp können sich vorstellen, einen Urlaub in den Bergen mit ausgedehnten Wanderungen zu verbringen. Du kannst sie in die Menge Berge zusammenfassen. Während Anna und Simon lieber ans Meer möchten, kann sich Philipp und Lena auch diesen Urlaub vorstellen. Diese sind also auch Teil der Menge Meer.

Schon befindest Du Dich mitten in einer mathematischen Fragestellung über Mengen und die Symmetrische Differenz. Denn bei der kommenden Abstimmung darf jeweils nur eine Seite gewählt werden. Philipp und Lena sollen sich also noch entscheiden. Was die Symmetrische Differenz aus der Mathematik bedeutet, wirst Du im folgenden Text erfahren. Viel Spaß!

Symmetrische Differenz – Wiederholung

In der Mengenlehre gibt es unter anderem die Schnittmenge, die Differenzmenge oder auch die Vereinigungsmenge. Da die Symmetrische Differenz für Mengen durchaus diese Konzepte aufgreift, sollen sie hierbei nochmals kurz erläutert werden.

Symmetrische Differenz – Mengen

Mengen in der Mathematik stellen eine Zusammenfassung von Objekten zu einem größeren Konstrukt dar. So kannst Du eine Birke, eine Buche und eine Pappel als Menge der Bäume beschreiben. Dabei interessieren Dich oftmals in diesem Zusammenhang, wie die Mengen und deren Elemente zueinander in Beziehung stehen.

So können sich Mengen keine Elemente miteinander teilen. Diese Mengen sind zueinander disjunkt. Dies ist zum Beispiel im Fall von den verschiedenen Klassen aus der Biologie zu erkennen. Eine Eule kann beispielsweise nicht gleichzeitig ein Vogel und ein Reptil sein und umgekehrt eine Schildkröte auch kein Vogel. Diese disjunkten Mengen besitzen also keine Schnittmenge.

Abbildung 1: Disjunkte Mengen für Vögel und Reptilien

Symmetrische Differenz – Komplement und andere Mengenverknüpfungen

Zusätzlich gibt es auch verschiedene Mengenverknüpfungen, die Du in Aufgaben in der Mathematik bearbeiten kannst. Unter anderem gibt es die so genannte Schnittmenge. Dabei befinden sich Elemente, die Du sowohl in der Menge A, als auch in der Menge B finden kannst. Sie ist zentral, da sie für andere Mengenverknüpfungen verwendet wird. Außerdem kannst Du für Mengen auch die Vereinigungsmenge verwenden.

Abbildung 2: Vereinigungsmenge für Mengen A und B

Hast Du zum Beispiel eine Menge A und eine Menge B gegeben, befinden sich in der Vereinigungsmenge alle diese Elemente aus den beiden Mengen. Allerdings ist zusätzlich im Fall einer Schnittmenge der Schnitt nur einmal zu zählen.

Ein weiteres mengentheoretisches Konstrukt aus der Mathematik findest Du für eine Differenzmenge, auch Komplement genannt. Dabei beschreibt $A\backslash B$ die Menge, bei der die Elemente einer Menge A verwendet werden, allerdings ohne den Elementen aus B.

Abbildung 3: Differenzmenge für zwei Freundesgruppen

Möchtest Du ein Augenmerk auf die Menge $B\backslash A$ werfen, so betrachtest Du die Menge B und ziehst die Schnittmenge ab. Das Ergebnis ist also: $A\backslash B=\hspace{0.17em}\left\{Lena\right\}$, $B\backslash A=\hspace{0.17em}\{Simon,Jonas\}$.

Die Symmetrische Differenz ist nun eine Erweiterung der Differenzmenge, die in folgender Erklärung näher ausgeführt wird.

Symmetrische Differenz – Eigenschaften

Nach den ersten Einführungen zu verschiedenen Mengenverknüpfungen, soll Dir die Thematik der Symmetrischen Differenz an dieser Stelle erläutert werden, damit Du auch diese Aufgaben lösen kannst.

Symmetrische Differenz – Definition

Die Symmetrische Differenz stammt in der Mathematik aus der Algebra.

Dabei stehen die Zeichen...

• $∆$ für die Symmetrische Differenz.
• $\backslash$ für die Differenzmenge. Dabei handelt es sich um Objekte der einen Menge ohne denen der anderen.
• $\cup$ für die Vereinigungsmenge.

Symmetrische Differenz – Symbol und Schreibweise

Wiederum kannst Du die Bedingung für die Elemente in der Symmetrischen Differenz mathematisch klar beschreiben.

Die Schreibweise bedeutet, dass jedes Element der Symmetrischen Differenz, in der Menge A enthalten sein darf, allerdings ohne den Elementen aus B. Außerdem sind die Elemente aus B enthalten ohne denen aus A. Das Zeichen $\wedge$ steht dabei für ein logisches Und, wobei es beschreibt, dass beide Bedingungen gelten sollen. Für das Zeichen $\vee$ soll nur eine der Bedingungen gelten.

Du hast zum Beispiel eine Gruppe die gerne Kuchen isst, die andere gerne Eis. Es gibt aber auch die, die beides gerne essen. Betrachtest Du nur die, welche sich für eines entscheiden, nimmst Du einmal die Leute, die Kuchen aber kein Eis essen. Danach suchst Du die Personen, die gerne Eis, aber keinen Kuchen verspeisen. Zum Schluss kombinierst Du die beiden Mengen, Du bildest die Vereinigung $\vee$.

Definieren kannst Du die Symmetrische Differenz wie folgt:

Eine alternative Schreibweise ist auch über die bereits erwähnte Erklärung gegeben. Die Symmetrische Differenz ist nämlich auch darüber definiert, dass von der Vereinigungsmenge zweier Mengen die Schnittmenge abgezogen wird.

$A∆B=\hspace{0.17em}(A\cup B)\backslash (A\cap B)$

Hierbei werden also von der Vereinigungsmenge zweier oder mehrerer Mengen die Schnittmenge abgezogen.

Symmetrische Differenz zweier oder mehrerer Mengen

Die Symmetrische Differenz kannst Du für verschiedene Mengen unterschiedlich lösen. Die zwei wesentlichen Varianten werden Dir nachfolgend erklärt.

Symmetrische Differenz bestimmen

Grundsätzlich gibt es für die zwei unterschiedlichen Definitionen zwei Methoden. Auf der einen Seite gibt es für den ersten Fall diese Formel...

$A∆B=\hspace{0.17em}(A\backslash B)\cup (B\backslash A)$

auf der anderen Seite kannst Du auch die Formel mit der Schnittmenge bearbeiten:

$A∆B=\hspace{0.17em}(A\cup B)\backslash (A\cap B)$.

• Nutze die Differenzmenge für $A\backslash B$:
  • Markiere die Elemente, die in A und in B vorkommen (Schnittmenge).
  • Streiche aus der Menge A die markierten Elemente: Das ist Deine Differenzmenge.
• Nutze die Differenzmenge für $B\backslash A$:
  • Markiere die Schnittmenge.
  • Streiche aus der Menge B die markierten Elemente.
• Füge die Elemente für beide Differenzmengen zusammen: Das ist Deine Symmetrische Differenz.

Im zweiten Fall gehst Du für die Menge A und Menge B wie folgt vor:

• Nutze die Vereinigungsmenge für $A\cup B$:
  • Markiere Elemente, die in A und in B vorkommen (Schnittmenge)
  • Füge alle Elemente aus A und B ein, wobei Du mehrfach vorkommende Elemente (bzw. die markierten) nur einmal nennst: Das ist Deine Vereinigungsmenge.
• Nutze die Schnittmenge für $A\cap B$:
  • Markiere die Schnittmenge.
• Führe die Differenzmenge der Vereinigungsmenge und Schnittmenge aus:
  • Markiere die Elemente der Schnittmenge.
  • Streiche aus der Vereinigungsmenge die Elemente der Schnittmenge: Das ist Deine Symmetrische Differenz.

Symmetrische Differenz Beispiel

Für den zweiten Fall wird Dir nun ein Beispiel verdeutlichen, wie Du dabei vorgehen kannst.

Symmetrische Differenz – 3 Mengen

Bei der Symmetrischen Differenz mit drei oder mehreren Mengen ist es möglich, erst die Symmetrische Differenz zweier Mengen zu ermitteln und dieses Zwischenergebnis für die nächste Menge zu verwenden.

Bedenke dabei, dass die Symmetrische Differenz die Menge ist, die alle Elemente der Mengen enthält, die in anderen nicht enthalten ist. Also vor allem auf Schnittmengen solltest Du aufpassen.

Symmetrische Differenz – Aufgaben

Nun kannst Du wiederum alles praktisch erproben, indem Du einige Aufgaben bearbeiten kannst.