Das ist der sogenannte Bumerangnebel.
Abbildung 1: Bumerangnebel (Aufnahme durch Hubble-Weltraumteleskop)
Er ist von der Erde 5.000 Lichtjahre entfernt. Mit einer Temperatur von ![]()
ist er der kälteste bekannte Ort im Universum.
Die beiden Zahlen "![]()
" und "![]()
" sind Beispiele für ganze Zahlen. Als Zahlen kannst Du mit ihnen rechnen; und in dieser Erklärung geht es um das Subtrahieren ganzer Zahlen.
Negative Zahlen subtrahieren – eine kurze Wiederholung
In der modernen Schreibweise erkennst Du eine Subtraktion anhand des Minuszeichens. Das Minuszeichen wird auch verwendet, um negative Zahlen zu notieren.
Ein paar negative Zahlen
Die folgenden Zahlen sind alles Beispiele für negative Zahlen:
-2,
-1564,
-5695302.
Vor jeder Zahl findest Du einen kurzen horizontalen Strich: Genau dieser Strich ist das Minuszeichen.
Das sind also negative Zahlen. Wozu aber sind sie überhaupt notwendig?
Die negativen Zahlen sind das Gegenstück zu den positiven Zahlen, so ähnlich wie "Links" das Gegenstück zu "Rechts" ist.
Wenn Du also eine bestimmte Richtung als "positiv" bezeichnest, ist die entgegengesetzte Richtung "negativ". Und hiervon gibt es im Alltag zahlreiche Beispiele.
Negative Zahlen im Alltag
Das wohl wichtigste Beispiel ist Geld: In die "positive" Richtung hast Du Geld bzw. bekommst Du Geld; in die "negative" Richtung hast Du Schulden bzw. verlierst Du Geld.
Ein weiteres Beispiel ist die Temperatur: In die "positive" Richtung wird es warm, in die "negative" Richtung wird es hingegen kalt. Wenn Du etwa eine Temperatur von ![]()
liest, weißt Du sofort: Das wird kalt sein.
Die negativen Zahlen ergänzen die natürlichen Zahlen zu den ganzen Zahlen.
Ganze Zahlen
Die Ganzen Zahlen setzen sich aus der Menge der natürlichen Zahlen und den negativen Zahlen zusammen.
- Die
![]()
enthalten die Null und jede weitere positive Zahl in Einerschritten.
- Die
![]()
gehen in Einerschritten in die entgegengesetzte negative Richtung.
Damit enthält die Menge der ganzen Zahlen beide dieser Zahlenmengen:
![]()
Die ganzen Zahlen kannst Du Dir übersichtlich mithilfe der Zahlengeraden veranschaulichen (siehe Abbildung 2).
Abbildung 2: Die Zahlengerade
Mit der Zahlengeraden kannst Du Dir auch die Subtraktion bildlich vorstellen.
Ganze Zahlen subtrahieren - einfach erklärt
Du kannst Dir die Subtraktion als einen Aufruf zu einer Wanderung vorstellen.
Erste Subtraktion
Du hast die beiden ganzen Zahlen
![]()
und ![]()
und möchtest die Zahl 2 von der Zahl 6 abziehen; die gesuchte Subtraktion ist also:
![]()
Bildlich passiert Folgendes: Du beginnst an der Zahlengeraden bei der Stelle der Zahl 6. Von dort aus gehst Du nun 2 Schritte nach links.
Du gehst nach links, weil hier subtrahiert wird.
Nach dem ersten Schritt befindest Du Dich an der Stelle der Zahl 5; nach dem zweiten Schritt bist Du bei der Zahl 4 angelangt (siehe Abbildung 3).
Abbildung 3: Die Subtraktion als Wanderung - Beispiel 1
Jetzt hast Du keine Schritte mehr übrig. Das Ergebnis ist also:
![]()
Das Ergebnis der Subtraktion ![]()
ist eine positive Zahl, weil die zweite Zahl (die Zahl 2) kleiner ist als die erste Zahl (die Zahl 6).
Subtraktion – Begriffe
Um eine Subtraktion und ihre Inhalte beschreiben zu können, gibt es bestimmte Begriffe.
Minuend, Subtrahend und Differenz
Abbildung 4: Minuend, Subtrahend und Differenz
Die Zahl vor dem Minus heißt Minuend.
Bei der Zahl hinter dem Minuszeichen wird von einem Subtrahend gesprochen.
Der gesamte Ausdruck mit Minuend, Subtrahend und dem Minuszeichen nennt sich eine Differenz.
Jede Subtraktion von zwei Zahlen hat einen Minuenden und einen Subtrahenden.
Minuend, Subtrahend und Differenz
Betrachte erneut die Subtraktion von oben:
![]()
Hier gilt:
- Die Zahl 6 ist der Minuend;
- Die Zahl 2 ist der Subtrahend;
- Der Ausdruck "
![]()
" ist eine Differenz.
![]()
Solange der Subtrahend kleiner ist als der Minuend, ist das Ergebnis der Differenz eine positive Zahl. Was passiert aber, wenn der Subtrahend größer ist?
Zweite Subtraktion (Subtrahend größer als Minuend)
Dieses Mal hast Du die ganzen Zahlen ![]()
und ![]()
gegeben und möchtest damit die folgende Subtraktion ausführen:
![]()
Wie vorhin beginnst Du an der Stelle der Zahl 6. Von dort aus gehst Du nun 7 Schritte nach links.
Nach 6 Schritten wirst Du an der Stelle der Zahl 0 gelangen. Es bleibt nur noch ein Schritt. Du bist also gezwungen, über die Null hinauszugehen.
Nach diesem letzten Schritt erreichst Du die Zahl -1 (siehe Abbildung 5). Jetzt sind keine Schritte mehr übrig.
Abbildung 5: Die Subtraktion als Wanderung - Beispiel 2
Das Ergebnis der Subtraktion ist daher:
![]()
Wenn der Subtrahend größer ist als der Minuend, ist das Ergebnis der Differenz eine negative Zahl.
Subtraktion von negativen Zahlen
Bisher war der Subtrahend, die zweite Zahl, immer eine positive Zahl: Im ersten Beispiel war es die positive Zahl 2, im zweiten Beispiel die positive Zahl 7.
Minus mal Minus ist Plus
Wenn Du zwei direkt aufeinanderfolgende Minuszeichen hast, so entspricht das einem einzigen Pluszeichen. In Symbolen:
![]()
Die Merkhilfe dazu ist:
Minus mal Minus ist Plus
Genau diesen Fall hast Du, wenn der Subtrahend eine negative Zahl ist.
Subtraktion mit negativem Subtrahenden
Aufgabe
Du möchtest die Zahl 3 beziehungsweise ![]()
von der 2 abziehen.
Lösung
Beginnst Du nun mit der positiven Zahl 3 statt der negativen Zahl ![]()
, so würdest Du bei der Stelle der Zahl 2 beginnen und 3 Schritte nach links gehen (![]()
).
Abbildung 6: Wanderung nach links
Betrachtest Du jetzt allerdings die negative Zahl ![]()
als Subtrahenden, ergibt sich die Rechnung:
![]()
Das heißt, Du gehst nicht nach links, sondern nach rechts (siehe Abbildung 6).
Abbildung 7: Wanderung nach rechts
Mit anderen Worten: Aus der Subtraktion ![]()
wird die Addition ![]()
Du hast also:
![]()
Für das Subtrahieren ganzer Zahlen fehlt nur noch ein Detail.
Ganze Zahlen schriftlich subtrahieren
Du kannst unabhängig von der Größe der beteiligten Zahlen stets an eine Wanderung denken. Für das konkrete Rechnen ist diese Vorstellung jedoch nicht mehr ausreichend.
Dafür gibt es ein bestimmtes Schema, das sich schriftliches Subtrahieren nennt.
Erster Schritt bei der schriftlichen Subtraktion
Du hast die Subtraktion ![]()
. Im ersten Schritt schreibst Du die beiden Zahlen folgendermaßen übereinander:
Abbildung 8: Erster Schritt bei der schriftlichen Subtraktion
Von rechts nach links haben die Stellen ihren eigenen Namen: Ganz rechts hast Du die Einerstelle, dann kommt die Zehnerstelle in der Mitte und schließlich die Hunderterstelle.
Nachdem Du diesen ersten Schritt gemacht hast, geht das eigentliche Rechnen los.
Zwei größere Zahlen schriftlich subtrahieren
Du hast die Subtraktion
![]()
Im Bild der Zahlengeraden beginnst Du bei der Stelle der Zahl 211 und gehst 112 Schritte nach links. Die Subtraktion mit dieser bildlichen Vorstellung zu berechnen, ist mühsam.
Das Schema der schriftlichen Subtraktion sieht genauso aus wie das der schriftlichen Addition. Du schreibst also zunächst alle Stellen genau untereinander:
![]()
Wie bei der schriftlichen Addition gehst Du von rechts nach links. Zunächst kommt also die Einerstelle. Weil die obere Einerstelle kleiner ist als die untere Einerstelle,
![]()
leihst Du Dir von der benachbarten Zehnerstelle eine Eins aus. Aus der Einerstelle 1 wird also die Zahl 11 und Du rechnest:
![]()
Um anzudeuten, dass Du Dir eine Eins von der Zehnerstelle ausgeliehen hast, streichst Du die Zehnerstelle weg und notierst direkt darüber, wie viele Zehner übrig sind. Genau dasselbe machst Du mit der Einerstelle:
![]()
Nun gehst Du zur Zehnerstelle über. Da Du Dir für die Einerstelle eine Eins ausgeborgt hast, hat die obere Zahl keinen Zehner mehr übrig. Das heißt, Du hast oben eine Null und unten eine 1 stehen.
![]()
Daher ist die obere Zahl wieder kleiner als die abzuziehende Zahl.
![]()
Du gehst also eine Stelle weiter und leihst Dir von der Hunderterstelle eine Eins aus. Die Rechnung hier ist dadurch:
![]()
Im Schema deutest Du das wieder durch Wegstreichen an:
![]()
Die Hunderterstelle der oberen Zahl hat jetzt eine Eins weniger. Dadurch hast Du oben eine 1 und unten eine 1 stehen. Damit bekommst Du im letzten Schritt:
![]()
Das Ergebnis der Subtraktion ist daher
![]()
Ist der Subtrahend eine negative Zahl, so machst Du aus der Subtraktion zunächst eine Addition und verwendest dann die schriftliche Addition.
Schriftliches Subtrahieren bei negativen Subtrahend
Du hast die Subtraktion
![]()
Daraus machst Du nun eine Addition, indem Du Dich an die Regel "Minus mal Minus ist Plus" erinnerst:
![]()
Jetzt kannst Du mit der schriftlichen Addition beginnen:
![]()
Zunächst addierst Du die Einerstellen. Direkt darunter notierst Du Dir aber nur die Einerstelle dieser Addition, das heißt, Du hast
![]()
Um nicht zu vergessen, dass die beiden Einerstellen eine Zehnerstelle erzeugt haben, schreibst Du eine kleine 1 direkt neben die 4
![]()
Wenn Du jetzt die Zehnerstellen addierst, wirkt diese kleine 1 wie eine extra Zehnerstelle. Die Summe von 3 und 4 ist 7, wegen der kleinen 1 wird das aber zu einer 8:
![]()
Die Zehnerstellen erzeugen keine neue Hunderterstelle. Du kannst also die Hunderterstellen addieren, ohne Rücksicht auf "extra Stellen" geben zu müssen:
![]()
Insgesamt ist damit das Ergebnis
![]()
Damit hast Du in Deinen Händen das Notwendigste zum Subtrahieren ganzer Zahlen. Aber ganz wichtig: Ob kleine oder große Zahlen, achte auf die Vorzeichen.
Brüche von ganzen Zahlen subtrahieren
Nach den ganzen Zahlen wirst Du auf Brüche stoßen. Brüche sind selbst Zahlen, die die ganzen Zahlen erweitern. Du kannst daher Brüche und ganze Zahlen kombinieren.
Zur Subtraktion von Brüchen gibt es eine ausführliche Erklärung mit vielen Beispielen. Werfe also auch dort einen Blick hinein.
Wenn Du Brüche und ganze Zahlen kombinierst, musst Du für eine Sache sorgen: Die ganze Zahl in einen Bruch umwandeln.
Ganze Zahl in Bruch umwandeln
Du hast die ganze Zahl 4 gegeben. Um daraus einen Bruch zu konstruieren, verwendest Du sie als Zähler eines Bruches mit dem Nenner 1.
Du hast also:
![]()
Nachdem Du das gemacht hast, liegen vor Dir zwei Brüche. Diese kannst Du miteinander kombinieren, indem Du sie auf einen Hauptnenner bringst.
Die Details rundum Brüche, wie Du sie addierst, subtrahierst, multiplizierst und dividierst, findest Du in den entsprechenden Erklärungen.
An dieser Stelle eine Empfehlung: Wenn Du erst frisch in Kontakt mit Brüchen gekommen bist, beginne bei der Erklärung mit dem Titel "Bruchrechnung". Dort findest Du eine Übersicht über die wichtigsten Themen, die dann in weiteren Erklärungen behandelt werden.
Ganze Zahlen subtrahieren – Aufgaben
Keine Sorge, wenn die Aufgaben am Anfang nicht so reibungslos ablaufen. Pausiere ein wenig, schaue Dir die entsprechende Stelle in der Erklärung an und konfrontiere das Problem erneut.
Aufgabe 1
Betrachte die folgende Subtraktion:
![]()
a) Was ist der Minuend und was der Subtrahend?
b) Vergleiche Minuend und Subtrahend. Was kannst Du über das Ergebnis der Differenz aussagen?
c) Wie kannst Du Dir die Subtraktion mit der Zahlengeraden veranschaulichen?
d) Wie lautet das Ergebnis der Subtraktion?
Lösung
Zu a)
Der Minuend ist die Zahl, von der eine weitere Zahl abgezogen wird. Hier ist das die Zahl 2.
Der Subtrahend ist hingegen diejenige Zahl, die vom Minuenden abgezogen wird. Das ist hier die Zahl 7.
![]()
Zu b)
Der Subtrahend ist größer als der Minuend. Das Ergebnis der Differenz wird daher eine negative Zahl sein.
Zu c)
Bei der Subtraktion wirst Du bildlich zu einer Wanderung aufgefordert: Du beginnst bei der Stelle der Zahl 2 und gehst 7 Schritte nach links.
Abbildung 9: Subtraktion 2 - 7 an der Zahlengeraden
Zu d)
Beginnst Du bei der Stelle der Zahl 2 und gehst Du 7 Schritte nach links, so erreichst Du die Stelle der Zahl -5. Das Ergebnis der Subtraktion ist daher:
![]()
Aufgabe 2
Schon einmal vom Kontinent Antarktika gehört? Er ist der kälteste Kontinent der Erde. Eine typische Temperatur dort ist etwa ![]()
. Zur Erinnerung: Der Bumerangnebel hat eine Temperatur von ![]()
.
Um wie viel Grad Celsius kälter ist der Bumerangnebel im Vergleich zu einer typischen Temperatur auf Antarktika?
Lösung
Dazu berechnest Du die Differenz
![]()
Du hast hier zwei Minuszeichen, die direkt aufeinanderfolgen. Vergesse also nicht die Regel "Minus Mal Minus ist Plus":
![]()
Der Bumerangnebel ist also um ganze ![]()
kälter als der kälteste Kontinent der Erde; es ist unvorstellbar kalt dort.
Ganze Zahlen subtrahieren – Das Wichtigste
- Die ganzen Zahlen erweitern die natürlichen Zahlen um die negativen Zahlen.
- Die Subtraktion ganzer Zahlen kannst Du Dir wie eine Wanderung entlang der Zahlengeraden vorstellen:
- Ziehst Du eine positive Zahl ab, so gehst Du nach links;
- Ziehst Du eine negative Zahl ab, so gehst Du nach rechts.
- Die Zahl, von der eine andere Zahl abgezogen wird, heißt Minuend.
- Die Zahl, die vom Minuenden abgezogen wird, heißt Subtrahend.
- Der gesamte Ausdruck aus Minuend, Subtrahend und dem Minuszeichen heißt Differenz.
- Du kannst große Zahlen mithilfe der schriftlichen Subtraktion voneinander abziehen.
- Du kannst eine ganze Zahl von einem Bruch abziehen, indem Du die ganze Zahl in einen Bruch umwandelst.
- Um eine ganze Zahl in einen Bruch umzuwandeln, schreibst Du die ganze Zahl als Zähler eines Bruches mit dem Nenner 1.
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