Stelle dir vor, du gehst in eine Bäckerei, um ein Brot zu kaufen. An diesem Tag sind alle Waren in der Bäckerei um 1 € reduziert. Nachdem du vom Einkaufen nach Hause kommst, erzählst du deinen Eltern von deinem Glück und deine Eltern meinen, dass du das Brot 30 % günstiger bekommen hast.
Wie du diese Aussage überprüfen und berechnen kannst, erfährst du in diesem Artikel.
Grundlagenwissen - Prozentrechnung und ihre Grundgleichung
Ein Prozent ist festgelegt als:
Eine Prozentangabe kann man als Bruch schreiben (zum Beispiel als Anteil von Hundert), aber auch als Dezimalzahl oder mithilfe des Prozentzeichens als Prozentsatz.
Gegeben ist das folgende Beispiel:
Auf deinem Tisch liegen 10 Buntstifte, davon sind 2 rot. Das kannst du als Bruch darstellen. In den Zähler schreibst du die Anzahl der roten Buntstifte, hier 2, und in den Nenner die Gesamtzahl der Buntstifte:
Du kannst den Bruch auch kürzen oder als Dezimalzahl schreiben:
Durch die unterschiedlichen Schreibweisen kann man den gleichen Sachverhalt umformulieren. So kannst du etwa über den gekürzten Bruch sagen: "Jeder fünfte Stift ist rot." Aber du kannst das auch zu einer Prozentdarstellung umwandeln.
Also sind 20 % aller Stifte auf dem Tisch rot.
Wenn das noch alles sehr neu für dich ist, dann schaue erst einmal im Artikel Prozente rein.
Mit Prozenten kann man Anteile und Größenverhältnisse besser darstellen, als über Brüche. Außerdem kann man mit ihnen leichter rechnen:
Die Grundgleichung der Prozentrechnung dient zur Berechnung von Grundwert (G), Prozentwert (P) oder Prozentsatz (p%).
- Der Grundwert ist der Wert, der 100 % entsprechen würde. Dieser ist somit ein Ausgangspunkt.
- Der Prozentwert ist nur ein Teil des Grundwerts, also etwa ein Teil einer Gruppe, der ein bestimmtes Merkmal aufweist.
- Der Prozentsatz gibt das Verhältnis wieder, in der sich der Grundwert und der Prozentwert miteinander befinden.
Berechnung des Prozentsatzes p%:
Wenn zwei Werte gegeben sind, kann der dritte Wert berechnet werden.
Achtung: Die Benennung von Grundwert als G, Prozentwert als P und Prozentsatz als p%, ist nicht in allen Lehrbüchern gleich.
Um dir besser merken zu können, wie die Formel bei welchem Wert aussieht, gibt es das Dreieck der Prozentrechnung als Merkhilfe.
Abbildung 1: Dreieck der Prozentrechnung
Umkehrbarkeit von Prozenten
Prozente sind auch umkehrbar. Den folgenden Trick kannst du immer anwenden, wenn du den Prozentwert berechnen sollst.
Angenommen du sollst ausrechnen, was 12 % von 50 ist. Nun kannst du das mit der entsprechenden Formel berechnen. (Alternativ kannst du die Aufgabe auch schnell im Kopf lösen.)
Gesucht ist der Prozentwert, also würdest du rechnen:
Die Rechnung kann man dann auch gewissermaßen umkehren:
Statt auszurechnen, was 12 % von 50 ist, kannst du auch berechnen, was 50 % von 12 ist. Das ist deutlich leichter. Daraus folgt: 50 % ist die Hälfte und die Hälfte von 12 ist 6.
Prozentsatz berechnen – Verschiedene Möglichkeiten
Mit Prozenten kannst du auf ganz unterschiedliche Art und Weise rechnen. Zum einen kannst du den Prozentsatz mithilfe der Grundgleichung der Prozentrechnung berechnen. Zum anderen kannst du auch den Dreisatz benutzen, um auf das gleiche Ergebnis zu kommen. Im Folgenden werden dir die zwei Möglichkeiten vorgestellt.
Es spielt überhaupt keine Rolle für welchen Weg du dich entscheidest, da beide ungefähr gleich aufwendig sind. Wähle also die Variante, die dir am besten liegt.
Prozentsatz berechnen mit der Grundgleichung
Der Prozentsatz gibt das Verhältnis wieder, in der sich der Grundwert und der Prozentwert miteinander befinden. Wenn 25 Personen von 100 ausgewählten Personen ein bestimmtes Merkmal aufweisen, dann kannst du diese beiden Werte auch in ein Verhältnis setzen und sagen, dass 25 % der Personen dieses Merkmal aufweisen. Wie du auf den Prozentsatz kommst und diesen errechnest, wird dir hier gezeigt:
Schaue dir das Dreieck an, damit du weißt, wie die Gleichung aussieht, um den Prozentsatz zu berechnen.
Abbildung 2: Formel Prozentsatz
Die Formel zeigt dir, dass du den gesuchten Prozentsatz erhältst, wenn du den Prozentwert durch den gegebenen Grundwert teilst. Dazu gibt es hier ein Beispiel:
Aufgabe 1
Stelle dir vor, dass in deiner Klasse 28 Schüler*innen sind und davon 2 grüne Haare haben. Dann könntest du diese beiden Werte in ein Verhältnis bringen und den Prozentsatz berechnen.
Lösung
Die gesamte Klasse besteht aus 28 Personen, was damit der Grundmenge (Grundwert) entspricht. Davon weisen 2 ein bestimmtes Merkmal, die grünen Haare auf, somit ist das der Prozentwert. Eingesetzt in die Formel ergibt das:
Demnach haben 7 % der Klasse grüne Haare.
Prozentsatz berechnen – Dreisatz
Natürlich kannst du den Prozentsatz auch mit dem Dreisatz berechnen. Dieser nutzt nämlich auch die direkte Proportionalität der Prozentrechnung und führt damit zum selben Ergebnis.
Genaueres zum Dreisatz erfährst du im Artikel "Dreisatz" im Kapitel "Proportionalität".
Das Vorgehen beim Dreisatz ist immer ähnlich:
- Du setzt den Grundwert mit 100 % gleich.
- Dann rechnest du den Prozentsatz aus, sodass der Grundwert 1 ergibt, indem du auf beiden Seiten die gleiche Rechnung vornimmst.
- Zum Schluss multiplizierst du die 1 des Grundwerts so, dass der Prozentwert rauskommt, dann kommt beim Prozentsatz der gesuchte Prozentsatz heraus.
Aufgabe 2
Stelle dir vor, dass deine Smartwatch dir anzeigt, dass du schon 6.000 Schritte gelaufen bist. Du hast ein tägliches Schrittziel von 10.000 Schritten eingestellt und möchtest jetzt gerne wissen, wie viel Prozent deines Schrittziels du schon erreicht hast.
Lösung
Da du jeden Tag 10.000 Schritte laufen möchtest, ist dies der Grundwert und somit der andere Wert dein Prozentwert.
Das Dach auf dem Gleichheitszeichen bedeutet als gesamtes Symbol "entspricht". Da es keinen Sinn ergeben würde zu sagen, dass 60 % das Gleiche wäre wie 6.000 Schritte. Stattdessen sagt man, dass 60 % 6.0000 Schritten entsprechen.
6.000 Schritte entsprechen also 60 % deines Schrittziels.
Aufgabe 3
Bei einer Abstimmung haben 32.981 Personen für die Wahl für den neue/n Bürgermeister*in gestimmt. Davon haben die meisten mit 14.988 für die Kandidatin gestimmt. Um als Bürgermeister*in gewählt zu werden, benötigt man mindestens 40 % der Stimmen. Hat die Kandidatin die Wahl gewonnen?
Lösung
Die Kandidatin bekam ungefähr 45 % aller Stimmen und hat somit die Wahl für sich entschieden!
Der Prozentsatz und die Zinsen
Die Prozentrechnung ist mit der Zinsrechnung eng verknüpft. In der Formel der Grundgleichung müssen nur die Buchstaben ausgetauscht werden, aber die Verhältnisse bleiben die Gleichen.
Demnach entspricht der Prozentsatz dem Zinssatz, der Grundwert dem Kapital (K) und der Prozentwert den Zinsen (Z)!
Angenommen du hast 2000 € bei einer Bank angelegt und bekommst am Ende des Jahres 12 € Zinsen. Aus diesen beiden Werten kannst du berechnen, was deine Bank dir für einen Zinssatz jährlich auszahlt.
Die Bank zahlt dir jährlich also 0,6 % Zinsen auf dein angelegtes Kapital!
Zum Thema der Zinsrechnung wartet ein eigenes Kapitel auf dich.
Prozentsatz berechnen – Aufgaben
Zum Abschluss kannst du dein Wissen an den folgenden Aufgaben noch einmal testen. Dabei ist es dir völlig überlassen, ob du mit dem Dreisatz oder mit der Grundgleichung die folgenden Aufgaben berechnest.
Aufgabe 4
Der Preis einer Hose ist nach der Rabattaktion noch bei 26 €. Vor der Rabattaktion hat die Hose 63 € gekostet. Um wie viel Prozent wurde sie heruntergesetzt?
Lösung
Der ursprüngliche Wert der Hose, 63 €, ist unser Grundwert, der Andere somit unser Prozentwert.
Die Hose wurde also um 41 % reduziert.
Aufgabe 5
Im Stadion werden die Zuschauerzahlen, 67.500 von 80.000 möglichen Zuschauern, durchgesagt. Wie viel Prozent der Sitze im Stadion sind belegt?
Lösung
Der Grundwert G sind 80.000, da das die Gesamtanzahl an Sitzplätzen im Stadion ist.
67.500 ist der Prozentwert, das ist die absolute Anzahl an belegten Sitzplätzen.
Das Stadion ist also zu 84 % belegt.
Aufgabe 6
Wie viel Prozent sind 230 ml von 2l?
Lösung
2 Liter entsprechen 2000ml, was auch dem Grundwert G entspricht.
230 ml entsprechen 11,5 % von 2 Litern.
Prozentsatz berechnen - Das Wichtigste
- Die Grundgleichung der Prozentrechnung dient zur Berechnung von Grundwert (G), Prozentwert (P) oder Prozentsatz (p%).
- Die Grundgleichung ist immer die Gleiche. Sie wird nur nach dem gesuchten Wert umgestellt.
- Prozentsatz p% = das Verhältnis zwischen Grund- und Prozentwert
- Berechnung des Prozentsatz p% :
- Berechnung des Prozentsatzes mit dem Dreisatz:
- Setze den Grundwert 100 %.
- Teile den Grundwert durch sich selbst, sodass auf dieser Seite eine 1 steht.
- Multipliziere mit dem Prozentwert, dann entspricht der Wert auf der anderen Seite dem Prozentsatz.
- Der Zinssatz wird wie der Prozentsatz berechnet. Es ändern sich nur die Bezeichnungen:
- Kapital = Grundwert und Zinsen = Prozentwert
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