Division Dezimalzahlen

Aufgabe

Im Supermarkt nutzt Du ein Obst-Angebot, bei dem Obststücke zusammen nur kosten. Würden alle drei Früchte denselben Einzelpreis besitzen, wie hoch wäre dieser?

Abbildung 2: Beispiel Obst-Angebot

Lösung

Da alle Obststücke denselben Einzelpreis haben, muss lediglich der Gesamtpreis von durch die drei Früchte geteilt werden.

Als kleine Hilfe kann für die Berechnung zunächst das Komma weggelassen werden und die Rechnung lautet:

Die Zahl stellt ein Vielfaches der Zahl dar, und zwar das von . Demnach wurde die Berechnung damit schon ausgeführt. Jetzt muss lediglich das Komma an der richtigen Stelle platziert werden.

Dazu zählst Du einfach die Anzahl der Nachkommastellen der ursprünglichen Zahl ab. Dies sind Nachkommastellen. Also muss bei der Zahl das Komma um zwei Stellen nach links verschoben werden.

Wird das Komma dementsprechend verschoben, so erhältst Du als Ergebnis die Zahl .

Ein Obststück kostet demnach .

Aufgabe

Führe folgende Division aus:

Lösung

Zunächst wird die Aufgabenstellung abgeschrieben und sauber auf einem karierten Papier notiert. Achte darauf, dass jede Zahl ihr eigenes Kästchen hat. So beugst du Leichtsinnsfehlern vor.

Damit die Rechnung leichter durchgeführt werden kann, wird das Komma bei der Berechnung nicht beachtet. Stell Dir einfach vor, dort würde kein Komma stehen. Dann kannst Du auch schon direkt mit der schriftlichen Division beginnen.

Vorgehensweise

Da Du das Komma hier vorerst ignorieren kannst, sieht die Rechnung gleich nach einer normalen schriftlichen Division aus. Zunächst wird geprüft, wie oft der Divisor in die ersten beiden Stellen (also der Zahl ) hineingeht. Das ist lediglich nur mal möglich, weshalb hinter dem Gleichheits-Zeichen eine notiert wird. Dann ziehst Du von den ersten beiden Stellen ab.

Abbildung 3: Schriftliche Division Schritt 1

Nach der Subtraktion bleibt die übrig. Natürlich geht die Zahl dort nicht hinein. Also kann die nächste Stelle heruntergezogen werden (die Zahl ). Zusammen ergibt sich die Zahl . Jetzt wird wieder überprüft, welches Vielfache der Zahl in die Zahl hineingeht. Das des Divisors ergibt . Auch dieses Ergebnis wird wieder abgezogen.

Abbildung 4: Schriftliche Division Schritt 2

Diese Teilschritte werden nun so oft wiederholt, bis alle Zahlen aus der ursprünglichen Zahl nach unten gezogen, sowie die Vielfachen notiert und abgezogen worden sind. Die jeweiligen Teilschritte findest Du in den Abbildungen 5 bis 7.

Abbildung 5: Schritfliche Division Schritt 3

Abbildung 6: Schriftliche Division Schritt 4

Ist zum Schluss nach der letzten Subtraktion eine übrig, so ist die schriftliche Division erfolgreich beendet worden.

Abbildung 7: Schriftliche Division Schritt 5

Nach der schriftlichen Division muss lediglich das Komma beim Ergebnis wieder an die richtige Stelle gesetzt werden. Aber an welcher?

Dazu kannst Du die Anzahl der Nachkommastellen vom Dividend abzählen und entsprechend beim Divisor einfügen, indem Du das Komma wieder um die Anzahl der Stellen nach links schiebst. Die Dezimalzahl besitzt zwei Nachkommastellen.

Wie Du sehen kannst, werden somit beim Quotient (dem Ergebnis der Division) nur zwei Nachkommastellen gebildet und schon erhältst Du das Ergebnis der schriftlichen Division mit Dezimalzahlen.

Aufgabe

Berechnen den Quotienten folgender Zahlen:

Lösung

Ohne die Aufgabe zu verändern, kann die Zahl auch als dargestellt werden. Das vereinfacht das Verständnis des folgenden Schritts.

Damit eine normale schriftliche Division möglich ist, muss der Divisor in eine Form gebracht werden, bei dem er kein Komma mehr aufweist, sondern eine ganze Zahl ist. Dies ist möglich, indem das Komma bei beiden Zahlen um eine Stelle nach rechts verschoben wird. Dadurch ändert sich am Quotienten nichts, aber die Berechnung kann ohne Kommazahlen ausgeführt werden.

Jetzt sind sowohl der Dividend als auch der Divisor ganze Zahlen und die schriftliche Division kann losgehen. Wie Du bereits oben im Beispiel sehen konntest, wird zunächst überprüft, wie oft die Zahl in ersten Stellen hineingeht. Sowohl als auch sind zu klein, deshalb müssen direkt die ersten drei Stellen und damit die Zahl betrachtet werden.

Abbildung 8: Schriftliche Division Schritt 1

Das Vielfache von ergibt die Zahl . Diese wird analog zum Beispiel oben einfach abgezogen und das Vielfache beim Ergebnis notiert.

Abbildung 9: Schriftliche Division Schritt 2

Wie Du in Abbildung 9 sehen kannst, ist die nachfolgende Zahl wieder unten zu platzieren und der Teilschritt mit dem Vielfachen erneut auszuführen.

Alle Stellen der Zahl wurden bereits heruntergezogen, jedoch bleibt ein Rest von . Damit die schriftliche Division beendet ist, muss jedoch eine als Ergebnis herauskommen. Deshalb wird so lange die Zahl zum Zwischenergebnis hinzugefügt (also hier der ) bis die Division aufgeht.

Aber aufpassen: Damit die Division stimmt, muss im Wert des Quotienten ein Komma eingefügt werden, sobald neue Nullen dazukommen.

Abbildung 10: Schriftliche Division Schritt 3

Der Quotient ist zunächst jetzt auch eine Kommazahl. Zu Beginn der Berechnung wurden das Komma beider Zahlen (Dividend und Divisor) um eine Stelle nach rechts geschoben. Nun muss diese Änderung rückgängig gemacht werden, indem bei beiden Zahlen das Komma wieder um eine Stelle nach links verschoben wird.

Somit erhältst Du wieder die ursprünglichen Zahlen für den Dividenden und den Divisor. Der Quotient wurde auch entsprechend angepasst und liefert das endgültige Ergebnis.

Aufgabe

Berechne das Ergebnis der folgenden Division:

Lösung

Damit wieder eine normale schriftliche Division möglich ist, müssen zwei Teilschritte vorgenommen werden:

• Umformung, bis der Divisor eine ganze Zahl ist
• Weglassen des Kommas

In diesem Beispiel können demnach zuerst wieder die Kommas beider Zahlen verschoben werden, damit der Divisor eine ganze Zahl wird:

Jetzt siehst Du lediglich bei der Zahl ein Komma. Da es sich um den Dividenden handelt, kann zur Berechnung für die schriftliche Division einfach das Komma weggelassen und später wieder hinzugefügt werden. Die schriftliche Division erfolgt nach dem normalen Schema. Die Abbildungen 11 bis 16 zeigen Dir die einzelnen Schritte.

Abbildung 11: Schriftliche Division Schritt 1

Abbildung 12: Schriftliche Division Schritt 2

Wie Du in Abbildung 12 sehen kannst, sind hier alle Stellen der Zahl aufgebraucht und heruntergezogen worden. Demnach wird nachfolgend bei jedem weiteren Teilschritt mit Nullen aufgefüllt und ein Komma beim Ergebnis gesetzt.

Abbildung 13: Schriftliche Division Schritt 3

Abbildung 14: Schriftliche Division Schritt 4

Abbildung 15: Schriftliche Division Schritt 5

Abbildung 16: Schriftliche Division Schritt 6

Nach der letzten Subtraktion ergibt sich wieder als Rest eine , wodurch die schriftliche Division beendet ist. Zum Erhalt des richtigen Ergebnisses müssen die ersten Umformungen wieder rückgängig gemacht werden. Zunächst wird das Komma des Dividenden und des Divisors so lange verschoben, bis der Divisor wieder in seiner ursprünglichen Form ist. Der Quotient darf wieder nicht verändert werden.

Um jetzt noch auf das richtige Ergebnis zu kommen, sind die Nachkommastellen des Dividenden abzuzählen und das Komma des Quotienten um diese Anzahl nach links zu verschieben. In diesem Fall ist das eine Nachkommastelle. Am Divisor ändert sich nichts.

Aufgabe 1

Zwei Klassen A und B mit Schüler und Schülerinnen fahren zu einem Konzert in der Nähe. Für den Ausflug bezahlt die Lehrerin einen Gesamtpreis von . Wie viele Schüler und Schülerinnen sind jeweils in den Klassen A und B, wenn die Klasse B sechs Schüler*innen mehr hat als die Klasse A und ein Ticket kostet?Hinweis: Die Klassenlehrerin wird in der Rechnung nicht mit berücksichtigt.

Lösung

Zunächst wird mithilfe des Gesamtpreises und des Einzelpreises für das Ticket die Anzahl der Schüler und Schülerinnen ermittelt.

Wendest Du hier die Verschiebung des Kommas an, um den Divisor als ganze Zahl darzustellen, so ergibt sich die neue Rechnung:

Diese kann wieder normal schriftlich dividiert werden.

Abbildung 17: Schriftliche Division Aufgabe 1

Somit ergibt sich aus der Berechnung, dass insgesamt Schüler und Schülerinnen das Konzert besuchen. Um die Klassengrößen zu ermitteln, werden von Gesamtanzahl Schüler*innen abgezogen, da die Klasse B diese mehr aufweist. Anschließend kann die Anzahl halbiert werden.

Antwort: Die Klasse A hat Schüler und Schülerinnen und die Klasse B hat Schüler und Schülerinnen.

Aufgabe 2

Ein Marathonläufer läuft die genau lange Strecke in Stunden und Minuten. Wie lange benötigt er für eine Teilstrecke, wenn die Gesamtstrecke in Teilstrecken aufgeteilt wird und er mit gleichbleibender Geschwindigkeit läuft? Berechne zudem auch die Länge einer Teilstrecke.

Lösung

Zunächst wird die Zeit ermittelt, die der Marathonläufer für eine Teilstrecke benötigt. Da es insgesamt Teilstrecken sind, kann die Gesamtzeit von durch fünf geteilt werden.

Das Komma des Dividenden kann für die Berechnung zunächst weggelassen werden.

Abbildung 18: Schriftliche Division Aufgabe 2

Jetzt muss nur doch das Komma an die richtige Stelle gesetzt werden. Dazu kannst Du einfach die Nachkommastellen des Dividenden abzählen und beim Ergebnis hinzufügen.

Antwort 1: Der Marathonläufer benötigt für jede Teilstrecke Stunden bzw. Minuten.

Die zweite Aufgabe enthält noch die Berechnung der Länge der Teilstrecken. Hier wird die Gesamtstrecke von durch dividiert. Das Komma kann zunächst wieder weggelassen werden.

Abbildung 19: Schriftliche Division Aufgabe 2

Durch Abzählen der drei Nachkommastellen des Dividenden ergibt sich:

Antwort 2: Jede Teilstrecke ist lang.