Fakultät

Die Fakultät ist ein Rechenoperator, der in vielen Bereichen der Mathematik Anwendung findet, für Schüler*innen aber vor allem in der Kombinatorik und Stochastik relevant ist. Wenn Du die Berechnung der Fakultät lernen möchtest und die Anwendung Dich interessiert, bist Du hier an der richtigen Stelle.

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Fakultät – Definition, Formel und Berechnung

    In diesem Abschnitt lernst Du die Definition und Berechnung der Fakultät kennen und kannst Dir einige Beispiele ansehen.

    n Fakultät – Bedeutung

    Sieh Dir zunächst die folgende Definition an:

    Die Fakultät n! ordnet einer natürlichen Zahl n das Produkt aller natürlicher Zahlen (außer 0) kleiner und gleich nzu. Sie ist damit definiert durch folgenden Ausdruck:

    n!=n·(n-1)·(n-2)...·3·2·1=k=1nk

    Vereinfacht gesagt: Multiplizierst Du alle natürlichen Zahlen – angefangen mit der 1 – bis zur Zahl n auf, erhältst Du n!.

    Berechnen der Fakultät

    Wie im vorhergegangenen Abschnitt gesagt, ist die Fakultät einer Zahl das Produkt aller natürlichen Zahlen bis zu dieser Zahl. Für kleinere Zahlen ist die Berechnung der Fakultät damit recht einfach, für größere Zahlen lohnt es sich allerdings, den Taschenrechner zu verwenden. Die meisten Taschenrechner haben dafür eine Fakultät-Funktion, markiert durch das Ausrufezeichen. Hier findest Du noch eine Tabelle mit den ersten 10 Fakultäten:

    AusdruckBerechnungErgebnis
    0!0!=1 da leeres Produkt0!=1
    1!1!=11!=1
    2!2!=1·22!=2
    3!3!=1·2·33!=6
    4!4!=1·2·3·44!=24
    5!5!=1·2·3·4·55!=120
    6!6!=1·2·3·4·5·66!=720
    7!7!=1·2·3·4·5·6·77!=5040
    8!8!=1·2·3·4·5·6·7·88!=40320
    9!9!=1·2·3·4·5·6·7·8·99!=362880

    Die Fakultät lässt sich auch folgendermaßen rekursiv darstellen:

    n!=1,n=0n·(n-1)!n>0

    Rekursive Darstellung erlaubt es, mit einem Anfangswert durch bereits bekannte Rechenoperationen jede weitere Zahl einer Reihe zu errechnen. In diesem Fall wird zum bekannten Wert die nächstgrößere natürliche Zahl hinzumultipliziert und man erhält den nächstgrößeren Wert.

    Fakultät von 0

    Der (einzige) Sonderfall der Fakultät ist 0!=1. Warum das so ist, ergibt sich aus der Vorschrift für die Fakultät:

    Es werden alle natürlichen Zahlen bis n multipliziert – allerdings erst ab der 1. Daher werden bei 0! keine Zahlen aufmultipliziert, und es ergibt sich ein leeres Produkt. Leere Produkte ergeben immer 1, daher ist auch 0!=1.

    Wenn wir die rekursive Darstellung verwenden, ergibt sich Folgendes:

    Für n=1 gilt:

    1!=1·(1-1)!=1·0!

    Das bedeutet:

    1!=0!

    Da wir wissen, dass 1!=1 gilt, gilt also auch 0!=1

    Fakultät – Anwendung

    Wie bereits in der Einleitung gesagt, findet die Fakultät in einigen mathematischen Bereichen Anwendung. Zwei der bekannteren Anwendungsmöglichkeiten werden Dir in diesem Abschnitt nähergebracht.

    Fakultät in der Kombinatorik

    Die häufigste Anwendung der Fakultät findet man in der Kombinatorik. Sie wird als Rechenoperator für viele komplexere Formeln verwendet, wie zum Beispiel den Binomialkoeffizienten. Aber auch die Fakultät selbst hat eine Bedeutung in der Kombinatorik:

    n! (n) zählt die Anzahl der Möglichkeiten, n unterscheidbare Elemente in eine Reihenfolge zu bringen

    In der Kombinatorik spricht man dabei auch von einer Permutation ohne Wiederholung.

    Das mag vielleicht etwas komplex klingen – was genau diese Definition bedeutet, veranschaulicht Dir dieses Beispiel:

    Aufgabe 1

    Deine Musikplaylist besteht aus 8 Songs. Da Dir aber immer die gleiche Reihenfolge der Songs schnell langweilig wird, nutzt Du die Shuffle-Funktion. Wie viele mögliche Abfolgen, die Songs der Playlist abzuspielen, gibt es?

    Lösung

    Da Du gerade die Erklärung für die Fakultät liest, muss diese natürlich an der Lösung beteiligt sein.

    Ganz pragmatisch kannst Du Dir überlegen:

    Für den ersten Song gibt es acht verschiedene Möglichkeiten. Für den Zweiten gibt es allerdings nur noch sieben, da Du den ersten Song ja schon gehört hast. Daher ergeben sich für die ersten beiden Songs 8·7=56 verschiedene Möglichkeiten.

    Wenn man diesem Muster folgt, bis alle Songs abgespielt sind, ergeben sich also insgesamt 8·7·6·5·4·3·2·1=8!=40320 verschiedene Reihenfolgen, in denen die Songs abgespielt werden können.

    Diese Kenntnis kannst Du in der folgenden Übungsaufgabe noch einmal vertiefen.

    Aufgabe 2

    Bei der Tour de France fahren 14 deutsche Fahrer mit. Berechne mithilfe Deines Taschenrechners, wie viele Möglichkeiten es für eine innerdeutsche Rangliste gibt.

    Hiermit ist gemeint, wie viele Möglichkeiten es gibt, diese Fahrer in einer Reihenfolge von 1 (schnellster deutscher Teilnehmer) bis 14 (langsamster deutscher Teilnehmer) zu bringen.

    Lösung

    14!=87 178 291 200

    Fakultät und Binomialkoeffizient

    Eine weitere wichtige Anwendung der Fakultät findet sich im Binomialkoeffizienten wieder. Der Binomialkoeffizient benötigt sowohl für die Herleitung als auch für seine Formel das Prinzip der Fakultät. Wenn Du Dich dafür interessierst, sieh Dir gerne unseren Artikel Allgemeine Zählprinzipien und Binomialkoeffizient an.

    Ein wichtiges Konzept, das im Binomialkoeffizienten Anwendung findet, ist das Dividieren von Fakultäten. Dieses lernst Du im nächsten Abschnitt.

    Fakultät Rechenregeln

    In diesem Kapitel lernst Du alles, was Du über das Rechnen mit Fakultäten wissen musst. Insbesondere das Dividieren zweier Fakultäten wird Dir näher gebracht.

    Multiplikation bei der Fakultät

    Bei den meisten Rechenarten gibt es im Zusammenhang mit der Fakultät nicht viel zu beachten. Anders sieht es allerdings bei Multiplikation und Division aus. Bei der Multiplikation gibt es eigentlich nur eine wichtige Regel, und zwar gilt:

    n!·(n+1)=(n+1)!

    Das heißt vereinfacht nichts anderes, als dass die Fakultät einer natürlichen Zahl multipliziert mit der nächstgrößeren natürlichen Zahl dasselbe ist wie die Fakultät der nächstgrößeren natürlichen Zahl. Das wird im folgenden Beispiel noch einmal deutlich:

    Aufgabe 3

    Vereinfache den Ausdruck 5!·6.

    Lösung

    Wenn Du die Fakultät ausschreibst, sieht der Ausdruck so aus:

    5!·6=1·2·3·4·5·6

    Daher kann man vereinfacht auch schreiben:

    5!·6=6!

    Aufgabe 4

    Vereinfache den Ausdruck 8·7!8!.

    Lösung

    Nach demselben Vorgehen wie bei Aufgabe 2 ergibt sich:

    8·7!8!=8·7·6·5·4·3·2·18!=8!8!=1

    Wenn Du Dir oben die Vertiefung zur rekursiven Darstellung ansiehst, fällt Dir vielleicht auf, dass die hier gegebene Definition nichts anderes ist, als der Rekursionsschritt.

    Division bei der Fakultät – Kürzen

    Die zweite Besonderheit beim Rechnen mit Fakultäten zeigt sich, wenn man zwei Fakultäten durcheinander teilt. Dieser Trick funktioniert sowohl beim Teilen größerer durch kleinere Fakultäten, als auch andersherum. Das folgende Beispiel stellt eine Division zweier Fakultäten dar.

    7!5!=7·6·5·4·3·2·15·4·3·2·1=7·6·5·4·3·2·15·4·3·2·1=7·6=42

    An diesem Beispiel siehst Du, dass sich bei der Division von zwei Fakultäten einiges kürzen lässt. Das liegt daran, dass Fakultäten – egal in welcher Höhe – durch ihre Definition immer einige Faktoren gemeinsam haben, nämlich alle Faktoren der kleineren Fakultät. Somit lässt sich ein Bruch aus zwei Fakultäten immer auf die Faktoren herunterkürzen, die in der größeren Fakultät vorkommen, in der kleineren Fakultät aber nicht.

    Dadurch lassen sich auch komplex wirkende Divisionen ausrechnen. Im Folgenden findest Du Übungsaufgaben zum

    Teilen von Fakultäten.

    Denk' daran, dass im Zähler, beziehungsweise Nenner immer eine 1 stehen bleibt, da die 1 nicht gekürzt werden kann!

    Aufgabe 5

    Berechne die folgenden Brüche.

    a)

    5!2!

    b)

    6!4!

    Lösung

    a)

    5!2!=5·4·3·2·12·1=5·4·3=60

    b)

    6!5!=6·5·4·3·2·15·4·3·2·1=6

    Aufgabe 6

    Vereinfache die folgenden Brüche.

    a)

    2!3!

    b)

    999!1000!

    Lösung

    a)

    2!3!=2·13·2·1=13

    b)

    Mit den erlernten Rechenregeln ergibt sich hier trotz der großen Zahlen die Lösung 11000

    Fakultät – Das Wichtigste

    • Die Fakultät von n ist das Produkt aller natürlicher Zahlen von 1 bis n.
    • Sie zählt die Anzahl der Möglichkeiten, n unterscheidbare Elemente in eine Reihenfolge zu bringen.
    • Aufgrund des leeren Produktes gilt 0!=1.
    • Es gibt mehrere Vereinfachungen beim Rechnen mit Fakultäten.
    • Das Dividieren von Fakultäten ist relevant für den Binomialkoeffizienten in der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Fakultät

    Was bedeutet n Fakultät? 

    Die Fakultät n! ordnet einer natürlichen Zahl n das Produkt aller natürlicher Zahlen (außer 0) kleiner und gleich n zu. 

    Wie rechnet man Fakultät ohne Taschenrechner? 

    Multipliziert man alle natürlichen Zahlen – angefangen mit der 1 – bis zur Zahl n auf, erhält man n!. Für kleinere Zahlen geht das ohne Taschenrechner, für größere ist ein Taschenrechner sinnvoll.

    Wie rechnet man die Fakultät aus? 

    Multipliziert man alle natürlichen Zahlen – angefangen mit der 1 – bis zur Zahl n auf, erhält man n!, also die Fakultät von n

    Was sagt die Fakultät aus? 

    Die Fakultät n! ordnet einer natürlichen Zahl n das Produkt aller natürlicher Zahlen (außer 0) kleiner und gleich n zu  und zählt damit in der Kombinatorik die Anzahl der Möglichkeiten, n unterscheidbare Elemente in eine Reihenfolge zu bringen.

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