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Komplexe Zahlen

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Mathe

hat keine Lösung. Oder doch? Finde es heraus!

Wiederholung - Quadratische Gleichungen lösen

Bisher hast Du gelernt, dass Du, um eine quadratische Gleichung zu lösen, entweder die Wurzel ziehen oder die a-b-c-Formel anwenden kannst.

Um eine quadratische Gleichung zu lösen, kannst Du entweder die Wurzel ziehen:

Komplexe Zahlen Wurzel ziehen StudySmarter

oder eine Lösungsformel (genannt Mitternachtsformel oder a-b-c-Formel) für quadratische Gleichungen anwenden. In diesem Fall muss Deine quadratische Gleichung die Form haben:

Komplexe Zahlen Mitternachtsformel StudySmarter

Wenn Du diese Regeln nun auf die oben genannte Gleichung anwendest, fällt Dir bestimmt etwas auf.

Anwendung der Wurzel:

Diese Gleichung hat – zumindest vorerst – keine Lösung, denn mit dem bisherigen Wissensstand können wir keine Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen.

Warum ist das so? Frage Dich, welche Zahl im Quadrat eine negative Zahl ergibt. Die Antwort ist keine, denn Minus mal Minus ergibt immer Plus.

Anwendung der Mitternachtsformel:

In diesem Fall kann die Mitternachtsformel nicht direkt angewendet werden. Mit einem kleinen Trick kannst Du die Gleichung jedoch trotzdem auf die passende Ausgangsform bringen. Dazu löst Du zuerst nach 0 auf und fügst anschließend das fehlende bx mit dem Faktor 0 ein.

Wie Du siehst, erhältst Du auch hier eine negative Zahl unter der Wurzel. Die Gleichung kannst Du also nicht lösen.

Aber kann eine negative Zahl unter der Wurzel wirklich nicht gelöst werden? Doch, kann sie! Und hier kommen die imaginären Zahlen ins Spiel.

Komplexe Zahlen – Erklärung

Komplexe Zahlen kennst Du vielleicht schon aus dem Artikel zu den Zahlenarten.

Nach dem Lesen dieses Artikels weißt Du, was komplexe Zahlen sind, wofür Du sie brauchst und was sie so besonders macht. Am Ende sind die komplexen Zahlen hoffentlich nicht mehr zu komplex!

Definition der imaginären Zahl i

Komplexe Zahlen sind eine Erweiterung der reellen Zahlen. Mit ihnen ist es möglich, Wurzeln auch aus negativen Zahlen zu berechnen. Dafür gibt es eine neue Zahl, die „imaginäre Einheit“ i.

Eine imaginäre Zahl bzw. imaginäre Einheit i ist eine komplexe Zahl, die eine besondere Eigenschaft hat:

Komplexe Zahlen imaginäre Einheit i StudySmarter

Das heißt, das Quadrat aus i ergibt -1. Aber wie geht das denn?

Eine komplexe Zahl z hat zwei Bestandteile. Einen Realteil und einen Imaginärteil.

Komplexe Zahlen Realteil Imaginärteil StudySmarter

Dabei wird der Realteil durch eine reelle Zahl dargestellt und der Imaginärteil durch die Multiplikation einer reellen Zahl mit der imaginären Einheit i.

Für das Eingangsbeispiel bedeutet das:

Vorsicht beim Umsetzen der Formel zum Real- und Imaginärteil! Da x2 mit 4 gleichzusetzen ist, entspricht 4 dem Quadrat von y (also y2). Daher musst Du die Wurzel von 4 (also 2) vor der imaginären Zahl i einsetzen.

Und weil i mit -1 gleichzusetzen ist, erhältst du:

Nun kannst du Wurzeln aus einer negativen Zahl ziehen! Aber das ist noch nicht alles.

Definition der reellen Zahlen

Weiter oben wurde bereits angesprochen, dass die komplexen Zahlen eine Erweiterung der reellen Zahlen sind.

Die komplexen Zahlen enthalten alle reellen Zahlen plus die imaginäre Zahl i. Die Menge der komplexen Zahlen ist also wie folgt definiert.

Komplexe Zahlen Menge StudySmarter

Du siehst hier also alle Zahlen, denn alle anderen Zahlenarten sind jeweils eine Untermenge der komplexen Zahlen.

Komplexe Zahlen Zahlenmengen StudySmarterAbbildung 1: Ordnung der Zahlenmengen

Das heißt alle anderen Zahlen können als komplexe Zahl dargestellt werden, andersrum gilt das aber nicht.

Darstellung der komplexen Zahlen

Nachdem mit den reellen Zahlen bereits der komplette Zahlenstrahl ausgefüllt ist, brauchen wir noch eine neue Möglichkeit, eine komplexe Zahl grafisch darzustellen.

Dazu folgende Überlegung: Ein Zahlenstrahl ist streng gesehen doch ein eindimensionales Koordinatensystem, oder nicht? Und wenn der Zahlenstrahl mit den reellen Zahlen voll ist, dann könnte man doch einfach eine weitere Achse für den Imaginärteil hinzufügen und das Koordinatensystem zweidimensional machen, oder?

Dafür können wir eine Gaußsche Zahlenebene verwenden!

Die Gaußsche Zahlenebene, oder auch Gaußebene, ist wie ein Koordinatensystem mit x- und y-Achse aufgebaut. Allerdings ist die x-Achse für den Realteil (Re) und die y-Achse für den Imaginärteil (Im).

Hier haben wir zwei Beispiele in ein solches System eingetragen:

Grundsätzlich funktioniert es also wie beim normalen Koordinatensystem, auf der Re-Achse suchst du also deine reale Zahl und bei der Im-Achse gehst du zu der realen Zahl, die vor dem i steht. Damit kommst du dann an deinen Punkt, der deine komplexe Zahl repräsentiert.

Neben dem Realteil a und dem Imaginärteil b und der zugehörigen Hypotenuse kann man noch den Winkel eintragen.

Mit Hilfe des Satz des Pythagoras kann man dann folgende Zusammenhänge ableiten:

Bei der Darstellung in Form der Schreibweise lassen sich noch zwei Formen unterscheiden, wobei die eigentliche Zahl dieselbe ist.

Koordinatenform von komplexen Zahlen

Wird eine komplexe Zahl wie folgt dargestellt spricht man auch von der Koordinatenform:

z=a+bi

Polarform komplexer Zahlen

Neben der Koordinatenform gibt es noch die Polarform – hierfür sind die zuvor gezeigten Zusammenhänge hilfreich.

Rechnen mit komplexen Zahlen

Beim Rechnen mit komplexen Zahlen gibt es ein paar Besonderheiten, aber mit etwas Übung geht es immer besser!

Addieren und Subtrahieren von komplexen Zahlen

Beim Addieren bzw. Subtrahieren zwei komplexer Zahlen z1 und z2 erhält man eine neue komplexe Zahl. Ihr Realteil ist die Summe bzw. Differenz der Realteile und ihr Imaginärteil die Summe bzw. Differenz der Imaginärteile

Addition:

Subtraktion:

Multiplizieren von komplexen Zahlen

Beim Multiplizieren zwei komplexer Zahlen z1 und z2 erhält man eine neue komplexe Zahl. Dabei multipliziert man alle Komponenten miteinander und setzt hierbei i² = -1 ein.

Multiplikation:

Dividieren von komplexen Zahlen

Beim Dividieren einer komplexen Zahlen z1 durch eine andere komplexe Zahl z2 erhält man eine neue komplexe Zahl. Dabei muss man den Bruch um die „komplex konjugierte“ Zahl des Nenners erweitern, also z2*= a2 – b2 ∙ i

Falls du dich fragst, wieso diese Erweiterung klappt / erlaubt ist: eigentlich multipliziert man hier nur mit 1, wenn man in Zähler und Nenner die gleiche Zahl schreibt. Und mit 1 multiplizieren macht schließlich keinen Unterschied im Ergebnis!

Wofür braucht man komplexe Zahlen?

Wieso sollte man denn nun überhaupt die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen wollen?

Hauptsächlich werden die komplexen Zahlen in den Naturwissenschaften benötigt. Auch wenn es schwer vorstellbar ist, wenn man das erste mal mit komplexen Zahlen konfrontiert wird, aber sie erleichtern den Naturwissenschaftlern einige Berechnungen. Deshalb brauchst du sie aber auch nur in bestimmten Studiengängen.

Übungsaufgaben zu den komplexen Zahlen

Um einmal die Rechenarten mit den komplexen Zahlen zu üben, probiere einmal mit den Zahlen z1 = (4 + 6i) und z2 = (8 – 3i) die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division zu üben

Aufgaben:

  • Addition: (4+6i)+(8-3i)
  • Subtraktion: (4+6i)-(8-3i)
  • Multiplikation: (4+6i)(8-3i)
  • Division: (4+6i)/(8-3i)

Lösung:

  • Addition: (4+6i)+(8-3i)=(4+8)+(6i-3i)= 12+3∙i
  • Subtraktion: (4+6i)-(8-3i)=(4-8)+(6i-(-3i))=9∙i-4
  • Multiplikation: (4+6i)(8-3i)=4∙8+4∙(-3i)+6i∙8+6i∙(-3i)=(32-(-18))+((-12)+48)∙i= 50+36i
  • Division:

Das Wichtigste zu komplexen Zahlen auf einen Blick!

  • Komplexe Zahlen sind Zahlen, mit denen man auch aus negativen Zahlen die Wurzel ziehen kann dafür gibt es die imaginäre Einheit i mit i² = -1. Sie besitzen einen Realteil a und Imaginärteil b
  • Komplexe Zahlen lassen sich in zwei Formen darstellen, der Koordinatenform und der Polarform. Für die Koordinatenform kann man eine Gaußebene verwenden.Für die Rechenoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division gilt Folgendes:

Die Zahlenarten im Überblick

Hier hast du nochmal alle Zahlenarten im Überblick. Wenn du die reellen Zahlen jetzt schon verstanden hast, kennst du die wichtigsten Zahlenarten. Die nächste Zahlenart in unserer Liste, die komplexen Zahlen brauchst du wahrscheinlich erst im Studium.

Unser Tipp für Euch zu komplexen Zahlen

Komplexe Zahlen kannst du dir am besten in der Koordinatenform vorstellen. Insbesondere beim Rechnen mit komplexen Zahlen solltest du einfach viel üben, dann sind die komplexen Zahlen irgendwann gar nicht mehr so komplex!

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