Vielleicht kennst Du bereits die Freundesgruppen wie Du sie in den Erklärungen Mengenverknüpfungen oder Schnittmenge bereits gesehen hast. Mittlerweile kristallisiert sich bei den Vorlieben der Fächer immer mehr heraus, wer sich wofür interessiert. Während Philipp und Lina eigentlich eher im Fach Deutsch ihre Stärke sehen, finden Jonas, Anna und Lena doch Mathe spannender.
So ist für den Fall, dass Du beide Parteien betrachten möchtest, die Vereinigungsmenge von Relevanz. Du kannst jeweils diese Personen als Menge betrachten und die Vereinigung bilden, nämlich ist Deutsch in der Menge A und Mathe in der Menge B. Wie dies funktioniert und welche Änderung es auf das Ergebnis hat, wenn eine neue Schulkameradin Luna beide Fächer mag, wirst Du in dieser Erklärung zur Vereinigungsmenge erfahren. Viel Spaß.
Mengen – Wiederholung & Mathe Vereinigungsmenge
Es gibt verschiedene Arten von Mengenverknüpfungen, denn neben der Schnitt- und Differenzmenge spielt auch die Symmetrische Differenz eine Rolle. Dabei ist oftmals entscheidend, ob Mengen disjunkt sind oder nicht. Was das alles bedeutet, wirst Du in dieser Wiederholung erfahren.
Mengen – Definition
Zuallererst soll der Begriff einer Menge definiert werden.
Mengen sind in der Mathematik ein Zusammenschluss an Objekten, die Du auch als Elemente bezeichnen kannst, die in diese Menge zusammengefasst werden.
Ein Beispiel stellt eine Menge aus verschiedenen Bäumen dar. So zählt eine Birke, genauso wie eine Buche oder ein Apfelbaum zu den Bäumen. Mengen sind in der Mathematik ein wichtiges Konzept, da Du damit viele Probleme vereinheitlichst. So sind in einem Wörterbuch auch Elemente mit dem Buchstaben A in eine Menge zusammengefasst. Oftmals interessiert Dich in Mathe dabei in diesem Zusammenhang, ob verschiedene Mengen miteinander in Beziehung stehen.
Mengen können zueinander in Bezug stehen, dann gibt es oftmals Elemente, die in beiden Mengen enthalten sind. Teilen sich Mengen keine gemeinsamen Elemente, so werden sie als disjunkt bezeichnet. Dies ist in der folgenden Grafik näher beleuchtet.
Es gibt zum Beispiel eine Klasse der Säugetiere und eine Menge für Fische. Dabei kann es sich bei einem Aal um kein Säugetier und bei einem Wal um keinen Fisch handeln. Also sind die Mengen disjunkt.
Abbildung 1: disjunkte Mengen
Mengen können aber auch gemeinsame Elemente besitzen oder miteinander verknüpft werden.
Mengenverknüpfungen
Dabei gibt es nun, wie bereits erwähnt, einige Arten von Mengenverknüpfungen. Die Zentralste ist dabei die Schnittmenge. Dabei befinden sich Elemente, die in einer Menge A und in einer Menge B vorkommen.
Ein weiteres Beispiel einer Mengenverknüpfung ist die Differenzmenge bzw. auch . Es handelt sich um eine Art, bei der nur die Elemente betrachtet werden, die in einer Menge enthalten sind, aber ohne denen der anderen Menge.
Abbildung 2: Differenzmenge von Personenmengen
Betrachtest Du in diesem Beispiel die Differenzmenge , so handelt es sich um die Menge A ohne den Elementen, welche zusätzlich in B vorkommen. In der Menge A sind also Lena und Anna enthalten, da wiederum Anna sich auch in B befindet, wird diese entnommen. Das Ergebnis ist also nur Lena.
Ein weiteres Beispiel für eine Mengenverknüpfung ist noch die Symmetrische Differenz, die alle Elemente der Vereinigungsmenge nimmt, ohne der Schnittmenge. Da die Schnittmenge hierbei Anna ist, sind Lena, Simon und Jonas die Symmetrische Differenz.
Zusammengefasst sind hierbei nun diese drei verschiedenen Mengenverknüpfungen in dieser Tabelle:
| Verknüpfung | Notation | Beschreibung |
| Schnittmenge | | In der Schnittmenge sind Elemente enthalten, die in A und B vorkommen. |
| Differenzmenge | | In der Differenzmenge sind Elemente aus einer Menge, die allerdings in der anderen nicht enthalten sind. |
| Symmetrische Differenz | | In der Symmetrischen Differenz sind alle Elemente aus den Mengen A und B enthalten ohne deren Schnittmenge. |
Die sogenannte Vereinigungsmenge wird in dieser Erklärung erläutert.
Nähere Informationen dazu findest Du unter folgenden Erklärungen:
Vereinigungsmenge – Erklärung
Nachdem Du bereits einiges zu Mengen und den verschiedenen Arten, wie Elemente in Mengenverknüpfungen angeordnet sein können, gelernt hast, soll es nun um die sogenannte Vereinigungsmenge gehen.
Vereinigungsmenge – Definition
Die Vereinigungsmenge ist ein Beispiel aus der Algebra für eine Mengenverknüpfung.
Die Vereinigungsmenge (sprich: "A vereinigt B") zweier Mengen A und B beschreibt eine Menge für Elemente aus A und B, die in A ODER in B enthalten sind.
Für die Schnittmenge gilt sowohl das Kommutativgesetz als auch das Assoziativgesetz.
Abbildung 3: Vereinigungsmenge grafisch
Du kannst Dir die Vereinigungsmenge mit folgendem Beispiel für Mengen erklären.
Eventuell kennst Du die Menge der natürlichen und der ganzen Zahlen. Dabei kann es sich zum Beispiel um folgende Mengen handeln:
- Menge der positiven natürlichen Zahlen ()
- Menge der positiven natürlichen Zahlen mit der Null ()
- Menge der negativen ganzen Zahlen ( )
- Menge der ganzen Zahlen ()
Dabei setzt sich die Menge der ganzen Zahlen mit den Punkten aus 2 und 3 zusammen.
Die Menge der natürlichen Zahlen mit der 0 sind zum Beispiel folgende: .
Die Menge der negativen ganzen Zahlen sind: .
Das bedeutet also, dass Du aus den positiven natürlichen Zahlen mit der 0 und den negativen ganzen Zahlen eine Vereinigungsmenge bilden kannst. Das ist dann die Menge der ganzen Zahlen.
Möchtest Du noch Näheres zu den einzelnen Mengen erfahren, empfiehlt sich, die anderen Erklärungen dazu anzusehen:
Vereinigungsmenge – Symbol und Schreibweise
Die Bedingung für die Elemente aus einer Vereinigungsmenge kannst Du auch mathematisch konkretisieren mithilfe einer eindeutigen Beschreibung für dieses Beispiel aus der Algebra. Dabei nutzt Du den Fakt aus, dass Elemente in A oder in B enthalten sind.
Schreibweise für eine Vereinigungsmenge mit Informationen zu den Begriffen für die Elemente:
Das x in diesem Beispiel steht für jedes Element aus der resultierenden Menge, für das gilt, dass es in A oder in B enthalten ist. Das Symbol steht für das logische Oder, wobei damit mathematisch dieser Zusammenhang erläutert wird. Als Gegenstück dazu steht das sogenannte logische Und, das für die Schnittmenge gilt.
Vereinigungsmenge – Regeln
Mit der Vereinigungsmenge können einige Rechenregeln verwendet werden. Dabei sind Dir eventuell die beiden für eine Addition oder Multiplikation geläufig:
Zusätzlich dazu gibt es auch noch andere Gesetze, die mit der Vereinigungsmenge möglich sind. Zum Beispiel kannst Du die Vereinigungsmenge mit der Schnittmenge verknüpfen. Wie Du bereits aus dem Wiederholungsbereich erfahren hast, ist die Schnittmenge die Menge, bei der Elemente aus beiden Mengen enthalten sind. Kombiniert mit der Vereinigungsmenge kannst Du das Distributivgesetz anwenden:
Das gleiche gilt für:
Zwar nicht sehr relevant für den Schulunterricht ist auch das Absorptionsgesetz. Als Beispiel ist Dir die folgende Formel gegeben:
Das kannst Du Dir damit erklären, wenn Du für diese Formel auch hier das Distributivgesetz anwendest:
Den Term kannst Du als A zusammenfassen und führst Du eine Schnittmenge mit der Vereinigungsmenge von A und B durch, bleibt lediglich die Menge A übrig.
Vereinigungsmenge bestimmen und berechnen
Die Vereinigungsmenge zu ermitteln ist sowohl grafisch als auch anhand von gegebenen Mengen als Beispiel möglich.
- Alle Elemente aus der Menge A markieren.
- Alle Elemente aus Menge B markieren, die nicht in der Menge A enthalten sind.
- Markierte Elemente nun als Vereinigungsmenge zusammenfassen.
Sieh Dir zum Beispiel diese kleine Aufgabe an, die Dir das Konzept näher bringen soll.
Gegeben sind folgende Mengen:
Abbildung 4: Vereinigungsmenge mit Schnittmenge
1. Schritt:
Es bietet sich also an, in der Menge A also alle Elemente zu markieren, bzw. sie bereits in die Vereinigungsmenge einzufügen.
2. Schritt:
Nun kannst Du bereits für die zweite Menge, all jene Elemente markieren, die noch nicht in A vorgekommen sind.
3. Schritt:
Nun fügst Du alle markierten Elemente in die gesamte Vereinigungsmenge ein.
Abbildung 5: Vereinigungsmenge mit Schnittmenge (Lösung)
Bekanntlich führen alle Wege nach Rom, zumindest führen oft mehrere Wege zum Ziel. Auch in diesem Beispiel ist es möglich, erst die Menge B zu betrachten, oder auch sofort Elemente in die Vereinigungsmenge zu geben, ohne eine Markierung vorher zu erledigen.
Vereinigungsmenge – Beispiel
Wie Du bereits aus der Einleitung im Text erfahren hast, kannst Du mit den Dir bekannten Freunden eine Vereinigungsmenge in Mathe bilden. Dazu verwendest Du alle Elemente und gibst sie in dieser Weise in die Vereinigungsmenge, wie Du zuvor gelernt hast.
Aufgabe 1
Führe für die nachfolgende Grafik der Vorlieben für Schulfächer eine Vereinigungsmenge durch.
Abbildung 6: Vereinigungsmenge zu Freundeskreis
Lösung
In der Grafik kannst Du erkennen, dass es in diesem Beispiel keine Schnittmenge gibt. Das ist der Sonderfall, indem Du alle Elemente in die Vereinigungsmenge gibst, ohne jedoch doppelt oder mehrfach vorkommende Elemente nur einmal zu nennen. Die Vereinigungsmenge als Instrument aus der Algebra ist hierbei also:
Abbildung 7: Vereinigungsmenge zu Freundeskreis (Lösung)
Würde eine neue Schulkameradin Luna beide Fächer mögen, so gäbe es eine Schnittmenge. Du würdest Luna auch in die Vereinigungsmenge einfügen, müsstest allerdings darauf aufpassen, dass Du sie nur einmal nennst.
Abbildung 8: Vereinigungsmenge mit Luna als Schnittmenge
Vereinigungsmenge – leere Menge und Teilmengen
Wie Du vielleicht bereits gemerkt hast, gab es inzwischen zwei Arten von Verknüpfungen von Mengen, die unterschiedlich bearbeitet wurden. Bereits erwähnt wurden die Vereinigungsmenge mit einer Schnittmenge oder auch ohne, also disjunkt. Weiterhin gibt es die Vereinigungsmenge als Teilmenge, aber auch mit der leeren Menge bzw. mit mehreren.
Vereinigungsmenge berechnen – leere Menge
Eine leere Menge ist in Mathe ein wichtiges Konstrukt, das zum Aufbau verschiedener Mengen verwendet werden kann, wie der sogenannten Potenzmenge. Für den Schulunterricht ist lediglich interessant, was gilt, falls eine der beiden Mengen eine leere Menge ist. Falls eine Menge nur die leere Menge ist und die andere Elemente enthält, so sind lediglich diese Elemente in der Vereinigungsmenge gegeben.
Die beiden Mengen sind wie folgt gegeben:
- Menge A:
- Menge B:
Da Du alle Elemente betrachtest, die in A oder in B enthalten sind, gilt für die Vereinigungsmenge:
Das gilt auch, falls A die leere Menge ist und B die Elemente aus A enthält.
Vereinigungsmenge berechnen – Teilmenge
Eine Menge kann die andere Menge enthalten. Dabei kannst Du eine echte Teilmenge und den Begriff der Teilmenge unterscheiden. Wie der Name bereits erahnen lässt, beschreibt die echte Teilmenge den Fall, dass eine Menge die andere enthält, allerdings eine Menge mindestens ein Element zusätzlich enthält. Für eine nicht echte Teilmenge sind beide identisch.
Abbildung 9: Vereinigungsmenge der Teilmenge aus der Biologie
Die Vereinigungsmenge sind in diesem Fall auch die Elemente, die in der einen oder anderen Menge enthalten sind. Du kannst zum Beispiel so vorgehen: Du nutzt die Elemente, die in der größeren Menge gegeben sind und fügst sie in die Vereinigungsmenge ein. Die Vereinigungsmenge ist also:
Handelt es sich um eine echte Teilmenge, also um zwei identische Mengen mit exakt denselben Elementen, so kannst Du eine der beiden verwenden, um die Vereinigungsmenge zu bilden.
Vereinigungsmenge berechnen – mehrere Mengen
Handelt es sich um mehr als zwei Mengen, so ist auch in diesem Fall jedes Element aus den einzelnen Mengen zu entnehmen. Dabei kannst Du unterschieden für den Fall der drei Mengen:
- sind alle Mengen disjunkt - das kannst Du auch als paarweise disjunkt bezeichnen - so nimmst Du alle Elemente aus den einzelnen Mengen und fügst sie in die Vereinigungsmenge ein.
- besitzt mindestens eine der Mengen eine Schnittmenge, sollst Du für diese Elemente alle Elemente in die Vereinigungsmenge geben, allerdings sollen doppelt oder mehrfach vorkommende Elemente nur einmal genannt werden.
Es sind folgende Mengen gegeben:
In diesem Fall könntest Du wie folgt vorgehen (Verweis: Du kannst die Aufgabe auch gerne anders lösen):
1.Schritt:
Alle Elemente, eventuell bereits sortiert notieren. Betrachte das folgende eher als eine Hilfsskizze der Zahlen:
2. Schritt:
Streiche mehrfach vorkommende Elemente und füge diese in die Vereinigungsmenge ein.
Abbildung 10: Vereinigungsmenge für drei Mengen
Vereinigungsmenge – Aufgaben
Nun kannst Du Dein theoretisches Wissen, praktisch anwenden. Viel Spaß!
Aufgabe 2
Im Folgenden sind Dir zwei Mengen gegeben.
a) Erkläre den Begriff der Vereinigungsmenge.
b) Ermittle für dieses Beispiel die Vereinigungsmenge.
c) Erkläre die Schnittmenge und bilde diese.
Lösung
a) Die Vereinigungsmenge ist die Mengenverknüpfung, bei der Elemente enthalten sind, die in der Menge A (in diesem Fall Y) oder Menge B (hier Z) zu finden sind.
b) Es handelt sich dabei um eine echte Teilmenge, da die Elemente 3, 15, 35, 70 auch in Z enthalten sind, die Menge Z aber zusätzlich weitere Elemente enthält. Die Vereinigungsmenge wird aus allen Elementen der größeren Menge gebildet.
c) Die Schnittmenge enthält alle Elemente, die in einer Menge A und in einer Menge B enthalten sind.
In diesem Fall gehst Du also wie folgt vor:
- Streiche aus der Menge Z alle Elemente, die nicht in Y vorkommen.
- Die übrig gebliebenen Elemente sind Deine Schnittmenge.
Aufgabe 3
Im Folgenden sind Dir drei Mengen grafisch gegeben:
Abbildung 11: Vereinigungsmenge zu Aufgabe 3
a) Was könnte die Aufgabenstellung zu dieser Grafik sein?
b) Bilde nun die Vereinigungsmenge zu den genannten Haushalten.
Lösung
a) Nun darfst Du ein wenig in die Rolle Deines Lehrers/ Deiner Lehrerin schlüpfen. Es soll Dir helfen den Sachzusammenhang zu verstehen. Eine mögliche Interpretation dieser Grafik kann lauten...
Du betrachtest drei Haushalte und zwar von Lena, Lina und Philipp. In ihren Haushalten gibt es unterschiedliche Gegenstände. Während Lena eine Mikrowelle, Rollläden und einen Wlan-Router besitzt, gibt es bei Lina einen Toaster, Vorhänge und Brettspiele. Philipp wiederum hat einen Induktionsherd, einen Wlan-Router und Brettspiele. Der Haushalt von Lena und Philipp besitzen also beide einen Wlan-Router, während der Haushalt von Philipp und Lina darin identisch sind, dass beide Brettspiele im Schrank haben. Die Haushalte von Lena und Lina sind bezogen auf ihre Gegenstände vollständig unterschiedlich.
b) Die ersten Schritte kannst Du gerne überspringen und sofort zu Schritt 3 wechseln.
Schritt 1:
Bilde die Mengen:
Schritt 2:
Sortiere die Gegenstände und schreibe sie Dir skizzenhaft zusammen.
Schritt 3:
Streiche mehrfach vorkommende Elemente und erstelle die Vereinigungsmenge.
Vereinigungsmenge – Das Wichtigste
- Zu den Mengenverknüpfungen zählen unter anderem die Differenzmenge, die Schnittmenge und die Symmetrische Differenz.
- Die Vereinigungsmenge beschreibt eine Menge für Elemente aus A und B, die in A ODER in B enthalten sind.
- Die Vereinigung der positiven natürlichen Zahlen mit der 0 und der negativen natürlichen Zahlen sind die natürlichen Zahlen.
- Für die Vereinigungsmenge gelten das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz. In Kombination mit der Schnittmenge kann auch das Distributivgesetz und das Absorptionsgesetz angewendet werden.
- Zum Bestimmen der Vereinigungsmenge markierst Du die Elemente der einen Menge und die Elemente der anderen Menge, die in der ersten nicht enthalten sind. Die markierten Elemente sind deine Vereinigungsmenge.
- Die Vereinigung einer Menge A und einer leeren Menge B ist die Menge A.
- Die Vereinigung einer (echten) Teilmenge ist immer die Menge mit den meisten Elementen.
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