Primzahlen sind eine wichtige Klasse von Zahlen in der Mathematik, die nur durch sich selbst und 1 teilbar sind. Sie spielen eine wichtige Rolle in vielen Bereichen der Mathematik, insbesondere in der Zahlentheorie und Kryptographie. Wie Du sie erkennst, erfährst Du in dieser Erklärung!
Was sind Primzahlen?
Primzahlen sind natürliche Zahlen, die nur durch sich selbst und 1 teilbar sind. Mit anderen Worten, eine Primzahl hat genau zwei positive Teiler: 1 und die Zahl selbst. Jede positive ganze Zahl kann als ein Produkt von Primzahlen geschrieben werden, diese Eigenschaft wird auch als Fundamentalsatz der Arithmetik bezeichnet.
- 7 ist eine Primzahl, da sie nur durch sich selbst und 1 teilbar ist
- 6 ist keine Primzahl, da sie durch 1, 2, 3 und sich selbst teilbar ist, also mehr als zwei Teiler besitzt
- 1 ist keine Primzahl, da sie nur einen Teiler besitzt
Die Primzahlen bis 100
Es gibt 25 Primzahlen bis 100. Das sind:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Abb. 1 - Primzahlen bis 100.
Eine Methode, um die Primzahlen herauszufinden, ist das Sieb des Eratosthenes.
So funktioniert das Sieb des Eratosthenes:
Du benötigst eine Tabelle, in der die Zahlen von 1 bis 100 (oder auch mehr) eingetragen sind.
Als Nächstes markierst Du die kleinste Primzahl, die 2, indem Du sie umrundest oder markierst. Dann streichst Du alle Vielfachen der 2, da sie keine Primzahlen mehr sein können.
Abb. 2 - Sieb des Eratosthenes.
Nun gehst Du zur nächstkleineren Zahl, der 3, und markierst sie als nächste Primzahl. Danach streichst Du wieder alle Vielfachen der 3.
Dieses Prinzip führst Du fort, bis alle Zahlen in der Tabelle markiert oder gestrichen sind. Dabei markierst Du immer die nächstkleinere unmarkierte Zahl als nächste Primzahl und streichst alle Vielfachen dieser Zahl.
Das Sieb des Eratosthenes ist eine effektive Methode, um Primzahlen zu finden, und eignet sich besonders gut für größere Zahlen.
Ist 1 eine Primzahl?
1 ist keine Primzahl, da eine Primzahl nur durch sich selbst und 1 teilbar sein muss. Bei der Zahl 1 gibt es jedoch nur einen positiven Teiler, nämlich 1 selbst. Eine Primzahl hingegen muss immer genau zwei positive Teiler haben. Daher wird 1 nicht als Primzahl klassifiziert.
Primzahlen sind per Definition nur natürliche Zahlen größer als 1, die nur durch sich selbst und 1 teilbar sind. Da die 1 nicht größer als 1 ist, erfüllt sie diese Bedingung nicht.
Wenn man 1 als Primzahl betrachten würde, wäre es schwieriger, den Fundamentalsatz der Arithmetik zu formulieren, der besagt, dass jede positive ganze Zahl eindeutig als Produkt von Primzahlen geschrieben werden kann. Denn dann müsste man die 1 als Primzahl ausschließen oder speziell behandeln.
Auch in der Zahlentheorie und Kryptographie wird die 1 nicht als Primzahl betrachtet, da sie in vielen Algorithmen und Rechenoperationen eine besondere Rolle spielt und ein Sonderfall darstellt.
Unendlichkeit der Primzahlen – Satz von Euklid
Auch wenn Du jetzt ein Verfahren kennst, um Primzahlen zu finden, solltest Du nicht versuchen, alle Primzahlen zu suchen. Das ist unmöglich, denn: Es gibt unendlich viele Primzahlen!
Das hat im übrigen bereits der griechische Mathematiker Euklid vor mehr als 2000 Jahren bewiesen und diese Erkenntnis im sogenannten „Satz des Euklid“ oder „Satz von Euklid“ festgehalten.
Primfaktorzerlegung
Jede Zahl besitzt eine eindeutige Primfaktorzerlegung. Die Primfaktordarstellung ist eine Methode, mit der eine Zahl als Produkt aus Primzahlen dargestellt wird.
Die Zahl 60 kannst Du schrittweise in Faktoren zerlegen. Das machst Du so lange, bis nur noch Primzahlen übrig sind!
\begin{align} 60&=15\cdot 4\\&= 3\cdot 5\cdot 4\\&=3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\\&=2^2\cdot 3\cdot 5\end{align}
Es ist üblich, die Primfaktoren in aufsteigender Reihenfolge zu ordnen.
Größter gemeinsamer Teiler (ggT)
Wenn der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen gesucht wird, kannst Du wieder mit der Primfaktorzerlegung arbeiten.
Die beiden gegebenen Zahlen solltest Du zunächst in Primfaktoren zerlegen. Der größte gemeinsame Teiler (ggT) ist dann das Produkt aus denjenigen Primzahlen, die bei beiden Zahlen vorkommen.
Gesucht ist der ggT der Zahlen 348 und 270.
Zunächst zerlegen wir die Zahlen in Primfaktoren:
\[348=2^2\cdot 3\cdot 29\]
\[270=2\cdot 3^3\cdot 5\]
In beiden Primfaktorzerlegungen kommt einmal die 2 und einmal die 3 vor. Daher ist der ggT von 348 und 270 das Produkt aus 2 und 3, also\[\text{ggT}(348, 270)=2\cdot 3=6\]
Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)
Auch beim Suchen des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) ist die Primfaktorzerlegung hilfreich. In der Primfaktorzerlegung des kgV müssen nämlich alle Primfaktoren aus den beiden gegeben Zahlen vorkommen, aber nur so oft, wie sie maximal in einer der beiden Zahlen vorkommen.
Das lässt sich am besten in einem Beispiel erklären.
Gesucht ist das kgV der Zahlen 24 und 18.
Primfaktorzerlegung von 24 und 18:
\[24=2^3\cdot 3\]
\[18=2\cdot 3^2\]
Es kommen also die Primfaktoren 2 und 3 vor.
In der Zahl 24 kommt der Primfaktor 2 insgesamt 3 mal vor, in der Zahl 18 nur einmal. In der Primfaktorzerlegung des kgV muss die 2 also auch 3 mal vorkommen.
Der Primfaktor 3 kommt in der 24 einmal, in der 18 zweimal vor. Daher muss er im kgV auch zweimal vorkommen.
Das kleinste gemeinsame Vielfache ist also jetzt das Produkt aus dreimal dem Faktor 2 und zweimal dem Faktor 3:
\[\text{kgV}(18,24)=2^3\cdot 3^2=72\]
Primzahlen - Das Wichtigste auf einen Blick
- Primzahlen sind natürliche Zahlen, die nur durch sich selbst und durch 1 teilbar sind.
- Primzahlen haben also exakt zwei Teiler.
- 1 ist keine Primzahl
- Primzahlen können mit dem Sieb des Eratosthenes gefunden werden.
- Primzahlen benötigst Du unter anderem zur Bestimmung des ggT und des kgV.
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