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Primzahlen

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Mathe

Primzahlen sind Zahlen mit einer kleinen Besonderheit und deshalb bei den Mathematikern sehr beliebt. Was Primzahlen so besonders macht, wieso das Sieb von Eratosthenes dabei eine besondere Rolle einnimmt und wie du sie erkennst erfährst du in diesem Artikel!



Was sind Primzahlen?


Eine Primzahl ist durch die folgenden zwei Eigenschaften charakterisiert:


  • es handelt sich um eine natürliche Zahl
  • diese natürliche Zahl ist nur durch 1 und durch sich selbst teilbar

Also ist eine natürliche Zahl genau dann eine Primzahl, wenn sie exakt zwei Teiler besitzt. Damit ist die 1 übrigens keine Primzahl!


Kleine Erinnerung: Die natürlichen Zahlen sind die Zahlen 1, 2, 3, 4, ... also eine Zahl aus der Menge der natürlichen Zahlen: 


 


Die Zahl 3 ist eine natürliche Zahl, die nur durch 1 und 3 teilbar ist.
→  3 ist eine Primzahl


Die Zahl 4 ist eine natürliche Zahl, die durch 1 und 4 teilbar ist, aber außerdem auch noch durch die 2 teilbar ist.
→ 4 ist keine Primzahl



Vorgehen zur Bestimmung von Primzahlen


Das Sieb des Eratosthenes


Um die ersten Primzahlen zu identifizieren, gibt es das sogenannte Sieb des Eratosthenes. Eratosthenes war ein Wissenschaftler und insbesondere Mathematiker im alten Griechenland. Er berechnete zum Beispiel dem Umfang der Erde. 


Das Sieb des Eratosthenes funktioniert folgendermaßen:

Man braucht eine Tabelle, in der die Zahlen von 1 bis 100 eingetragen sind. Wenn Du möchtest, kannst du das Sieb aber auch bis 200 oder noch weiter fortführen. 


Man beginnt dann, die kleinste Primzahl zu markieren. Zunächst streicht man die 1 (in der folgenden Tabelle grau hinterlegt), denn sie ist keine Primzahl. Die 2 ist dann die erste Primzahl. Diese wird umrundet oder markiert (in der folgenden Tabelle ist sie blau markiert). Nun werden alle Vielfachen der 2 gestrichen (wieder grau hinterlegt), denn sie können keine Primzahlen mehr sein, sie sind ja durch 2 teilbar.


12345678910
11121314151617181920
21222324252627282930
31323334353637383940
41424344454647484950
51525354555657585960
61626364656667686970
71727374757677787980
81828384858687888990
919293949596979899100


Jetzt nimmt man wieder die nächstkleinere Zahl, die 3. Sie ist ebenfalls eine Primzahl und wird markiert. Alle Vielfachen der 3 werden nun wieder gestrichen. Als nächstes wird die 5 als nächste Primzahl markiert, ihre Vielfachen gestrichen usw.


Dieses Prinzip wird fortgeführt, bis alle Zahlen in der Tabelle markiert oder gestrichen sind. 


Am Ende sollte das Feld bis 100 so aussehen:


12345678910
11121314151617181920
21222324252627282930
313233343536373839
40
414243444546474849
50
51525354555657585960
61626364656667686970
71727374757677787980
81828384858687888990
919293949596979899
100


Ist eine gegebene Zahl eine Primzahl?


Um bei einer gegebenen Zahl zu überprüfen, ob sie eine Primzahl ist, gibt es verschiedene Methoden. Die zweite kannst du allerdings erst anwenden, wenn du mit Wurzeln rechnen kannst.  


Einfache Methode zur Identifikation von Primzahlen


Hast du eine Zahl gegeben, bei der du dir nicht sicher bist, ob sie eine Primzahl ist, dann musst du zunächst die nächstgrößere Quadratzahl finden, die sich also als Produkt aus zweimal derselben Zahl bilden lässt. 


Wichtige Quadratzahlen bis 200 solltest du mehr oder weniger parat haben, so wie das kleine Einmaleins. 

Beispielsweise ist 121=11·11 oder 81=9·9.

Mögliche Teiler der gegebenen Zahl müssen jetzt kleiner sein als die Zahl, die im Produkt mit sich selber die Quadratzahl ergibt.


Jetzt musst du alle diese Zahlen ausprobieren, dafür helfen dir gegebenenfalls die Teilbarkeitsregeln, zu denen du einen Artikel im Bereich AlgebraZahlenlehre findest!


Zum besseren Verständnis kommt hier gleich ein Beispiel:


Ist die Zahl 61 eine Primzahl?


Die nächstgrößere Quadratzahl ist

Mögliche Teiler der 61 sind also die Zahlen, die keiner als 8 sind. Das sind 2, 3, 4, 5, 6 oder 7. 


  • 2 teilt 61 nicht, da 61 ungerade ist.
  • 3 teilt 61 nicht, da die Quersumme von 61 nicht durch 2 teilbar ist.
  • 4 teilt 61 auch nicht, da 61 schon nicht von 2 geteilt wird.
  • 5 teilt 61 auch nicht, da 61 als letzte Ziffer keine 5 oder 0 hat.
  • 6 teilt 61 nicht, da 61 nicht von 2 und 3 geteilt werden.
  • 7 teilt 61 auch nicht.


Damit ist die 61 tatsächlich eine Primzahl.


Zweite Methode zur Identifikation von Primzahlen (mit Wurzeln)


Diese Methode besteht aus drei Schritten:

 

  1. Wurzel der gegebenen Zahl bestimmen
  2. Primzahlen bis einschließlich zur Wurzel der Zahl bestimmen
  3. Der Reihe nach testen, ob die Primzahlen aus Schritt 2 ein Teiler der Zahl sind.
    1. Sobald eine Zahl ein Teiler ist, ist die Zahl keine Primzahl
    2. Wenn alle Zahlen aus Schritt 2 kein Teiler sind, ist die Zahl eine Primzahl

Zu prüfen ist, ob die Zahl 349 eine Primzahl ist. 


  1. Alle Primzahlen bis dahin sind die 2, 3, 5, 7, 11, 13 und 17.
  2. Überprüfe also, ob die genannten Primzahlen Teiler von 349 sind.
    1. 2 teilt 349 nicht, denn 349 ist keine gerade Zahl. 
    2. 3 teilt 349 nicht, da die Quersumme von 349 nicht durch 3 teilbar ist. 
    3. 5 teilt 349 nicht, da die letzte Ziffer keine 5 oder 0 ist.
    4. 7 teilt 349 auch nicht.
    5. 11 teilt 349 nicht.
    6. 13 teilt 349 nicht.
    7. 17 teilt 349 nicht.


Damit ist die Zahl 349 eine Primzahl.

Zu prüfen ist, ob die Zahl 147 eine Primzahl ist.


  1. Alle Primzahlen bis dahin sind die 2, 3, 5, 7 und 11.
  2. Überprüfe also, ob die genannten Primzahlen Teiler von 147 sind.
    1. 2 teilt 147 nicht, da 147 keine gerade Zahl ist.
    2. 3 teilt 147 nicht, da die Quersumme nicht durch 3 teilbar ist.
    3. 5 teilt 147 nicht, da die letzte Ziffer keine 5 oder 0 ist.
    4. 7 teilt 147: 147:7=21.


Damit ist 147 keine Primzahl.



Unendlichkeit der Primzahlen – der Satz von Euklid


Auch wenn du jetzt ein Verfahren kennst, um Primzahlen zu finden, solltest du nicht versuchen, alle Primzahlen zu suchen. Das ist unmöglich, denn: es gibt unendlich viele Primzahlen!


Das hat im übrigen bereits der griechische Mathematiker Euklid vor mehr als 2000 Jahren bewiesen und diese Erkenntnis im sogenannten "Satz des Euklid" oder "Satz von Euklid" festgehalten.



Wofür braucht man Primzahlen?


Primzahlen sind in der Mathematik sehr beliebt. Es gibt interessante Anwendungen für sie, wie z. B. die Primfaktorzerlegung, den größten gemeinsamen Teiler (ggT) und das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV). 


Primfaktorzerlegung


Mit der Primfaktorzerlegung kann man eine Zahl in ein Produkt von Primzahlen zerlegen. Die Primfaktorzerlegung kann beispielsweise hilfreich sein, wenn du Brüche kürzen möchtest. Dafür kannst du Zähler und Nenner in Primfaktoren zerlegen. 


Die Primfaktorzerlegung ist ein Produkt aus Primzahlen. Um die Primfaktorzerlegung einer gegebenen Zahl zu bekommen, versucht man meist nach und nach, den jeweils kleinsten Primfaktor zu finden und diesen abzuspalten. Man kann aber auch beliebige Faktoren abspalten und diese dann einzeln in Primfaktoren zerlegen. 

Diese beiden Wege werden dir genauer im Artikel Primfaktorzerlegung im Bereich Zahlenlehre - Algebra erklärt.


Jede natürliche Zahl, die größer als 1 ist, hat eine eindeutige Primfaktorzerlegung!


Aufgabe

Bestimme die Primfaktorzerlegung der Zahl 60!

Lösung 



Hinweis: Zur Berechnung der Primfaktorzerlegung ist es hilfreich, die Teilbarkeitsregeln zu wissen. Weißt du, woran man erkennt, dass eine Zahl durch 9 teilbar ist? Falls nicht, kannst du das im Artikel Teilbarkeitsregeln im Kapitel Zahlenlehre (Algebra) nachlesen.


Größter gemeinsamer Teiler (ggT)


Wenn der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen gesucht wird, kannst du wieder mit der Primfaktorzerlegung arbeiten. 


Die beiden gegebenen Zahlen solltest du zunächst in Primfaktoren zerlegen. Der größte gemeinsame Teiler (ggT) ist dann das Produkt aus denjenigen Primzahlen, die bei beiden Zahlen vorkommen. 


Gesucht ist der ggT der Zahlen 348 und 270. 


Zunächst zerlegen wir die Zahlen in Primfaktoren:




In beiden Primfaktorzerlegungen kommt einmal die 2 und einmal die 3 vor. Daher ist der ggT von 348 und 270 das Produkt aus 2 und 3, also.


Wenn du mehr über den größten gemeinsamen Teiler wissen möchtest, schau dir doch mal unseren zugehörigen Artikel an!  

Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)


Auch beim Suchen des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) ist die Primfaktorzerlegung hilfreich. In der Primfaktorzerlegung des kgV müssen nämlich alle Primfaktoren aus den beiden gegeben Zahlen vorkommen, aber nur so oft, wie sie maximal in einer der beiden Zahlen vorkommen. 


Das lässt sich am besten in einem Beispiel erklären. 


Gesucht ist das kgV der Zahlen 24 und 18. 


Primfaktorzerlegung von 24 und 18:



Es kommen also die Primfaktoren 2 und 3 vor. 

In der Zahl 24 kommt der Primfaktor 2 insgesamt 3 mal vor, in der Zahl 18 nur einmal. In der Primfaktorzerlegung des kgV muss die 2 also auch 3 mal vorkommen. 

Der Primfaktor 3 kommt in der 24 einmal, in der 18 zweimal vor. Daher muss er im kgV auch zweimal vorkommen.


Das kleinste gemeinsame Vielfache ist also jetzt das Produkt aus dreimal dem Faktor 2 und zweimal dem Faktor 3:



Der separate Artikel zum kleinsten gemeinsamen Teiler geht noch mehr ins Detail! Wenn du interessiert bist, musst du unbedingt mal reinschauen!   



Besonderheiten von Primzahlen


Bei Primzahlen gibt es einige mathematische Besonderheiten. Im Folgenden sind ein paar davon aufgeführt.


Die Summe zweier Primzahlen ist gerade


Wenn man die Summe von zwei Primzahlen (ohne die 2) bildet, erhält man eine gerade Zahl. Das liegt daran, dass alle Primzahlen (außer der 2) ungerade sind und die Summe von zwei ungeraden Zahlen immer gerade ist.


Andersrum gibt es eine Vermutung des Mathematikers Goldbach (welche jedoch noch nicht bewiesen werden konnte), dass jede Zahl, die größer als 3 ist, als Summe von zwei Primzahlen gebildet werden kann:


  • 2 + 2 = 4
  • 3 + 3 = 6
  • 3 + 5 = 8
  • 3 + 7 = 10
  • 5 + 7 = 12


Das Doppelte von natürlichen Zahlen


Wenn man eine natürliche Zahl, die größer als 1 ist, verdoppelt, so liegt zwischen der Zahl selbst und dem Doppelten mindestens eine Primzahl. Hierfür gibt es einen Beweis von Bertrand aus dem Jahr 1850.


Als erstes Beispiel nehmen wir die Zahl 9.

  • zwischen der 9 und der 18 liegen die Primzahlen 11, 13 und 17


Als zweites Beispiel nehmen wir die Zahl 3. 

  • 2·3=6
  • Zwischen 3 und 6 liegt die Primzahl 5



Primzahlen – Übungsaufgaben


Aufgabe 1


Berechne die Primfaktorzerlegung der folgenden natürlichen Zahlen:


  • 360
  • 99
  • 54320
  • 10000


Lösung 



Aufgabe 2


Untersuche, ob die gegebenen Zahlen Primzahlen sind (natürlich, ohne oben im Artikel nachzuschauen!):


  • 631
  • 73
  • 163
  • 199


Lösung 


Alle vier gegebenen Zahlen sind Primzahlen.

Aufgabe 3


Berechne den ggT der folgenden Zahlen:


  • 650 und 435

  • 1782 und 999


Lösung 


  •   . Demnach ist der ggT dieser beiden Zahlen ggT(650, 435)=5
  • . Demnach ist der ggT dieser beiden Zahlen



Primzahlen - Das Wichtigste auf einen Blick


  • Primzahlen sind natürliche Zahlen, die nur durch sich selber und durch 1 teilbar sind.
  • Primzahlen haben also exakt zwei Teiler.
  • Primzahlen kann man finden mit dem Sieb des Eratosthenes.
  • Um zu überprüfen, ob eine Zahl eine Primzahl gibt, gibt es zwei recht einfache Methoden.
  • Primzahlen braucht man für die Primfaktorzerlegung, und diese beispielsweise zur Bestimmung des ggT und des kgV.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Primzahlen

Die Primzahlen bis 100 sind: 

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 und 97

Die Zahl 7 IST eine Primzahl, denn sie ist nur durch sich selber und durch die 1 teilbar. Sie hat also exakt zwei Teiler.

Ja, die Zahl 2 ist eine Primzahl, insbesondere ist sie die kleinste Primzahl.

Primzahlen sind diejenigen natürlichen Zahlen, die nur durch sich selber und durch die 1 teilbar sind. Sie haben also exakt zwei Teiler. 

Die Zahl 1 ist daher keine Primzahl, denn sie hat nur einen Teiler.

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