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Bruchterme

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Bruchterme

Du wurdest zu einer Feier eingeladen. An der massiven Eingangstür findest Du folgende mysteriöse Gravierung: "Sechzehn durch das eine ist dasselbe wie das Quadrat von dem anderen. Das eine durch das andere ist zwei." Direkt darunter findest Du zwei Felder vor, in denen Du jeweils Zahlen von 1 bis 9 eingeben kannst. Und noch weiter unten findest Du eine weitere Notiz: "Lasset herein nur diejenigen, die mit Brüchen umgehen können."

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Es sollte doch eine Feier sein und nicht ein Mathematik-Test! Jammern wird die Tür aber nicht öffnen. Was also ist des Rätsels Lösung?

Dazu begibst Du Dich auf eine Reise, entlang derer Du Brüche und Terme begegnen wirst. In der Mitte der Reise lernst Du ihr Kind kennen, die Bruchterme. Und am Ende der Reise wirst Du nicht nur in der Lage sein, an der einen konkreten Feier teilzunehmen, sondern wirst mit Wissen bewaffnet sein, sodass Du mit erhobener Brust jede solche Eingangstür knacken kannst.

Bruchterme – Grundlagenwissen

Wenn Du zum Beispiel verstehen möchtest, wie ein Auto wirklich funktioniert, könntest Du Dir ein Auto schnappen und es vollständig auseinander bauen. Du untersuchst die einzelnen Teile und ihre jeweiligen Rollen im Ganzen. Bist Du danach in der Lage, das Auto wieder zu rekonstruieren, so kannst Du wahrlich behaupten, dass Du die Funktionsweise eines Autos verstanden hast.

Genau dasselbe machst Du hier mit Bruchtermen. Du nimmst die Bezeichnung "Bruchterm" und baust sie auseinander in "Bruch" und "Term". Diese beiden Konzepte werden dann genauer unter die Lupe genommen. Hast Du Brüche und Terme verstanden, wirst Du auch Bruchterme mit all ihren Besonderheiten verstehen.

Richtiger Umgang mit Brüchen

Die Details zu Brüchen, wie Du mit ihnen umgehst und weshalb die bekannten Rechenregeln überhaupt gelten, findest Du in unseren Erklärungen dazu.

Am geschicktesten ist es, wenn Du einen Blick auf unsere Erklärung mit dem Namen "Bruchrechnung" wirfst. Dort wird nicht nur ausführlicher behandelt, was Du unter einem Bruch verstehen kannst, sondern Du findest auch einen Überblick zu allen weiteren Erklärungen rundum das Thema Brüche.

Für diese Erklärung reicht aber folgende Beschreibung aus: Ein Ausdruck wie "" beschreibt eine Zahl mit der Eigenschaft, dass die Addition von drei Kopien von ihr die Zahl 1 ergibt, also

oder in Kurzschreibweise

Brüche, die im Zähler eine 1 haben, heißen Stammbrüche.

Quick Test: Wie viele Kopien von brauchst Du, um die Zahl 1 zu erhalten? Antwort: Du brauchst vier Kopien.

Brüche können dazu verwendet werden, um Divisionen etwas kompakter und übersichtlicher darzustellen. So kannst Du den Ausdruck auch als (1 geteilt durch 3) lesen. Hier sollte Dir bekannt sein, dass Du nicht durch Null dividieren darfst. Das wird insbesondere bei Bruchterme weiter unten dazu führen, dass Du eine sogenannte Definitionsmenge angeben musst.

Kürzen von Brüchen

Wenn der Zähler und Nenner eines Bruches einen gemeinsamen Faktor besitzen, so kannst Du diesen Faktor wegstreichen; damit hast Du den Bruch gekürzt.

Kürzen eines konkreten Bruches

Betrachte den Bruch

In dieser Form kannst Du nicht viel machen, denn oben steht eine 12 und unten eine 15. Du kannst den Bruch aber auch schreiben als

Nun steht oben und unten die Zahl 3, die durch eine Multiplikation mit dem Rest des Bruches verbunden ist. Du darfst daher diese Zahl ignorieren. Das heißt, es gilt

Es ist absolut entscheidend, dass die 3 durch eine Multiplikation mit dem Rest des Bruches verbunden ist. Alternativ hätte es auch eine Division sein können. Bei einer Addition und Subtraktion fasst die Regel des Kürzens nicht. Angenommen, Du dürftest das auch bei einer Addition machen, dann wäre die folgende Rechnung korrekt: . Aber das ist eindeutig ein anderes Ergebnis als: . Du kannst ähnliche Gegenbeispiele für die Subtraktion finden.

Wenn dieselben Zahlen oben und unten einfach ignoriert werden können, dann kannst Du solche Zahlen auch hinzufügen, ohne den Bruch an sich zu ändern. Dieser Prozess nennt sich den Bruch erweitern.

Die Erweiterung von Brüchen wird bei der Addition von Brüchen eine zentrale Rolle spielen.

Brüche addieren

Zwei Äpfel plus drei Äpfel ergeben fünf Äpfel. Drei Hunde plus vier weitere Hunde ergeben sieben Hunde. Zwei Äpfel und zwei Hunde kannst Du auf diese mathematische Art nicht mehr zusammenfassen.

Du könntest jetzt sagen: Zwei Äpfel und zwei Hunde ergeben zwei Hunde, denn die Hunde haben die Äpfel gegessen. Damit verlässt Du aber die Mathematik.

Auf ähnliche Weise funktioniert es mit Brüchen. Um Brüche miteinander addieren zu können, musst Du sicherstellen, dass sie gleichnamig sind, das heißt, sie haben denselben Nenner.

Konkrete Brüche addieren

Sagen wir Du hast die zwei Brüche und gegeben. In dieser Form kannst Du sie nicht miteinander addieren, denn sie beschreiben unterschiedliche Stammbrüche: Der eine ist der Stammbruch zur Zahl 2 (multipliziert mit dem Faktor 3), der andere der Stammbruch zur Zahl 5 (multipliziert mit dem Faktor 4).

Hier kommt das Erweitern von Brüchen ins Spiel. Du kannst die beiden Brüche auch folgendermaßen schreiben:

und

Jetzt hast Du jeweils den Stammbruch und kannst daher die Brüche miteinander addieren:

Es ist entscheidend, dass Du diese Rechnung wirklich verstehst. In der Mitte der Gleichung hast Du in Worten folgendes stehen: "Fünfzehnmal ein Zehntel Plus achtmal ein Zehntel". Ob da nun "Ein Zehntel" oder "Äpfel" steht, ist nicht von Bedeutung. Wenn Du zu 15 Stück einer Sache 8 weitere Stücke derselben Sache hinzufügst, hast Du am Ende 23 Stück dieser einen Sache.

Im Beispiel wurden die Brüche mit dem jeweiligen Nenner erweitert. Da Du mit dieser Methode "direkt loslegen" kannst, soll sie "Brute-Force"-Methode heißen. Diese Methode wird Dir bei den Bruchterme häufig begegnen.

Terme – wenn Symbole und Zahlen Sinn ergeben sollen

Ein Wort besteht aus mehreren Buchstaben. Aber nicht jede Kombination von Buchstaben ergibt ein Wort. Betrachte etwa die Kombination

iefjoupghoq.

Quick Test: Wie denkst Du, haben wir diese Kombination erschaffen? Antwort: Diese Kombination wurde dadurch erzeugt, dass wir wild auf die Tastatur getippt haben. Oder ist das doch vielleicht das Passwort von StudySmarter?

Wenn Du einen Linguisten fragst, würde er diese Kombination nicht als Wort akzeptieren. Ähnlich verhält es sich mit Sätzen. Ein Satz ist eine Kombination aus Wörtern und zusätzlichen Symbolen, wie Komma oder Gedankenstriche. Aber nicht jede solche Kombination ergibt einen sinnvollen Satz. Sätze beschreiben Tatsachen: Der Hund bellt, das Handy klingelt, der Vogel fliegt.

Das, was Worte und Sätze in der Sprache sind, sind Terme und Formeln in der Mathematik.

  1. Ein Term ist eine sinnvolle Kombination aus Zahlen und Symbolen. Die Symbole können dabei Operationen sein (z. B. die Addition), Klammern oder Variablen (z. B. x und y).
  2. Die Anwendung von Operationen auf mehrere Terme ergibt einen neuen Term.
  3. Formeln bestehen aus Terme und beschreiben mathematische Tatsachen.

Ein enorm starker und zugleich mysteriöser Charakterzug der Mathematik ist ihre Universalität. Ob Du Deutsch, Spanisch oder Chinesisch sprichst, oder ob du ein Bewohner der Erde oder eines sonstigen Planeten bist, spielt für die Mathematik keine Rolle.

Konkrete Terme und Kombinationen von Terme

Jede Zahl für sich ist ein Term. Dadurch waren alle bisherigen Brüche, die Du gesehen hast, Beispiele für Terme (aber Achtung: Das sind noch nicht die Bruchterme, wie Du sie später in dieser Erklärung kennenlernen wirst).

Du kannst aber Brüche auch anders betrachten. Ein Bruch wie ist ein Term, denn er ist eine sinnvolle Kombination der beiden Terme 3 und 4, die durch die Division miteinander verbunden werden. Würdest Du stattdessen

schreiben, so wäre das keine sinnvolle Kombination (der Schrägstrich steht für die Operation der Division).

Du kannst mit Termen umgehen, wie mit Zahlen. Bei der Division musst Du weiterhin darauf achten, dass Du nicht durch Null teilst.

Umgang mit Termen

Betrachte die Gleichung

Es ist nicht von Interesse, was diese Gleichung aussagt oder woher sie kommt. Von Bedeutung ist nur die Tatsache, dass es eine Gleichung ist. Und was Du mit Gleichungen tun kannst, weißt Du. Du kannst sie zum Beispiel mit fünf multiplizieren

Es muss aber nicht eine konkrete Zahl sein. Du kannst die Gleichung etwa durch b teilen, musst aber sicherstellen, dass b nicht Null ist

Die letzte Gleichung ist eine sogenannte Bruchgleichung. Die Bestandteile dieser Bruchgleichung, also die Ausdrücke und , sind die ersten Beispiele für Bruchterme. Das heißt, wir haben jetzt alles zusammen, um uns Bruchterme und all ihre Besonderheiten näher anzusehen.

Bruchterme – wenn Brüche mehr sein wollen

Bis auf das letzte Beispiel waren Zähler und Nenner stets konkrete Zahlen. Der entscheidende Unterschied im letzten Beispiel ist der, dass Du im Zähler und Nenner nun nicht mehr nur konkrete Zahlen hattest, sondern auch Variablen. Und genau das zeichnet Bruchterme aus.

Bruchterme sind Brüche mit Variablen

Unter Bruchterme wollen wir Brüche verstehen, bei denen sowohl im Zähler als auch im Nenner nicht nur konkreten Zahlen stehen dürfen, sondern auch Variablen und jede sinnvolle Kombination aus Variablen und Zahlen.

Wirklich interessant wird es erst dann, wenn die Variable im Nenner steckt. Das ist insbesondere bei der Definitionsmenge der Fall. Deshalb findest Du an anderen Orten auch die Definition, dass ein Bruchterm die Variable im Nenner besitzen muss. Bei uns hingegen kann die Variable im Nenner stecken, muss sie aber nicht. Diese Definition klingt weniger nach "Willkür", denn wieso soll sich die Variable ausgerechnet im Nenner befinden? Du wirst aber sehen, dass die meisten Beispiele in dieser Erklärung die Variable im Nenner enthalten.

Bruchterme nehmen im Wesentlichen zwei beliebige Terme und verbinden sie durch die Operation der Division. Im obigen Beispiel hattest Du die beiden Terme und , die durch die Division zum Bruchterm werden.

Du kannst dabei im Zähler und Nenner jeden Term einsetzen, den Du Dir vorstellen kannst.

Weitere konkrete Bruchterme

Die folgenden Terme sind alles Beispiele für Bruchterme

und

Bei all der Kreativität musst Du aber sicherstellen, dass der Nenner nicht Null ist oder Null wird. Bei konkreten Zahlen war das einfach: Du hast die Null nicht verwendet. Bei Termen erfordert das etwas mehr Arbeit.

Definitionsmenge von Bruchtermen – Auf die Null aufpassen

Der Nenner eines Bruchterms kann für Probleme sorgen. Im Beispiel

wurde das Problem gelöst, indem wir explizit angegeben haben, dass b nicht Null sein darf. Wir haben dadurch für den Bruchterm eine sogenannte Definitionsmenge angegeben.

Definitionsmenge - was in Bruchterme eingesetzt werden darf

Du hast einen Bruchterm gegeben. Lass uns seinem Nenner die Bezeichnung N(x) geben. Wenn Du jetzt verschiedene Zahlen in den Nenner einsetzt, kann es sein, dass das Ergebnis Null ist. Eine solche Zahl heißt Nullstelle von N(x).

Du kannst nun alle Zahlen sammeln, die keine Nullstelle von N(x) sind. Die Gesamtheit all dieser Zahlen ergibt die Definitionsmenge des Bruchterms.

Mit anderen Worten: Die Definitionsmenge besteht aus allen ganzen Zahlen, ohne die Nullstellen des Nenners. Und die Nullstellen des Nenners sind genau die Zahlen, die beim Einsetzen in den Nenner zur Null führen.

Die ganzen Zahlen sind hier die "Urmenge", aus der Du potenziell Zahlen herausnehmen kannst, um sie dann in ein Bruchterm einzusetzen. Die "Urmenge" kann aber auch die Menge der rationalen Zahlen sein (oder andere Zahlenmengen).

Für das vorherige Beispiel war. Das ist eine sogenannte konstante Funktion. Was auch immer Du für x einsetzt, das Ergebnis ist stets die Zahl b. Solange also b ungleich Null ist, hat diese Funktion keine Nullstellen. Im Bruchterm

darfst Du dann alle ganzen Zahlen einsetzen.

Das ist die einfachste Form, in der der Nenner auftreten kann.

Definitionsmenge von Bruchterme bei einer Nullstelle

Betrachte den Bruchterm

Der Nenner ist hier also

und damit eine lineare Funktion. Eine solche Funktion kann maximal eine Nullstelle besitzen. In diesem Fall führt die Gleichung

auf die Nullstelle

Die Definitionsmenge für diesen Bruchterm lautet daher

Den Schrägstrich liest Du als "ohne". Die erste Gleichung lautet also in Worten: die Menge der ganzen Zahlen, ohne die Menge mit der Nullstelle .

Du darfst also in den Bruchterm alle ganzen Zahlen einsetzen, außer die Zahl 12.

Definitionsmenge von Bruchterme bei zwei Nullstellen

Das nächste Beispiel ist der Bruchterm

Diesmal ist der Nenner

,

also eine quadratische Gleichung und damit könntest Du zwei Nullstellen finden. Anwendung der Mitternachtsformel liefert die beiden Nullstellen

und

Als Definitionsmenge bekommst Du daher für diesen Bruchterm

Bei der Bestimmung der Definitionsmenge spielt es fast keine Rolle, welchen Wert der Zähler an der Nullstelle des Nenners annimmt; aber nur fast. Um das näher zu untersuchen, schauen wir uns an, wie Bruchterme gekürzt und addiert werden.

Bruchterme kürzen, addieren und multiplizieren

Du kannst mit Bruchterme umgehen, wie mit Brüchen. Abgesehen von längeren Ausdrücken, musst Du dabei stets auf die Definitionsmenge achten.

Bruchterme kürzen, ohne die Definitionsmenge zu ändern

Betrachte den Bruchterm

Der Nenner hat keine (reellen) Nullstellen, also kannst Du in den Bruchterm alle ganzen Zahlen einsetzen. Du kannst im Zähler einen Faktor von 5x ausklammern und erhältst

Der Term taucht sowohl im Zähler als auch im Nenner auf, also darfst Du ihn kürzen

Die gekürzte Version des Burchterms hat dieselbe Definitionsmenge wie der ursprüngliche Bruchterm.

Bruchterme kürzen, wobei die Definitionsmenge geändert wird

Du hast diesmal den Bruchterm

gegeben. Der Nenner hat bei eine Nullstelle. Der Bruchterm hat damit eine Definitionsmenge von

Setzt Du die Nullstelle in den Zähler ein, so siehst Du, dass auch eine Nullstelle des Zählers ist. Du kannst daher aus dem Zähler einen Faktor von ausklammern und bekommst

Im Zähler und Nenner befindet sich nun der Term . Das Kürzen führt dann auf

In der gekürzten Version darfst Du aber alle ganzen Zahlen einsetzen. Durch das Kürzen wurde also die Definitionsmenge geändert.

Eine solche Nullstelle des Nenners, die im gekürzten Bruch nicht mehr vorhanden ist, heißt eine hebbare Definitionslücke. Sie ist hebbar in dem Sinne, dass Du Dir den ursprünglichen Bruchterm wegdenken und Dich auf die gekürzte Version konzentrieren kannst. In der gekürzten Version gibt es dann die Definitionslücke nicht mehr; sie wurde als "behoben". Allgemein werden die Nullstellen des Nenners als Definitionslücken bezeichnet, wenn Bruchterme als Funktionen verstanden werden.

Das letzte Beispiel hat aufgezeigt, wann der Zähler bei der Bestimmung der Definitionsmenge eine Rolle spielen kann: Wann immer eine Nullstelle des Nenners auch eine Nullstelle des Zählers ist, so kann gekürzt werden. Bei der gekürzten Version des Bruchterms kann dann die problematische Stelle "behoben" sein.

Bruchterme addierst Du wie Brüche: Du erweiterst die Bruchterme so, dass sie denselben Nenner besitzen. Beim Erweitern kannst Du aber neue Problemstellen einführen und dadurch die Definitionsmenge ändern.

Bruchterme addieren, ohne die Definitionsmenge zu ändern

Betrachte die beiden Bruchterme

und

Für beide Bruchterme besteht die Definitionsmenge aus allen ganzen Zahlen. Zum Addieren erweiterst Du die Nenner nach der "Brute-Force"-Methode:

und

Jetzt hast Du denselben Nenner und kannst die Bruchterme miteinander addieren:

Auch dieser Bruchterm besitzt als Definitionsmenge alle ganzen Zahlen.

Bruchterme addieren, wobei die Definitionsmenge geändert wird

Den ersten Bruchterm vom vorherigen Beispiel

behalten wir bei. Der zweite Bruchterm ist diesmal aber

Der Nenner von diesem Bruchterm hat eine Nullstelle bei . Die Definitionsmenge lautet also

Wieder erweiterst Du die Bruchterme mit der "Brute-Force"-Methode. Der erste Bruchterm wird dabei zu

Beachte, wie sich dadurch die Definitionsmenge geändert hat: Der erweiterte Bruchterm hat nun die Definitionsmenge .

Der zweite Term wird durch das Erweitern zu

Jetzt kannst Du die Bruchterme addieren:

Das Ergebnis der Addition hat ebenso die Definitionsmenge .

Vielleicht ist Dir beim letzten Beispiel etwas aufgefallen: Die problematischen Stellen bei der Addition werden nach der Addition in die Definitionsmenge des Ergebnisses übernommen. Der Bruchterm hat keine Problemstellen; der Bruchterm hingegen hat die Problemstelle . Das Ergebnis der Addition hat dann ebenfalls genau diese Problemstelle.

Bruchterme addieren, wobei zwei Problemstellen vorhanden sind

Du hast die beiden Bruchterme

und

gegeben. Der erste Bruchterm hat eine Definitionsmenge von

und der Zweite hingegen

Das Erweitern der Bruchterme mit der "Brute-Force"-Methode führt auf

und

Durch anschließende Addition erhältst Du

Der Nenner des Ergebnisses besitzt nun die beiden Nullstellen und . Damit hast Du als Definitionsmenge

Die Summe hat also die Problemstellen der Summanden geerbt.

Bei der Multiplikation zweier Bruchterme gehst Du erneut genauso vor, wie bei der Multiplikation von zwei Brüchen.

Bruchterme multiplizieren

Betrachte die beiden Bruchterme

und .

Bei der Multiplikation dieser beiden, nimmst Du separat das Produkt der Zähler und das Produkt der Nenner. Die Ergebnisse davon bilden Zähler und Nenner des neuen Bruchterms. Konkret hast Du hier

Die Definitionsmenge davon ist

Es erfordert Übung, um Bruchterme anzusehen und zu erkennen, was Du ausklammern oder wo Du spezielle Formeln verwenden kannst. Das Ziel am Ende ist oft, die Bruchterme so weit wie möglich zu vereinfachen.

Bruchterme vereinfachen und Bruchterme zusammenfassen

Zum Vereinfachen (manchmal auch Zusammenfassen genannt) von Bruchterme gibt es viele Tricks, die Du durch selbstständiges Rechnen von Beispielen erlernst.

Es folgen drei Beispiele, in denen Du gängige Tricks kennenlernen wirst. Danach kannst Du Dich an Aufgaben wagen, zu denen es auch immer ausführliche Lösungen gibt.

Bruchterme vereinfachen durch gezieltes Ausklammern - Beispiel 1

Betrachte den Bruchterm

Der Nenner hätte die Nullstellen und . Weil hier aber nur die ganzen Zahlen betrachtet werden und keine ganze Zahl ist, hat der Bruchterm als Definitionsmenge alle ganzen Zahlen.

Im Zähler kannst Du einen Faktor von ausklammern und erhältst

Jetzt kannst Du den Term kürzen

Hier kommt der erste Tipp: Wann immer die Summanden im Zähler oder Nenner alle zumindest einen Faktor derselben Variable besitzen, so kann das Ausklammern davon hilfreich sein.

Im Beispiel hatten die Summanden des Zählers und beide mindestens einen Faktor der Variable . Das war bereits ein Hinweis darauf, dass das Ausklammern dieses Faktors nützlich sein wird. Ein zweiter Blick zeigt dann zusätzlich, dass in den Summanden nicht nur ein Faktor von x steckt, sondern auch ein Faktor von .

Bruchterme vereinfachen durch gezieltes Ausklammern - Beispiel 2

Nun hast Du den Bruchterm

Die Definitionsmenge davon ist . Im Zähler besitzen nicht alle Summanden mindestens einen Faktor von x.

Du kannst aber mit der Mitternachtsformel die Nullstellen

und

berechnen. (Wieso wir auch die Vorzeichen hervorgehoben haben, wird gleich klar werden.)

Du kannst damit den Zähler folgendermaßen zerlegen

Beachte, wie dabei die Vorzeichen der Nullstellen umgekehrt werden: Aus -5 wurde +5 und aus +3 wurde -3. Das muss so sein, denn nur so bleiben -5 und +3 Nullstellen.

Weshalb -5 und +3 weiterhin Nullstellen bleiben, kannst Du auch mit dem Satz vom Nullprodukt einsehen: Ein Produkt ist Null, wenn einer seiner Faktoren Null ist. Die Faktoren in diesem Beispiel sind die Ausdrücke in den Klammern.

Hättest Du geschrieben, so ergibt dieser Ausdruck für den Wert

Damit wäre keine Nullstelle. Das darf aber nicht sein, denn und seine Zerlegung sollen denselben Term darstellen.

Jetzt kannst Du den Zähler durch seine Zerlegung ersetzen und bekommst

In dieser Form findest Du im Zähler und Nenner denselben Faktor und kannst diesen daher kürzen

Der gekürzte Bruchterm hat eine Definitionsmenge von ; Du darfst also alle ganzen Zahlen einsetzen.

Hier kommt der zweite Tipp: Wenn Du nicht auf den ersten Blick Faktoren ausklammern kannst, versuche den Zähler (oder auch den Nenner) zu zerlegen, indem Du die Nullstellen bestimmst. Vergesse dabei nicht, in der Zerlegung die Vorzeichen umzukehren.

Bruchterme vereinfachen durch Verwendung von binomischen Formeln

Manchmal kannst Du Bruchterme vereinfachen, indem Du bekannte Formeln verwendest, die lange Ausdrücke in kompaktere Ausdrücke umwandeln.

Betrachte zum Beispiel den Bruchterm

Im Zähler haben die Summanden keine gemeinsamen Faktoren. Du kannst also so nicht direkt ausklammern. Du könntest die Nullstellen bestimmen und den Zähler zerlegen.

Wenn Du aber die binomischen Formeln beherrschst, erkennst Du, dass

gilt. Jetzt hast Du im Zähler und Nenner jeweils einen Faktor von . Wenn Du diesen kürzt, erhältst Du

Hier kommt der dritte Tipp: Meistere gängige Formeln, die lange Ausdrücke in kompakte Ausdrücke verwandeln. Zu den bekanntesten solcher Formeln gehören die binomischen Formeln.

Abgesehen davon gibt uns der Bruchterm einen weiteren Hinweis, was getan werden kann: Sowohl im Zähler als auch im Nenner befinden sich Summanden und Faktoren von 4. Solche Beobachtungen sind oft ein Indiz dafür, dass die binomischen Formeln nützlich sein können.

Nun ist es soweit, die Tür zu öffnen und die Feier zu genießen.

Du hast natürlich recht: Nach all der Zeit, die wegen des Lesens verstrichen ist, wird die Feier wahrscheinlich vorüber sein. Aber, Feiern kommen und gehen, die Fähigkeit jedoch, solche mysteriösen Türen zu knacken, wirst Du für immer beibehalten. Die nächste Tür wartet bereits auf Dich.

Bruchgleichungen und des Rätsels Lösung

Eine Banane kostet 0,50 €. Wie viele Bananen kannst Du Dir kaufen, wenn du 3 € dabei hast? Die Mathematiker in uns wandeln das direkt in eine Gleichung um

Typisch Mathematiker werden Einheiten ignoriert und aus Gegenständen werden Variablen wie x. Die Lösung davon ist

Du kannst also sechs Bananen kaufen.

Bruchgleichungen sind auch solche Gleichungen mit einer Feinheit: Es tauchen Bruchterme auf und die Variable steckt in mindestens einem der Nenner. Zum Beispiel ist

eine Bruchgleichung, denn sie enthält einen Bruchterm und die Variable x steckt im Nenner dieses Bruchterms.

Weitere Beispiele für Bruchgleichungen

Die folgenden Gleichungen sind alle Beispiele für Bruchgleichungen:

und

In jedem Beispiel sind Bruchterme involviert und im Nenner von mindestens einem befindet sich die Variable x.

Bruchterme und Bruchgleichungen sind dabei nicht auf eine Variable limitiert. Du hattest schon Beispiele gesehen, wo sowohl die Variable x als auch die Variable y aufgetaucht ist. Und auch das Rätsel am Anfang der Erklärung ist eine solche Bruchgleichung.

Des Rätsels Lösung

Im Rätsel heißt es

"Sechzehn durch das eine ist dasselbe wie das Quadrat von dem anderen. Das eine durch das andere ist zwei."

"Sechzehn durch das eine" beschreibt den Bruchterm

der Teil "das Quadrat von dem anderen" hingegen

Da der Ausdruck "dasselbe wie" vorhanden ist, hast Du eine Gleichheit zwischen diesen beiden Termen

Das ist eine Bruchgleichung, denn es ist ein Bruchterm involviert, in dessen Nenner sich die Variable befindet. Du kannst die Gleichung umformulieren zu

Der Teil "Das eine durch das andere ist zwei" beschreibt die Gleichung

oder umgeformt

Dadurch kannst Du das x in der Gleichung eliminieren und erhältst eine Gleichung nur in der Variablen y

Damit ist

Dieses Ergebnis kannst Du nun in und bekommst für die Variable x

Nervös gibst Du die Ziffernfolge 42 ein. Zunächst passiert nichts. Du wunderst Dich, ob Du Dich vielleicht verrechnet hast. Doch plötzlich beginnt die massive Tür zu rattern und zu knacken. Und, zu Deiner Erleichterung und Freude, öffnet sie sich.

Bruchterme Massive geöffnete Eingangstür StudySmarter Bruchterme Glückliche Person StudySmarter

Beim Eintritt wirst Du von einer tiefen, männlichen Stimme begrüßt: "Nun bist Du soweit, selbstständig Aufgaben zu lösen."

Bruchterme – Aufgaben

Jetzt bist Du an der Reihe. Wenn Du merkst, dass die Aufgaben nicht so flüssig laufen, keine Sorge: Schaue Dir noch einmal die entsprechenden Abschnitte im Text an.

Aufgabe 1 - Bestimmen von Definitionsmengen

Bestimme die Definitionsmengen der folgenden Bruchterme:

Gebe zu jedem Bruchterm auch den Nenner an.

Lösung

(a) Der Nenner ist hier

Die einzige Nullstelle davon ist . Damit lautet die Definitionsmenge

(b) Beim Bruchterm in (b) ist der Nenner

Die Nullstellen davon kannst Du mit der Mitternachtsformel berechnen und erhältst

Die Definitionsmenge ist also

(c) Für den Bruchterm in (c) hast Du einen Nenner von

Du könntest zur Bestimmung der Nullstellen direkt die Mitternachtsformel verwenden. Jedoch kannst Du den Nenner vereinfachen, indem Du die zweite binomische Formel verwendest:

In dieser Form lässt sich die (doppelte) Nullstelle direkt ablesen

Als Definitionsmenge bekommst Du daher

Aufgabe 2 - Bruchterme vereinfachen

Vereinfache die folgenden Bruchterme so weit wie möglich:

Bestimmte zusätzlich von den vereinfachten Versionen die Definitionsmengen.

Lösung

(a) Da hier zwei Bruchterme addiert werden, erweiterst Du sie zunächst mit der "Brute-Force"-Methode. Der erste Bruchterm wird damit zu

und der zweite Bruchterm zu

Addition der erweiterten Bruchterme führt dann auf

Der Nenner hat die beiden Nullstellen

und

Die Definitionsmenge lautet daher

(b) Die Summanden im Zähler besitzen beide mindestens einen Faktor von x. Du kannst diesen daher ausklammern. Der Zähler wird damit zu

Für den Nenner lässt sich die dritte binomische Formel verwenden

Der Bruchterm wird mit diesen beiden Umformungen zu

Nun befindet sich im Zähler und Nenner jeweils der Term . Diesen kannst Du kürzen und bekommst

Die vereinfachte Version hat den Nenner . Damit lautet die Definitionsmenge

(c) Im Zähler haben die Summanden keinen gemeinsamen Faktor. Auch lässt sich keine binomische Formel erkennen. Ein guter Versuch ist es daher, die Nullstellen zu bestimmen und den Zähler zu zerlegen.

Die Mitternachtsformel angewandt auf den Zähler liefert Dir die folgenden Nullstellen

und

Dadurch wird der Zähler zerlegt in

Im Nenner hingegen kannst Du die erste binomische Formel verwenden

Der Bruchterm wird damit insgesamt zu

Im Zähler und Nenner hast Du jetzt jeweils den Term . Durch Kürzen erhältst Du schließlich

Der Nenner hat als Nullstelle . Die Definitionsmenge ist also

Bruchterme – Das Wichtigste

  • Bruchterme sind besondere Terme, die aus Brüchen bestehen. Im Zähler und im Nenner können sich dabei zusätzlich zu konkreten Zahlen auch Variablen befinden.
  • Bruchterme kannst Du kürzen, erweitern, addieren und multiplizieren wie Brüche:
    • Beim Kürzen achtest Du darauf, ob der Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor besitzen. Diesen kannst Du dann streichen.
    • Beim Erweitern werden der Zähler und der Nenner mit demselben Term multipliziert.
    • Bei der Addition von zwei Bruchterme erweiterst Du die Bruchterme zunächst so, dass beide denselben Nenner besitzen. Dann kannst Du die Zähler addieren und lässt dabei den Nenner unberührt.
    • Bei der Multiplikation zweier Bruchterme nimmst Du separat das Produkt der Zähler und das Produkt der Nenner. Die Ergebnisse davon werden der Zähler und Nenner des neuen Bruches.
  • Auch bei Bruchterme musst Du darauf achten, dass im Nenner nicht die Null vorkommt. Jedes Mal, wenn Du einen Bruchterm angibst, musst Du auch seine Definitionsmenge angeben.
  • Die Definitionsmenge besteht aus den Nullstellen der Funktion, die sich im Nenner befindet. Dabei ist zu beachten, dass sich die Definitionsmenge durch Kürzen, Erweitern, Addieren oder Multiplizieren verändern kann.
  • Zum Vereinfachen von Bruchterme gibt es mehrere nützliche Tricks. Dazu zählen unter anderem:
    • Ausklammern von gemeinsamen Faktoren (das kannst Du sowohl im Zähler als auch im Nenner machen).
    • Zerlegung des Zählers oder Nenners mit Hilfe der Nullstellen.
    • Anwendung der binomischen Formeln.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Bruchterme

Bruchterme sind besondere Terme, die aus Brüchen bestehen. Im Zähler und im Nenner können sich dabei zusätzlich zu konkreten Zahlen auch Variablen befinden.

Bruchterme kannst Du kürzen, erweitern, addieren und multiplizieren wie Brüche.

Bei der Addition von zwei Bruchterme erweiterst Du die Bruchterme zunächst so, dass beide denselben Nenner besitzen. Dann kannst Du die Zähler addieren und lässt dabei den Nenner unberührt.

Beim Kürzen achtest Du darauf, ob der Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor besitzen. Diesen kannst Du dann streichen. Um diesen gemeinsamen Faktor "hervorzulocken", kannst Du Tricks wie das Ausklammern oder die binomischen Formeln verwenden.

Finales Bruchterme Quiz

Frage

Was ist der entscheidende Unterschied zwischen Brüche und Bruchterme?

Antwort anzeigen

Antwort

Im Allgemeinen wird die Bezeichnung "Brüche" verwendet, wenn im Zähler und Nenner konkrete Zahlen stehen. Bei Bruchterme dürfen aber auch Variablen auftauchen; Bruchterme sind also Brüche mit Variablen.

Frage anzeigen

Frage

Welche Operationen kannst Du mit Bruchterme ausführen?

Antwort anzeigen

Antwort

Da Bruchterme im Wesentlichen "flexible" Brüche sind, kannst Du mit ihnen umgehen wie mit Brüche. Das heißt, Du kannst sie addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren; aber auch kürzen und erweitern.

Frage anzeigen

Frage

Worauf musst Du bei Bruchterme besonders achten?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn im Nenner Variablen stehen, musst Du sicherstellen, dass der Nenner als Ganzes nicht Null wird. Dazu gibst Du eine Definitionsmenge an.

Frage anzeigen

Frage

Was teilt Dir die Definitionsmenge eines Bruchterms mit?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Definitionsmenge teilt Dir mit, welche Zahlen Du in den Bruchterm einsetzen darfst (oder äquivalent, welche Zahlen Du nicht einsetzen darfst).

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe in eigenen Worten, wie Du im Allgemeinen die Definitionsmenge bestimmen kannst.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Definitionsmenge kann im Allgemeinen dadurch bestimmt werden, dass Du die Nullstellen des Nenners berechnest. 

Frage anzeigen

Frage

Beurteile den Wahrheitsgehalt der folgenden Aussage: Das Kürzen eines Bruchterms ändert seine Definitionsmenge nicht.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Aussage ist falsch. Als Beispiel betrachte den Bruchterm . Vor dem Kürzen darfst Du die Null nicht einsetzen. Kürzt Du aber den Bruchterm zu , so kannst Du nun auch die Null einsetzen.

Frage anzeigen

Frage

Welche Operationen mit Bruchterme können die Definitionsmenge verändern?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Definitionsmenge kann durch jede Operation potentiell verändert werden.

Frage anzeigen

Frage

Welche Tricks gibt es, um Bruchterme zu vereinfachen?

Antwort anzeigen

Antwort

Zu solchen Tricks gehören das Ausklammern von gemeinsamen Faktoren, die Zerlegung des Zählers und Nenners mit Hilfe von Nullstellen und die Anwendung der binomischen Formeln.

Frage anzeigen

Frage

Wie kannst Du beim Ausklammern von gemeinsamen Faktoren vorgehen?

Antwort anzeigen

Antwort

Konzentrieren wir uns nur auf den Zähler (das gleiche gilt für den Nenner). Du schaust Dir die einzelnen Terme innerhalb des Zählers an und versuchst, gemeinsame Faktoren zu erkennen. Zum Beispiel haben die beiden Terme  und  einen gemeinsamen Faktor von .

Frage anzeigen

Frage

Sagen wir, Du hast einen Zähler mit den Nullstellen  und . Wie sieht seine Zerlegung aus?

Antwort anzeigen

Antwort

Um die Zerlegung des Zählers zu erhalten, musst Du im Wesentlichen nur darauf achten, dass Du die Vorzeichen der Nullstellen umkehrst. Hier lautet die Zerlegung:

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Definitionsmenge des folgenden Bruchterms:



Antwort anzeigen

Antwort

Der Nenner ist . Dieser wird Null, wenn  gilt. Also lautet die Definitionsmenge: 

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe in eigenen Worten, was folgender Ausdruck bedeutet:

Antwort anzeigen

Antwort

Der Ausdruck teilt Dir mit, dass die Definitionsmenge aus alle ganzen Zahlen besteht, ohne die Zahlen 3 und -5.

Frage anzeigen

Frage

Vereinfache den folgenden Bruchterm so weit wie möglich:



Antwort anzeigen

Antwort

Im Zähler kannst Du die dritte binomische Formel verwenden. Im Nenner hingegen kannst Du einen Faktor von 12 ausklammern. Dadurch erhältst Du:



Frage anzeigen

Frage

Vereinfache den folgenden Bruchterm so weit wie möglich:



Antwort anzeigen

Antwort

Im Zähler kannst Du einen Faktor von  ausklammern. Im Nenner kannst Du die zweite binomische Formel verwenden. Damit bekommst Du:


Frage anzeigen

Frage

Was sind Bruchgleichungen?

Antwort anzeigen

Antwort

Bruchgleichungen sind Gleichungen mit einer Feinheit: Es tauchen Bruchterme auf und die Variable steckt in mindestens einem der Nenner.

Frage anzeigen

Frage

Betrachte die beiden Gleichungen





Bei welcher handelt es sich um eine Bruchgleichung und wieso?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Gleichung (a) ist eine Bruchgleichung, denn es taucht der Bruchterm  auf, der die Variable im Nenner besitzt. Die Gleichung (b) hingegen ist keine Bruchgleichung.

Frage anzeigen
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